Хабр Курсы для всех
РЕКЛАМА
Практикум, Хекслет, SkyPro, авторские курсы — собрали всех и попросили скидки. Осталось выбрать!
Поток Научпоп доступен 24/7 благодаря поддержке друзей Хабра
Комментарии 69
Нужно взять единичный отрезок
1. Тогда из подобия треугольников следует, что, откуда
. Мы взяли два отрезка (длины) и получили третий отрезок (длину). Операция умножения на множестве длин — замкнута.
Я не математик, поэтому вот тут затупил сразу... Откуда тут взялись подобные треугольники? Можно как-то их нарисовать?
Да, я могу нарисовать. Немного позже притащу рисунок и вставлю в статью. Завтра, думаю.
Подобные треугольники при построении умножения над отрезками строятся из общего угла (отрезки отмеряются от вершины этого угла вдоль лучей угла). Они нужны, чтобы задать умножение отрезков и деление отрезков.
Да, я это хотел нарисовать и прислать. В статью добавлю завтра.
Здесь мне видится контринтуитивное:
а и b равнозначны
но ab параллельно a и перпендикулярно b - тут равнозначность теряется.
А тут направление не имеет значения, только длина.
Но я вообще планировал всё-таки чуть-чуть другой рисунок - все величины на сторонах угла, а не на третьих сторонах треугольников.
Физическое чутье показывает, что направление (параллельность и перпендикулярность) имеет значение... Перпендикулярность - уход в другое измерение, другую ось, и это существенно...
Покажите альтернативный треугольник...
Причем если из точки (0,1) провести прямую к точке (x, 0), то параллельные прямые проходящие через точки (0, y) также будут проходить через (x*y, 0). А простые числа - это те числа, для которых нельзя построить прямую проходящую через целое число на оси Y и параллельную прямой проходящей через (0,1) и целое число на оси X.
Когда мы говорим, что
3 м5 м = 15 м², мы совершаем подмену понятий. Математическая операция:всегда возвращает число. А вот уже физическая интерпретация этого числа может быть разной: площадь, работа, энергия. Но сама операция живет внутри одного поля чисел.
Меня всегда удивляло это: почему в математике есть куча всего (от множеств но каких-то невообразимых понятий), но нет понятия размерности, интуитивно понятного физикам?..
Да, это в самом деле удивительный вопрос. Он распадается на два
1. Арифметические операции у физиков и у математиков понимаются по-разному. Как выяснилось в комментариях к прошлой статье - у программистов вообще третий способ восприятия и понимания их (через сигнатуры).
2. Математики почему-то не построили математику с размерностями.
Впрочем, насчет второго, это вроде несложная вещь. Просто нужно ввести базовые размерности, а потом с ними работать. Но получается - числа отдельно, размерность отдельно. Соответственно, при умножении двух физических величин - умножение чисел и умножение размерностей друг на друга независимо друг от друга происходят.
при умножении двух физических величин - умножение чисел и умножение размерностей друг на друга независимо друг от друга происходят.
Они происходят так же, как при символьном умножении одночленов. Никакой мистики. Я крайне удивлён, что для Вас это не очевидно. Мы, например, в школе на физике всё расчёты так делали: вычислить нужно и значение, и её размерность.
Казалось бы да, можно просто как формальные многочлены определить эти размерности. Но тут есть одна проблема.
Безразмерная физическая величина - например, постоянная тонкой структуры, это тоже физическая величина и она на самом деле имеет размерность, 1.
Эта единица при таком подходе математические совпадает с 1, которая просто число. Но по смыслу это разные единицы.
Одна единица - это просто такая нулевая размерность, другая - числовая единица.
А вот если сделать числа и размерности параллельными структурами, то такой проблемы не возникнет, эти две единицы будут в разных пространствах.
Безразмерная физическая величина - например, постоянная тонкой структуры, это тоже физическая величина и она на самом деле имеет размерность, 1.
Это лирика. А физика в том, что при вычислениях это просто число.
Но по смыслу это разные единицы.
Вы вводите лишнюю сущность, чтобы создать проблемы, а потом мужественно их решать. По смыслу - это просто единица.
А вот если сделать числа и размерности параллельными структурами, то такой проблемы не возникнет, эти две единицы будут в разных пространствах.
Только такой подход создаёт столько дополнительных проблем, что лучше так не делать.
При умножении да, при сложении нет. Вот, например, не имеет смысла складывать постоянную тонкой структуры с числом Пи, точно также как не имеет смысла метры с килограммами складывать. При этом вполне имеет смысл любую степень безразмерной константы складывать с самой с собой (многие физические выражения это используют), а квадратный метр с метром - не имеет смысла.
Так что тут для формализации нужно определить особую, нулевую размерность. А насчет умножения, так обычные размерные величины умножать друг на друга можно тоже.
Если пытаться полностью формализовать теорию размерностей, боюсь, огромного числа дополнительных проблем не избежать.
В физике же обходятся размерностью, без дополнительных проблем...
Кстати, у пи размерность не единица, а метр/метр по определению ) Поэтому обычно пи ни с каким числом не складывается... а если складывается, то с радианом, который отношение дуги к радиусу, т.е. тоже метр/метр...
Число Пи появляется из разных задач, в том не требующих длин.
Радиан - да, хороший пример размерности нулевой степени. То есть с одной стороны это нулевая размерность, с другой - углы с числами бессмысленно складывать.
углы с числами бессмысленно складывать.
Отнюдь. Мне случалось складывать углы с обезразмеренным временем.
Углы - это по сути обезразмеренные длины дуг. При обезразмеривании формул порой очень неожиданные сложения возникают. Физический смысл которых становится понятен, только если развернуть метод обезразмеривания каждой величины.
Короче, практика физических вычислений показывает, что числа - это просто числа.
Математики почему-то не построили математику с размерностями.
Хм, чем не исследовательская задачка для GPT-5? Только корректно сформулировать задачу... и n раз давать очередное решение ей же (и другим LLM) на критику...
Я понял. Я внезапно понял. Дело в том, что физические вычисления делаются не в поле R, а в поле, расширенном
В этом поле умножение физических величин замкнуто. Правда, сложение не всегда имеет смысл.
Осталось только определить правильно операции над этой структурой.
Дело в том, что размерность не определяет физический смысл величины. Она не представляет сам тип физической величины, а только инвариант этого типа. То есть, это необходимое, но не достаточное условие осмысленности операций, а потому определение физической величины как пары (числовая величина; размерность), строго говоря, не имеет смысла. Это только удобный инструмент для первичной валидации формул.
Как это нет ? Размерность, например, пространства - число элементов в базисе этого пространства
мы совершаем подмену понятий.
Неправда ваша.
Ничего удивительного, правда? Так почему при замене буквы "a" на букву "м" Вы начинаете говорить о подмене понятий?
Просто представьте себе, что физическая величина - это константа, не выразимая числом, а потому с ней при вычислениях приходится работать символьно. И всё встанет на свои места.
Так дело в том, что размерность - это не константа. И число на размерность не умножается.
Мы говорим 5 метров, а не число 5 умножить на метр.
Но как-то так, как вы пишите, можно формально ввести теорию размерностей аксиомами.
Проблема в том, что часто встречается объяснение умножения как площади. И это объяснение игнорирует замкнутость операции умножения.
И число на размерность не умножается.
Формулы говорят обратное. Если мы проследим, как ведут себя размерности при физических вычислениях, мы обнаружим, что они ведут себя как константы в одночленах.
Этого достаточно, чтобы именно так к ним и относиться.
А вот если упираться рогом и отказываться от этого простого соображения - тогда да, возникают проблемы.
5 метров
Пять чашек, пять рублей, пять карандашей. Что это, если не умножение?
Насколько я могу судить, размерность это буквально константа в мнемоническом виде.
5 метров = 5 * 100см и т.д. То-есть метр здесь - некое фиксированное пространство взаимозаменяемых значений.
Тут становится всё не так просто, как только мы начинаем разные размерности друг на друга делить и умножать.
Во-первых, в разных системах размерности не совпадают, и одни и те же величины могут в одной системе иметь разные размерности, в другой - одинаковые.
Во-вторых, даже если размерность величин со сложной размерностью одинаковая, то вообще-то это не значит, что их можно складывать. Например, момент силы складывать с энергией не получится, хотя у них одинаковые размерности в СИ.
В-третьих, можно сказать, что систему размерностей мы не можем вводить произвольным образом, и при этом если величины можно складывать между собой - то в любой корректно введенной системе размерностей они имеют одинаковую размерность, а если не можем - в некоторых она одинаковая, в других нет.
В-четвертых, есть еще безразмерные величины, они безразмерные в любой корректно введенной системе, но при этом складывать их не всегда можно.
В-пятых, надо подумать, существуют ли размерные величины, которые нельзя складывать, но при этом у них одинаковая размерность в любой системе. Момент силы с работой или энергией к таковым не относятся, потому что в некоторых системах величин они имеют разную размерность.
В-шестых, нужно как-то строго определить, а что такое корректно введенная система величин и их размерностей. Физически это понятно интуитивно, а как всё-таки формализовать?
Тут становится всё не так просто, как только мы начинаем разные размерности друг на друга делить и умножать.
Как раз наоборот, пока мы ТОЛЬКО делим и умножаем (и возводим в рациональные степени) - всё легко и просто. Трудности возникают при сложении.
одни и те же величины могут в одной системе иметь разные размерности, в другой - одинаковые.
Приведите пример.
Емкость конденсатора. В СГС его размерность - сантиметр. А в СИ будет
В СГС его размерность - сантиметр.
Это артефакт некорректной записи. На самом деле не сантиметр, а сантиметр, умноженный на ёмкость шара радиусом 1 см.
Кстати, ещё один хороший пример. Почему ВАр (вольт-ампер реактивный) нельзя складывать с Джоулем? Потому что ВАр = Дж*i (мнимую единицу).
Не артефакт. Физический смысл в том, что ёмкость в вакууме определяется только геометрией. Ёмкость ведра вычисляется как [см х см х см]. Ёмкость конденсатора - это [см х см / см]. Также, как удельное сопротивление кратко записывается как [Ом х см], но на самом деле это [Ом x см х см / см]. В СГС просто электрическая постоянная безразмерна.
ВАр = Дж*i (мнимую единицу)
Посыпаю голову пеплом.
ВАр = Вт*i, конечно же!
Удельный импульс, например. В СГС это секунда, но физического смысла, как единица времени, он не имеет.
Количество с одной стороны безразмерно, и при расчёте числа, например, багажных мест можно сложить количество крокодилов и ящиков бананов. Но складывать число крокодилов, например, с количеством оборотов - не представляю задачу, где это понадобится.
В СГС это секунда
Не в СГС, а в МКГСС.
И УИ в секундах можно интерпретировать как время, за которое расходуется 1 кг топлива при тяге в 1 кгс.
Но складывать число крокодилов, например, с количеством оборотов - не представляю задачу, где это понадобится.
Я тоже. Но после моего опыта приведения формул к безразмерному виду, не удивлюсь, если бывает и такое.
Например, момент силы складывать с энергией не получится, хотя у них одинаковые размерности в СИ.
Я понял в чём прикол. Момент силы - это векторная величина. Причём модуль момента силы равен работе, совершаемой оным моментом за единичный угол. Всё сходится.
Я, кажется, сформулировал свою позицию: если декларировать, что однородные величины должны иметь одинаковую размерность, а разнородные разную, то найдётся способ разрешить кажущиеся коллизии единиц измерения.
Если две величины имеют одинаковую размерность, но их сумма не имеет физического смысла, значит на самом деле размерность не одинаковая, просто физики решили не записывать какую-то часть размерности (например, мнимую единицу, или константу, оговорённую в определении единицы измерения).
Да, это хороший тезис, под полной формализацией теорией размерностей неплохо было бы иметь в виду именно это. Но как этого достичь?
Если вы определяете момент силы через работы, то так хорошо, радианы есть.
А если определять момент силы на плоскости просто как cross-product? Тогда это число, а не вектор, выходит. И с работой всё равно нельзя складывать
Впрочем, тут, возможно. и может помочь геометрическая алгебра, потому что момент силы является бивектором в любой размерности пространства.
Но как этого достичь?
На практике - уже достигнуто. Вернее: проблемы решаются по мере поступления. Если не закрывать глаза дополнительные множители (мнимую единицу, единичный вектор или константу), отличающие величины друг от друга, то всё в порядке. Я никогда не пытался найти и решить все коллизии, но все, с которыми сталкивался в своих задачах - разрешил.
А если определять момент силы на плоскости просто как cross-product?
А не надо так делать.
момент силы является бивектором в любой размерности пространства.
Это интересно. А угол поворота - тоже?
Генератор поворота - бивектор, он включает в себя и угол (скаляр), и плоскость поворота. В геометрической алгебре момент силы и сила - это лишь компоненты одного мультивектора - динамы.
Кроме того, есть моторы - единые величины, состоящие из поворота и перемещения.
Произведение динамы на мотор описывает 4 вида физических эффектов сразу, в каждом из которых по 2 закона в обычном теормехе.
1. Скалярная часть включает в себя 2 закона - работа силы и работа момента силы
2. Векторная часть описывает гироскопические силы (трансляционная и прецессионная)
3. Бивекторная часть - изменение момента импульса за счет прямого действия момента силы + гироскопического эффекта (прецессия гироскопа)
4. Тривекторная часть - работа, совершаемая против сил реакции в связях. Называется также мерой некоаксиальности динамы и мотора
Рассмотрение этого требует отдельной статьи.
Но похоже да, с размерностями там всё прекрасно.
ниасилил, потом осилю
Чтобы понять на вскидку, мне не хватает подготовки. Порекомендуйте литературу.
Там на английском всё. Но гораздо больше помогает просто самостоятельно повыводить, так как в литературе по геометрической алгебре часто встречаются какие-то неточности.
В первую очередь есть основополагающий труд Хестенеса https://www.academia.edu/26337319/New_Foundations_for_Classical_Mechanics_livro - тут можно скачать.
Еще можно у LLM спрашивать, но с ними надо осторожно, все выкладки вручную перепроверять - они иногда глючат.
Единый закон движения твердого тела, объединяющий 
и 
, выглядит так:
Здесь P - это обобщенный импульс (импульс + бивектор момента импульса).
Если его домножить на импульс, потом взять первообразную, то получим как раз сразу кучу законов сохранения, соответствующих тому, что в предыдущем сообщении я написал.
В книгах по теормеху на вывод и описания этих законов тратят много страниц. Отдельно расписывают подробно такие частичные компоненты, например, как сила Кориолиса. Некоторые из них опускаются и не приводятся из-за сложности изложения в обычных курсах теормеха, но присутствуют лишь в некоторых специализированных (например, по динамике машин, там тривекторные куски отсюда используются и имеют свои названия, или по теории гироскопов отдельно изучают эти эффекты).
А тут можно как бы сразу всё это получить, а потом остается всего лишь проинтерпретировать, картинку нарисовать. И вместо материала, который нигде не приведен весь в одном учебнике, а куски, которые приведены, занимают десятки и сотни страниц - дать в одном параграфе, в котором совсем немного формул и много иллюстраций с объяснением физического смысла происходящего.
Просто дело в том, что обычные векторы дают слишком сложный и неочевидный, порой избыточно длинный вывод вот этого всего, что тут легко получается.
Кстати, нашёл ещё один похожий пример: идеальная скорость ракеты. Это скалярная величина, измеряющаяся в единицах скорости, и характеризующая энергию, доступную ракете для совершения манёвров (приращений скорости).
Точно так же, нет смысла складывать её со скоростью, да и невозможно, потому что скорость - векторная величина. Однако скорость, модуль которой равен идеальной скорости ракеты - имеет физический смысл, как наибольшая скорость, которую ракета может отработать.
Туда же - характеристическая скорость манёвра. Т.е. расход идеальной скорости на манёвр. Если бы ХС манёвров нельзя было складывать между собой - то и вводить такую величину не было бы смысла.
Надо было сразу же начать с комплексных чисел. Это очень хороший пример, его стоит поставить повыше.
Наконец-то я смог добраться до этой статьи. Спасибо за разъяснения; в принципе, примерно такая картина у меня самого и сложилась, и тоже по аналогии с комплексными числами.
Собственно, я именно это и имел в виду, когда упоминал тензорное домножение на парный элемент. То есть сложение скаляра с вектором выводит нас из двух отдельных пространств 
и 
в новое пространство 
. Скаляр конвертируется в элемент этого нового пространства с нулевой векторной компонентой: было число 5, стал элемент [5, (0,0,0)]; а вектор, соответственно, в элемент с нулевой скалярной компонентой: (1,2,3) -> [0, (1,2,3)]. И дальше эти элементы нового пространства складываются по стандартным привычным правилам, покомпонентно. Ну и бивекторы-тривекторы аналогично.
Я бы в статье ещё предложил расписать явным образом, как так получается, что сначала мы через "стыковку" обозначаем геометрическое произведение, а потом через ту же "стыковку" для 
уже получаются бивекторы, которые до этого обозначались через 
. Да, можно додуматься самостоятельно, что скалярное произведение ортогональных векторов равно нулю, и поэтому 
. Но всё же когда речь идёт о введении базовой терминологии, имеет смысл такие отклонения в обозначениях подчёркивать явным образом.
Только там не 
, там 
. Потому что скаляры, ветора, бивекторы, псевдоскаляры и умножение умеет любые комбинации этих объектов переваривать.
Насчет стыковки ответ простой. Внутреннее произведение e1 на e2 равно нулю, поэтому внешнее произведение и геометрическое базисных векторов - одно и то же.
Так что догадались вы правильно.
На самом деле я благодарен за все эти вопросы, потому что сейчас пишу книгу по вычислительной математике и алгоритмам, там первые 3 главы про прикладную геометрическую алгебру, нужно написать максимально простым языком с минимумом формул, больше примеров и кода на Питоне. Поэтому нужно понять, как лучше изложить. Здесь же на Хабре принцип минимума формул не нужен, но хотя бы можно понять, какие проблемы могут быть у тех, кто будет читать текст.
Рукопись книги сдам к 1 февраля, выйдет в печать где-то весной.
Тогда хочу отметить ещё одну особенность текста, которая ощутимо мешает разбираться в новой теме. Прошу прощения за многословность, просто это всё скорее на уровне ощущений, и очень трудно сформулировать конкретные замечания. Я бы сказал, что тексту не хватает какой-то целостности, связности, последовательности изложения. Обычно учебники построены так, чтобы каждый факт, каждый термин по ходу изложения полностью опирался на уже изученный материал и только на него. Здесь же (как в предыдущей статье, так и в этой) встречаются формулировки, которые изначально остаются непонятными, а проясняются только потом, после прочтения дополнительных абзацев.
Постараюсь пояснить на конкретных примерах.
1.
Произведения двух векторов, например
. Это новый объект!
Вы пишете "например", но в качестве примера даётся очень специфический объект. Не какие-то произвольные два вектора, а именно базисные. И становится непонятно, это всё-таки пример и можно взять любую другую пару векторов (но тогда слова "новый объект" уже будут неверными, ибо пара коллинеарных векторов даст скаляр), или же тут обязательно должны быть базисные векторы. Требуется дочитать всю главу про произведение и его свойства, чтобы понять, как бивекторы связаны с геом.произведением и в каких случаях какие дают результаты. Но если мы сами разобрались, то сам этот пример выше оказывается ненужным, он нам никак не помог.
2.
Вы определяете геометрическое произведение как сумму скаляра и бивектора. А бивектор — как разницу геометрических произведений. Получается рекурсивное определение, где два термина просто ссылаются друг на друга, но ни тот, ни другой не объяснён. Опять же, только после полного прочтения почти всей статьи можно сделать осторожные выводы, что бивекторы можно формально определить просто как ориентированные пары, ввести попарные бивекторные произведения базисных векторов 
в качестве базиса для бивекторов и исходя из этого сообразить, как оно работает уже для произвольной пары векторов. И попутно догадаться, почему же в формуле применяется геометрическое произведение для базисных векторов, а не бивекторное.
3.
Что такое псевдоскаляр
?
Это просто результат последовательного геометрического умножения трех ортогональных базисных векторов.
<…>
Умножая его на
(вектор, перпендикулярный этой плоскости), мы получаем новый объект высшего ранга в 3D — тривектор.
Весь абзац здесь сформулирован так, словно мы уже полностью разобрались, что такое геометрическое произведение и знаем все его свойства, а тут просто повторяются уже известные истины на конкретном иллюстрирующем примере. Последнее из процитированных предложений, насколько я понимаю, должно было служить определением тривектора. Вместо этого оно выглядит так, будто мы уже прекрасно знаем всё о би- и тривекторах, и просто рассматриваем этот пример как подтверждение и закрепление пройденного материала. "Вот взяли то, проделали это, и — видите? — получилось такое-то." Чисто формально вроде как подход имеет право на существование. Но слишком уж резко он контрастирует со всеми общепринятыми учебными практиками, и потому порождает сомнения и недоумения: а что, я действительно уже всё это должен был знать и понимать? Невольно лезешь обратно в начало документа в поисках пропущенного или недопонятого материала, но ничего не находишь… В общем, такой тонкий момент, что вроде в тексте всё правильно — но производит совсем не тот эффект, который нужно.
____________
Мне кажется, подачу материала необходимо кардинально переработать. Подойти гораздо более формально, задать базовые определения — необязательно через адский матан, просто как факт того, что вот такая штука существует, называется так-то и обладает такими-то главными свойствами. И дальше уже опираться на этот фундамент.
К примеру, для меня наиболее ключевыми объектами оказались би- и тривекторы. Поэтому я бы дал им определения в самом начале. Для начала хотя бы просто как условные ориентированные пары/тройки векторов. Показать, как с этими объектами работать, как произвольная пара векторов формирует бивектор, который можно представить как сумму трёх компонентов, каждый из которых строится из базисных векторов исходного трёхмерного пространства как попарные произведения 
, именно так, через крышечку. Аналогично про тривекторы.
Потом уже на основе этого вводится пространство 
, и в нём — геометрическое произведение как сумма уже известных нам объектов. Дальше становится видно, как произведение базисных векторов равно бивекторам и тривектору, пишем, что по этой причине, и ещё по той, что для нас геометрическое произведение важнее, проще писать всё через него.
Ну и так далее. То есть главное — не заставлять продираться сквозь текст с оставшимися в тылу непонятными вещами.
У меня там в книге всё намного медленнее объясняется, я несколько страниц описываю, что такое произведение двух векторов, с картинками.
Я могу кусок первой главы, всё равно это войдет в ознакомительный фрагмент. Напишите почту в личное сообщение мне, куда прислать.
Тут дело в том, что вываливать на человека сразу все определения и аксиомы, как принято в математической литературе - не очень хороший способ объяснять материал. А если пытаться постепенно объяснять - ну вот такие проблемы, как вы описали, могут появляться, если текст еще сыро написан.
Кроме того, хотя с геометрической алгеброй сопряжено много абстракций, вообще-то в своей основе это очень простой инструмент, основанный на простых алгебраических операциях, его изучить не сложнее школьной алгебры многочленов. Там на самом деле не нужно рассуждать вот про эти пространства, множества и так далее. У меня есть операции сложить и умножить, их геометрический смысл, а дальше работаем с этим и смотрим, что получается. То что вы пишете про сигнатуру операции, многомерные пространства - это всё слишком сложно, можно проще, для понимания происходящего можно ничего не знать из перечисленного.
Проще говоря, ну вот я даю объяснение, что значит два вектора геометрически умножить. Потом показываю, что такое бивектор, сначала на плоскости. Потом в 3D демонстрирую. Затем говорю, что это всё еще можно формально складывать. И далее можно показать, как можно этот аппарат работает. Получается алгебраическая игра с символами по простым правилам, причем каждому правилу соответствует легко иллюстрируемая операция. Вводить всякие абстрактные пространства, рассуждать о сигнатурах - это выглядит как-то слишком избыточно.
Ну, я поэтому и сказал, что необязательно делать это через дикий матан с зубодробительными абстракциями. В целом-то у вас объяснения получились неплохо, баланс между строгостью и наглядностью выдержан удачно. Главное теперь — реструктурировать это немножко и вынести скрытые элементы сакрального знания наружу, чтобы текст мог воспринимать ученик, впервые в жизни видящий все эти термины и закорючки. Думаю, это вполне достижимо без переусложнения.
О! Декарт определял умножение как нахождение площади. А чтобы оставаться в поле отрезков, считал равными равновеликие прямоугольники, и интерпретировал прямоугольники единичной ширины как отрезки.
За уши, конечно, но забавно.
Разгоревшийся выше спор про размерности, наверное, можно разрешить таким образом - размерность можно трактовать как дополнительную... эм... размерность??? 😬... ну, типа размерность в понятии измерений, как доп.координату, как ортогональный базис к самому значению.
Ну то есть математику важно, чтобы все числа были в одном множестве - R × R → R. Здесь у чисел нет дополнительной координаты РАЗМЕРНОСТИ, что позволяет такие операции производить.
Но если мы вводим размерности, то это как-бы добавляет к каждому числу новую координату - как i у комплексных чисел - и, соответственно, сводит числа с одинановой размерностью в нормальные замкнутые кольца , а числам с разной размерностью вообще не позволяет существовать в одном кольце, т.к. у них не совпадает доп.координата.
Т.е. можно сложить метры и метры - т.к. это одно кольцо, а метры и килограммы сложить нельзя - т.к. это разные кольца, хотя числовая компонента у них одинаковая. Ну или можно сложить эти числовые компоненты (без размерностей) - но физический смысл этой суммы будет непонятен, т.к. именно размерность определяет физический смысл
Ну это вроде очевидно из самого названия "размерность". Другими словами, это говорит, что данная физическая величина находится в своей системе измерений: метры в своей, килограммы в своей, секунды в своей.
В системе SI определено семь основных размерностей (физических величин), остальные являются производными и вроде как их достаточно для описания любых свойств физических объектов и явлений.
Зарегистрируйтесь на Хабре, чтобы оставить комментарий
Что скрывается за «плюс» и «умножить»? От школьной арифметики до геометрической алгебры