Углубленно изучая линейную алгебру, любой студент-математик, а иногда физик или инженер, натыкается на такое понятие как двойственное пространство. И в рамках изучения свойств данного объекта возникает следующее утверждение

Утверждение 1. Конечномерное векторное пространство канонически изоморфно второму двойственному пространству $V^{\ast\ast}$ :

$ev:V \rightarrow V^{\ast\ast}, \ v \mapsto ev_v$

где для любого $f \in V^{\ast}$ .

После формулировки утверждения авторы книги/преподаватели на лекции спешат пояснить, что "канонически" = "без выбора базиса", оставляя читателя/слушателя в легком недоумении - почему мы вообще различаем изоморфизм с выбором базиса и без выбора базиса?

На Хабре уже есть одна неплохая статья про естественные преобразования Категории типов. Часть 3. Естественные преобразования, однако не раскрывает некоторые аспекты, которую я хотел бы обсудить (да и страдает от отсутствия примеров за рамками программирования). В этой статье планируется сначала рассказать про двойственное векторное пространство, после чего уже перейти к азам теории категорий и самим естественным преобразованиям. Более предметное обсуждение вопроса, поставленного в начале статьи, будет в следующей части. Стоит предупредить, что статья будет изобиловать этой самой теорией категорий.

Пререквизиты: Векторное пространство, изоморфизм, линейная функция. Ну и не бояться коммутативных диаграмм.

Примечание

Весь материал ниже изложен для векторных пространств над $\mathbb{R}$ , однако легко обобщается на векторные пространства над произвольным полем $\mathbb{K}$ , в частности, евклидовы пространства придется заменить на векторные пространства с симметричной невырожденной билинейной формой.

Глава 0: Двойственные пространства

Прежде чем начать обсуждать естественное преобразование потребуется немного поработать с двойственными пространствами. Читателю будет полезно ознакомиться со статьей про двойственные пространства, в которой приведено довольно много наглядных примеров.

Первое двойственное пространство

Определение 1. Двойственное к векторному пространству пространство $V^{\ast}$ есть набор всевозможных линейных функций (линейных функционалов) $f: V \to \mathbb{R}$ , на котором сложение и умножение на скаляр определяются поэлементно, т.е $\forall f, g \in V^{\ast}, \alpha \in \mathbb{R}$

$(f + g)(v) = f(v) + g(v), \ \ \ (\alpha f)(v) = \alpha \cdot f(v)$

Для каждого базиса $\mathbf{e} = (e_1, e_2, \ldots, e_n)$ в можно построить двойственный базис $\mathbf{e}^{\ast} = (e_1^{\ast}, e_2^{\ast}, \ldots, e_n^{\ast})$ в $V^{\ast}$ , где $e^{\ast}_i (x_1 e_1 + x_2 e_2 + \ldots + x_n e_n) := x_i$ , т.е. $e_i^{\ast}(e_j) = 0$ при $i \neq j$ и $e_i^{\ast}(e_i) = 1$ . Тогда координаты произвольного линейного функционала $f \in V^{\ast}$ определяются значениями на базисных векторах

$f(v) = f(\sum_{i=1}^n x_i e_i) = \sum_{i=1}^n x_i f(e_i) = \sum_{i=1}^n e^{\ast}_i(v)f(e_i) = (\sum_{i=1}^n e^{\ast}_if(e_i))(v)$

Т.е. $f = e_1^{\ast} f(e_1) + \ldots + e_n^{\ast} f(e_n)$ , откуда координаты в базисе $\mathbf{e}^{\ast}$ определяются набором $(f(e_1), \ldots, f(e_n))$ . Тогда получаем равенство $\dim V^{\ast} = \dim V = n$ , из которого следует следующее утверждение

Утверждение 2. Конечномерное векторное пространство изоморфно двойственному пространству $V^{\ast}$ .

Доказательство

Зафиксируем базис $\mathbf{e}$ в и двойственный к нему $\mathbf{e}^{\ast}$ в $V^{\ast}$ , тогда изоморфизм можно построить, сопоставляя с $e_i^{\ast}$ .

Стоит заметить, что при построение изоморфизма мы выбирали базис в , что н��водит на мысль о том, что и $V^{\ast}$ не изоморфны канонически, если только не существует какого-то способа построить такой изоморфизм без выбора базиса.

Но самым важным аспектом двойственного пространства является его следующее свойство

Утверждение 3. Для любого линейного отображения $\phi: V \to W$ существует двойственное ему линейное отображение $\phi^{\ast}: W^{\ast} \to V^{\ast}, \ f \mapsto f \circ \phi$ , которое каждому линейному функционалу $f: W \to \mathbb{R}$ сопоставляет линейный функционал $\phi^{\ast} f: V \to \mathbb{R}$ такой, что его значение на векторе $v \in V$ равно $(\phi^{\ast} f)(v) := f(\phi (v))$ .

Доказательство

Необходимо убедиться, что $f(\phi (v))$ - линейный функционал, что немедленно следует из линейности $\phi$ и

$f(\phi (v_1 + v_2)) = f( \phi (v_1) + \phi (v_2)) = f(\phi(v_1)) + f(\phi(v_2))$ $f(\phi (\alpha v)) = f(\alpha \cdot \phi (v)) = \alpha\cdot f(\phi(v))$

Линейность самого $\phi^{\ast}$ при этом проверяется совершенно аналогично

$\phi^{\ast} (\alpha f + \beta g) = (\alpha f + \beta g) \circ \phi = (\alpha f) \circ \phi + (\beta g) \circ \phi = \alpha \cdot (f \circ \phi) + \beta \cdot (g \circ \phi )$

Таким образом, $\phi^{\ast}$ - линейное отображение.

Второе двойственное пространство

Теперь второе двойственное пространство $V^{\ast\ast}$ можно определить как двойственное пространство к $V^{\ast}$ , т.е. набор линейных функционалов $\phi: V^{\ast} \to \mathbb{R}$ . С первого взгляда абсолютно не понятно, что за функционалы могут лежать в таком пространстве. Однако некоторые функционалы из этого пространства можно довольно легко определить - это функционалы вычисления , которые берут произвольный линейный функционал из $V^{\ast}$ и считают его значение на заданном векторе $v \in V$ ; остается только убедиться в их линейности

$ev_v(\alpha f) = (\alpha f)(v) = \alpha \cdot f(v) = \alpha \cdot ev_v(f)$

Тогда Утверждение 1 говорит нам следующее - если конечномерно, то в $V^{\ast\ast}$ нет никаких других функционалов, кроме .

Предпосылкой этого утверждение является двойственность $V^{\ast\ast}$ по отношению к $V^{\ast}$ . Зафиксируем базис $\mathbf{e}$ в , к нему имеется двойственный $\mathbf{e}^{\ast}$ в $V^{\ast}$ , а к нему имеется двойственный $\mathbf{e}^{\ast\ast}$ в $V^{\ast\ast}$ . Для произвольного $f \in V^{\ast}$ имеем $f = e_1^{\ast} f(e_1) + \ldots + e_n^{\ast} f(e_n)$ , откуда $e^{\ast\ast}_i(f) = f(e_i)$ , т.к. $e_i^{\ast\ast}(e^{\ast}_j) = 0$ при $i \neq j$ и $e_i^{\ast\ast}(e^{\ast}_j) = 1$ при . Это наблюдение позволяет заключить, что $e^{\ast\ast}_i = ev_{e_i}$ и второй двойственный базис целиком сос��оит из функционалов вычисления $\mathbf{e}^{\ast\ast} = (ev_{e_1}, \ldots, ev_{e_n})$ .

Очевидно, что $\dim V^{\ast\ast} = \dim V^{\ast} = \dim V = n$ , откуда $V^{\ast\ast}$ изоморфно . При этом изоморфизм, определенный в Утверждение 1 сопоставляет базис $\mathbf{e}$ базису $\mathbf{e}^{\ast\ast}$ , однако это лишь половина утверждения. Вторая половина говорит нам об естественности этого изоморфизма.

Глава 1. Немного о категориях

Довольно долго мы сторонились слона в комнате - теории категорий. Теперь придется к ней обратиться. И нет, это не от того, что автор хочет выпендриться или он в этой вашей математике так погряз, что уже без теории категорий не может. Проблема в том, что "естественное преобразование" - понятие, которое напрямую зависит от выбранной категории. Например, построенный нами выше изоморфизм и $V^{\ast}$ не является естественным в случае конечномерных векторных пространств, однако если задать на структуру евклидового пространства и выбрать в качестве отображений ортогональные преобразования, то изоморфизм станет естественным.

Стоит сказать что вообще такое категория. Если говорить простым языком, то это такой своеобразный контейнер, содержащий объекты и стрелки (т.е. отображения между объектами), который удовлетворяет следующим двум аксиомам

Если в категории $\mathbf{C}$ есть объект , то в $\mathbf{C}$ существует тождественная стрелка $\text{id}_A: A \to A$ .
Если в категории $\mathbf{C}$ есть две стрелки $f: A \to B$ и $g: B \to C$ , то в $\mathbf{C}$ существует стрелка, являющаяся их композицией, т.е. $g \circ f: A \to C$ .

Определим интересные нам категории

Для примеров я буду иногда использовать категорию $\mathbf{Set}$ всех множеств и отображений между ними.

Среди разнообразных категорий векторных пространств нас интересует категория $\mathbf{Vect_{f, i}}$ конечномерных векторных пространств, стрелками которой являются изоморфизмы векторных пространств и категория $\mathbf{Vect_f}$ конечномерных векторных пространств и всевозможных линейных отображений между ними. А также нас интересует категория $\mathbf{Eucl_f}$ конечномерных евклидовых пространств и ортогональных преобразований между ними.

И еще несколько нужных понятий

Определим понятие (ковариантного) функтора.

Определение 2. Функтором $F: \mathbf{C} \to \mathbf{B}$ из категории $\mathbf{C}$ в категорию $\mathbf{B}$ называется отображение, которое каждому объекту $A \in \mathbf{C}$ сопоставляет объект $F(A) \in \mathbf{B}$ , а каждой стрелке $f: A \to B$ сопоставляет стрелку $F(f): F(A) \to F(B)$ , причем $F(g \circ f) = F(g) \circ F(f)$ и $F(\text{id}_A) = \text{id}_{F(A)}$ . Тогда эндофунктор это функтор $F: \mathbf{C} \to \mathbf{C}$ из категории $\mathbf{C}$ в саму себя.

Пример. Самым простым эндофунктором, определенным для любой категории, является тождественный (или тривиальный) эндофунктор $I_\mathbf{C}$ , который каждому объекту $A \in \mathbf{C}$ сопоставляет тот же самый объект, а стрелке $f: A \to B$ сопоставляет ее саму.

Пример. Классический пример нетривиального эндофунктора находится в категории $\mathbf{Set}$ . Там имеется эндофунктор $\mathcal{P}: \mathbf{Set} \to \mathbf{Set}$ , который множеству сопоставляет его множество всех подмножеств $\mathcal{P}(X)$ . Отображению $f: X \to Y$ он сопоставляет отображение $\mathcal{P}(f): \mathcal{P}(X) \to \mathcal{P}(Y), \ S \mapsto f(S)$ , которое подмножеству $S \in \mathcal{P}(X)$ сопоставляет образ $f(S) \in \mathcal{P}(Y)$ . Очевидно, что $\mathcal{P}(\text{id}_X) = \text{id}_{\mathcal{P}(X)}$ . Проверим сохранение композиции; пусть имеются два отображения $f: A \to B$ и $g: B \to C$ , тогда для всякого подмножества $S \in \mathcal{P}(A)$ справедливо

$\mathcal{P}(g \circ f)(S) = (g \circ f)(S) = g(f(S)) = g(\mathcal{P}(f)(S)) = (\mathcal{P}(g)\circ\mathcal{P}(f))(S)$

Пример. Еще примером нам послужит двойственное пространство и категория $\mathbf{Vect_{f,i}}$ . Эндофунктор $D': \mathbf{Vect_{f,i}} \to \mathbf{Vect_{f,i}}$ сопоставляет конечномерному пространству его двойственное пространство $V^{\ast}$ , а всякой стрелке $\phi: V \to W$ стрелку $D'(\phi): V^{\ast} \to W^{\ast}, \ f \mapsto f \circ \phi^{-1}$ , определенную как $D'(\phi) = (\phi^{\ast})^{-1}$ , т.е. обратную стрелку к стрелке $\phi^{\ast}: W^{\ast} \to V^{\ast}$ , определенной в Утвер��дении 3. На первый взгляд такое сопоставление очень неестественно - в предыдущем примере нам не требовалось существование обратной стрелки и само сопоставление выглядело куда более интуитивным. Связано это с тем, что "естественная" для этого эндофунктора стрелка $\phi^{\ast}: W^{\ast} \to V^{\ast}$ действует в другую сторону, поэтому нам пришлось рассматривать не категорию $\mathbf{Vect_f}$ , а категорию $\mathbf{Vect_{f, i}}$ , чтобы гарантировать, что стрелку $\phi^{\ast}$ удастся обратить. (стоит заметить, что само сопоставление векторных пространств не сопровождается выбором базиса или построением изоморфизма между ними). Композиция и сохранение тождественной стрелки проверяются непосредственно.

Примечание

Вообще эндофунктор $D: \mathbf{Vect_f} \to \mathbf{Vect_f}, \ \ \ D(V) = V^{\ast}, \ \ \ D(\phi) = \phi^{\ast}$ является контравариантным, т.е. на объектах он ведет себя так же, как и обычный (ковариантный) эндофунктор, однако он оборачивает стрелки и композицию, т.е. стрелка $f: A \to B$ переходит в $D(f): D(B) \to D(A)$ и композиция оборачивается $D(g \circ f) = D(f) \circ D(g)$ . Это позволяет говорить об ковариантном функторе в двойственную категорию $D^{op}: \mathbf{Vect_f} \to \mathbf{Vect_f^{op}}, \ \ \ D^{op}(V) = V^{\ast}, \ \ \ D^{op}(\phi) = \phi^{\ast}$ (не стоит цепляться здесь за слово "двойственная", это универсальное свойство любого контравариантного функтора). Именно поэтому мы спускаемся в подкатегорию $\mathbf{Vect_{f, i}}$ , т.к. она изоморфна своей двойственной категории $\mathbf{Vect_{f, i}^{op}}$ , что в свою очередь позволяет превратить функтор $D^{op}: \mathbf{Vect_{f,i}} \to \mathbf{Vect_{f,i}^{op}}$ в эндофунктор $D': \mathbf{Vect_{f,i}} \to \mathbf{Vect_{f,i}}$ . Делается это при помощи композиции функтора обращения стрелок $R: \mathbf{Vect_{f,i}^{op}} \to \mathbf{Vect_{f,i}}, \ \ \ R(V) = V, \ \ \ R(\phi) = \phi^{-1}$ и функтора $D^{op}$ , т.е. $D' = R \circ D^{op}$ .

Ну и настало время последнего понятия из теории категорий - естественное преобразование или стрелка между функторами

Определение 3. Естественным преобразованием функторов $F, G: \mathbf{C} \to \mathbf{B}$ называется функция $\eta: F \to G$ , которая всякому объекту $X \in \mathbf{C}$ сопоставляет стрелку $\eta_X: F(X) \to G(X)$ таким образом, что для всякой стрелки $f: X \to Y$ следующая диаграмма коммутирует

Тогда естественный изоморфизм между функторами $F, G: \mathbf{C} \to \mathbf{B}$ есть естественное преобразование $\eta: F \to G$ , для которого существует обратное естественное преобразование $\eta^{-1}: G \to F$ , т.е. такое естественное преобразование, что $\eta \circ \eta^{-1} = \text{id}_G$ и $\eta^{-1} \circ \eta = \text{id}_F$ (про $\text{id}_F$ написано чуть ниже).

Пример. Очевидно, что для всякого эндофунктора существует тождественное преобразование $\text{id}_F: F \to F$ , которая всякому объекту $X \in \mathbf{C}$ сопоставляет тождественную стрелку $\text{id}_{F(X)}: F(X) \to F(X)$ , что автоматически приводит к равенству $\text{id}_{F(Y)} \circ F(f) = F(f) \circ \text{id}_{F(X)}$ для любой стрелки $f: X \to Y$ .

Пример. В нашей категории для примеров $\mathbf{Set}$ существует известное естественное преобразование $\eta: I_{\mathbf{Set}} \to \mathcal{P}$ . Каждому множеству $X \in \mathbf{Set}$ оно сопоставляет стрелку $\eta_X: X \to \mathcal{P}(X), \ x \mapsto \{x\}$ . Тогда необходимо проверить коммутативность следующей диаграммы для каждой стрелки $f: X \to Y$

$\eta_Y \circ f = \mathcal{P}(f) \circ \eta_X$

$\eta_Y \circ f = \mathcal{P}(f) \circ \eta_X$

Для любой точки $x \in X$ с одной стороны

$(\eta_Y \circ f )(x) = \eta_Y(f(x)) = \{f(x)\}$

А с другой стороны

$(\mathcal{P}(f) \circ \eta_X) (x) = \mathcal{P}(f)(\{x\}) = f(\{x\}) = \{f(x)\}$

Таким образом, диаграмма выше коммутирует, а это значит, что $\eta: I_{\mathbf{Set}} \to \mathcal{P}$ действительно естественное преобразование. За этими всеми строгими проверками скрывается довольно простая интуиция - эндофунктор $\mathcal{P}$ в некотором смысле описывает поведение эндофунктора $I_{\mathbf{Set}}$ .

Пример/Утверждение 1. Настало время завершить доказательство Утверждения 1, т.е. частично ответить на поставленный в начале статьи вопрос. Для начала придется определить эндофунктор второго сопряженного пространства $D^2: \mathbf{Vect_f} \to \mathbf{Vect_f}$ . Очевидно, что каждому $V \in \mathbf{Vect_f}$ он сопоставляет $V^{\ast\ast} \in \mathbf{Vect_f}$ , а вот преобразование стрелок определить чуть сложнее. Для этого каждой стрелке $\phi: V \to W$ мы сопоставим двойственную стрелку $\phi^{\ast}: W^{\ast} \to V^{\ast}, \ f \mapsto f \circ \phi$ из Утверждения 3, а ей в свою очередь сопоставим такую же двойственную стрелку $\phi^{\ast\ast}: V^{\ast\ast} \to W^{\ast\ast}, \ ev_{v} \mapsto ev_{v} \circ \phi^{\ast}$ . Пока не очень ясно, что вообще такое $ev_{v} \circ \phi^{\ast}$ . Однако мы знаем, что $\phi^{\ast}$ принимает на вход линейные функционалы $g \in W^{\ast}$ . Тогда справедлива следующая цепочка

$(ev_v \circ \phi^{\ast})(g) = ev_v (\phi^{\ast}(g)) = ev_v(g \circ \phi) = (g \circ \phi)(v) = g(\phi(v)) = ev_{\phi(v)}(g)$

Таким образом $ev_v \circ \phi^{\ast} = ev_{\phi(v)} \in W^{\ast\ast}$ - функционал вычисления, который функционалу $g \in W^{\ast}$ сопоставляет значение в точке $\phi(v) \in W$ . Остается только проверить композицию и действие на тождественной стрелке. Пусть $\psi: V \to U$ и $\phi: U \to W$ , тогда $\psi^{\ast\ast}: V^{\ast\ast} \to U^{\ast\ast}, \ ev_v \mapsto ev_{\psi(v)}$ и $\phi^{\ast\ast}: U^{\ast\ast} \to W^{\ast\ast}, \ ev_u \mapsto ev_{\phi(u)}$ , что позволяет сказать

$(\phi \circ \psi)^{\ast\ast}(ev_v) = ev_{(\phi \circ \psi)(v)} = ev_{\phi(\psi(v))}= \phi^{\ast\ast} (ev_{\psi(v)}) = \phi^{\ast\ast} (\psi^{\ast\ast}(ev_v)) = (\phi^{\ast\ast} \circ \psi^{\ast\ast})(ev_v)$

Для тождественной стрелки все проще

$(\text{id}_V)^{\ast\ast}(ev_v) = ev_v = \text{id}_{V^{\ast\ast}}(ev_v)$

Примечание

Эндофунктор $D^2: \mathbf{Vect_f} \to \mathbf{Vect_f}$ обычно определяется как композиция контравариантного функтора $D: \mathbf{Vect_f} \to \mathbf{Vect_f}$ с самим собой.

Построив функтор второго двойственного пространства, мы теперь можем определить тождественное преобразование $ev: I_{\mathbf{Vect}_f} \to D^2$ аналогичным Утверждению 1 образом, т.е. $ev_V: V \rightarrow V^{\ast\ast}, \ v \mapsto ev_v$ . Тогда для любой стрелки $f: V \to W$ необходимо проверить на коммутативность следующую диаграмму

$ev_W \circ f = f^{\ast\ast} \circ ev_V$

$ev_W \circ f = f^{\ast\ast} \circ ev_V$

Для произвольной точки $v \in V$ с одной стороны имеем

$(ev_W \circ f)(v) = ev_W (f(v)) = ev_{f(v)}$

А с другой стороны

$(f^{\ast\ast} \circ ev_V)(v) = f^{\ast\ast}(ev_v) = ev_{f(v)}$

Действительно, является естественным преобразованием, обратное к нему преобразование $ev^{-1}: D^2 \to I_{\mathbf{Vect}_f}$ определяется достаточно прямолинейным образом $ev^{-1}_V: V^{\ast\ast} \rightarrow V, \ ev_v \mapsto v$ .

Примечание

Здесь, кстати, существенно, что изоморфно $V^{\ast\ast}$ как векторное пространство, это позволяет нам гарантировать, что все функционалы в $V^{\ast\ast}$ есть функционалы вычисления , а это уже позволяет сказать, что для всякого функционала точно найдется вектор , который можно однозначно сопоставить . В общем случае для произвольных векторных пространств это не так (в частности, это всегда не так для бесконечномерных пространств).

Проверка происходит совершенно аналогично проверке выше, поэтому я ее пропущу. Таким образом, изоморфизмы $ev_V: V \rightarrow V^{\ast\ast}, \ v \mapsto ev_v$ на самом деле представляют собой естественный изоморфизм эндофункторов $I_{\mathbf{Vect}_f}$ и . В рамках линейной алгебры этот факт можно трактовать так - если конечномерно, то $V^{\ast}$ есть двойственное пространство к , а есть двойственное пространство к $V^{\ast}$ .

Примечание

У этого факта в рамках линейной алгебры есть довольно хорошее применение - на всяком конечномерном вектором пространстве можно ввести билинейное отображение $V \times V^{\ast} \to \mathbb{R}, \ (v, f) \mapsto f(v)$ . Если при этом зафиксировать базис $\mathbf{e} = (e_1, e_2, \ldots, e_n)$ в , а в $V^{\ast}$ взять двойственный $\mathbf{e}^{\ast}$ , то записав $v = (v_1, v_2, \ldots, v_n)$ и $f = (f_1, f_2, \ldots, f_n)$ в координатах наших базисов, мы получим

$f(v) = f(\sum_{i=1}^n v_i e_i) = \sum_{i=1}^n v_i f(e_i) = \sum_{i=1}^n v_i f_i$

Т.е. получим в точности скалярное произведение. Стоит заметить, что это неканоническая конструкция, т.к. взяв в $V^{\ast}$ другой базис, мы получим другое скалярное произведение. В бесконечномерном случае все сложнее - схожая конструкция существует, однако ее не получиться построить через $V \times V^{\ast} \to \mathbb{R}, \ (v, f) \mapsto f(v)$ .

Пока на этом все; в этой части я изложил весь теормин, чтобы в следующей части говорить более предметно. Во второй части планируется поговорить про неестественность изоморфизма и $V^{\ast}$ , как говорить о базисе, как о стрелке, да и в общем некоторые необходимые условия для того, чтобы называть какой-то изоморфизм каноническим или неканоническим.

Естественные преобразования. Часть 1