ГОСТ Р 50779.29-2017 (ИСО 16269-6:2014) и статистические толерантные интервалы с практическим примером и кодом / Хабр

Кригинговая интерполяция температурного поля и поля показателя летальности F-фактора.

Эта публикация — продолжение базовой статьи «Кригинг F‑фактора или кормить, любить и никогда не покидать — достаточно, но не чрезмерно», размещенной ранее на Хабре. В ней мы попробуем решить стандартную для технолога‑разработчика задачу «подбор времени выдержки продукта при температуре стерилизации» с опорой на ГОСТ. Статья адресована двум категориям читателей:

Отраслевым технологам — специалистам по автоклавированию: для них приведена простая пошаговая процедура решения прикладной задачи с использованием таблиц ГОСТа.
Тем специалистам в области контроля и диагностики, которым приходится работать с толерантными интервалами. Для них с помощью кода мы получим непараметрическую оценку границы толерантного интервала (то есть воспроизведём то, что «зашито» в таблицах ГОСТа для непараметрической постановки). Дополнительно бутстрэп‑моделированием проведём анализ устойчивости этой оценки и рассчитаем достигнутые значения уровней покрытия и доверия (ссылка на блокнот с кодом в конце статьи).

План действий:

Кратко о толерантных интервалах и ГОСТ Р 50779.29-2017 (ИСО 16269-6:2014).
Детализация задачи "Подбор времени выдержки продукта при температуре стерилизации" и ее табличное решение для технологов.
Нетабличные решения для оценивания границ непараметрических толерантных интервалов, анализ устойчивости оценок.

Кратко о толерантных интервалах и ГОСТ Р 50779.29-2017 (ИСО 16269-6:2014)

Из всех типов интервалов, которыми оперирует статистика, наиболее известны доверительные интервалы. С их помощью оценивают неизвестные параметры распределений.

Область применения: оценка средних эффектов, долей дефектов, коэффициентов регрессии, разностей средних и т. п. в исследованиях и аналитике, где главная цель — выводы о параметрах популяции.

Толерантные интервалы (употребляемый синоним — «интервалы охвата/coverage intervals») характеризуют не параметры, а само распределение и определяются по выборке так, что с заданным уровнем доверия интервал накрывает долю совокупности не менее заданной.

Области применения: инженерные и регуляторные задачи, где нужно гарантировать долю изделий/наблюдений внутри границ с заданным доверием (размеры деталей, время нагрева, выход годных).

Резюме: доверительный интервал — про «уверенность в параметре», толерантный — про «уверенность в покрытии доли данных». В прикладных задачах качества и управления процессами формулирование требований с использованием концепции толерантных интервалов зачастую бывает более органичным.

Как узнать, подходит ли толерантный интервал к задаче? Посмотреть на формулировку требований. Она должна состоять из двух ключевых частей: доли покрытия и уровня доверия. Доля покрытия показывает, какая часть генеральной совокупности накрывается границами интервала, а уровень доверия задаёт вероятность этого.
Зачастую достаточно только доли покрытия, а уровень доверия может быть дополнительным требованием.

В ряде стран применение толерантных интервалов нормализовано в области безопасности ядерной энергетики и деятельности регуляторных агентств. Их используют при производстве медицинских изделий, в фармацевтике и лабораторной деятельности, в процедурах контроля качества.

ГОСТ Р 50779.29-2017 (ИСО 16269-6:2014) это модифицированный перевод на русский язык международного стандарта ISO 16269-6:2014(E).

По ГОСТу:
Статистический толерантный интервал - интервал, определяемый по выборке, относительно которого можно утверждать с уровнем доверия $1-\alpha$ , например 0.95, что он содержит не менее указанной доли совокупности. Границы статистического толерантного интервала называют статистическими толерантными границами. Уровень доверия $1-\alpha$ - это вероятность того, что построенный установленным способом толерантный интервал содержит не менее заданной доли совокупности .

Границы статистических толерантных интервалов являются функциями наблюдений, т.е. статистиками, и принимают различные значения для различных выборок. Для правомерности применения методов, приведенных в стандарте, необходимо, чтобы наблюдения в выборке были независимыми.

Стандарт устанавливает процедуры определения двусторонних и односторонних границ интервалов.

Стандарт оперирует параметрическими методами, но только для нормального распределения. И непараметрическими - для непрерывных распределений неизвестного вида с требованием независимости наблюдений.

Методика ГОСТа позволяет, задав четыре значения:

два внешних требования (уровень доверия $\gamma=1-\alpha$ и уровень покрытия ) и
два значения, относящихся к анализируемой выборке (порядковые статистики $t_{(v)}$ и $t_{(n-w+1)}$ , соответствующие наименьшему и наибольшему наблюдениям),
определить минимальный размер выборки , позволяющий гарантировать требуемый уровень покрытия с требуемым уровнем доверия и тем самым оценить границы толерантного интервала.

Для непараметрических толерантных интервалов уровень доверия и покрытия задаются на сетке:

[0.9, 0.95, 0.99, 0.999] для уровня доверия - $1-\alpha$
[0.9, 0.95, 0.99] для уровня покрытия -

Границы интервала оценивают в узлах сетки по таблицам из Приложения Е (обязательное). Таблицы Е.1 и Е.2. Страницы 38, 39.

Специализированные инструменты для работы с толерантными интервалами, примеры:

ГОСТ Р 50779.29-2017 (ИСО 16269-6:2014) и международный стандарт ИСО 16269-6:2014.
Специализированные статистические пакеты, например Minitab. Как правило, являются проприетарными.
Пакет tolerance для языка R (CRAN).
Небольшая Python‑библиотека toleranceinterval.

На момент публикации на Хабре по запросу „толерантные интервалы“ находится лишь одна статья. Совсем немного предметных материалов по этой теме найдётся и в рунете. И это при том, что существует ГОСТ, причём уже во второй редакции.

Детализация задачи "Подбор времени выдержки продукта при температуре стерилизации" и ее табличное решение

В базовой статье говорилось, что процесс автоклавирования может управляться:

по классической формуле стерилизации через задание времен нагрева, выдержки при температуре стерилизации и охлаждения и
по целевому значению показателя летальности F‑фактору (профессиональный сленг - таргет).

Во втором случае в продукт помещается датчик и на каждом временном шаге по формуле Флауменбаума рассчитывается показатель летальности. Когда его величина достигает таргета этап выдержки при температуре стерилизации завершают и переходят к этапу охлаждения.

Второй подход точнее, но более трудоемок. На практике для каждого вида продукта с использованием нескольких датчиков нарабатывают статистику и по ней подбирают время выдержки.

Рисунок 1. Время выдержки при температуре стерилизации до достижения целевого значения показателя летальности.

Время выдержки - это интервал между проекциями синей и красной стрелок на ось времени. Первая точка - автоклав разогрелся до температуры стерилизации, вторая - расчетное значение фактора летальности для "самого горячего" датчика достигло таргета (на графике это 20 единиц). Через некоторое время мы получим результаты по всем датчикам от "самого горячего" (наименьшее время выдержки) до "самого холодного" (наибольшее время выдержки). Обычная дискретность измерения параметров в современных автоклавах на производствах пищевой продукции — 30 секунд.

Различия времен выдержки для разных датчиков связаны с неравномерностью теплового поля и, как следствие, поля F-фактора (их изображения на заглавной картинке). Основные причины различий описаны в базовой статье.

Пример плана эксперимента (создается технологом):

целевое значение показателя летальности - 20 единиц
суммарное количество варок с датчиками - 80
количество датчиков - 5
схема размещения датчиков в автоклаве - должна быть единой для экспериментальных варок и учитывать размещение датчиков в самых "холодных точках" (для современных горизонтальных автоклавов в режимах с душированием это могут быть середины корзин)
количество автоклавов на которых будет обрабатываться однотипный продукт - 4.

Проведению эксперимента предшествуют подготовительные работы:

валидация участвующих автоклавов
валидация датчиков
планирование графика экспериментальных варок с учетом гарантированной доступности электрических и тепловых мощностей в интервалах выдержки.

Цель подготовительных работ - минимизировать систематическую ошибку - влияние неслучайных факторов на экспериментальные варки.

Реализовав план технолог сохраняет результаты измерений - 400 значений интервала времени (80 * 5) и агрегирует их, выбирая по каждой варке показания "самого холодного" датчика, что соответствует самому продолжительному времени выдержки. Это наиболее консервативный подход, обычно применяемый в предметной области, где цена ошибки недовара выше цены перевара. В итоге получается 80 значений интервалов выдержки.

Для статьи генерируются синтетические данные с учетом дискретности измерений (ссылка на блокнот Colab с кодом генерации в конце статьи). Код записывает созданные данные в Excel файл synthetic_heating_30s.xlsx и сохраняет его в сессионном хранилище (откуда его можно выгрузить на локальную машину). Лист Sensors содержит сырые данные. Лист Aggregates - агрегированные. В листе Y_sorted агрегированные данные отсортированы по возрастанию времени выдержки и пронумерованы от 1 до 80 (суммарное количество варок с датчиками).

Рисунок 2. Гистограммы времени выдержки при температуре стерилизации.

Вывод по резу��ьтатам визуализации:

Особенности выборочных распределений (асимметричность, мультимодальность, ограниченность, квантизация) не позволяют обоснованно сопоставить им какую либо теоретическую модель. Поэтому для дальнейшего анализа целесообразно использовать непараметрические методы, то есть методы, не предполагающие заранее заданного вида распределения.

Процедура табличного решения для технологов

Определяемся с прикладной задачей: необходимо найти такое значение времени выдержки при температуре стерилизации, чтобы с одной стороны обеспечить достижение заданного таргета по фактору летальности, а с другой — не перегревать продукт чрезмерно, поскольку это приводит к деструкции витаминов, повышению кислотного числа и содержания амино-аммиачного азота. Таргет по F‑фактору 20 единиц выбран с двукратным технологическим запасом, поэтому целесообразно уточнить правую границу (самые длительные выдержки) с точки зрения ее обоснованности.

Выборочное распределение агрегированных времён (Aggregates) показывает, что большая часть «гарантирующих» интервалов лежит в области примерно до 38:30 минут, а наблюдения в районе 39:00-39:30 выглядят как относительно редкие выбросы.

С учётом того, что целевое значение F‑фактора задано с запасом, можно использовать нормализованный подход: по процедурам ГОСТ определить односторонний толерантный интервал и по его верхней границе выбрать предельную длительность выдержки, сохраняя приемлемый риск недостижения таргета в контролируемом числе варок при заданном уровне доверия.

Замечание. На практике, оценить достаточность запаса по таргету для отсекаемых по границе редких варок можно по автоклавным лог-журналам эксперимента. В них содержатся фактические значения F-фактора по всем датчикам, в том числе и на момент отсечения.

Первый шаг

С учётом описанной ранее схемы эксперимента результаты измерений заносятся в лист Sensors. Затем для каждой варки выполняется агрегация по «самой холодной» точке, и эти значения записываются в лист Aggregates.

Далее агрегированные значения сортируются по возрастанию, и каждому присваивается ранг от 1 до 80. Создается лист Y_sorted с тремя колонками: Y_sorted_sec (время в секундах), Y_sorted_mmss (формат ММ:СС) и rank (порядковый номер).

Таким образом, Y_sorted — это вариационный ряд $\{t_{(1)},\dots,t_{(n)}\}$ с, где $t_{(j)}$ —-я по величине наблюдаемая выдержка для «самого холодного» датчика варки.

Способ организации эксперимента (одна рецептура продукта, одинаковые модели автоклавов, единый режим стерилизации, фи��сированная схема размещения датчиков, предварительная валидация оборудования и датчиков, стабильность технологического процесса и отсутствие существенных изменений условий между варками) позволяет считать все 80 агрегированных наблюдений независимыми и одинаково распределёнными.

Что позволяет интерпретировать упорядоченные значения (вариационный ряд) как реализацию порядковых статистик из одного непрерывного распределения неизвестного вида, для которого с учетом сформулированной прикладной задачи применим верхний односторонний непараметрический метод оценивания границы толерантного интервала по ГОСТ Р 50779.29‑2017 (ИСО 16269‑6:2014).

Второй шаг

Задаём входные требования к толерантному интервалу:

Уровень доверия $1-\alpha$ из перечня — вероятность того, что построенный интервал будет накрывать не менее доли генеральной совокупности времён выдержки.
Уровень покрытия из перечня — минимальная доля всех потенциальных варок (при неизменной схеме процесса), выдержки которых должны попадать в интервал.

Чем выше значения и $1-\alpha$ , тем более консервативным становится толерантный интервал: требуется больший объём выборки и границы сдвигаются дальше от центра выборочного распределения (для двусторонней постановки, при верхней односторонней - вправо, при нижней - влево), приближаясь к более экстремальным наблюдениям.

Для примера возьмём пару $(p,1-\alpha)=(0.9, 0.9)$ : требуется интервал, который будет накрывать не менее 90 % всех потенциальных варок, с вероятностью не ниже 0.9. Это наименее строгие требования по сетке стандарта.

Третий шаг

Для непараметрических толерантных интервалов используются таблицы, связывающие объём выборки, заданные и $1-\alpha$ с параметрами и, определяющими номера порядковых статистик, задающих границы интервала.

Открываем ГОСТ Р 50779.29-2017 и находим Приложение Е (обязательное), таблицы Е.1 и Е.2.
В таблице Е.1 выбираем столбец, соответствующий выбранным уровням $(p,1-\alpha)=(0.9, 0.9)$ .
В этом столбце находим наибольшее табличное значение объёма выборки, не превосходящее фактическое; в нашем примере это значение, ближайшее снизу к 80 (зеленая рамка на рисунке 3).
В строке, соответствующей этому значению, считываем табличную величину (в ГОСТ она задаётся одной колонкой) — в примере это.

Для верхнего одностороннего интервала по стандарту параметр (число «отброшенных» наблюдений слева) принимается равным нулю:. Это отражает тот факт, что нижняя граница интервала не фиксируется и весь контроль ведется по правой, а табличная величина целиком относится к правому хвосту:.

Граница верхнего одностороннего интервала задаётся через порядковую статистику $t_{(n-w+1)}$ , поэтому граничный ранг равен:

Для нашего примера:

Обращаемся к листу Y_sorted и по рангу берём значение Y_sorted_mmss, в примере оно соответствует выдержке в 38:00 минут.

Это значение является оценкой верхней односторонней статистической толерантной границы при $(p,1-\alpha)=(0.9 ,0.9)$ в непараметрической постановке (распределение непрерывно, вид неизвестен).

По аналогии таблицы Е.1 и Е.2 позволяют получить границы и для других комбинаций и $1-\alpha$ (желтые рамки на рисунке 3), что даёт возможность сравнить несколько альтернативных границ для времени выдержки в зависимости от степени консервативности требований.

Вариант интерпретации результата (для технолога)

Получ��нный в соответствии с методикой ГОСТ Р 50779.29-2017 интервал $[t_{min}, t_{(76)}]$ с верхней границей $t_{(76)}=38{:}00$ мин — это односторонний непараметрический толерантный интервал для распределения времён выдержки по «самым холодным» датчикам варок. По определению толерантного интервала это означает, что при фиксированной в эксперименте схеме технологического процесса и с уровнем доверия не ниже можно утверждать: $90\%$ варок будут иметь время достижения таргета по F‑фактору в наиболее холодной точке не более минут.

При этом единичные варки с временем достижения таргета в диапазоне 38:30-39:30 (всего 4 значения - по рисунку 4) трактуются как редкие реализации времени выдержки. С учётом того, что целевой F‑фактор задан с двукратным запасом, такой уровень «остаточного» риска можно считать приемлемым (по данным автоклавных лог-журналов эксперимента фактическое значение F-фактора по этим четырем измерениям на момент выдержки минут составляло не менее 16 единиц, что соответствует критерию промышленной стерильности для выпускаемой продукции).

Уменьшение продолжительности технологической операции автоклавирования на полторы минуты имеет доказуемое позитивное влияние на качество продукта и финансово - экономические показатели производства.

Обращение к читателю: насколько понятным и насколько полезным показался табличный подраздел?

Нетабличные решения для оценивания границ непараметрических толерантных интервалов

Кратко о методе Уилкса

В ГОСТ Р 50779.29-2017 (ИСО 16269-6:2014) имя Сэмюэла Уилкса прямо не упоминается, но приложение G и таблицы E.1–E.2 основаны на подходе, предложенном им в статье Determination of Sample Sizes for Setting Tolerance Limits. Выражение G.1 из приложения G — частный случай его подхода для центрального интервала с поиском точек в хвостах распределений.

Метод Уилкса предлагает строить непараметрические толерантные интервалы на основе биномиальной модели для числа наблюдений, попадающих внутрь или наружу интервала, без каких‑либо предположений о виде распределения. Идея в том, чтобы подобрать размер выборки и ранги порядковых статистик так, чтобы вероятность накрытия не менее чем доли совокупности была не ниже $\gamma$ . Условие записывается через биномиальное неравенство для числа точек в хвостах.

Такой подход хорошо подходит для задач, где важно гарантировать долю «хороших/плохих» объектов.

Классического Уилкса можно найти здесь, на странице 342. А по этой ссылке доступен пример современной модификации метода, основанной на интерполяции порядковых статистик, с целью повышения точности оценивания границ толерантных интервалов.

Далее мы перейдем к практическому построению непараметрических толерантных интервалов. В качестве инструмента используется библиотека scipy.stats.

1. Воспроизведение в коде решений примеров из подраздела 5.7 ГОСТ

Подраздел содержит четыре примера задач и их решений.

Рисунок 5. Примеры задач с решениями из подраздела 5.7 ГОСТ Р 50779.29-2017.

Для воспроизведения примеров используется функция min_n_np_ti(p, gamma, v, w), которая решает обратную задачу относительно выражения G.1: находит минимальный и фактические уровни доверия $1-\alpha_{\text{ach}}$ при заданных $p,\gamma,v,w$ .

Результаты совпадают с решениями примеров ГОСТ (рисунок 6).

Вход:
- p — требуемая доля покрытия
- gamma — требуемый уровень доверия
- v — число наблюдений, отбрасываемых слева
- w — число наблюдений, отбрасываемых справа.
Внутренние обозначения:
- — доля совокупности вне интервала
- — суммарное число допустимых точек в двух хвостах
- $Y\sim\text{Bin}(n,q)$ — число выборочных точек, выходящих за интервал.
Алгоритм:
- подбирается минимальное, при котором выполняется неравенство:

$\Pr\{Y \le r-1\} = F_{\text{Bin}}(r-1;n,q) \le \alpha = 1-\gamma,$

что соответствует:

$\Pr\{Y \ge r\}\ge\gamma.$

Реализация:
- аналитическое решение для случая
- для оставшихся реализован экспоненциальный поиск по , сначала верхняя граница, затем двоичный поиск минимального , удовлетворяющего неравенству.
Функция возвращает минимальный объём выборки, такой, чтобы центральный интервал между $X_{(v+1)}$ и $X_{(n-w)}$ обеспечивал накрытие доли не менее с уровнем доверия не ниже $\gamma$ при произвольном непрерывном распределении.

Рисунок 6. Собственные решения для примеров из подраздела 5.7.

2. Гистограмма с границами Exact и GOST

Здесь воспроизводится табличное решение для поиска верхней односторонней границы на данных выдержки при температуре стерилизации. Для большей наглядности используются два подхода:

Exact - точное вычисление ранга верхней односторонней границы толерантного интервала по биномиальному распределению точек внутри интервала.
GOST - реализация алгоритма, обратного выражению G.1 ГОСТ через суммарное число точек, отсекаемых снаружи интервала - в хвостах биномиального распределения.

По итогам строится гистограмма Y_sorted с шагом 30 секунд и оценкой плотности KDE, на которую наносятся две вертикали, соответствующие верхним односторонним границам, посчитанным для каждого из подходов: $t^*_{\text{Exact}} = Y_{(k_{\text{Exact}})}$ и $t^*_{\text{GOST}} = Y_{(k_{\text{GOST}})}$ .

В коде граница Exact вычисляется напрямую с применением функции binom.ppf(gamma, n, p).
Граница GOST вычисляется через адаптацию min_n_np_ti(p, gamma, v, w).

Рисунок 7. Два подхода к оцениванию верхней односторонней границы толерантных интервалов.

Оба подхода для $(p,\gamma)=(0.9, 0.9)$ и дают одинаковый результат, совпадающий с табличным:

ранг и
время $t^*=38{:}00$ .

Это означает, что выбранное значение выдержки одновременно удовлетворяет обоим критериям, а код верно реализует методику ГОСТ (по крайней мере, на этих данных). Дополнительно рассчитываются достигнутые уровни $(p,\gamma)$ для каждого из подходов.

3. Диаграмма «внутри — снаружи»

Рисунок 8.1. Поиск решения для границы двумя способами на ступенчатых CDF.

Диаграмма демонстрирует две ступенчатые CDF:

$F_p(t)=\Pr\{T\le t\}$ для $T\sim\text{Bin}(n,p)$ (распределение точек «внутри» интервала) и
$F_q(t)=\Pr\{Y\le t\}$ для $Y\sim\text{Bin}(n,q)$ , (распределение точек «снаружи» относительно интервала).

На графике вертикальной линией отмечается соответствующий первому условию биномиальный квантиль: $m_{\text{ex}}$ (и связанный с ним ранг $k_{\text{Exact}}$ ).
А также, соответствующее второму условию количество точек снаружи: (и связанный с ним ранг $k_{\text{GOST}}$ ).
При этом горизонтали на уровнях $\gamma$ и $\alpha=1-\gamma$ показывают, какие именно биномиальные неравенства реализуют оба подхода.

Exact решает задачу «хотим, чтобы не более точек было внутри интервала», а
GOST — «хотим, чтобы не менее точек оказалось в хвостах».
Оба условия представляют собой разные формы классического критерия Уилкса.

В медицинской статистике, проектах анализа надежности при решении биномиальных задач часто используется функция выживаемости (survival function). На рисунке 8.2 приведена диаграмма, демонстрирующая двоичный поиск односторонней границы толерантного интервала на кривой хвостовой вероятности функции выживаемости.

Рисунок 8.2. Двоичный поиск верхней односторонней границы на кривой хвостовой вероятности.

Подписи у точек означают:

номер шага
анализируемый на текущем шаге ранг
значение хвостовой вероятности в этой точке
текущий диапазон анализа (в рангах границ).
С помощью функции binom.sf() и двоичного поиска решение находится за шесть шагов.

4. Лестница рангов

Диаграмма демонстрирует то, как выбранные ранги границ выглядят непосредственно на вариационном ряду Y_sorted.

На ней видно «насколько глубоко в хвост» уходит граница, какие и сколько единичных экстремальных наблюдений остается правее , каково соотношение между объёмом выборки и количеством отсеченных хвостовых точек. При правая часть вариационного ряда (до) содержит всего четыре наблюдения, что согласуется:

с таблицей ГОСТ: $w_{\text{one}} = v+w = 5$ , при и
с наименее строгими требованиями: $(p,\gamma)=(0.9, 0.9)$ .

5. Анализ устойчивости границ толерантного интервала

Получив оценку верхней односторонней границы, желательно проверить ее на устойчивость к вариациям (возмущениям) данных, на основе которых и была получена оценка. В нашем случае это данные из листа Y_sorted.

Подобную проверку резонно трактовать как дополнительный слой риск‑контроля «на уровне данных», поверх номинального соответствия формальным критериям ГОСТ.

Существует, по крайней мере, два подхода для получения "возмущенных данных":

Первый подход — это параметрическое моделирование или параметрический бутстрэп (parametric model-based bootstrap):

исходные данные Y_sorted используются для выбора и параметризации теоретической модели распределения
затем проводится генерация большого числа псевдовыборок из этой теоретической модели
далее для каждой псевдовыборки в соответствии с формулой G.1 ГОСТ рассчитывается искомая статистика - граница толерантного интервала.
Таким образом строится модельно‑имитационное (не по исходным данным, а по подобранной и параметризованной на них модели) распределение.

Этот подход позволяет изучать свойства статистики, но зависим от корректности выбора модели и её параметров. Пример такого решения применительно к задаче, где толерантные интервалы применяются при контроле качества описан в этой статье. В ней подобный подход обозначается как "имитационное моделирование".

Второй подход — это непараметрическое бутстрэп‑моделирование или непараметрический бутстрэп (nonparametric data-based bootstrap):

по исходной выборке Y_sorted многократно формируются псевдовыборки с возвращением непосредственно из исходных данных (сэмплинг с возвратом)
для каждой из них определяется значение оценки тем же методическим правилом (формулой G.1 ГОСТ).
Итоговое распределение строится исключительно на основе структуры внутренних взаимосвязей элементов исходной выборки, без каких‑либо предположений о виде распределения.

Достоинство этого подхода — независимость от модельных допущений и сохранение всей «экспериментальной» информации. Основной недостаток - при малых объёмах выборки его возможности в описании сложных внутренних зависимостей в данных ограничены.

Важно: оба метода формируют «эмпирическое» распределение итоговой статистики, однако основаны на принципиально разных предпосылках:

параметрический — на доверии к выбранной модели
непараметрический — исключительно на данных и их внутренней структуре.

Для статьи применяется непараметрический бутстрэп из-за особенностей эмпирического выборочного распределения времени выдержки (рисунок 2).

Рисунок 10. Результаты бутстрэп-моделирования оценки t*

На рисунке 10 представлены результаты моделирования для пяти тысяч псевдовыборок.

Для Y_sorted, $(p,\gamma)=(0.9 ,0.9)$ GOST‑процедура по формуле G.1 даёт оценку верхней односторонней границы выдержки $t^*=38{:}00$ мин.

Бутстрэп‑моделирование показывает, что при повторении эксперимента 5 000 раз оценка распределяется по шести квантам времени:

Рисунок 11. Распределение частот t* по шести квантам длин выдержки по результатам бутстрэп-моделирования.

С вероятностью ≈ 95 % попадает в диапазон 37:30–38:30 мин, медиана совпадает, а среднее значение близко к оцененной границе мин. При этом мода дискретного распределения приходится на мин.

Таким образом, при избранном минимально строгом наборе требований $(p,\gamma)$ оценка толерантной границы лежит между двумя соседними мажоритарными квантами (38:00 и 38:30), а значит является чувствительной к выборочным вариациям.

Вывод по результатам анализа устойчивости:
Решение неустойчиво, возможно следует перейти к более строгому набору требований $(p,\gamma)$ и повторить процедуру оценивания по ГОСТ.

Для $(p,\gamma)=(0.9 ,0.95)$ и таблица E.1 ГОСТ и кодовое решение дают:

$t^*=38{:}30$ минут.

Теперь в пределах границы все три мажоритарных центральных кванта (они выделены цветом на рисунке 10) и два миноритарных, расположенных левее. В соответствии с результатами бутстрэпа (рисунок 11) толерантный интервал с границей минут накрывает % % реализаций (фактически построен односторонний доверительный интервал для односторонней толерантной границы по её бутстрэп‑распределению).

Это позволяет сделать новый вывод о том, что нормативное по ГОСТ решение для границы $t^*=38{:}30$ минут при требованиях $(p,\gamma)=(0.9 ,0.95)$ устойчиво к выборочным вариациям. Устойчивость оценена непараметрическим бутстрэп-моделированием на уровне, превышающем 99%.

Заключительные соображения

Формула Уилкса, лежащая в основе ГОСТ Р 50779.29‑2017, естественным образом выражается через биномиальное распределение и может быть реализована с помощью библиотеки scipy.stats, что позволяет в практических исследовательских задачах обходиться без таблиц, выходить за рамки сетки стандарта по $(p,\gamma,n)$ и рассчитывать фактические достигнутые значения уровней покрытия и доверия .
Это не отменяет правила: пользоваться исключительно методикой ГОСТ в нормативно чувствительных случаях.
Exact‑подход и ГОСТ‑подход используют одну и ту же биномиальную модель, но по‑разному формулируют критерий (через число точек внутри интервала или через суммарное число точек в хвостах) и, в рассмотренном примере, оба критерия привели к одинаковой оценке верхней границы: 38:00 мин.
Анализ устойчивости — практически важный этап. Его роль состоит не в том, чтобы ставить под сомнение результаты ГОСТа. С его помощью мы, в определенных пределах, можем правильнее сформулировать требования (как в статье) либо понять, что объем выборки недостаточен (например, когда ужесточение требований не приводит к устойчивости).
Надеемся, что визуализации и код помогли заглянуть «под капот» метода.

Ссылка на блокнот Colab

Открыть блокнот Colab

ГОСТ Р 50779.29-2017 (ИСО 16269-6:2014) и статистические толерантные интервалы с практическим примером и кодом