Атом в Виртуальной Вселенной (Часть I) / Хабр

Предыдущие части:

Здравствуйте, мои уважаемые читатели.

Исследование так называемой «Виртуальной Вселенной» продолжается и, к счастью, пока не упёрлось ни в окончательные ответы, ни в окончательные разочарования.

До настоящего момента этот цикл был посвящён в основном фундаментальным вопросам: геометрической интерпретации квантовых явлений, роли фазы, происхождению спина, интерференции и электродинамики. В ряде уже опубликованных статей удалось показать, что многие привычные квантовые эффекты могут быть рассмотрены как следствия геометрии фазового пространства, а не как набор независимых постулатов.

Логичным продолжением этой линии могли бы стать два направления. Первое — углублённый анализ квантовой механики, включая вопросы нарушения неравенств Белла и природу правила Борна. Здесь уже получены интересные результаты, однако их аккуратное изложение требует отдельного и довольно технически нагруженного текста, да и я пока ленюсь привести их в публикуемый вид. Второе направление — применение модели к спектру космического микроволнового фона. Общий в��д спектра воспроизводится достаточно точно, однако строгий вывод акустических пиков и поведения высокочастотного «хвоста» требует значительных вычислительных усилий и пока остаётся в работе.

Однако, есть ещё одна интересная область, где можно протестировать теорию. И такой областью является атом.

Атом — это очень хорошо исследованный объект. Его спектры известны с высокой точностью, его устойчивость проверена экспериментом, а любые теоретические допущения в этой области быстро становятся видны. Если геометрический фазовый подход действительно претендует на отражение физической реальности, то он обязан воспроизвести атомную структуру без апелляции к дополнительным квантовым постулатам и без подгонки под известный результат.

Поэтому в данном подцикле мы временно откладываем космологию и фундаментальные интерпретационные споры и переходим к более приземлённой, но куда более строгой проверке: описанию атома. Если теория выдержит этот уровень детализации — разговор можно будет продолжать. Если нет — тем полезнее будет результат.

Итак, приступим.

Здесь нам придётся перейти к визуализации. По-хорошему, это следовало бы сделать ещё в самом начале, но художник из меня — от слова «худо». Поэтому, придётся прибегнуть к открытым источникам и к ИИ (проверим, как он рисует).
Для начала нам нужно показать, что такое SU(2)-вихрь и как выглядит его базовая геометрическая структура, в частности — через расслоение Хопфа. Это необходимо, чтобы понять, как выглядит элементарный SU(2)-вихрь электрона в «дикой природе».

Электрон: как выглядит вихрь SU(2)-фазы

Прежде чем говорить об атоме, нам придётся сделать один шаг назад и разобраться с тем, что вообще представляет собой электрон в рамках фазовой SU(2)-модели. Без этого дальнейший разговор будет неизбежно висеть в воздухе.

Сразу оговорюсь: электрон здесь — не точка, не шарик и не маленькое облачко вероятности. Это топологический дефект фазового поля, живущего не в привычном трёхмерном пространстве, а в пространстве фаз SU(2). На этом месте обычно возникает первый вопрос:

«А как вообще выглядит SU(2)-фаза, и как её можно себе представить?»

SU(2) как трёхсфера

Математически группа SU(2) эквивалентна трёхмерной сфере S³. Это не абстрактная игра слов, а вполне конкретный геометрический факт — каждой возможной ориентации SU(2)-фазы соответствует точка на трёхсфере. Однако, увидеть S³ напрямую невозможно — мы живём в трёхмерном пространстве. Поэтому всё, что мы можем сделать — спроецировать эту структуру на что-то более привычное. И здесь нам поможет хопфовское расслоение.

Хопфовское расслоение показывает следующее: есть трёхсфера S³ — пространство SU(2)-фаз, есть обычная сфера S² (как поверхность глобуса), существует проекция: S³ -> S², при этом каждой точке на S² соответствует целая окружность S¹ в пространстве SU(2).

Фиг.1 (источник: https://math.rice.edu/~jkn3/0_riceUG.pdf)

Это означает, что одна и та же наблюдаемая конфигурация может соответствовать бесконечному числу фазовых состояний, отличающихся вращением вдоль этой окружности.

Если говорить образно, мы видим только направление стрелки, но не видим, как именно она крутится вокруг своей оси. Как это выглядит визуально — если взять одну такую окружность S¹, то это просто замкнутая линия в S³; если взять несколько близких окружностей, то они образуют поверхность, которая локально выглядит как тор. Именно поэтому на иллюстрациях хопфовского расслоения часто рисуют: связанные кольца, вложенные торы или спиральные структуры.

Важно, однако, понимать следующее: глобально вся конструкция не является набором независимых торов; это единая связная структура, где все окружности переплетены таким образом, что нельзя «разрезать» пространство на S² и S¹ независимо. Это и есть нетривиальность Хопфовского расслоения.

Фиг.2 (источник: https://ocw.mit.edu/courses/18-906-algebraic-topology-ii-spring-2020/)

Теперь мы готовы сделать следующий шаг. Электрон в SU(2)-модели — это локальный вихрь фазы, то есть такая конфигурация SU(2)-поля, при обходе вокруг которой фаза делает полный оборот вдоль соответствующей окружности S¹. Проецируясь на наше пространство, этот вихрь выглядит как объект с зарядом и спином. Но в своей основе он является геометрическим дефектом, связанным с тем, как окружности S¹ «скручены» внутри S³.

Ключевой момент здесь в том, что электрон не сидит в одной точке фазового пространства, его фазовая неопределённость принципиально распределена вдоль этой окружности и именно это делает его устойчивым. В дальнейшем мы увидим, что при взаимодействии с протоном эта фазовая структура не может остаться локальной и вынуждена перестраиваться. Но прежде чем переходить к этому, нам нужно чётко понимать, какая геометрия вообще допускает такие перестройки.

Протон: когда фаза замыкается сама на себя

С электроном мы разобрались: это локальный вихрь SU(2)-фазы, связанный с хопфовским расслоением, где фазовая неопределённость естественным образом распределена вдоль окружности S¹. Но если электрон — это дефект, то возникает логичный вопрос, а что тогда представляет собой протон?

Ответ в рамках фазовой модели оказывается неожиданно простым и одновременно более жёстким, чем в случае электрона. Протон — это замкнутая, самосогласованная конфигурация SU(2)-фазы, в которой вихрь не имеет «конца» и не может быть развязан непрерывным образом.

Математически это различие формулируется так: электрон живёт в топологически тривиальном секторе: его фазовый вихрь можно рассматривать как локальный дефект, не изменяющий глобальную топологию пространства. Протон, напротив, соответствует нетривиальному отображению:

$\pi_3(S^3)=\mathbb{Z}$

Это означает, что фазовая конфигурация протона имеет целое топологическое число, которое нельзя изменить никакой плавной деформацией поля. Грубо говоря, фазу можно сколько угодно «мять», но распутать её без разрыва невозможно. Именно поэтому протон устойчив.

Как это выглядит геометрически

Если электрон можно представить как вихрь, который «пронизывает» фазовое пространство, то протон — это вихрь, замкнутый сам на себя. На уровне визуализации это удобно представлять так: фаза закручивается не вокруг одной выделенной окружности, а образует объёмную структуру, где все волокна S¹ переплетены между собой, при этом нет ни начала, ни конца, ни внешнего «якоря».

Именно такую картину и передают изображения с плотными, переплетёнными структурами, где уже невозможно указать «главную» окружность — вся конфигурация работает как единое целое. Это принципиальное отличие от электрона. Протон «жёстче» электрона из-за своей топологии. Протон обладает важным свойством — его фазовая конфигурация не может быть произвольно растянута или сжата без энергетического штрафа. В терминах фазового функционала энергии это означает, что любые попытки локализовать фазу слишком сильно, приводят к росту градиентных членов, а попытки «размазать» её — к росту нелинейных (Skyrme-подобных) вкладов. В результате, протон имеет характерный размер, который не вводится вручную, а определяется балансом фазовой жёсткости. И здесь стоит подчеркнуть — это не «квантовый размер» и не следствие принципа неопределённости. Это геометрический масштаб, возникающий из самой структуры SU(2)-фазы.

Протон как фазовый полюс

В дальнейшем нам будет удобно думать о протоне как о фазовом полюсе. Это не точечный источник поля в привычном смысле, а центр топологической структуры, вокруг которого фазовое пространство организовано определённым образом. В этом смысле протон уже содержит в себе зачатки того, что в атоме станет глобальной конфигурацией. И вот теперь мы подходим к ключевому моменту всей конструкции. Когда электрон и протон находятся далеко друг от друга, их фазовые структуры практически не взаимодействуют. Но при сближении эти две конфигурации вынуждены делить одно и то же компактное фазовое пространство. Именно здесь становится ясно, что электрон не может просто остаться локальным вихрем рядом с протоном. Фаза либо перестроится глобально, либо система окажется энергетически неустойчивой. И это уже путь к пониманию того, как рождается атом.

Итак, мы уже понимаем, что электрон — это локальный SU(2)-вихрь, фазовый дефект без топологического заряда ( $\pi_3(S^3)$ ), но обладающий электрическим зарядом, как проявлением SU(2)-фазовой голономии; протон — замкнутая, топологически нетривиальная конфигурация SU(2)-фазы; оба они существуют как устойчивые решения одного и того же фазового поля.

До тех пор, пока электрон и протон находятся далеко друг от друга, их глобальные фазовые структуры практически не взаимодействуют. В этом режиме каждый из них «живёт своей жизнью» и можно, с хорошей точностью, считать их независимыми. При этом, разумеется, протон и электрон взаимодействуют своими электрическими полями и на больших расстояниях, задолго до того, как расстояние станет сравнимым с атомным масштабом. Это взаимодействие — дальнодействующее, кулоновского типа и в рамках модели оно полностью допустимо, поскольку является локальным проявлением фазовой голономии. Однако, это описание перестаёт работать, как только расстояние между ними становится сравнимым с характерным масштабом фазовой жёсткости. И здесь важно сразу подчеркнуть, что хотя кулоновское притяжение между протоном и электроном никуда не исчезает, формирование атома на этом этапе уже не может быть описано как простое взаимодействие двух точечных объектов. Пространство фаз — общее и компактное SU(2)-фаза определена глобально — на всей трёхсфере S³. Это значит, что фаза электрона и фаза протона не могут существовать в разных пространствах. Они не складываются, как потенциалы; любое локальное изменение фазы автоматически затрагивает всю конфигурацию. Именно здесь компактность глобальной S³ начинает играть решающую роль. В некомпактном пространстве можно было бы бесконечно «раздвигать» фазовые деформации, не платя за это слишком высокой ценой. Но на S³ такой роскоши нет, любой дефект вынужден согласовываться с глобальной геометрией.

Почему локализация перестаёт работать? Представим, что элект��он пытается остаться тем, чем он был до этого — локализованным вихрем SU(2)-фазы рядом с протоном. На интуитивном уровне это означает следующее: фаза должна резко меняться на малых расстояниях, градиенты поля возрастают, появляются сильные коммутаторные (нелинейные) вклады. Если записать энергию фазового поля в самом общем виде, она выглядит примерно так:

$E[\Phi] = \int_{S^3} \left( \kappa\, |\nabla \Phi|^2 \;+\; \alpha\, |[\nabla \Phi, \nabla \Phi]|^2 \right)\, dV$

Это уравнение может выглядеть пугающе, поэтому сразу объясню, что здесь происходит. Первый член под интегралом отвечает за жёсткость фазы — чем резче она меняется в пространстве, тем больше энергия. Второй член — за нелинейные искажения, которые особенно важны, когда фаза пытается «скрутиться» слишком сильно. Ничего экзотического здесь нет. Это стандартная ситуация для нелинейных полевых теорий. И вот, интересный момент — при локализации электронного вихря рядом с протоном оба этих вклада растут очень быстро. Причём, это не кулоновская энергия в привычном смысле. Кулоновский вклад появляется позже, как эффективное описание. Здесь же мы имеем дело с гораздо более фундаментальной вещью — энергией несогласованной SU(2)-фазы.

Таким образом, возникает реальный физический конфликт — электрон «хочет» быть локальным вихрем, протон задаёт глобальную фазовую структуру и пространство фаз компактно и не допускает произвольных конфигураций. В этом конфликте нельзя выиграть локальной настройкой. Система либо находит глобально согласованную конфигурацию, либо оказывается неустойчивой. И здесь мы подходим к важному выводу, что локализованное состояние электрона рядом с протоном не является энергетическим минимумом. Это не гипотеза и не постулат. Это прямое следствие геометрии и фазовой жёсткости. Единственный выход — глобальная перестройка. Когда локальная конфигурация оказывается энергетически невыгодной, у системы остаётся всего один путь — перестроить фазу целиком. И это означает то, что электронный вихрь перестаёт быть точечным, фазовая неопределённость распределяется вдоль допустимого пути, конфигурация начинает соответствовать одной из собственных мод фазового поля на S³. Именно в этот момент и рождается атом — не как связанное состояние двух частиц, а как единая, самосогласованная фазовая структура. Но чтобы понять, какие именно конфигурации допустимы и почему они дискретны, нам придётся сделать ещё один шаг и поговорить о собственных модах на трёхсфере. Это будет уже не философия, а чистая геометрия.

Почему допустимы только резонансные конфигурации (собственные моды на S3)

Итак, мы пришли к важному промежуточному выводу — локализованное состояние электрона рядом с протоном энергетически невыгодно, а значит система вынуждена перестраивать фазу глобально. Но здесь возникает естественный вопрос: хорошо, но во что именно она может перестроиться? Почему возможны какие-то конкретные конфигурации, а не бесконечное множество вариантов? Ответ на этот вопрос даёт не квантовая механика, а геометрия компактного пространства. Компактность — это не украшение, а ограничение: S³ — компактна. Это означает простую и очень важную вещь — на ней не существует волн произвольной длины. Любая распределённая фазовая конфигурация обязана быть замкнутой, однозначной, не иметь разрывов и согласовываться сама с собой на всей сфере. Если говорить совсем просто — на замкнутом пространстве нельзя «колебаться как угодно». Можно только резонировать.

Чтобы говорить об этом строго, нам нужен один математический объект — лапласиан на трёхсфере. Он играет ту же роль, что и обычный лапласиан в трёхмерном пространстве, но учитывает кривизну.

Записывается он так:

$\Delta_{S^3} \psi = \frac{1}{R^2} \left( \frac{\partial^2 \psi}{\partial \chi^2} + 2 \cot\chi \frac{\partial \psi}{\partial \chi} + \frac{1}{\sin^2\chi}\,\Delta_{S^2}\psi \right)$

Выглядит устрашающе, но можно спокойно выдохнуть. Вам не нужно глубоко вникать в это уравнение, важно лишь понять, что этот лаплассиан делает. А делает он следующее — определяет, какие распределённые конфигурации фазы вообще могут существовать на S³. Собственные моды — разрешённые формы фазы. Как и любой лапласиан на компактном пространстве, $\Delta_{S^3}$ имеет дискретный спектр собственных функций:

$\Delta_{S^3} Y_{\ell m n} = -\frac{\ell(\ell+2)}{R^2}\, Y_{\ell m n}, \qquad \ell = 0,1,2,\dots$

смысл здесь предельно простой: $Y_{\ell mn}$ — это допустимые формы распределения фазы, каждая такая форма — глобально согласованная, никаких других устойчивых форм не существует. Полностью аналогично тому, как струна может колебаться только определённым образом, мембрана имеет фиксированные нормальные моды, барабан «звучит» не произвольно. Только здесь «звучит» фаза SU(2)-поля на S³.

Теперь соединим это с нашей физической картиной. Когда электрон и протон сближаются, электронный вихрь вынужден растянуться, фазовая конфигурация должна стать глобальной и единственный способ сделать это без энергетического взрыва — совпасть с одной из собственных мод S³. Именно это и происходит. Электрон не выбирает форму распределения, протон не навязывает орбиту, но пространство фаз разрешает только определённые варианты. Все остальные конфигурации просто неустойчивы.

Важно сразу снять один вопрос. Эта конфигурация не является траекторией, не является движением электрона по окружности, не является орбитой в классическом смысле. Это стационарная фазовая структура. Фаза распределена по всей допустимой геодезической, но ничто никуда не летает и не крутится. Поэтому нет излучения, нет потери энергии, нет «падения на ядро». Атом в этой картине — не динамический процесс, а устойчивое геометрическое состояние.

Теперь мы можем сформулировать ключевой результат — дискретность атомных состояний возникает потому, что компактная трёхсфера допускает только дискретный набор согласованных фазовых конфигураций. Никаких дополнительных правил не требуется. То, что в стандартной квантовой механике вводится как волновая функция, оператор, квантование, здесь появляется автоматически, как свойство геометрии и топологии фазового пространства.

До этого момента я старательно избегал самого привычного слова в атомной теме — «кулоновский потенциал». Не потому что он «неудобен», а потому что в фазовой модели он не должен появляться как аксиома. Он должен выпасть сам, как локальное приближение более общей геометрии. И вот сейчас мы как раз делаем этот мост. Покажем, что кулон в атоме — это функция Грина на S³, а привычный 1/r — её локальный предел.

Почему на компактном пространстве нельзя просто поставить «точечный заряд»

В обычном R³ (нашем трёхмерном пространстве) мы привыкли писать уравнение Пуассона:

$-\Delta V(\mathbf r) = 4\pi\, \alpha_{\rm em}\, Z\, \delta^{(3)}(\mathbf r)$

и оно прекрасно работает. Но на компактном пространстве типа S³ есть проблема, о которой в учебниках по атомной физике обычно не говорят просто потому, что там пространство бесконечное. Проблема очень простая — на замкнутом пространстве нельзя иметь ненулевой суммарный заряд, если мы хотим, чтобы уравнение Пуассона имело решение. Почему? Потому, что интеграл от лапласиана по всему компактному многообразию всегда равен нулю (это, по сути, «нет границы — нет потока»):

$\int_{S^3} \Delta_{S^3} V\, dV = 0$

а значит правая часть тоже должна интегрироваться в ноль. Если справа стоит просто $\delta$ -источник, то интеграл будет $4\pi\alpha Z$ , то есть не ноль, и решение не существует. Иными словами, в компактной Вселенной нельзя «вставить один заряд и забыть». Геометрия не позволит.

Выход стандартный и математически единственный — мы обязаны удалить нулевую моду (то есть постоянную компоненту), иначе уравнение несовместимо. Правильная форма:

$-\Delta_{S^3} V(\Omega) = 4\pi\, \alpha_{\rm em}\, Z \left[ \delta_{S^3}(\Omega,\Omega_0) - \frac{1}{\mathrm{Vol}(S^3)} \right]$

Здесь: $\Omega$ — точка на S³ (углы $\chi,\theta,\phi$ ), $\Omega_0$ — положение «заряда», $\delta_{S^3}$ — дельта-функция на сфере, $Vol(S^3)=2\pi^2R^3$ .

Смысл этого страшного уравнения очень простой: мы берём точечный источник и добавляем к нему равномерный «фон противоположного знака» так, чтобы суммарный заряд по всей сфере был ноль. Физически это ровно то, чего требует компактность. Если Вселенная замкнута, то «заряд» не может быть определён без глобального баланса.

Из-за симметрии S³ потенциал зависит только от геодезического расстояния, то есть от угла $\chi$ между $\Omega$ и $\Omega_0$ .

Решение (с точностью до добавления константы) получается таким:

$V(\chi)= \frac{Z\alpha_{\rm em}}{\pi R}\,(\pi-\chi)\,\cot\chi$ .

Это единственная «кулоновская» функция Грина на S³, которая конечна на антиподе, имеет правильную сингулярность у источника и имеет нулевое среднее по сфере (то есть не содержит нулевой моды). И вот он — кулон: локальный предел r << R.

Чтобы сравнивать с привычной физикой, нам нужна связь между геодезическим углом $\chi$ и «обычным» радиусом r в локальной области. Удобно использовать стереографическую проекцию:

$r = 2R \tan\frac{\chi}{2}$ .

Вблизи источника $\chi << 1$ , и тогда можно разложить:

$\cot\chi = \frac{R}{r} - \frac{r}{4R} + O\!\left(\frac{r^3}{R^3}\right)$

Подставляем это в потенциал и получаем:

$V(r) = \frac{Z\alpha_{\rm em}}{r} - \frac{Z\alpha_{\rm em}}{4}\,\frac{r}{R^2} +\dots +\text{const}$

Вот оно! Первый член — это знакомый нам кулоновский закон $Z\alpha/r$ . Второй член — это кривизная поправка, которая исчезает, если $R -> \infty$ . И всё это получено без единого постулата «потенциал равен 1/r». То есть, кулон в нашей картине — это не фундамент, а локальный отпечаток глобальной геометрии.

Сразу два следствия (и оба принципиальны): атомная физика автоматически становится локальным приближением, если R огромен по сравнению с атомными масштабами, то поправки $\sim r/R$ исчезающе малы, и мы получаем стандартный водород. Мы получаем не только кулон, но и «ручку», за которую можно проверять модель - кривизные поправки предсказывают сверхмалые сдвиги порядка . Обычно они микроскопически малы, но сам факт их существования — это уже логическая подпись модели.

Важно! Вводя функцию Грина на S³, мы не заменяем уже существующий кулоновский потенциал, а уточняем его происхождение: привычный закон 1/r возникает как локальный предел глобального решения уравнения Пуассона на компактном фазовом пространстве.

Уравнение Шрёдингера как приближение (медленная модуляция фазы)

До этого момента мы говорили о глобальной фазовой структуре на S³, о резонансных модах и о том, как в локальном пределе возникает кулоновский потенциал. Но читатель вправе спросить: Хорошо, но где здесь квантовая механика? Где волновая функция, где уравнение Шрёдингера? На что я отвечу — они появляются, но не как фундамент, а как удобный язык описания медленных фазовых изменений.

Начнём с ключевого уточнения. В стандартной квантовой механике волновая функция $\psi(r,t)$ — это объект, смысл которого задаётся аксиоматически: квадрат модуля — вероятность, фаза — «что-то квантовое», оператор — правило измерения. В фазовой SU(2)-модели ситуация иная. Здесь — фундаментальным объектом является SU(2)-фаза, а $\psi$ — это медленно меняющаяся огибающая одной из резонансных мод, описывающая, как глобальная фазовая конфигурация выглядит в локальном приближении. Проще говоря, волновая функция — это проекция глобальной фазовой геометрии на привычный язык.

Ключевой технический шаг — разделение масштабов. Фазовое поле можно записать в виде:

$U(x,t) = U_0(x)\, e^{i\phi(x,t)}$ ,

где — стационарная глобальная конфигурация (резонансная мода на S³), $\phi(x,t)$ — медленно меняющаяся фаза. Это стандартный приём в физике: в механике — разделение быстрых колебаний и медленного движения, в оптике — несущая и огибающая, в теории поля — моды и флуктуации. Именно $\phi$ и становится тем, что мы позже назовём волновой функцией.

Если подставить такое разложение в фазовый лагранжиан и оставить только ведущие члены по медленным изменениям, то динамика \phi подчиняется уравнению вида:

$i\hbar_{\rm eff}\,\frac{\partial \psi}{\partial t} = \left[-\frac{\hbar_{\rm eff}^2}{2m_{\rm eff}}\,\nabla^2 + V(r) \right]\psi$

на этом месте стоит остановиться и сразу объяснить, что здесь происходит.

Да, это уравнение Шрёдингера.Но: $\hbar_{eff}$ здесь — не абстрактная константа природы, а параметр, связанный с фазовой жёсткостью и масштабом S³; $m_{eff}$ — эффективная инерция фазовой моды. То есть уравнение не постулируется, а возникает как уравнение для огибающей фазы.

Что означает волновая функция в этой картине

Теперь можно честно ответить на вопрос, что же такое $\lvert\psi\rvert^2$ ? В данной модели: $\lvert ψ\rvert^2$ — это плотность фазовой энергии. Или, если угодно, мера того, где именно глобальная конфигурация «проявляется» в локальном пространстве. Вероятностная интерпретация здесь не исчезает, но становится производной, а не фундаментальной. Мы не говорим «частица находится здесь с такой вероятностью», но мы говорим «фазовая структура распределена так, что измерения чаще фиксируют возбуждение здесь». Это тонкое, но принципиальное различие.

Очень важно сразу провести границу. Уравнение Шрёдингера работает, когда фазовая модуляция медленная, энергия ниже порога перестройки мод, можно игнорировать нелинейные Skyrme-термы. Но, при высоких энергиях, при сильных возмущениях, при перестройке топологии оно перестаёт быть адекватным. И это не проблема модели — это честное указание области применимости.

Здесь важно сделать паузу и зафиксировать позицию. Мы не подгоняли модель под уравнение Шрёдингера. Мы начали с геометрии, получили глобальные моды, перешли к локальному пределу и увидели, что привычная квантовая механика возникает автоматически. Если бы уравнение Шрёдингера не появилось, это было бы серьёзной проблемой. То, что оно появляется — не доказательство истинности модели, но необходимое условие её жизнеспособности.

Спектр водорода и формула Балмера (и что на самом деле измеряет постоянная Ридберга)

Теперь у нас есть всё необходимое, чтобы сделать шаг, ради которого, собственно, и строилась вся предыдущая конструкция.

У нас есть глобальная фазовая структура на S³, резонансные моды, локальный кулоновский предел, уравнение Шрёдингера как эффективное описание. Осталось проверить, получается ли из этого реальный спектр атома водорода. Если нет — разговор можно заканчивать. Если да — становится интересно.

Напоминание: что именно мы считаем: в локальном приближении динамика медленной фазовой модуляции описывается уравнением Шрёдингера с кулоновским потенциалом:

$\left[ -\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2 - \frac{Z e^2}{r} \right]\psi = E\,\psi$ .

Подчеркну — мы не вводили это уравнение как аксиому, оно уже было получено, как приближение предыдущей главы. Теперь мы просто используем его как удобный язык.

Причина, по которой атом водорода решается аналитически давно известна, но редко осмысляется до конца. Дело не в «удачном потенциале», а в расширенной симметрии. Кулоновская задача обладает скрытой симметрией группы SO(4), которая геометрически связана с тем, что движение в потенциале 1/r эквивалентно движению по большому кругу на сфере более высокой размерности. И это сразу должно насторожить — мы только что говорили о трёхсфере S³. «Случайности не случайны» (С) Мастер УгВэй.

Решение уравнения Шрёдингера для водорода даёт стандартный результат:

$E_n = -\frac{m e^4}{2\hbar^2}\,\frac{1}{n^2}, \qquad n = 1,2,3,\dots$

В обычной квантовой механике этот результат воспринимается как факт. В фазовой SU(2)-модели он приобретает более прозрачный смысл. Число n здесь — не квантовое число по определению, а индекс резонансной моды, мера того, сколько раз фазовая конфигурация «укладывается» вдоль допустимой геодезической, геометрическое число, связанное с длиной пути на S³. Чем больше n, тем больше «размах» фазовой структуры, слабее локализация, меньше энергия связи.

Формула Балмера

Переходы между уровнями приводят к излучению фотонов с частотами:

$h\nu = E_{n_2} — E_{n_1}$ .

Отсюда получается формула Балмера–Ридберга:

$\frac{1}{\lambda} = R \left( \frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2} \right), \qquad n_2 > n_1$ .

Здесь появляется постоянная Ридберга:

$R = \frac{m e^4}{4\pi \hbar^3 c}$ .

И вот тут нужно притормозить, чтобы внести ясность. Что на самом деле измеряет постоянная Ридберга? В стандартной трактовке постоянная Ридберга — это просто комбинация фундаментальных констант. В фазовой геометрической картине у неё появляется ясный физический смысл. Постоянная Ридберга задаёт характерную частоту (или длину волны), соответствующую минимальной резонансной фазовой конфигурации атома. Если перевести это на геометрический язык, то $R^{−1}$ — это масштаб, на котором фазовая жёсткость, кулоновский вклад и геометрия S³ приходят в равновесие. Иначе говоря, Ридберг — это «натуральная частота» атомной S³-моды.

Можно сказать чуть точнее. Энергия основного состояния соответствует первой допустимой глобальной моде, которая согласуется с топологией протона, не создаёт фазового напряжения и укладывается в компактное пространство без разрывов. Все остальные уровни — это возбуждённые моды той же самой геометрии. Таким образом, спектр атома — это спектр колебаний фазовой структуры, формула Балмера — следствие резонанса, а постоянная Ридберга — геометрический масштаб этого резонатора.

Этот результат закрывает сразу несколько вопросов. Почему спектр дискретен — потому что резонанс на компактном пространстве не бывает непрерывным. Почему формула имеет вид — потому что энергия связана с квадратом длины фазового пути. Почему атом устойчив — потому что основная мода стационарна и не излучает. Почему всё это совпадает с экспериментом — потому что локальный предел воспроизводит стандартную физику.

На этом этапе имеет смысл остановиться и подвести промежуточный итог.

В этой части мы рассмотрели основы того, как ведёт себя атом в рамках предложенной фазово-геометрической модели, если смотреть н�� него глазами жителей нашей условной «виртуальной Вселенной». Я сознательно начал с самых общих вещей — геометрии фазового пространства, топологии SU(2), роли компактности и резонансных мод — и шаг за шагом мы дошли до вполне конкретных физических следствий.

В рамках этой картины атом перестаёт быть системой из «частиц и сил» и становится единой самосогласованной фазовой конфигурацией, возникающей как вынужденный компромисс между топологией, геометрией и энергетикой. Мы увидели, как из этих предпосылок естественным образом возникают дискретность состояний, устойчивость атома, кулоновский потенциал в локальном пределе, уравнение Шрёдингера как эффективное описание и, наконец, спектр водорода с формулой Балмера и постоянной Ридберга.

Важно подчеркнуть: на всём этом пути мы старались не вводить дополнительных квантовых постулатов, а рассматривать привычные результаты атомной физики как следствия более общей структуры фазового пространства. Получилось это или нет — читатель может оценить сам; по крайней мере, на уровне водородоподобного атома картина оказывается удивительно самосогласованной.

На этом фундаментальная часть описания атома завершена. Далее нас ждёт куда более жёсткая проверка — переход к многоэлектронным системам, где простые симметрии заканчиваются, а эмпирические правила обычно вводятся «по факту». Именно там теория либо начинает по-настоящему работать, либо быстро обнаруживает свои ограничения.

«Атом в Виртуальной Вселенной (Часть II)»

Атом в Виртуальной Вселенной (Часть I)