Приведу два случая сравнения счетного и несчетного множеств (на примере рациональных и иррациональных чисел).

Множество считается счетным, если все его элементы можно пронумеровать натуральными числами. Мощность такого множества обозначается как «алеф-нуль». Множество рациональных чисел является счетным.

Если множество невозможно взаимно-однозначно соотнести с множеством натуральных чисел, то такое множество называется несчетным. Множество иррациональных чисел является несчетным.

Данные примеры наглядно демонстрируют некоторую «ограниченность» множества рациональных чисел в сравнении с множеством иррациональных.

----

Построим числовую прямую и начнем отмечать на ней все рациональные числа по очереди. Причем первому элементу присвоим длину 1/2 (в любых единицах, сколь угодно малых) на числовой прямой, второму элементу – 1/4 длины, третьему – 1/8, четвертому 1/16, и так далее. Тогда сумма длин, присвоенных каждому рациональному числу, не будет превышать 1 (сумма геометрической прогрессии). И это несмотря на то, что в каждом бесконечно малом промежутке числовой прямой будет бесконечное количество таких длин. Другими словами, на бесконечной числовой прямой все рациональные числа займут меньше одной единицы длины. Всё остальное – иррациональные числа. Можно взять сколь угодно маленькую величину первого члена прогрессии. Тогда ее сумма и, соответственно, общая длина всех рациональных чисел на прямой, будет стремиться к нулю!

----

Заполним бесконечную плоскость бесконечным количеством не совпадающих по своему положению точек таким образом, чтобы у каждой точки координаты были рациональными. Например, (1; 2), (1/3; 3/8) и т.д., оставив свободной координату (0;0). Плотность заполнения будет такой, что в любой сколь угодно малой области плоскости будет находиться бесконечное количество точек. Покажем, что через координату (0;0) можно провести бесконечное количество прямых, ни одна из которых не коснется ни одной из заданных точек.

Поставим точку с координатами (0;0) и проведем через нее прямую вида y = kx, где k – иррациональное число. Данная прямая не коснется ни одну из заданных точек, так как хотя бы одна координата каждой ее точки будет иррациональной.