Это статья является дополнением к большому материалу Симметрия кубика Рубика, где я рассказывал о своем методе сборки зеркальных двусторонних инверсивных паттернов Mirror Dual-Sided Inverse (MDSI) на кубике Рубика. Я посчитал нужным дополнительно объяснить, как эвристически искал доказательство того, что возможно на противоположных сторонах кубика Рубика собрать любой (2-, 3-, 4-, 5- и 6-цветный) MDSI паттерн. Для этого я ввел понятие «зеркало» для среднего слоя, который отражает противоположные стороны и применил правило четности пермутаций.

 ***

Изучение строения куба позволяет определить в его структуре «инверсивные элементы» – пары элементов кубика Рубика, окрашенные в инверсивные цвета: центры, грани, углы. Например, пару инверсивных ребер составляют бело-зеленое и желто-синее; пару инверсивных углов бело-оранжево-синее и желто-красно-зеленое.

При повороте грани кубика Рубика положение меняют 8 его элементов: 4 ребра и 4 угла. Девятый элемент – центр – вращается вокруг собственной оси и его положение на кубе никогда не меняется. 8 – это четная величина, поэтому на кубе возможно только четное количество пермутаций элементов. Под «пермутацией» подразумевается перестановка двух элементов на кубе местами. Например, из состояния, приведенного на рис. 1а невозможно собрать кубик, поскольку требуется только одна пермутация – нечетное число. В таком «неправильном» состоянии кубик может оказаться только, если вынуть ребра физически и поменять им местами, а не вращать грани. При «естественном» состоянии кубика (рис. 1б), когда кубик разобран вращением граней, вернуть его в исходное состояние возможно путем двух или более пермутаций, но их количество всегда будет четным. Назовем это правило «правилом четности пермутаций» (Permutation Parity Rule).

Рис. 1. Примеры «правильного» (а) и «неправильного» (б) состояния кубика Рубика
Рис. 1. Примеры «правильного» (а) и «неправильного» (б) состояния кубика Рубика

Перестановка углов подчиняется правилу четности пермутаций аналогично с перестановкой ребер.

Любой MDSI-паттерн состоит из 8 реберных, 8 угловых и 2 центральных элементов. 4 ребра не задействованы в сборке двустороннего паттерна (рис. 2а). Они находятся на среднем слое – «зеркале» (ввожу этот термин, который отражает физическую суть MDSI-паттернов) – между двумя сторонами паттерна, и их позиционирование для паттерна не требуется (рис. 2б). Это означает, что если инверсивные элементы (ребра или углы), необходимые для формирования паттерна, требуется переместить, то следует поменять два ребра из слоя-зеркала, то есть необходимо осуществить дополнительную пермутацию. Таким образом, вновь работает правило четности пермутаций.

Рис. 2. Средний слой — «зеркало»: (а) инверсивные цветовые пары элементов: кубик в исходном положении (слева) и тот же кубик, повернутый на 180° (справа); (б) поворот «зеркала»
Рис. 2. Средний слой — «зеркало»: (а) инверсивные цветовые пары элементов: кубик в исходном положении (слева) и тот же кубик, повернутый на 180° (справа); (б) поворот «зеркала»

Частным случаем пермутации ребер является их переориентация – то есть разворот на 180 градусов. Это возможно только в паре с другим ребром, поскольку действует правило четности перпутаций. Поэтому, когда требуется перевернуть только одно ребро на одной из сторон паттерна, необходимо перевернуть данное ребро с одним ребром из слоя «зеркала», так как ориентация второго ребра неважна.

Таким образом, правило четности пермутаций и свободная пермутация четырех реберных элементов на слое «зеркало», позволяет говорить, что для сборки MDSI-паттернов:

  • возможно поставить друг напротив друга инверсивные ребра;

  • возможно поставить друг напротив друга инверсивные углы;

  • возможно правильно ориентировать инверсивные ребра;

  • возможно правильно ориентировать инвер��ивные углы.

А значит, возможно собрать любой полноцветный MDSI-паттерн.