«Золотое правило гласит, что нет золотых правил» (Бернард Шоу)
«Простые правила, применяющиеся бесконечное число раз, являются неиссякаемым источником чудес» (Бенуа Манбельброт)
«Мы ищем красоту так же, как и правду, и в обоих случаях можем заблуждаться. [...] поэзия и математика с физикой имеют одно общее свойство – в них разрабатывается язык, отличный от обыденного и служащий для эффективного выражения вещей, которые крайне неэффективно выражаются на обычном языке» (Дэвид Дойч)
В мире есть вещи, от которых невозможно оторвать взгляд. Среди окружающего нас хаоса можно встретить удивительно гармоничные структуры, обладающие какой-то мистической притягательной силой. Их находят как в макро-, так и в микромире; как в живой, так и в неживой природе; как в далёком космосе, так и в человеческой культуре. От закрутки спиральных рукавов галактики до расположения атомов в кристаллической решётке, от соотношения звеньев молекулы ДНК до ветвления кроны дерева, от строения оболочки вируса до пропорций человеческого тела – кажется, везде и сквозь всё проходит красной нитью некий основополагающий принцип. В чём же секрет вселенской гармонии? Есть ли математическая формула красоты? Как мы отличаем настоящие произведения искусства от дешёвого уличного арта? По какому критерию мы выбираем свои идеалы? Почему мы считаем одни лица привлекательными, а другие – нет? Что заставляет нас покупать фирменные вещи с узнаваемыми логотипами? Почему в одних помещениях мы чувствуем себя лучше, а в других – хуже? Из-за чего некоторые люди погружаются в транс под куполом храма или среди древних мегалитов?
Так и хочется найти один простой ответ на все эти вопросы. И за вас его уже давно нашли! По крайней мере, к такому заключению можно прийти, изучая доступные в интернете материалы. Авторы этих публикаций наверняка знают, о чём говорят. Более того, они убеждают, что ответ хорошо известен чуть ли не каждому представителю интеллектуально-творческой элиты человечества: философам, учёным, художникам, композиторам, дизайнерам, архитекторам. Оказывается, всё разнообразие проявлений естественной красоты и весь секрет наших попыток воссоздать эту красоту в искусстве сводятся к единственному иррациональному числу. Золотое сечение – вот разгадка совершенства форм и баланса отношений. Так что же получается, учёные открыли универсальную формулу гармонии и красоты? Может, золотое сечение – наглядное доказательство разумного замысла и существования Творца-Архитектора? Тогда зачем нужны эти законы физики, химии и биологии, если в основе всего лежит геометрия? И почему наука до сих пор не приняла новую фрактально-голографическую парадигму, во многом опирающуюся на принцип золотой пропорции? Что-то здесь не так. Неужели нас обманывают? Похоже, что да. Но не те, на кого обычно указывают конспирологи. Давайте разберёмся в этом вопросе и узнаем, не слишком ли переоценена роль золото��о сечения в нашей жизни.
Магия золотого сечения
Начнём с того, что уже заезжено до невозможности и о чём рассказывают все, кому не лень. Понять смысл золотого сечения не составит труда, даже если в школе у вас были проблемы с геометрией. Всё очень просто: нужно разделить отрезок на две неравные части так, чтобы большая часть относилась к меньшей, как длина всего отрезка относится к большей его части. В процентном соотношении меньшая часть отрезка занимает примерно 38%, а большая – 62%. Такая вот асимметричная симметрия.
Какой бы ни была длина «золотого» отрезка, отношение большей его части к меньшей равно 1.61803398875… Это математическая константа, которую принято обозначать греческой буквой Φ (фи) – в честь знаменитого древнегреческого скульптора Фидия, якобы применявшего золотую пропорцию в своих работах. Она столь же универсальна и незыблема, как число Пи или постоянная Эйлера е. Противоположное Φ отношение меньшей части к большей и большей части к целому отличается ровно на единицу: 0,61803398875…, и обозначается маленькой буквой φ. Вот некоторые интересные свойства этих чисел:
Φ = 1/φ φ = 1/Φ
Φ = (√5+1)/2 φ = (√5–1)/2
Φ2 = 1 – Φ = 2,6180339… φ2 = 1 – φ = 0,3819659…
1 – Φ = – φ 1+ φ = Φ
Φ = √(1+√(1+√(1+√(1+√(1+… φ = 1/(1+1/(1+1/(1+1/(1+…
Φ – единственный корень φ – единственный корень
уравнения x2 – x – 1 = 0 уравнения x2 + x – 1 = 0
Коэффициент золотого сечения Φ можно получить с помощью последовательности Фибоначчи – бесконечного ряда натуральных чисел, каждое из которых, начиная с третьего, равно сумме двух предыдущих: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, … Под псевдонимом Фибоначчи вошёл в историю средневековый итальянский математик Леонардо Пизанский (1180-1240), узнавший об этой последовательности от арабских учёных во время своего путешествия по Ближнему Востоку. По другой версии, он придумал эту последовательность, рассчитывая «сколько пар кроликов в один год от одной пары родится». Как бы то ни было, он изложил свою идею в 1202 г. в «Книге абака».
При делении каждого следующего числа последовательности Фибоначчи на предыдущее вы и получите число Φ:
233 / 144 = 1,618…
377 / 233 = 1,618…
610 / 377 = 1,618…
987 / 610 = 1,618…
1597 / 987 = 1,618…
2584 / 1597 = 1,618…
Поделив отрезок в золотой пропорции, вы можете построить ряд геометрических фигур с уникальными параметрами: золотой треугольник, золотой пятиугольник, золотой десятиугольник и т.д. Но лучше всего числа Фидия и Фибоначчи проявляют себя в золотом прямоугольнике. Получить его можно несколькими способами. Например, разделить пополам квадрат, провести в одном из полученных прямоугольников диагональ, отложить её длину циркулем и отметить на линии, продолжающей одну из сторон квадрата.
Второй способ – нарисовать квадрат со стороной 1, разместить рядом ещё один аналогичный квадрат, под ними поместить квадрат со стороной 2, справа – квадрат со стороной 3, выше – квадрат со стороной 5, слева – квадрат со стороной 8. В результате получится золотой прямоугольник площадью 8х13. Обратите внимание, что все числа здесь из последовательности Фибоначчи. Отсекая от золотого прямоугольника квадрат, вы получите золотой прямоугольник меньшего размера, а отрезав квадрат от него – ещё один золотой прямоугольник, и так до бесконечности. Располагаться эти прямоугольники будут по логарифмической спирали, которую называют золотой спиралью. Её полюс окажется на пересечении диагоналей всех золотых прямоугольников. Спираль увеличивается в размерах в соответствии с золотым сечением при каждом повороте на 90 градусов.
В пятиконечной звезде каждая из пяти линий, составляющих эту фигуру, делит другую в отношении золотого сечения, а лучи звезды являются золотыми треугольниками, у которых отношение длины боковой стороны к длине основания равняется 1.618. Число Ф также выражает отношение радиуса окружности к стороне правильного вписанного десятиугольника. Расположив три золотых прямоугольника так, чтобы каждый симметрично пересекался с двумя другими (под прямым углом к каждому из них), мы увидим, что вершины золотых прямоугольников совпадают с 12 вершинами правильного икосаэдра и в то же время указывают положение центров 12 граней правильного додекаэдра. Ещё золотое сечение присутствует в мозаике Пенроуза: соотношение площадей двух его ромбических плиток и их относительная частота в узоре равны числу Ф.
История изучения золотого сечения
Во все времена, во всех мифологиях и во всех мировых религиях существовала сакральная геометрия – определённые геометрические фигуры и знаки провозглашались священными, связывались с божествами, отражали устройство Вселенной или служили символами соответствующих верований. Сакральная геометрия применялась в музыке, искусстве, храмовой архитектуре, иконографии, живописи и других видах искусства. Некоторые исследователи называют сакральной пифагорейскую и неоплатоновскую геометрии, а также ряд астрологических трудов. Примерами религиозных символов являются древнеегипетский Анх (коптский крест), тантрические янтры, буддийские мандалы, иудейская звезда Давида (гексаграмма), христианский крест. Сегодня вера в магическую силу древних символов и геометрических фигур активно коммерциализирована в рамках движения нью-эйдж: в специальных магазинах можно приобрести пирамиды, платоновы многогранники, кристаллы, магические шары, золотые спирали и т.д.
По легенде, золотую пропорцию подарил грекам Пифагор, а ему эту идею передали египетские жрецы. Но если вспомнить, как Пифагор отреагировал на открытие того, что диагональ квадрата с целой стороной равна иррациональному числу, довольно трудно поверить в спокойное принятие им ещё одной иррациональной константы Ф. Первое письменное упоминание принципа золотого сечения было сделано Платоном в диалоге «Тимей»: «Невозможно, чтобы две вещи совершенным образом соединились без третьей, так как между ними должна появиться вещь, которая скрепляла бы их. Это наилучшим образом может выполнить пропорция, потому что если три числа обладают тем свойством, что среднее так относится к меньшему, как большее к среднему, и, наоборот, меньшее так относится к среднему, как среднее к большему, то в последнее и первое будет средним, а среднее - первым и последним. Таким образом, всё необходимое будет тем же самым, а так как оно будет тем же самым, то оно составит целое». Платон поставил в соответствие четырём стихиям (земля, вода, воздух и огонь) четыре правильных многогранника (тетраэдр, октаэдр, икосаэдр и куб), а квинтэссенцией, или пятым элементом, философ назвал самую совершенную фигуру – додекаэдр. Возможно, потому что все 12 граней додекаэдра – правильные пятиугольники, построенные по принципу золотого сечения.
Подробное описание геометрии золотого сечения впервые встречается в «Началах» Евклида, датируемых III в. до н.э.: «говорят, что прямая линия разрезана в крайнем и среднем отношении, когда длина всей линии относится к большей части, так же как большая часть относится к меньшей». Для средневековой Европы золотое сечение заново открыл Джованни Кампано из Наварры, который перевёл Евклида с арабских источников. Следующий всплеск интереса к этой теме приходится на эпоху Возрождения. В 1509 г. в Венеции вышла в свет книга «Божественная пропорция», написанная францисканским монахом Лукой Пачоли с иллюстрациями Леонардо да Винчи. Пачоли увидел в золотом сечении отражение Святой Троицы (большая часть отрезка – Отец, меньшая – Сын, весь отрезок – Святой Дух). Однако в своей книге Пачоли не отстаивал теорию эстетики этого сечения: вместо этого он поддерживал Витрувианскую систему рациональных пропорций, предложенную римским архитектором I века Витрувием. Под влиянием Пачоли немецкий художник Альбрехт Дюрер разработал специальный «золотой» циркуль, «золотой» шрифт и систему пропорций человеческого тела, разделяя рост человека в золотых пропорциях линией пояса, а также линией, проведённой через кончики средних пальцев опущенных рук. Тот факт, что отношения чисел последовательности Фибоначчи сходятся к золотому сечению, впервые заметил немецкий математик Симон Якоб в конце XVI века и переоткрыл астроном Иоганн Кеплер в 1608 г.: «устроена она так, что два младших члена этой нескончаемой пропорции в сумме дают третий член, а любые два последних члена, если их сложить, дают следующий член, причём та же пропорция сохраняется до бесконечности».
Сам термин «Золотое сечение» появился только в 1835 г. в работе «Чистая элементарная математика» немецкого математика Мартина Ома, брата знаменитого физика Георга Ома. Наибольший вклад в его популяризацию внёс немецкий психолог Адольф Цейзинг, опубликовавший в 1855 г. книгу «Математическое естество». Измерив пропорции двух тысяч человек, а также сотен произведений художественного искусства и архитектуры, античных статуй и ваз, животных, растений, музыкальных тонов и стихотворных размеров, Цейзинг пришёл к выводу, что золотое сечение является основным морфологическим законом, описывающим «красоту и завершенность в природе и в искусстве… оно проходит красной нитью как первостепенный духовный идеал во всех структурах, формах и пропорциях, космических и индивидуальных, органических и неорганических, акустических или оптических». В 1876 г. последователь Цейзинга психолог Густав Фехнер занялся проверкой гипотезы о том, что золотое сечение играет роль в восприятии красоты человеком. Хотя Фехнер обнаружил предпочтение прямоугольным пропорциям, основанным на золотом сечении, последующие попытки подтвердить эту гипотезу оказались безрезультатными.
Вскоре золотоискатели стали находить золотую пропорцию практически повсюду: в архитектуре египетских пирамид, римского Пантеона, Колизея, Стоунхенджа, собора Парижской Богоматери, Шартрского собора, храма Василия Блаженного, церкви Покрова на Нерли, Исаакиевского собора и многих других культовых сооружений, в картинах Рафаэля Санти, Боттичелли Сандро, Рембранта, Шишкина, Сурикова, Васильева и других знаменитых художников, в поэзии Пушкина, Лермонтова и Шота Руставели, в музыке Бетховена, Шопена и Чайковского. «Золотая лихорадка» продолжалась больше ста лет, а некоторые старатели продолжают эту традицию и по сей день.
К концу XX века стали всё чаще звучать голоса скептиков, называвших золотое сечение культурным мифом. В 1992 г. вышла статья «Misconceptions about the Golden Ratio», в которой доктор философии из Гарварда Джордж Марковски подверг критическому анализу утвержден��я о присутствии золотого сечения в Парфеноне, пирамидах Гизы и произведениях Леонардо да Винчи, и пришёл к выводу, что золотое сечение встречается реже, чем принято считать. В 1998 г. Фраскари и Жирардини ввели термин «φaithful» для обозначения безусловной веры в силу золотого сечения. Среди более свежих работ на эту тему можно отметить книгу Марио Ливио «φ – Число Бога. Золотое сечение – формула мироздания» и монографию Андрея Радзюкевича «Миф о золотом сечении» (2023). К сожалению, разрушители легенд порой заходят слишком далеко, отрицая наличие золотого сечения там, где оно действительно есть, и не приводя конкретные цифры в подтверждение своих слов. Наша задача – максимально объективно подойти к проблеме и выяснить на примерах, насколько распространено золотое сечение в природе и в культуре, и чем это можно объяснить.
Золотое сечение в природе
Миф о золотом сечении основан на платоновском учении о мире идей, отражениями которых являются материальные объекты. В этом мире объективно существуют идеальные геометрические фигуры и прообразы всех вещей, а реальные вещи и живые организмы приближённо им соответствуют, но всегда несовершенны. Например, золотая спираль, которую Гёте называл «кривой жизни», как будто бы служит шаблоном при построении множества живых организмов. Она отчётливо проступает в расположении семян подсолнечника, в структуре сосновых шишек, лепестков роз, кочанов капусты, ананасов, кактусов и других растений. Вместе с тем в интернете есть куча картинок, на которых эту спираль лепят к чему попало, наглядно демонстрируя, что при желании золотое сечение можно увидеть даже там, где его нет и в помине.
Дело в том, что золотая спираль, коэффициент роста которой связан с золотым сечением – это лишь частный случай логарифмической спирали. Но есть множество логарифмических спиралей с другими значениями масштабного коэффициента и параметра роста, и все они фрактально-самоподобны, будучи произведены итерационной формулой. Поэтому их часто путают с золотой спиралью. По логарифмической, но не золотой спирали растут раковины улиток и морских моллюсков (наутилус), рога антилоп, диких козлов и баранов, бивни слонов, когти львов, клювы попугаев и уши большинства млекопитающих, включая и человека. Рукава спиральных галактик (включая Млечный Путь) и ураганов также имеют форму логарифмической спирали, весьма далёкую от золотой пропорции. Конечно, при желании можно найти в природе спирали, приближённые к золотым, но для этого придётся закрыть глаза на множество примеров логарифмических, архимедовых и гиперболических спиралей с самыми разными углами наклона.
Золотая пропорция встречается в строении микроорганизмов. Например, одноклеточные радиолярии (лучевики) Circigonia Icosahedra и Circorhegma Dodecahedra имеют соответственно икосаэдрическую и додэкаэдрическую формы кремниевого скелета. Икосаэдр – фигура, состоящая из 20-ти золотых треугольников, а додэкаэдр имеет 12 правильных пятиугольных граней, в которых золотая пропорция соблюдается всегда. Эти многогранники являются оптимальными геометрическими формами для некоторых органических соединений. В 1950-х гг. учёные из Лондонского Биркбекского Колледжа А.Клуг и Д.Каспар обнаружили, что полиовирус и риновирус имеют белковую оболочку в форме икосаэдра. Позже выяснилось, что аналогичная структура присуща и аденовирусу: Его оболочка состоит из 252 белков, сгруппированных по 12 единиц в каждой пятиугольной призме. Вся эта конструкция построена по закону золотой пропорции.
Утверждение, по этому закону построена и сама основа жизни – молекула ДНК – не соответствует действительности. ДНК состоит из двух вертикально переплетённых между собой спиралей, длина одного поворота каждой из которых составляет 34 ангстрема (3.4 нм), а ширина – 20 ангстремов (2 нм), их отношение равно 1,7, а не числу Ф. В случае с подсолнечниками и шишками расположение семян действительно связано с золотым углом (≈137,5°), но сами спирали – простые логарифмические. Форма куриного яйца широко варьируется, идеально золотую пропорцию нужно ещё поискать. Тела некоторых животных, включая дельфинов, морских звёзд, плоских морских ежей, морских ежей, муравьёв и медоносных пчёл, приближённо соответствуют золотой пропорции, но далеко не всегда.
Адольф Цейзинг доказывал, что золотое сечение можно применить к человеческому телу, взяв рост человека от пупка до пальцев ног и поделив его на полный рост. Почему роль золотой середины отводится именно пупку – большой вопрос. Цейзинг установил, что у новорождённого пропорция составляет отношение 1:1, к 13 годам она равна 1,6, а к 21 году составляет 13:8 (1,625) у мужчин и 8:5 (1,6) у женщин. Какой-то сексизм получается, а то и евгеникой попахивает. Вот примеры золотого сечения в пропорциях человеческого тела, приведенные Цейзингом:
Очевидно, соотношения частей нашего тела лишь приблизительно соответствуют формуле золотого сечения, индивидуальные особенности всегда перевешивают. В ответ можно возразить: да, все мы разные, но давно замечено, что красота человека во многом зависит от того, насколько гармоничны пропорции в строении его тела. Чем ближе они к «золотой середине», тем привлекательнее нам кажутся черты лица и особенности телосложения. Так, челюстно-лицевой хирург Стивен Марквардт изучил сотни лиц в своих исследованиях привлекательности, чтобы разработать свою запатентованную «маску красоты Марквардта», которую можно использовать для объективной оценки красоты. Например, он утверждал, что идеальное лицо должно иметь рот в φ раз шире носа, а самые красивые улыбки – это те, у которых центральные резцы в 1,618 раза шире боковых резцов, которые в 1,618 раза шире клыков, и так далее. Маска основана на додекагонах, которые, в свою очередь, основаны на золотом сечении. Проблема в том, что Марквардт использовал в своих исследованиях ограниченную выборку лиц белых киноактёров и моделей, но его пропорциям совершенно не соответствуют представители других рас и культур, например, жители Южной Индии и Африки к югу от Сахары. Примеры лиц, изменённых, чтобы соответствовать маске красоты, показывают значительное улучшение, хотя, как говорится, «красота в глазах смотрящего». С другой стороны, есть немало фотографий знаменитостей, намеренно принесённых в жертву золотому сечению с целью показать, насколько абсурдно выглядит поиск универсального стандарта красоты. Несмотря на опровержения, в пластической хирургии часто используется приложение, с помощью которого измеряют лицо на соответствие золотому сечению.
Золотое сечение в культуре
Разумеется, золотое сечение находят не только в природе, но и в творениях рук человеческих. Историю его применения прослеживают вплоть до самих истоков человеческой цивилизации, а некоторые альтернативные историки утверждают, что знание геометрии золотого сечения досталось нам от прошлых цивилизаций вроде Атлантиды. Однако попытки найти золотое сечение в памятниках древнего мира, античности и Средневековья, ни к чему не приводят. Так, на основе измерений 15 храмов, 18 монументальных гробниц, 8 саркофагов и 58 надгробных стел с V века до н.э. по II век н.э. Патрис Футакис пришёл к выводу, что золотое сечение полностью отсутствовало в греческой архитектуре классического V века до н.э. и практически отсутствовало в течение последующих шести веков. Из более чем 100 памятников древнегреческой архитектуры это число нашлось в пропорциях только четырёх объектов: башни, алтаря, гробницы и надгробия. Не могли пользоваться золотым сечением и древние египтяне, не обладавшие достаточным уровнем технологий, чтобы точно высчитывать пропорции. Более поздние источники, такие как Витрувий (I век до н.э.), рассматривают исключительно соразмерные пропорции, выражаемые целыми числами, в отличие от иррациональных пропорций.
Теперь рассмотрим конкретные примеры, чаще всего упоминаемые верующими в золотое сечение:
1. Пирамиды Гизы
Не существует достоверных свидетельств того, что древние египтяне знали о золотом сечении и использовали его при строительстве своих пирамид и храмов. Единственный слабый намёк на золотое сечение можно найти в пирамиде Хеопса – самой известной из египетских пирамид. Если выделить в сечении этой пирамиды прямоугольный треугольник, один катет которого является её высотой (≈ 146,6 м), а второй – половиной длины основания (115,2 м), то их отношение составит 1,27, что приблизительно равно √Ф. Утверждение о том, что золотое сечение в пирамиде Хеопса упоминал Геродот – тоже миф. Древнегреческий историк описывал Великую пирамиду, но с ошибками, указав высоту 244 м вместо реальных 146,6 м. Современные египтологи сходятся во мнении, что пропорции пирамиды Хеопса не основаны на золотом сечении, поскольку это противоречило бы как знаниям египетской математики во времена строительства пирамиды, так и египетским теориям архитектуры и пропорций, использованным в других их трудах. Вероятно, это просто случайное совпадение.
Если бы египтяне действительно знали о числе Ф, оно встречалось бы в их архитектуре повсеместно, но это не так. В пирамидах Хефрена и Микерина никакого золотого сечения не обнаружено, как и в расстояниях между ними и в общей топографии плато Гизы. Французский архитектор Ле Корбюзье в своё время нашёл золотое сечение в рельефе из храма фараона Сети I в Абидосе и в рельефе, изображающем фараона Рамзеса, а также в гробн��це зодчего Хесира в Саккаре, в галерее которой стояли деревянные панно с геометрическими иллюстрациями к не дошедшему до нас трактату Имхотепа об архитектуре. Однако в научных работах египтологов ничего подобного не упоминается. Египетские художники использовали канон пропорций, основанный на целых кубитах и сетке из 18 или 21 квадрата, а не на иррациональных отношениях.
2. Парфенон (Афины)
Ещё один выдающийся памятник древности – древнегреческий храм Парфенон, построенный в Афинах в V веке до н.э. Его фасад якобы соответствует золотому сечению, но даже на популярных картинках, где он вписан в золотой прямоугольник, отчётливо видно, что у него другие пропорции. Отношение ширины фасада (≈30,9 м) к высоте до фронтона (≈ 13,8 м) и длины к ширине Парфенона составляет 2,25, что ближе к 9:4, а не к золотому числу. В ответ сторонники мифа говорят, что если отнять от высоты здания 14 см и прибавить их к ширине, отношение высоты к ширине составит как раз 1,618 (нет), но архитекторы намеренно не стали этого делать, чтобы визуальные пропорции фасада идеально соответствовали золотому прямоугольнику и золотой спирали. Естественно, каждый энтузиаст может сам выбрать, с какого ракурса измерять, и при желании он найдёт золотое сечение где угодно. Говорят, золотой прямоугольник должен начинаться не с основания колонн, а со второй из четырёх ступеней, ведущих к Парфенону, а заканчиваться верхней точкой крыши, которая разрушена. Тогда нижняя часть несущей балки в верхней части колонн находится в золотом сечении относительно своей высоты. Размеры балочной конструкции, пересекающей колонны, кажутся очень близкими к золотому сечению её основания и вершины крыши, а четырнадцать прямоугольников на горизонтальной балке разделены точно в точке золотого сечения. Или не точно.
3. Искусство Возрождения
После выхода в 2003 г. романа Дэна Брауна «Код да Винчи» масса людей поверила, что Леонардо да Винчи применял золотое сечение в «Мона Лизе», «Тайной вечере» и других своих картинах. Ни в его собственных трудах, ни в биографиях золотое сечение нигде не упоминается, а знаменитый «Витрувианский человек», якобы иллюстрирующий золотые пропорции человеческого тела, на самом деле отражает пропорции, предложенные античным архитектором Витрувием, согласно которому, если человек раскинет руки и ноги, то фигура вписывается в совершенные геометрические фигуры: квадрат и круг. Однако у Витрувианского человека нет даже этих пропорций: если измерить длину ног от шейки бедра до стопы, оказывается, что длина раскинутых ног короче первой пары его собственных ног почти на 1/10. В основе чертежа Леонардо лежит квадрат, о чём говорят прямые горизонтальные и вертикальные штрихи, разделяющие руки, ноги и тело человека: ноги – половина роста, половина от длины ног – их заколенный сгиб. Руки также сгибаются по половине длины, а длина кисти руки – 1/10 от роста. Само тело поделено на три части: голова с шеей до уровня плечевого сустава; от плечевого сустава до низа ребер; от низа ребер до низа лобка. Верхнюю точку круга Леонардо получил, прибавив к точке плечевого сустава длину руки, а потом нашел середину и сделал её пупком. Пупок находится на высоте 1,64 (а не 1,62) от роста.
Справедливости ради следует сказать, что полностью исключать сознательное применение художниками Ренессанса золотой пропорции нельзя. В данном случае растиражированная «Мона Лиза» - плохой пример, в ней мало линейных композиционных элементов, по которым можно однозначно измерить золотое сечение. Но в других картинах да Винчи («Тайная вечеря», «Благовещение» и «Спаситель мира») находят четкие композиционные линии в точках золотого сечения. Картина Боттичелли «Рождение Венеры» написана на холсте, который сам по себе представляет собой золотой прямоугольник, и ключевые элементы картины находятся в точках золотого сечения по высоте и ширине полотна. На картине Микеланджело «Сотворение Адама» палец Бога касается пальца Адама точно в точке золотого сечения по ширине области, в которой они изображены. На картине Рафаэля «Афинская школа» золотой прямоугольник расположен в центре переднего плана, а главная сцена выше демонстрирует множество золотых сечений в своей композиции.
Коммерческое использование золотого сечения
По мере развития науки и технологий золотое сечение стало проникать во многие сферы жизни. Из предмета изучения математиков, физиков, астрономов и биологов оно превратилось в эффективный инструмент маркетинга. Если раньше принцип золотого сечения применяли только при возведении храмов, усыпальниц и правительственных зданий, то теперь его всё чаще закладывают в проекты частных домов. Начало этой практике положил швейцарский архитектор Ле Корбюзье – автор концепции антропометрических пропорций «Модулор», описанной им в 1948 г. в книге «Mod-1», или «Опыт соразмерной масштабу человека всеобщей гармоничной системы мер, применимой как в архитектуре, так и в механике». Согласно разработанной Ле Корбюзье системе мер, пропорции дома должны соответствовать росту и другим физическим параметрам его жильцов. По мнению архитектора, это создаёт эффект гармонического резонанса, утраченный при переходе к искусственной метрической системе, духовно нам чуждой. Вера Ле Корбюзье в математический порядок вселенной была тесно связана с золотым сечением и рядом Фибоначчи, которые он описывал как «ритмы, очевидные глазу и ясные в своих отношениях друг с другом. И эти ритмы лежат в основе человеческой деятельности. Они отзываются в человеке органической неизбежностью, той же тонкой неизбежностью, которая заставляет детей, стариков, дикарей и учёных находить золотое сечение».
Сейчас некоторые строительные компании закладывают золотую пропорцию в проекты домов. Они заверяют, что геометрическая целесообразность и соразмерность вызывают чувства гармонии, восхищения, радости, поднимают настроение, а беспорядочность и бесформенность производят отталкивающее впечатление. Например, когда отношение длины дома к ширине, а ширины к высоте равно 1:1,62, а площади комнат соответствуют числам Фибоначчи, вы получите гораздо больше удовлетворения от проживания в таком доме в сравнении с домом, в котором пропорции не соблюдены. А если ещё и грамотно по фэншую обустроить интерьер, расположив мебель и подобрав цветовую гамму в золотом отношении, психологический комфорт вам гарантирован. Даже товары в «золотых» упаковках могут продаваться лучше, чем продукция конкурентов. И сайты, разработанные по принципу золотого сечения, якобы имеют лучшую посещаемость. Так что законов рынка никто не отменял, и золотое сечение – очень даже неплохой инструмент маркетинга.
Эзотерики и оккультисты дополнят, что золотая пропорция поможет правильно настроить частоту энергетических потоков, пронизывающих ваш дом, и тем самым улучшить ваше благосостояние. Многие люди интуитивно чувствуют энергетику таких «мест силы» и могут погружаться под их влиянием в изменённые состояния сознания. Они говорят, что в этих местах фокусируются некие электромагнитные и звуковые колебания, резонирующие с волновой активностью мозга и других органов. Более приземлённые маркетологи апеллируют к тому факту, что золотое сечение приятно глазу и хорошо воспринимается на уровне подсознания, поэтому его нужно использовать в дизайне сайтов, логотипов, машин, мебели, в фотографии и кино. Говорят, формула золотого сечения заложена в логотипах крупных транснациональных корпораций. Так, Apple, Twitter и Pepsi используют круги из чисел Фибоначчи. На логотипе автогиганта Toyota изображены три овальных кольца, которые соотносятся между собой в золотой пропорции. Это хорошо заметно, если нарисовать сетку. По тому же принципу сделаны эмблемы компаний BP, iCloud и Grupo Boticario.
Логотип Apple, якобы построенный по золотому сечению и ставший чуть ли не главным секретом успеха компании – раздутый миф. На самом деле золотого сечения на нём нет и в помине, круги на картинке нарисованы как попало, золотая спираль вообще не совпадает ни с одним из них и вместе с прямоугольником расположена под случайным углом. Ещё один миф – якобы «золотые» пропорции банковских карточек – опровергается элементарными замерами или обращением к техническому стандарту: отношение 85.6 х 53.98 мм равно 1.586, а не числу Ф. Золотое сечение само по себе не гарантируют красивый дизайн и тем более подсознательное влияние на аудиторию, заставляющее покупать ваш товар. Многие современные дизайнеры не считают золотое сечение полезным и не применяют его в своей работе. В лучшем случае золотое сечение так же важно для дизайнеров, как и любое другое композиционное правило, например, правило третей. Мы генетически запрограммированы видеть паттерны и искать смысл там, где его нет – это широко известная когнитивная ошибка под названием апофения.
С золотым сечением и числами Фибоначчи связана теория волн Эллиотта, изучив которую, якобы можно разбогатеть, играя на бирже ценных бумаг. В 1939 г. американский бухгалтер Ральф Hельсон Эллиотт опубликовал в журнале Financial World Magazine серию статей, в которых изложил свой опыт анализа биржевых цен, особенно индекса Доу-Джонса. Согласно Эллиотту, фондовый рынок подчиняется тому же закону, что и приливы: за приливом следует отлив, за действием (акцией) следует противодействие (реакция), пять волн роста чередуются с тремя волнами падения. В периоде роста есть как восходящие (импульсные), так и нисходящие (корректирующие) волны. Большие волны являются огибающими маленьких волн, те, в свою очередь, еще более мелких, а количество мелких колебаний в периоде более крупного соответствует ряду Фибоначчи.
Критики отмечают, что волновой принцип Эллиотта слишком расплывчат, чтобы быть полезным, поскольку специалисты не могут последовательно определить начало или конец волн, что приводит к прогнозам, подверженным субъективным корректировкам. К тому же поведение людей меняется по мере технологического прогресса, экономического роста и социальных факторов, а теория Эллиотта не эволюционировала. Профессор финансов Рой Батчелор и аналитик Ричард Рамиар пришли к следующему выводу: «идея о том, что цены возвращаются к коэффициенту Фибоначчи или к круглой доле предыдущего тренда, явно лишена какого-либо научного обоснования», и «нет существенной разницы между частотой, с которой ценовые и временные коэффициенты появляются в циклах в индексе Доу-Джонса, и частотой, которую мы ожидали бы увидеть случайной в таком временном ряду». Технический аналитик Дэвид Аронсон пишет: «Принцип волновой теории Эллиотта, в том виде, в котором он широко используется, не является легитимной теорией, а представляет собой историю, и убедительную историю, красноречиво рассказанную Робертом Прехтером. Этот рассказ особенно убедителен, потому что принцип волновой теории Эллиотта обладает, казалось бы, замечательной способностью аппроксимировать любой сегмент истории рынка вплоть до его мельчайших колебаний. Я утверждаю, что это становится возможным благодаря нечетко определенным правилам метода и возможности постулировать большое количество вложенных волн различной величины. Это дает аналитику, использующему принцип Эллиотта, ту же свободу и гибкость, которые позволили астрономам докоперниканской эпохи объяснить все наблюдаемые движения планет, даже несмотря на то, что их основная теория о геоцентрической Вселенной была неверной».
Физический смысл золотого сечения
Когда природные структуры действительно соответствуют золотой пропорции, это связано с физическими законами оптимизации распределения ресурсов, минимизации энергии, пространства и функций. Современные междисциплинарные науки, такие как нелинейная термодинамика и теория хаоса, рассматривают процесс формирования сложных структур как самоорганизацию, и описывают его простыми рекурсивными формулами. Многие хаотичные системы вроде воздушных потоков в земной атмосфере или газопылевых облаков в межзвёздном пространстве, обладают свойством масштабной инвариантности. Это придаёт им сходство с фракталами – абстрактными математическими фигурами, сохраняющими самоподобие на любом масштабе. Но далеко не все фракталы построены по формуле золотого сечения, на основе рядов Фибоначчи и золотой спирали. Например, множество Мандельброта – это фрактал, определяемый итерацией комплексного квадратичного отображения. Внутри него встречаются структуры, связанные с числами Фибоначчи и золотым углом (≈137,5°), однако это не универсальная закономерность.
Раковины моллюсков растут по логарифмической спирали, потому что при таком росте форма сохраняется при увеличении размера – раковина остаётся устойчивой и прочной. Это позволяет моллюску расти без изменения пропорций и без лишних затрат энергии. Спиральная динамика потоков и вращений вещества формируются по законам теории хаоса и термодинамики диссипативных систем, как результат равномерного распределения угловой скорости и гравитационных взаимодействий, обеспечивающий устойчивость структуры. Совсем не удивительно, что галактики и ураганы закручены в одинаковую логарифмическую спираль, стволы и ветки деревьев, кровеносные сосуды и бронхи животных ветвятся фрактально, а морские звёзды, цветы, снежинки и кристаллы обретают формы правильных многоугольников. При этом в природе практически не встречаются идеальные сферы, кубы, пирамиды, конусы, цилиндры и другие тела из евклидовой геометрии. Даже прямая линия – изобретение математиков, её не увидишь в реальном мире. Зато фрактальные узоры обнаруживаются повсюду: в клубах облаков и завитках сигаретного дыма, в руслах рек и в листьях папоротника.
Золотая пропорция не является универсальным зак��ном ветвления. Ветвление деревьев чаще подчиняется законам оптимизации: равномерное распределение света, устойчивость к ветру, минимизация затрат энергии и затенения. Листья стремятся занять позиции, где они меньше перекрывают друг друга. Иногда углы ветвления близки к золотому углу (≈137,5°), который даёт наиболее равномерное покрытие окружности, но это не универсальное правило: у многих видов углы другие, зависящие от среды и генетики. Бронхиальное дерево человека ветвится по принципу минимизации сопротивления потоку воздуха и обеспечения равномерной вентиляции. Отношения диаметров и длин ветвей описываются законом Мюррея (оптимизация гидродинамики), а не золотым сечением. Пропорции близки к степенным законам (например, диаметр дочерних ветвей в степени 3 равен диаметру материнской), но не к Ф. Кровеносно-сосудистая система также следует закону Мюррея: радиусы ветвей подчиняются условию минимизации энергии кровотока. Это даёт соотношения, отличные от золотого числа. Ветвление артерий и вен чаще описывается степенными функциями, а не фиксированной гармонической пропорцией. Дендриты и аксоны нервной системы ветвятся для максимального охвата пространства и минимизации затрат на передачу сигналов. Пропорции зависят от функций нейрона и среды, а не от золотого числа.
Цветная капуста, семена подсолнечника, шишки и ананаса распределяются по спиралям, связанным с золотым углом (≈137,5°), который даёт наиболее равномерное распределение точек на диске (математика сферического распределения). Это обеспечивает максимальную плотность упаковки без пустот, а также оптимальное распределение света и питательных веществ. Филлотаксис (листорасположение) у растений описывается последовательностью Фибоначчи, если листья (почки) на однолетнем приросте (побеге, стебле) имеют спиральное листорасположение. При этом число последовательно расположенных листьев по спирали плюс один, а также число совершённых при этом полных оборотов спирали вокруг оси однолетнего прироста выражаются первыми числами Фибоначчи. Когда листья растут вдоль стебля, один оборот спирали затрагивает два листа, поэтому отношение равно 1/2. У орешника это отношение составляет 1/3, у абрикосов – 2/5, у груши – 3/8, у миндаля – 5/13. В диске филлотаксиса у ромашки и подсолнуха лепестки расположены по спирали Ферма с нумерацией Фибоначчи, по крайней мере, когда цветок вырос и все его элементы одного размера. Количество лепестков в цветке обычно следует последовательности Фибоначчи. Например, у лилии три лепестка, у лютика – пять, у цикория – 21 лепесток, у маргаритки – 34 лепестка, и т.д. Однако есть и контрпримеры: у маков всегда четыре лепестка, нередко встречается и четырёхлистный клевер.
Самый показательный пример спирального филлотаксиса – подсолнух. В некоторых случаях его семенные головки расположены так плотно, что их общее количество доходит до 144 и более. При подсчёте этих спиралей общее число, как правило, совпадает с числом Фибоначчи. Обычно семена образуются в центре, а затем мигрируют к краям, заполняя всё пространство. Внутри центральной части корзинки подсолнуха (меристемы) происходит деление зародышевых клеток, образующих сначала цветок, а потом и семечко. Сразу после рождения цветок начинает выталкиваться в радиальном направлении от центра. Закон радиального выталкивания работает за счёт того, что цветки соцветия приблизительно одинакового размера и должны покрывать собой всю свободную площадь корзинки. Порождая цветок, меристема задаёт ему направление движения, каждый раз меняя его направление относительно предшествующего поворотом на 137,5°. Золотое сечение в подсолнухе обеспечивает наиболее равномерное распределение семян в корзинке наихудшим его приближением рациональными числами и максимизацией числа спиралей небольшого ранга, вдоль которых упорядочены семена.
Математическое описание филлотаксиса впервые осуществили немецкие ботаники Карл Фридрих Шимпер и Александр Браун 1830-1835 гг., а французские ботаники Огюст и Луи Браве связали коэффициенты филлотаксиса с последовательностью Фибоначчи в 1837 г. Оказалось, что при спиральном листорасположении места прикрепления листьев вычисляются с помощью дроби, числителем которой является количество оборотов спирали на стебле между двумя листьями, расположенными друг над другом на одной прямой (ортостихе), а знаменателем – число листьев на этой спирали, не считая последнего листа. В 1868 г. Вильгельм Гофмейстер предложил механизм образования этой спирали: зачаток листа формируется в наименее переполненной части меристемы побега, а золотой угол между последовательными листьями – результат толкания. Чтобы обернуть круг, достаточно трёх золотых дуг, поэтому никакие два листа никогда не будут следовать одной и той же радиальной линии от центра к краю. Генеративная спираль является следствием того же процесса, который производит спирали по часовой стрелке и против часовой стрелки в плотно упакованных структурах растений, таких как цветочные диски или сосновые шишки.
В 1917 г. Дарси Томпсон опубликовал книгу «О росте и форме», в которой описал взаимосвязи филлотаксиса и чисел Фибоначчи. Он показал, что простые уравнения могут описать все с виду сложные закономерности спирального роста рогов животных и раковин моллюсков. Наконец, в 1952 г. Алан Тьюринг написал статью «Химические основы морфогенеза», в которой проанализировал молекулярные механизмы, необходимые для создания закономерностей в живых организмах. Он предсказал колебания химических реакций (реакции Белоусова-Жаботинского) и предположил, что механизмы активатор-ингибитор могут генерировать полосатость и пятнистость животных, а также способствовать закономерностям спирального типа, наблюдаемым в расположении листьев растений.
Таким образом, с точки зрения физики, спирали – конфигураций низких энергий, которые возникают спонтанно путём самоорганизации процессов в д��намических системах. С точки зрения химии, спираль может быть образована реакционно-диффузионным процессом с привлечением как активации, так и ингибирования. Филлотаксис контролируется протеинами, которые управляют концентрацией растительного гормона ауксина, который активирует рост среднего стебля, наряду с другими механизмами контроля относительного угла расположения бутона к стеблю. Поглощение ауксина уже существующими зачатками направляет размещение нового зачатка. Новый зачаток не может развиваться непосредственно рядом со старым листовым зачатком, так как накопление ауксина может начаться только на определённом минимальном расстоянии. Поскольку самая молодая листовая почка поглощает ауксин больше, чем вторая по возрасту, новый зачаток возникает ближе ко второму по молодости, чем к самому молодому зачатку. По этой причине угол расхождения двух последовательно образовавшихся зачатков соответствует золотому углу 137,5°. С точки зрения биологии, листья расположены настолько далеко друг от друга, насколько позволяет естественный отбор, так как он максимизирует доступ к ресурсам, особенно к солнечному свету, для фотосинтеза.
Повсеместное распространение золотого сечения в природе заставляет глубоко задуматься. Но оно отнюдь не является подтверждением акта творения и высшего замысла. Его секрет кроется в законах физики и принципах биологической эволюции. Вселенная всё делает с минимальными затратами энергии, как того требуют начала термодинамики. Поэтому она выбирает самые компактные и экономные формы, позволяющие вместить как можно больше материи в как можно меньший объём. Так уж получилось, что самыми оптимальными структурами с точки зрения использования пространства являются фракталы. Они широко распространены в природе благодаря дарвиновской эволюции. За миллиарды лет существования жизни на Земле организмы, чьи пропорции соответствовали золотому сечению, прошли проверку естественным отбором и доказали свою эффективность с точки зрения выживания. Отчасти это относится и к человеческому телу, хотя гармоничность его пропорций сильно преувеличена.
Золотое сечение как эталон красоты
Хорошо, а почему нам нравятся фрактальные структуры и кажутся привлекательными люди с «золотыми» чертами лица и фигурами? Этому можно найти эволюционное объяснение, ведь мы тысячелетиями жили на природе в окружении живых и неживых объектов, обладающих геометрически правильными пропорциями. Наш мозг настроен замечать в предметах золотое сечение и воспринимать их как красивые, гармоничные, привлекательные. И не нужно придумывать никаких потоков «тонких энергий» и резонирующих вибраций, чтобы понять, почему нам нравится, когда всё вокруг соответствует золотому сечению. В большинстве случаев внутреннее ощущение «мест силы» - не более, чем самовнушение. Особенно, если вы слышали о золотом сечении как секрете вселенской гармонии. А что говорят психологические исследования?
Научные исследования показывают, что золотое сечение не является универсальным критерием красоты. Да, в некоторых экспериментах люди предпочитают лица и объекты с пропорциями, близкими к золотому числу, но статистика не подтверждает абсолютную магическую привлекательность этой пропорции. Эстетические предпочтения зависят от культуры, контекста и индивидуальных особенностей, а не только от математики. Люди не демонстрируют статистически значимого предпочтения объектов с пропорцией 1.618. Анализ пропорций лица показывает, что привлекательность связана скорее с симметрией и средними чертами, чем с золотым числом. Например, исследования в области когнитивной психологии подтверждают, что лица, близкие к среднему по популяции, кажутся более привлекательными, независимо от золотого сечения. Но в разных культурах стандарты красоты сильно отличаются: в некоторых обществах ценятся более округлые формы, в других – худоба или определённые черты лица. Это говорит о том, что золотое число не может быть универсальным эталоном.
Математик Кейт Девлин совместно с кафедрой психологии Стенфордского университета в течение многих лет опрашивал сотни студентов, какой прямоугольник их любимый. Он показывал разные прямоугольники студентам, а затем просил их выбрать наиболее понравившийся. Они выбирали прямоугольники произвольно, не отдавая никакого предпочтения золотому прямоугольнику. Другое исследование, проведенное специалистами Школы бизнеса имени Уолтера Хааса в Беркли, показало, что в среднем потребители предпочитают прямоугольники, пропорция которых между 1.414 и 1.732. Золотое сечение входит в этот диапазон и часто используется в композиции, но не менее часто встречаются и другие соотношения: 2:3 (правило третей), 2:1, 4:9, √2, √3 и т.д.
Когда нам показывают лица знаменитостей, произведения искусства и природные объекты, соответствующие золотой пропорции, в большинстве случаев имеет место ошибка выборки, поскольку объекты, не проходящие золотую цензуру, нам не показывают. Объективную картину может дать только статистика с независимой выборкой, и такие исследования проводились. Статистическое исследование 565 произведений искусства выдающихся художников, выполненное в 1999 г. Агатой Олариу в статье «Золотое сечение и художественное искусство», показало, что художники не использовали золотое сечение при определении размера своих холстов. Среднее соотношение двух сторон изученных картин составило 1,34, а средние значения для отдельных художников варьировалось от 1,04 (Гойя) до 1,46 (Беллини).
Майкл Тротт из команды Wolfram Research проанализировал соотношения сторон более чем миллиона картин разных эпох, и пришёл к выводу, что золотое сечение не является соотношением, сколь-нибудь популярным для картин. Распределения соотношений сторон во многих коллекциях содержат по крайней мере два четко различимых глобальных максимума: около 1.3 и около 1.27. На волне роста популярности золотого сечения во 2-й половине XIX века было бы логично ожидать появления множества картин с соответствующим отношением высоты к ширине, однако анализ не подтвердил эту гипотезу. В другой статье Тротт исследовал положение глаз на более чем миллионе художественных портретов, фотографий лиц, в фильмах и сериалах. Он выяснил, что максимумы распределения высот линии глаз для фотографий и картин находятся в диапазоне от 0,6 до 0,67. Для старинных картин и современных фотографий характерны максимумы в районе 2/3, что соответствует правилу третей. Современные художественные портреты демонстрируют пик высоты линии глаз на графике на уровне 1/ϕ для лиц, снятых крупным планом. Пик графика, обозначающего положение линии глаз для селфи, составляет около 0,7. Лица с обложек журналов и с сайтов различных газет имеют тенденцию к соответствию золотой пропорции. В случае с фотографиями профилей из LinkedIn лица мужчин оказались более соответствующими правилу золотого сечения. Анализ фильмов показывают, что лица, особенно мелкие, оказываются на высоте значительно выше 2/3. Зато анализ современных сериалов показывает, что высота линии глаз персонажей отвечает то правилу третей, то золотому сечению, а иногда – сразу обоим.
Настоящая формула красоты
Так значит, универсальной формулы красоты не существует, и вся эстетика субъективна? Конечно, фразы типа «о красоте не спорят» и «на вкус и цвет все фломастеры разные» звучат как бальзам на душу сторонникам бодипозитива, убеждающим окружающих, что нужно принимать себя таким, какой есть, и что на каждый товар найдётся свой покупатель. Но упрямая статистика показывает нормальное распределение в эстетических вкусах людей: большинство выбирает золотой стандарт, а экзотика нравится единицам. Эволюционные психологи объясняют наши эстетические предпочтения генами: мы склонны выбирать благоприятные для выживания ландшафты вроде африканской саванны и генетически приспособленных партнёров с развитыми половыми признаками, потому что особи с неадаптивными вкусами не проходили естественный отбор. Но разве современное искусство и мода сводятся к генетике? Кажется, культура эпохи постмодерна максимально оторвалась от биологических корней.
В эстетике есть несколько школ, по-разному объясняющих природу красоты. Сводить красоту к единственной значимой форме вроде золотого сечения – это эстетический формализм. Эстетический реализм утверждает, что красота – объективное, независимое от сознания свойство физической реальности. С точки зрения эстетического конвенционализма, красота – это социальный конструкт, результат общественного соглашения, проявление моды и культурно обусловленных стандартов. Как можно заметить, направления философии красоты подозрительно совпадают с направлениями философии математики. Случайно ли это совпадение?
Красота математики занимает в эстетике особое место. Как правило, математики называют красивыми, глубокими или элегантными предельно лаконичные доказательства, использующие минимум исходных постулатов или предыдущих теорем. Также учитывается необычность построения, возможность обобщения для решения схожих проблем и использование теорем из разных областей математики, ранее считавшимися несвязанными. Готфри Харди в своём эссе 1940 г. «Апология математика» отметил три «чисто эстетических качества» красивого результата: «неизбежность», «неожиданность» и «экономичность». Также известно высказывание Бертрана Рассела: «Математика, если ее правильно рассматривать, обладает не только истиной, но и высшей красотой — красотой холодной и строгой, подобной скульптуре, не апеллирующей ни к какой части нашей слабой природы, без великолепных украшений живописи или музыки, но при этом возвышенно чистой и способной к суровому совершенству, которое может показать только величайшее искусство». Одним из самых известных примеров математической красоты является тождество Эйлера. Физики называют красивыми уравнения Максвелла и Эйнштейна. Многие считают красивыми множества Жюлиа и Мандельброта, обладающие на первый взгляд сложной структурой, но порождённые короткой формулой.
Гуманитарии возразят, что математическая красота не имеет ничего общего с художественной красотой, поскольку является продуктом разума, а не чувств. Однако эксперименты по нейровизуализации, проведенные Семиром Зеки, Майклом Атия и их коллегами, показали, что переживание математической красоты имеет в качестве нейронного коррелята активность в поле А1 медиальной орбитофронтальной коры (мОФК) головного мозга, и что эта активность параметрически связана с заявленной интенсивностью красоты. Местоположение активности аналогично местоположению активности, которая коррелирует с переживанием красоты из других источников, таких как изобразительное искусство или музыка.
В 1990-х гг. информатик Юрген Шмидхубер сформулировал на основе алгоритмической теории информации математическую теорию субъективного видения красоты: самые красивые объекты среди тех, что субъекту кажутся сравнимыми между собой, имеют короткие алгоритмические описания (низкую колмогоровскую сложность), и относятся к тому, что наблюдатель уже знает. Отдельно Шмидхубер выделяет «интересность» как первую производную субъективно воспринимаемой красоты: наблюдатель постоянно пытается увеличить предсказуемость и сжать наблюдаемые данные, выявляя такие закономерности, как повторение и симметрия, фрактальное самоподобие. Когда процесс обучения наблюдателя позволяет лучше сжать данные (текущее наблюдение может быть описано меньшим количеством бит, чем предыдущее, и отрезок времени, на котором наблюдатель проявляет заинтересованность, соответствует коэффициенту успешного сжатия и пропорциональна собственному вознаграждению наблюдателя за своё любопытство), речь идёт об интересном, а не о красивом.
А можно ли оценить красоту количественно безотносительно конкретного наблюдателя? Конечно, эстетические ценности и этические нормы нельзя строго вывести из научных теорий, но это не означает, что объективной красоты и морали не существует. Согласно Карлу Попперу, они относятся к миру объективного знания и открываются так же, как и объективные истины – путём вариации и отбора. Физик Дэвид Дойч в книге «Начало бесконечности» развивает эту идею, утверждая, что красота бывает двух типов: парохиальная притягательность в рамках вида, культуры или отдельного человека, и универсальная красота, основанная на знании с широкой сферой охвата и объективная в той же мере, что и законы физики.
Эволюционно можно объяснить, почему нам нравятся спелые фрукты, особи противоположного пола и другие представители нашего вида, иногда представители других, близких к нам видов (млекопитающих), особенно детёныши. Также неудивительно, что мало кто считает красивыми рептилий, земноводных, паукообразных и большинство видов насекомых. Впрочем, можно стать энтомологом и научиться любить жуков, так же, как можно научиться считать ложные научные теории истинными, а истинные – ложными. Но как быть с цветами, которые считаются красивыми практически во всех культурах, не представляя никакой адаптивной ценности? Цветы не эволюционировали специфически ради человека как опылителя, но некоторые черты, выработанные для привлечения насекомых, птиц и других животных, могут пересекаться с тем, что приятно людям: яркие цвета, запах, формы, контраст. Например, в ходе эксперимента с цветками львиного зева (Antirrhinum) было установлено, что людей эстетически больше привлекают те цветы, которые в большей степени привлекательны для шмелей (опылителей), чем те, что привлекают насекомых-вредителей. Черты, эволюционно сконструированные для привлечения животных (яркая окраска, симметрия, запах), одновременно соответствуют и эстетическим предпочтениям человека. Но почему так вышло?
Дэвид Дойч отмечает, что цветы и насекомые в ходе длительной коэволюции выработали сложный код для передачи информации между разными видами. Цветам нужно быть легко узнаваемыми для определённого вида насекомых, но их форма и раскраска должны быть трудноподделываемыми, чтобы их не могли имитировать другие виды цветов. Насекомым, в свою очередь, нужно быть разборчивыми, чтобы выбирать нужные им цветы, а не их подделки. Самый простой способ межвидовой коммуникации с помощью трудно подделываемых механизмов, рассчитанных на то, что их будут распознавать сложно имитируемыми алгоритмами сопоставления образов, заключается в использовании объективных стандартов красоты. Цветам приходится создавать объективную красоту, а насекомым – распознавать её. Как следствие, цветы притягательны только для насекомых, которые приспособились к этому в ходе коэволюции, и людей, которые являются универсальными объяснителями и сами создают объективное знание. Даже без расшифровки кода нам кажется, что цветы эволюционировали с какой-то целью, потому что в самой их структуре заложена эффективная сложность – как в структуре текста, написанного на неизвестном языке.
То же самое можно сказать и о произведениях искусства. Каждый человек в смысле содержащихся в нём знаний и творческой индивидуальности подобен биологическому виду, поэтому передача сигналов через пропасть между двумя людьми аналогична передаче сигналов между разными видами. Для передачи культурной информации мы изобрели естественный язык, но он не может выразить все наши чувства и внутренние переживания. Поэтому художники воплощают свои чувства в картинах, скульптурах, танце и музыке, используя как парохиальные генетические и культурные стандарты, так и объективную красоту. Поскольку художественные проблемы могут возникать из физических фактов и ситуаций, создание шедевра искусства аналогично созданию научной теории. Как и в случае с научными открытиями, настоящий прогресс в искусстве сложен, и любой успех в нём сопряжён с множеством ошибок.
Я весьма далёк от художественного искусства, но считаю объективно красивыми машины. На моём сайте «Автомобильное наследие» (крупнейшая онлайн-энциклопедия по истории автомобилестроения, между прочим) есть статья «Автомобиль как произведение искусства», в которой я отстаиваю идею машины как «движущейся скульптуры», шедевра сразу нескольких видов искусства: инженерного, архитектурного, художественного и даже музыкального. Естественно, речь идет не о четырёхколёсных корытах, которые ездят по улицам современных городов, а о коллекционных автомобилях для настоящих ценителей. Можно возразить, что их красота тоже субъективна, но почему-то мнения большинства автомобильных экспертов, включая меня, сходятся на одних и тех же моделях и отражаются на них семизначными ценниками. Если Ferrari 250 GTO 1962 г. не обладает объективной красотой, тогда почему её продают за $50 млн? Или вот, моя любимая Bugatti Type 57 Atlantic 1937 г., стоит $30-40 млн. Неужели это просто результат консенсуса или совпадение вкусов? А нет, подождите, так они же построены по золотому сечению! Или снова всё устроено немного сложнее?
Гриффит Борхесон, автомобильный историк, писал о Mercedes-Benz 540K Special Roadster следующее: «...гармония и баланс линий и массы...которые просто не поддаются никакому мыслимому улучшению. Это скульптурное совершенство...Многие люди со вкусом считают, что автомобиля прекраснее никогда не будет спроектировано и построено». А вот слова автомобильного дизайнера Билла Митчелла: «Мода, по определению, это мимолётная привычка или обиход по правилам, соответствующим вкусам времени. Хороший дизайн не стареет, он остаётся актуальным всегда и становится классикой. Плохой дизайн никогда не позволит вам забыть о нём и будет преследовать вас вечно». Очевидно, мы можем выделить универсальный критерий красоты – трудноварьируемость: «ни убавить, ни прибавить», «лучше не бывает», «нестареющая классика», «убери хоть один лепесток – красота исчезнет», и т.д. Этот критерий также является и критерием истинности, как мы выяснили в статье «Критерии истины в эпоху постправды». Следовательно, истина и красота тесно взаимосвязаны: всё истинное красиво, а всё красивое истинно.
Вывод
Таким образом, в золотом сечении нет никакой мистики, оно не является свидетельством разумного замысла и не может служить универсальным объяснением появления сложности. Не следует ни наделять золотое сечение особым божественным статусом, ни бездумно отрицать его значимость в математике. Золотое сечение не является универсальной формулой красоты в природе и мерилом для оценки красоты в искусстве. Его можно использовать в композиции и дизайне как вспомогательный инструмент, но оно уж точно не является секретом успеха великих художников и торговых марок с «золотыми» логотипами. Нет никаких исторических документов, показывающих, что античные и средневековые мастера применяли золотое число сознательно. Культ золотого сечения возник не в древности, а в эпоху Возрождения, и был популяризован в XIX-XX веках. В природе золотая пропорция появляется там, где нужно равномерно распределить элементы (листья, семена), сохранить устойчивую форму при росте (раковины), минимизировать энергетические затраты (ветвления, потоки) и достичь оптимальной упаковки (семена, клетки). Это не универсальный закон, а следствие физических и биологических оптимизаций, где золотое число оказывается одним из наиболее эффективных решений.
Число Φ – это просто иррациональная константа, такая же математическая данность, как число Пи, отображающее отношение длины окружности к её диаметру. Вычисление обеих констант – процесс итерационный, то есть предполагающий многократное подставление ответа в исходное условие. В этом суть любой рекурсивной функции, будь то составление последовательности Фибоначчи или построение фрактала. Именно такие функции заложены в алгоритм, по которому наша Вселенная, будучи огромным компьютером, вычисляет сама себя. Поэтому совсем не удивительно, что всё в природе имеет фрактальную структуру, и в некоторых случаях соответствует золотой пропорции. А красивое оно не потому, что является таковым изначально, а потому, что сами критерии красоты сформированы у нас естественным отбором, заточенным на сохранение и воспроизводство энергетически эффективных и пространственно оптимальных организмов. Однако это не исключает существования объективной красоты, обусловленной совсем другим свойством – трудноварьируемостью.
