Рассмотрим структуру простых чисел, их симметрию и введем новые определения. Применяя симметрию рассмотрим способ поиска простых чисел, задачу бесконечности близнецов и гипотезу Гольдбаха.
1. Симметрия простых чисел
Как известно, простые числа делятся без остатка только на себя и 1. Визуально это можно представить решетом Эратосфена. Давайте посмотрим наглядно, но используем не одну линию, а таблицу, где каждый делитель будет на своем слое.
На основе рисунка и простых математических расчетах мы можем сделать вывод, что для решета Эратосфена имеют смысл не все числа, а только простые, так как все составные числа повторяют путь простых из которых состоят. Например 15 всегда будет идти по следам 3 и 5, а 21 по следам 3 и 7. Только простые числа создают свой уникальный рисунок и продолжаются дальше.
Можно увидеть, что все расчеты выстраиваются в горку. Давайте ее разрежем на слои и изучим их. Сперва посмотрим на первый слой чисел 1-2-3-4-5. Мы видим, что 2 удаляет все четные числа, следовательно простыми могут быть только нечетные на всем протяжении. Как мы увидим далее, подобное происходит и с другими простыми числами, просто рисунок не такой явный. Число 4 идет по стопам 2 и исчезает, далее для всех слоев будем рассматривать только простые числа. У нас остались 3 и 5. Давайте посмотрим их взаимодействие.
Мы видим симметричный палиндром с осью 15. Если мы продолжим числовой ряд ограничившись этим слоем, то увидим как этот палиндром бесконечно повторяется. Давайте преобразуем в логические операции.
0 - число может быть простым, 1 - не может быть простым. Произведем логическое умножение и инверсию, получим бинарный палиндром этого слоя. Как число 2 исключает все четные из состава простых чисел, так и этот бинарный палиндром создает свой рисунок исключений. Так например если число 20 исключается бинарным палиндромом слоя 2, то число 21 исключается бинарным палиндромом слоя 3 или 3 & 5.
Теперь давайте продолжим числовой ряд ограничившись начальным слоем 2 & 3 & 5. Мы получили 8 последовательностей с шагом 30 (2*3*5). При этом они симметричны друг другу по оси 15 (3*5).
Если бинарные 0 палиндрома абсолютно исключают появление простых чисел, то бинарные 1 всего лишь делают допустимым появление простых чисел на этой оси. Таким образом мы получаем 8 “осей творения” простых чисел, а первый слой можем считать “слоем творения” (creation layer) простых чисел. Их можно записать формулами:
1+30n, 7+30n, 11+30n, 13+30n, 17+30n, 19+30n, 23+30n, 29+30n
Следовательно простые числа это не одна последовательность, а пучок из 8 последовательностей. Такой подход к простым числам делает вычисления проще.
Рассмотрим простые числа в виде 8 пучков:
Теперь давайте посмотрим что происходит на других слоях, ведь подобные симметричные палиндромы будут появляться при умножении любых простых чисел.
Можно рассматривать слои из перемножения нескольких простых чисел. Давайте посмотрим слой 3 & 5 & 7 с осью 105 (3*5*7).
Мы видим симметрию “слоев творения” и хаос выше. На самом деле хаос это рождение симметрии верхних слоев. Если мы будем перемножать простые числа, например, 3*5*7*11*13*17*19*23*29*31*37, то получим число оси для этих слоев. В этом случае "область творения" будет состоять из 11 слоев. Места появления простых чисел будут зеркально отражаться справа от оси образуя пирамиду. И такие пирамиды будет повторяться бесконечно. Мы можем умножать любое количество чисел и увеличивать пирамиду бесконечно. При этом нижние слои пирамиды состоят из малых пирамид. Нижние слои словно «включают» простые числа в определенных местах, а верхние некоторые из них «выключают», но их положение не меняется. Таким образом умножая простые числа с нижней границы мы делим пространство на нижние “слои творения” и верхние “слои затмения” (eclipse layer).
Мы видим, что рассчитать нижние “слои творения” довольно просто, а вот верхние “слои затмения” намного сложнее.
Также мы можем сделать два вывода:
Нижний "слой творения" 2 & 3 & 5 равномерно, симметрично и бесконечно зажигает пары простых чисел. Пары простых чисел включаются равномерно, а выключаются только некоторые из них неравномерно.
В "слое творения" любого количества уровней слева и справа оси всегда образуются четыре простых числа. Выключить все из них “слою затмения” практически нереально. Таким образом мы знаем с большой долей вероятности где найти простые числа, какими бы большими они не были. Например, 3*5=15 (11,13,17,19), 3*5*7=105 (101,103,107,109) и так далее.
Давайте упростим сложность расчетов для слоя затмения. Для этого необходимо максимально уменьшить влияние верхних уровней. Эту область мы можем найти в левой половине первой пирамиды какой бы большой она не была. Также мы можем ограничить высоту, пирамида получится усеченной. Чтобы определить высоту необходимо найти такое простое число шаг которого выйдет за ось пирамиды. Например для пирамиды 3*5*7=105; 105/3=35, и это 37. Следовательно определяем потолок на 31 (предыдущее простое). Простые числа больше 31 на левую часть пирамиды больше не оказывают влияния, так как они перешагивают за ось пирамиды. А так как мы можем увеличивать пирамиду бесконечно, то бесконечно можем увеличивать эту "область спокойствия" (stable region) и выполнять в ней необходимые расчеты экстраполируя на все простые числа.
Применяя симметричную структуру мы можем облегчить поиск простых чисел. Возьмем "слой творения" 3*5*7=105. Получается размер пирамиды 210 и ось 105. Эта пирамида будет бесконечно повторяться с шагом 105+210n=315, 525, 735, 945, 1155 и т.д. Также 3*5*7*11=1155 это ось следующего уровня и размер большей пирамиды 2310. И она тоже повторяется бесконечно.
Зная левую половину пирамиды мы можем рассчитать для нее "точки творения" и продлить их в бесконечность. Все простые числа будут только в этих точках. Увеличивая пирамиду мы разреживаем эти точки и можем заглянуть все дальше и дальше с высокой вероятность�� определяя места нахождения больших простых чисел. Мы также можем использовать несколько пирамид разного уровня и смотреть наложения на дальних участках еще больше увеличивая вероятность нахождения больших простых чисел. Используя этот метод процесс поиска становиться вычислительно достаточно простым.
Давайте посмотрим наглядно. Для слоя творения 3*5*7 мы получаем “точки творения”: 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, 101, 103. Это левая часть пирамиды, теперь найдем правую симметрию по формуле 105+(105-k) = 107, 109, 113, 121, 127, 131, 137, 139, 143, 149, 151, 157, 163, 167, 169, 173, 179, 181, 187, 191, 193, 197, 199. Эта пирамида будет бесконечно повторяться и все “точки творения” для 3*5*7=210 можно найти по формуле p+210n. Разумеется не все эти числа будут простыми, но все простые числа будут только среди этих чисел, и никогда за пределами этой последовательности.
Возьмем любое число из точек творения и рассчитаем ее смещение с шагом 1000: 157+210n = 210157, 420157, 630157, 840157, 1050157, 1260157, 1470157, 1680157, 1890157, 2100157. Из них простыми являются: 210157, 1260157. Зная плотность распределения простых чисел мы всегда можем подобрать такое количество чисел в последовательности с одинаковым шагом, что там обязательно будет присутствовать простое число. Каким бы большим оно не было.
Если возьмем шаг 10000, то получим: 2100157, 4200157, 6300157, 8400157, 10500157, 12600157, 14700157, 16800157, 18900157, 21000157. Из которых простые: 6300157, 8400157, 10500157, 21000157. С шагом 100000, простыми будут: 21000157 и 147000157.
Теперь увеличим пирамиду до 3*5*7*11=1155 и формула для этой пирамиды стала p+1155n. Чем больше пирамида, тем более точный результат она дает для поиска больших простых чисел.
Так работает “ось твор��ния” простых чисел. Все простые числа возникают только в этих местах и теперь мы знаем как их находить.
2. Бесконечность близнецов
Общая гипотеза о близнецах предполагает, что существует бесконечное количество чисел близнецов с различным промежутком. Как мы видим простые числа постоянно рождаются в слое творения. Таким образом доказательство этой гипотезы с учетом симметрии сводится к тому что слой творения всегда создает близнецов с разными промежутками и что они всегда находят себе место в видимой стабильной области.
Для этого убедимся что все возможные близнецы возникают на первом "слое творения" 3&5. И соответственно “слой затмения” не сможет закрыть всех близнецов, так как их количество будет расти очень быстро. И огромная часть таких пар будет оставаться в “видимой области”. Рассмотрим основной бинарный палиндром:
Для n+2: 11+13, 17+19, 29+1
Для n+4: 7+11, 13+17, 19+23
Для n+6: 1+7, 7+13, 11+17, 13+19, 17+23
Для n+8: 11+19, 23+1, 29+7
Для n+10: 1+11, 7+17, 13+23, 19+29
Для n+12: 1+13, 7+19, 11+23, 17+29, 19+1
Для n+14: 17+1, 23+7
Остальные близнецы будут являться сочетаниями этих 7 вариантов. Как видим в слое творения количество возникающих близнецов очень большое. Теперь мы видим, что задача о бесконечности близнецов из сферы сложных структур переходит в сферу сравнения количества и вполне может быть измерена и решена.
Для того чтобы "выключить" все возникающие пары близнецов необходимо чтобы “слой ��атмения” попадал не менее двух раз в точки близнецов каждого блока по 30 чисел "слоя творения", так как близнецы пытаются возникнуть в каждом блоке. А это невозможно, в чем можно будет убедиться далее.
3. Гипотеза Гольдбаха
Бинарная гипотеза Гольдбаха утверждает, то для каждого четного числа есть пара простых чисел, сумма которых дает это четное число.
Для решения этой задачи представим ряд чисел как линейку. Возьмем две линейки и направим их навстречу друг другу. Начав с 0 и раздвигая их мы получим все суммы четных чисел. Если на линейках мы отметим простые числа, то увидим как они симметрично находят себе пару.
Теперь усложним линейки. Мы уже рассмотрели ранее что простые числа можно разделить на “слой творения” и “слой затмения”. А в “слое творения” создается пучок из 8 последовательностей с шагом 30 которые создают места для возникновения простых чисел переплетаясь со "слоем затмения". Давайте оставим на линейках только “слой творения” и посмотрим переплетение пучков этих линеек. Так мы получим места в которых могут возникнуть искомые простые числа. Это блоки по 30 чисел и они идут друг за другом бесконечно.
Хоть так и не принято, но мы можем продлить линейки и в отрицательную область. Тогда мы можем найти не только сумму, но и разность простых чисел для получения четного числа. И бесконечно двигаться в область отрицательных простых чисел.
Мы видим места в которых могут возникнуть суммы простых чисел в виде бесконечного повторения блоков по 30 в сторону положительных и отрицательных чисел. Так как протопростые повторяются с шагом 30, а в “слое затмения” выключатели это только простые числа с нечетным шагом, то ни один уровень затмения не сможет закрыть все протопростые. И на линейках с бесконечной отрицательной частью будут бесконечно появляться пары простых, вычитание которых дает искомое четное.
Теперь надо найти объяснение почему простые числа всегда находятся в положительной части линеек. Чтобы убедиться в закономерности нам надо всего лишь сравнить это соотношение количественных значений:
сумма творений > сумма затмений - сумма переплетений затмений
Сперва определим сумму творений. Для этого возьмем один базовый блок творения из 30 чисел и пропустим через него встречную линейку из блоков творения. Посчитаем количество совмещений.
Подобные совмещения (желтым), будут повторятся бесконечно. Всего у нас 15 комбинаций из которых можно составить любое четное число. Например 12+30*1=42, 12+30*2=72 и совмещения для 12-й последовательности будут повторяться каждые 30 шагов. И так для всех 15 комбинаций.
Минимальное количество совмещений 3, от него будем опираться. Это значит, что минимальная сумма творений равна 3 на блок из 30. А так как совмещения повторяются каждые 30 шагов, то сумма творения равна 3/30 или 1/10. Может быть больше: 4/30 или 6/30, но это не так важно и можно игнорировать.
Следовательно мы теперь можем рассчитать минимальную сумму творения для каждого четного числа. Это каждое десятое. И надо четное число делить на 10. Например для 42 будет минимум 4 возможных совмещений, а для 72 б��дет 7. И так далее. Получается, сумма творений это n/10, где n - это четное число.
Как мы уже знаем из симметрии, не всякое «творение» сохраняется в «стабильной части» и многие из них выключаются «затмением». Теперь нам надо определить сумму «затмений». В «затмении» участвуют только простые числа, так как непростые нечетные всегда пересекаются с неким меньшим числом и не добавляет «затмения». Следовательно сумма затмений для наших творений будет: n/10 * ∑(1/p). Где p - это простое число от 7 до n.
Теперь надо определить сумму переплетений затмений. Это когда несколько простых чисел затмения попадают на одну точку совмещения. Для двойных переплетений это можно записать как: n/10 * ∑(1/pq). Где p и q - это простые числа. p<q. p от 7 до n.
Формула сравнения:
n/10 > n/10 ( ∑(1/p) - ∑(1/pq) )
Где ( ∑(1/p) - ∑(1/pq) ) < 1, это следует из классических результатов теории чисел, восходящих к Эйлеру и развитых Мертенсом. Следовательно условие будет всегда выполняться для любого нечетного n. И для любого n будут возникать точки совмещения в положительной части, которые не сможет полностью выключить слой затмения.
Эта же формула также показывает бесконечность всех пар близнецов. Только там будет не 3 точки совмещения, а 2 точки творения близнеца в каждом блоке творения. Следовательно будет не n/10, а n/15, но это не меняет соотношения и левая часть творения всегда будет больше правой части затмения.
Разберем формулу подробнее. Левая часть это количество пар созданных слоем творения, а правая часть это количество определяющее сколько из созданных пар выключится слоем затмения. Где ∑(1/p) означает вероятность выключения каждого числа до n. ∑(1/pq) — исключает влияние пар, когда два простых пытаются выключить одну и ту же пару. Умножая полученное значение на n/10 мы определяем сколько пар выключится.
Но такой вариант формулы хорош для понимания принципа работы формулы. Она работает потому что пары возникающие в слое творения являются арифметическими прогрессиями с шагом 30. Но переплетений может быть больше чем из двух простых. Например переплетение из трех будет посчитано как две пары и формула уходит в минус при больших n. Для того чтобы сделать формулу точной необходимо учесть все переплетения методом перестановок.
Итоговая формула:
Где влияние затмения всегда будет от 0 до 1.
Эта формула близка к нижней границе количества пар, но не всегда. Например для 4022 расчетное минимальное количество пар 55, а в реальности их всего 43. Такое происходит потому что пары возникают не на одной последовательности p+30n, а при их переплетении. Возьмем число из той же группы 2 - 302. У него те же точки пересечения: 1, 13, 19. Поток 1+30n генерирует пары сам: 1+301, 31+271, 61+241. То другие пары генерируются переплетением потоков 13 и 19. 13+319, 19+313.
Также последовательность простых должна быть до n, а не n/2, как может показаться. Так как слой рождения разделен на блоки по 30. И затмение в каждом блоке смещено. Диапазон до n/2 создает пустоты, а диапазон до n, все пустоты закрывает.
Следовательно чтобы пара возникла она должна проходить через слой затмения дважды. Например через затмение 13 и 19 в данном случае. Но так как обе последовательности с шагом 30, то они связаны и удваивается плотность затмения, а не пройденный путь. Удвоение пути произошло бы если шаг последовательностей был разным.
Теперь вернемся к линейкам и посмотрим в каких группах возникают пересечения потоков при генерации пар.
Переплетения есть в каждой группе. Несколько переплетений не уменьшают вероятность прохождения через затмение, так как все творения и затмения фактически находятся в одном ряду чисел.
Найденная формула вычисляет минимальное количество пар которое не может быть выключено. Это нижняя граница которая не может быть нарушена. Пары Гольдбаха возникают не случайно, а в результате структурированного переплетения арифметических прогрессий.
Также с помощью таблицы смещения линеек мы можем определить корреляцию последовательности количества пар:
Таблица количества пар из https://oeis.org/A002375/b002375.txt
Первый столбец — 2n
Второй столбец — количество пар
Третий столбец — количество точек творения пар из таблицы смещения линеек
На основе предыдущих размышлений составим программу на языке Python:
def sieve_of_eratosthenes(limit):
is_prime = [True] * (limit + 1)
is_prime[0] = is_prime[1] = False
for i in range(2, int(limit**0.5) + 1):
if is_prime[i]:
for j in range(i*i, limit + 1, i):
is_prime[j] = False
return [p for p in range(2, limit + 1) if is_prime[p]]
#--------------------
def compute(num):
upper = round(num**0.5) # корень - приближенное среднее значение
# ~ upper = round(num**0.66016) # из гипотезы Харди–Литтлвуда (достаточное?)
# ~ upper = round(num) # полное покрытие вариантов
primes_in_range = [p for p in primes if 7 <= p <= upper]
primes_in_range = [p for p in primes if 7 <= p <= upper]
# unic
product = 1.0
for p in primes_in_range:
product *= (1.0 - 2.0 / p )
result = 1 - product
create = num / 30
maxout = create * result
pair = create - maxout
# correction
type1 = [2,4,8,14,16,22,26,28] # 1double,one
type2 = [6,12,18,24] # 3double
type3 = [10,20] # 2double
type4 = [0,30] # 4double
group = num - (num // 30) * 30
if group in type1:
pairs = pair * 1.5
if group in type2:
pairs = pair * 3
if group in type3:
pairs = pair * 2
if group in type4:
pairs = pair * 4
pairs = int(pairs)
print(f"{num} {pairs}")
#********************
primes = sieve_of_eratosthenes(40000)
for n in range(1,20001):
num = n*2
compute(num)
Теперь рассмотрим как это работает. Главное, на что необходимо обратить внимание, это то, что формула применяется не ко всему числовому ряду, а потокам творения p+30n.
Тут представлены потоки 1, 13, 19 для блока 2. Они растут вниз с шагом 30. А затмение выбивает с шагом простого числа. Например 7 выбивает каждое 7-ое, 11 выбивает каждое 11-е и так далее. Поэтому мы можем применить формулу к слоям творения. И в результате выбивания остаются лишь простые числа, которые затем группируются в пары. Для блока 2 пары образуются внутри потока 1 и между потоками 13 и 19. Например: 902=1+901=13+889=19+883.
Но в отличии от простого числового ряда последовательности простых тут перемешаны и мы не знаем точно какие окажутся задействованы в потоке. Поэтому для полного исключения пропусков, участвующих простых используем p до n. А для приближенного к реальному минимальному количеству пар можно использовать корень n, но из-за нестабильной структуры здесь будет погрешность в обе стороны.
Теперь давайте рассмотрим крайний случай. Сложнее расчитать возникновение пар на пересечении потоков творения, например 13 и 19. Поэтому возьмем такую пару за основу.
Мы знаем что каждый такой поток состоит из протопростых чисел и на каждый поток накладывается свое затмение которое выключает составные числа.
Давайте мысленно увеличим количество затмений до трех на каждый поток. Это самый крайний критический случай. При этом последовательности затмения для 7 будут распологаться со смещением 1. Так чтобы осталась только одна возможная пара.
И на оставшиеся возможные пары наложим 6 слоев затмения выше 7.
D — стремится к 0, но никогда его не достигнет. А значит хотя бы одна пара всегда остается.
Это крайний случай. В реальности затмение всегда одно менее плотное и не может закрыть каждое седьмое число.
Заключение
В данной работе предложена новая, структурно-геометрическая модель простых чисел, основанная на разделении их природы на "слой творения" и "слой затмения".
Показано, что все простые числа рождаются в 8 арифметических прогрессиях с шагом 30 — это потоки творения, или решётки протопростых. Все возможные пары Гольдбаха формируются при переплетении этих решёток.
Анализ показывает, что "затмение" — действие составных чисел, управляемое простыми p≥7 , — не может полностью уничтожить все пары. Даже в крайнем случае, когда система подвергается максимальному давлению (например, рассмотрение 6 фильтров от каждого простого), остаются незакрытые позиции благодаря несоизмеримости шагов решёток.
Этот эффект можно интерпретировать как проявление аналога теоремы Бэра:
счётное объединение нигде не плотных множеств («затмений») не может покрыть всю структуру, порождённую регулярными решётками «творения».
Следовательно, всегда существует хотя бы одна пара простых, дающая заданное чётное число — не по случайности, а из-за структурной необходимости.
Таким образом, задача Гольдбаха сводится не к сложным аналитическим оценкам, а к наглядной комбинаторной картине взаимодействия решёток.
Мы пришли к максимальному упрощению и наглядному представлению проблемы:
гипотеза Гольдбаха оказывается следствием симметрии, периодичности и топологической устойчивости системы простых чисел.
