В октябре 2024 года появилась новость о том, что Meta*, материнская компания Facebook, решила «неразрешимую» задачу, которая столетие мешала математикам.
В данном случае решал её не человек.
Модель искусственного интеллекта (ИИ), разработанная Meta*, определила, останутся ли решения уравнений, описывающих определённые динамически изменяющиеся системы, такие как колебания маятника или пружины, стабильными и, следовательно, предсказуемыми навсегда.
Ключом к решению задачи было нахождение функций Ляпунова, которые определяют долгосрочную стабильность этих систем.
Работа попала в заголовки новостей и подняла вопрос о возможности, которая когда-то считалась чистой фантастикой: что ИИ вскоре сможет превзойти лучших математиков мира, решая массово «неразрешимые» математические задачи.
Однако, присмотревшись повни��ательнее к этой истории, математики немного умерили энтузиазм. ИИ нашёл функции Ляпунова для 10,1% случайно сгенерированных задач, поставленных перед ним. Это было существенным улучшением по сравнению с 2,1%, решёнными предыдущими алгоритмами, но ни в коем случае не было «квантовым скачком» вперёд. Кроме того, модель нуждалась в значительной помощи со стороны людей, чтобы найти правильные решения.
Подобный сценарий разыгрался в начале этого года, когда Google объявила, что её исследовательская лаборатория DeepMind, занимающаяся искусственным интеллектом, обнаружила новые решения уравнений Навье-Стокса в области гидродинамики. Решения были впечатляющими, но искусственный интеллект всё ещё был далёк от решения более общей задачи, связанной с этими уравнениями, авторы решения которой могли бы получить премию Millennium Prize в размере 1 миллиона долларов.
Если без ажиотажа, насколько близок искусственный интеллект к тому, чтобы заменить лучших математиков мира? Чтобы выяснить это, Live Science обратился к некоторым из лучших математиков мира.
Хотя некоторые эксперты скептически относились к способностям ИИ решать задачи в краткосрочной перспективе, большинство отметило, что эта технология развивается с пугающей скоростью. А некоторые предположили, что в недалёком будущем ИИ сможет доказывать сложные гипотезы — недоказанные математические предположения — в промышленных масштабах, изобретать новые области исследования и решать задачи, о которых мы даже не задумывались.
«Я думаю, что в ближайшем будущем — фактически, в течение следующих нескольких лет — искусственный интеллект станет настолько совершённым, что сможет проанализировать тысячи, а может быть, сотни или десятки тысяч гипотез», — сказал Live Science математик из Калифорнийского университета в Лос-Анджелесе Теренс Тао, лауреат Филдсовской премии (одной из самых престижных наград в области математики) за вклад в решение широкого спектра математических задач. «Итак, мы увидим то, что поначалу покажется весьма впечатляющим: тысячи гипотез будут внезапно доказаны. И некоторые из них могут оказаться весьма значимыми».
От игр к абстрактному мышлению
Чтобы понять, на каком этапе мы находимся в области математики, которую двигает ИИ, полезно посмотреть, как ИИ прогрессировал в смежных областях. Математика требует абстрактного мышления и сложного многоэтапного рассуждения. Технологические компании сделали первые шаги в этом направлении, изучая сложные многоэтапные логические игры.
В 1980-х годах алгоритмы IBM начали добиваться успехов в таких играх, как шахматы. Прошло несколько десятилетий с тех пор, как Deep Blue от IBM победил лучшего на тот момент шахматиста мира Гарри Каспарова, и около десяти лет с тех пор, как DeepMind от Alphabet победил лучшего на тот момент игрока в го Ли Седола. Сейчас системы искусственного интеллекта настолько хороши в таких математических играх, что эти соревнования теряют смысл, потому что искусственный интеллект может побеждать нас каждый раз.
Но чистая математика принципиально отличается от шах��ат и го: в то время как эти две настольные игры представляют собой очень большие, но в конечном счёте ограниченные (или, как сказали бы математики, «конечные») задачи, диапазон, глубина и разнообразие задач, которые может раскрыть математика, не имеют границ.
Во многих отношениях модели искусственного интеллекта, решающие математические задачи, находятся на том же уровне, на котором несколько десятилетий назад были алгоритмы для игры в шахматы. «Они делают то, что люди уже умеют делать», — сказал Кевин Баззард, математик из Имперского колледжа Лондона.
«Шахматные компьютеры стали хорошими, потом стали лучше, а потом стали ещё лучше», — сказал Баззард Live Science. «Но потом, в какой-то момент, они победили лучшего человека. Deep Blue победил Гарри Каспарова. И в этот момент уже можно сказать: „ОК, вот теперь произошло что-то интересное“».
По словам Баззарда, в математике такой прорыв ещё не произошёл.
«В математике у нас ещё не было того момента, когда компьютер сказал бы: „О, вот доказательство теоремы, которую не может доказать ни один человек“», — сказал Баззард.
Математический гений?
Тем не менее, многие математики воодушевлены и впечатлены математическими способностями ИИ. Кен Оно, математик из Университета Вирджинии, посетил организованную OpenAI конференцию «FrontierMath». Оно и около 30 других ведущих математиков мира были поручены разработать задачи для o4-mini — большой языковой модели OpenAI, способной к логическому мышлению, — и оценить её решения.
Увидев в действии чат-бота, прошедшего интенсивную подготовку с участием людей, Оно сказал: «Я никогда раньше не видел такого рода рассуждений в моделях. Так действуют реальные учёные. Это пугает». Он утверждал, что не был единственным, кто высоко оценил ИИ, добавив, что у него есть «коллеги, которые буквально сказали, что эти модели приближаются к математическому гению».
Баззарду эти утверждения кажутся надуманными. «Суть в том, говорила ли нам когда-нибудь какая-либо из этих систем что-то интересное, чего мы ещё не знали? — спросил Баззард. — И ответ — нет».
Скорее, как утверждает Баззард, математические способности ИИ кажутся вполне обычными для человека, обладающего математическими талантами. Этим и прошлым летом специально обученные модели ИИ нескольких технологических компаний пытались ответить на вопросы Международной математической олимпиады (IMO), самого престижного турнира для школьников-«математиков» со всего мира. В 2024 году системы AlphaProof и AlphaGeometry 2 от Deepmind совместно решили четыре из шести задач, набрав в общей сложности 28 баллов — что эквивалентно серебряной медали ММО. Но сначала потребовалось, чтобы люди перевели задачи на специальный компьютерный язык, прежде чем ИИ смог приступить к работе. Затем на решение задач ушло несколько дней вычислительного времени — что значительно превышает 4,5-часовой лимит, установленный для участников-людей.
В этом году турнир стал свидетелем значительного прорыва. Система Gemini Deep Think от Google решила пять из шести задач в пределах установленного лимита времени, набрав в общей сложности 35 баллов. Такой результат у человека был бы достоин золотой медали — достижения, которое удаётся менее 10 % лучших математиков мира.
Задачи исследовательского уровня
Хотя последние достижения ИИ на IMO впечатляют, остаётся дискуссионным вопрос, можно ли считать достижение результатов, сопоставимых с результатами лучших школьников по математике, «гениальным».
Ещё одна проблема при определении математических способностей ИИ заключается в том, что многие компании, разрабатывающие эти алгоритмы, не всегда показывают свою работу.
«Компании, занимающиеся ИИ, как бы закрыты. Когда дело доходит до результатов, они, как правило, пишут посты в блогах, пытаются сделать их вирусными и больше не пишут статей», — сказал Live Science Баззард, чьи собственные исследования находятся на стыке математики и ИИ.
Однако нет сомнений в том, что ИИ может быть полезен в математике исследов��тельского уровня.
В декабре 2021 года исследование математика Оксфордского университета Марка Лакенби с DeepMind было опубликовано на обложке журнала Nature.
Исследования Лакенби относятся к области топологии, которую иногда называют геометрией (математикой форм) с пластилином. Топология задаёт вопрос, какие объекты (такие как узлы, соединённые кольца, крендели или пончики) сохраняют свои свойства при скручивании, растяжении или изгибе. (Классическая математическая шутка заключается в том, что топологи считают пончик и кофейную чашку одинаковыми, потому что у обоих есть одно отверстие).
Лакенби и его коллеги использовали ИИ для генерации гипотез, связывающих две разные области топологии, которые он и его коллеги затем попытались доказать. Этот опыт был поучительным.
Оказалось, что гипотеза была неверна и что для её подтверждения требовалась дополнительная величина, рассказал Лакенби Live Science.
Однако ИИ уже заметил это, а команда «просто проигнорировала это как незначительный шум», сказал Лакенби.
Можно ли доверять ИИ на передовых рубежах математики?
Ошибка Лакенби заключалась в том, что он не доверял ИИ в достаточной мере. Но его опыт свидетельствует об одном из текущих ограничений ИИ в области исследовательской математики: его результаты по-прежнему требуют интерпретации со стороны человека и не всегда заслуживают доверия.
«Одна из проблем ИИ заключается в том, что он не объясняет, в чём заключается эта связь», — сказал Лакенби. «Поэтому нам приходится тратить довольно много времени и использовать различные методы, чтобы немного заглянуть под капот».
В конечном счёте, ИИ не предназначен для получения «правильного» ответа; он обучен находить наиболее вероятный ответ, сказал Live Science Нил Сондерс, математик, изучающий геометрическую теорию представлений в City St George's, Лондонском университете, и автор готовящейся к выходу книги «AI (r)Evolution» (Chapman and Hall, 2026).
«Наиболее вероятный ответ не обязательно означает, что это правильный ответ», — сказал Сондерс.
Ненадёжность ИИ означает, что неразумно полагаться на него для доказательства теорем, в которых каждый шаг доказательства должен быть правильным, а не просто выглядеть разумным.
«Вы не захотите использовать его для написания доказательства по той же причине, по которой вы не захотите, чтобы ChatGPT писал ваш договор страхования жизни», — сказал Сондерс.
Несмотря на эти потенциальные ограничения, Лакенби видит перспективы ИИ в генерации математических гипотез. «Столько разных областей математики связаны друг с другом, но обнаружение новых связей действительно представляет интерес, и этот процесс — хороший способ увидеть новые связи, которые раньше были незаметны», — сказал он.
Будущее математики?
Работа Лакенби демонстрирует, что ИИ может быть полезен в выдвижении гипотез, которые математики затем могут доказать. И несмотря на сомнения Сондерса, Тао считает, что ИИ может быть полезен в доказательстве существующих гипотез.
Самая непосредственная выгода может заключаться не в решении самых сложных задач, а в сборе самых доступных плодов, сказал Тао.
Самые известные математические проблемы, над которыми «десятки математиков уже долгое время работают, вероятно, не поддаются ни одному из стандартных контрпримеров или методов доказательства», сказал Тао. «Но будет много таких, которые поддадутся».
Тао считает, что ИИ может изменить саму суть профессии математика. «Через 20 или 30 лет типичную статью, которую вы видите сегодня, можно будет сделать автоматически, отправив материал ИИ», — сказал он. «Вместо того, чтобы изучать по одной задаче в течение нескольких месяцев, что является нормой, мы будем изучать 10 000 задач в год... и делать вещи, о которых сегодня просто не смеем и мечтать».
Однако он считает, что ИИ не представляет экзистенциальной угрозы для математиков, а математики будут развиваться, чтобы работать с ИИ.
«В прошлом были ситуации, когда целые области математики становились в основном решаемыми с помощью компьютера», — сказал Тао. В какой-то момент даже существовала профессия «вычислитель», добавил он. Эта профессия исчезла, но люди просто перешли к более сложным задачам. «Это не означало, что математика умерла», — сказал Тао.
Эндрю Гранвилл, профессор теории чисел в Университете Монреаля, более осторожен в своих прогнозах относительно будущего этой области. «Я считаю, что не очень ясно, куда мы движемся, — сказал Гранвилл Live Science. — Ясно только то, что всё будет не так, как раньше. Что это означает для нас в долгосрочной перспективе, зависит от нашей способности адаптироваться к новым обстоятельствам».
Лакенби также не считает, что математики-люди обречены на вымирание. Хотя точная степень проникновения ИИ в эту область остаётся неопределённой, он убеждён, что будущее математики неразрывно связано с развитием ИИ.
«Я думаю, что мы живём в интересное время, — сказал Лакенби. — Я считаю очевидным, что ИИ будет играть всё более важную роль в математике».
Meta — деятельность организации запрещена на территории Российской Федерации*
