Естественные преобразования. Часть 2 / Хабр

Это продолжение предыдущей статьи про естественные преобразования. В прошлой статье мы разобрали теормин, и закончили на доказательстве Утверждения 1 (нумерация продолжается с предыдущей статьи). В данной статье мы обсудим преобразование между и $V^{\ast}$ и некоторые необходимые условия для того, чтобы называть какой-то изоморфизм каноническим или неканоническим, после чего немного поговорим про "каноничность".

Пререквизиты: прошлая статья, ядро и образ линейного отображения, евклидово пространство, ортогональные преобразования, отношение эквивалентности

Глава 2. Немного про первое двойственное пространство

В прошлой статье я упомянул, что изоморфизм $\text{conj}_{(V, \mathbf{e})}: V \to V^{\ast}, \ e_i \mapsto e_i^{\ast}$ , который фиксированному базису $\mathbf{e} \in V$ сопоставляет двойственный базис $\mathbf{e}^{\ast} \in V^{\ast}$ , не является естественным. Интуиция у такого предположения довольно простая - двойственность может нарушаться под действием стрелок и .

Для примера рассмотрим трехмерное векторное пространство и зафиксируем там некоторый базис $\mathbf{e} = \{e_1, e_2, e_3\}$ и двойственный $\mathbf{e}^{\ast}= \{e_1^{\ast}, e_2^{\ast}, e_3^{\ast}\}$ . Тогда при изоморфизме $f: V \to W$ зафиксируем в базис $\mathbf{f(e)} = \{f(e_1), f(e_2), f(e_3)\}$ и двойственный к нему $\mathbf{f(e)^{\ast}} = \{f(e_1)^{\ast}, f(e_2)^{\ast}, f(e_3)^{\ast}\}$ . При этом также зафиксируем еще два базиса $\mathbf{a} = \{2f(e_1), f(e_2), f(e_3) \}$ , $\mathbf{b} = \{f(e_1) + f(e_2), f(e_2), f(e_3) \}$ в пространстве . Тогда двойственный к $\mathbf{a}$ базис имеет вид $\mathbf{a}^{\ast} =\{f(e_1)^{\ast}/2, f(e_2)^{\ast}, f(e_3)^{\ast}\}$ , а двойственный базис к $\mathbf{b}$ имеет вид $\mathbf{b}^{\ast} =\{f(e_1)^{\ast}, f(e_2)^{\ast} - f(e_1)^{\ast}, f(e_3)^{\ast}\}$ . Если при этом преобразование базиса $\mathbf{e}$ в $\mathbf{a}$ представить в виде линейной функции $g: V \to W$ , то можно показать, что функции $\text{conj}_{(V, \mathbf{e})}: V \to V^{\ast}$ и $\text{conj}_{(W, \mathbf{f(e)})}: W \to W^{\ast}$ не образуют естественного преобразования между эндофункторами $I_{\mathbf{Vect_{f,i}}}$ и в категории $\mathbf{Vect_{f, i}}$ . Для этого рассмотрим Диаграмму 1

$\text{conj}_{(W, \mathbf{f(e)})} \circ g = D'(g) \circ \text{conj}_{(V, \mathbf{e})}$

Тогда для точки $e_1 \in V$ с одной стороны

$(\text{conj}_{(W, \mathbf{f(e)})} \circ g)(e_1) = \text{conj}_{(W, \mathbf{f(e)})}(2f(e_1)) = 2f(e_1)^{\ast}$

А с другой стороны

$(D'(g) \circ \text{conj}_{(V, \mathbf{e})})(e_1) = D'(g)(e^{\ast}_1) = e^{\ast}_1 \circ g^{-1} = f(e_1)^{\ast}/2$

Что и доказывает некоммутативность Диаграммы 1 в общем случае. Понятно, что похожие манипуляции можно провести для любой пары $(V, \mathbf{e})$ и $(W, \mathbf{f(e)})$ , чтобы добиться некоммутативности диаграммы для каждой пары отображений $\text{conj}_{(V, \mathbf{e})}$ и $\text{conj}_{(W, \mathbf{f(e)})}$ , т.е. для любых двух базисов $\mathbf{e} \in V$ и $\mathbf{h} \in W$ существует стрелка (причем единственная, если сохранять порядок базисных элементов) $f: V \to W$ , которая переводит базис $\mathbf{e}$ в базис $\mathbf{h} = \mathbf{f(e)}$ , а тогда для всякой такой пары базисов найдется стрелка $g: V \to W$ , которая делает Диаграмму 1 некоммутативной.

Однако расходиться на этом не стоит. Мы показали, что есть стрелки, при которых Диаграмма 1 не коммутирует, однако теперь хочется найти стрелки, которые будут делать эту же диаграмму коммутативной. Для этого зададимся следующим вопросом. Пусть у нас есть базис $\mathbf{e} \in V$ и есть изоморфизм $f: V \to V$ , который переводит базис $\mathbf{e}$ в базис $\mathbf{f(e)}$ ; а можно ли как то выразить двойственный к $\mathbf{f(e)}$ через $\mathbf{e^{\ast}}$ ?

Примечание

Здесь и вплоть до евклидовых пространств мы для удобства будем рассматривать только стрелки $f: V \to V$ . Обобщение на стрелки $g: V \to W$ , как и в рассуждении выше, происходит с помощью единственной стрелки $f: V \to W$ , сопоставляющей заданному базису $\mathbf{e} \in V$ базис $\mathbf{f(e)} \in W$ .

Стоит начать с рассмотрения отображения $D'(f): V^{\ast} \to V^{\ast}, \ g \mapsto g \circ f^{-1}$ и описания образа двойственного базиса $\mathbf{D'(f)(e^{\ast})}$ . Образом базисного элемента $e^{\ast}_i$ служит $e^{\ast}_i \circ f^{-1}$ . Тогда если подставить вектор в $e^{\ast}_i \circ f^{-1}$ , то получиться в точности

$(e^{\ast}_i \circ f^{-1})(f(v)) = e^{\ast}_i((f^{-1} \circ f)(v)) = e^{\ast}_i(v)$

Отсюда немедленно следует, что двойственным к $\mathbf{f(e)}$ является базис $\mathbf{D'(f)(e^{\ast})}$ . Теперь хочется, чтобы при изоморфизме $\text{conj}_{(V, \mathbf{e})}$ базис $\mathbf{f(e)}$ перешел в $\mathbf{D'(f)(e^{\ast})}$ . Для этого обратимся к матрицам. Пусть - матрица стрелки $f: V \to V$ в базисе $\mathbf{e}$ . Тогда для справедлива следующая выкладка

$D'(f)(g) = g \circ f^{-1} = (g(e_1), \ldots, g(e_n)) A^{-1}=(A^{-1})^{T}(g(e_1), \ldots, g(e_n))$

Отсюда следует, что для стрелки $f: V \to V$ образ базисного элемента это $A \cdot e_i$ , а для $D'(f): V^{\ast} \to V^{\ast}$ и базисного элемента $e_i^{\ast}$ это $(A^{-1})^T \cdot e_i^{\ast}$ . Стрелка $\text{conj}_{(V, \mathbf{e})}$ отправит $A \cdot e_i$ в $A \cdot e_i^{\ast}$ . Тогда равенство достигается в случае $(A^{-1})^T \cdot e_i^{\ast} = A \cdot e_i^{\ast}$ откуда получается достаточное условие коммутативности, то есть если $(A^{-1})^T = A$ , то Диаграмма 1 коммутативна. Очевидно, что это и необходимое условие, то есть если Диаграмма 1 коммутативна, то $(A^{-1})^T = A$ .

Мы только что доказали следующий критерий коммутативности Диаграммы 1

Утверждение 4. Диаграмма 1 коммутативна тогда и только тогда, когда для матрицы линейного отображения $f: V \to V$ , записанной в базисе $\mathbf{e}$ , выполняется $(A^{-1})^T = A$ .

Стоит заметить, что такие матрицы называются ортогональными и возникают они при изоморфизмах евклидовых пространств. Это наводит на мысль, что на при помощи $\text{conj}_{(V, \mathbf{e})}$ можно определить скалярное произведение. И действительно, если рассмотреть билинейную функцию $V \times V^{\ast} \to \mathbb{R}, \ \langle v, g \rangle \mapsto g(v)$ , то зафиксировав базисы $\mathbf{e} \in V$ , $\mathbf{e}^{\ast} \in V^{\ast}$ и записав $v = (v_1, v_2, \ldots, v_n)$ , $g = (g_1, g_2, \ldots, g_n)$ в координатах наших базисов, мы получим что то похожее на скалярное произведение

$\langle v, g \rangle = g(v) = g(\sum_{i=1}^n v_i e_i) = \sum_{i=1}^n v_i g(e_i) = \sum_{i=1}^n v_i g_i$

При этом если подействовать на стрелкой , а на стрелкой , то значение билинейного отображения не измениться

$\langle f(v), D'(f)(g) \rangle = \langle f(v), g \circ f^{-1} \rangle = (g \circ f^{-1})(f(v))=g(v)$

Что в терминах матриц выглядит похоже на Утверждение 4

$\langle f(v), D'(f)(g) \rangle = \langle A\cdot v, (A^{-1})^T \cdot g \rangle =g(v)$

Стоит отметить, что скалярное произведение это билинейное отображение $V \times V \to \mathbb{R}$ , поэтому его мы определяем в точности как $(v, w) = (\text{conj}_{(V, \mathbf{e})}(w))(v)$ или равносильное ему $(v, w) = (\text{conj}_{(V, \mathbf{e})}(v))(w)$ . Отсюда следует связь с билинейным отображением выше $(v, w) = \langle v, \text{conj}_{(V, \mathbf{e})}(w) \rangle = \langle w, \text{conj}_{(V, \mathbf{e})}(v) \rangle$ .

Базис $\mathbf{e} \in V$ , с помощью которого определялось скалярное произведение, станет ортонормированным

$(e_i, e_j) = (\text{conj}_{(V, \mathbf{e})}(e_j))(e_i) = e_j^{\ast}(e_i) = \delta_{ij}$

где $\delta_{ij}$ - символ Кронекера, что и является условием ортонормированности базиса.

Примечание

Стоит отметить, что построенное относительно $\text{conj}_{(V, \mathbf{e})}$ скалярное произведение (и, соответственно, евклидово пространство $V_{\mathbf{e}}$ , которые мы обозначаем таким образом, чтобы подчеркнуть выбор базиса $\mathbf{e} \in V$ при построении $V_{\mathbf{e}}$ ) позволяет говорить об ортогональных преобразованиях $f: V_{\mathbf{e}} \to V_{\mathbf{e}}$ и ортонормированных базисах. Сам базис $\mathbf{e} \in V_{\mathbf{e}}$ становиться ортонормированным, а любой другой ортонормированный базис $\mathbf{h} \in V_{\mathbf{e}}$ единственным образом определяется с помощью ортогонального преобразования $f: V_{\mathbf{e}} \to V_{\mathbf{e}}$ . Любой ортонормированный базис $\mathbf{f(e)} \in V_{\mathbf{e}}$ всегда порождает (с помощью $\text{conj}_{(V, \mathbf{f(e)})}$ ) евклидово пространство $V_{\mathbf{f(e)}}$ , изоморфное $V_{\mathbf{e}}$ , причем изоморфизмом является ортогональное преобразование $f: V_{\mathbf{e}} \to V_{\mathbf{e}}, \ \mathbf{e} \mapsto \mathbf{f(e)}$ . Это означает, что $\text{conj}_{(V, \mathbf{f(e)})}$ коммутирует относительно тех же самых стрелок, что и $\text{conj}_{(V, \mathbf{e})}$ .

Евклидовы пространства

После перехода к евклидовым пространствам необходимо переформулировать утверждение об естественном изоморфизме и $V^{\ast}$ в терминах категории $\mathbf{Eucl_f}$ .

Пусть на векторном пространстве зафиксировано скалярное произведение . Всякая стрелка $f: V \to W$ в этой категории является изоморфизмом, который сохраняет скалярное произведение, т.е. .

Всякий функционал можно описать в терминах скалярного произведения, а именно $(g, -) = g \in V^{\ast}$ (или $(-, g) = g \in V^{\ast}$ ). Если теперь $\mathbf{e} \in V$ ортонормированный базис, то двойственной к нему базис есть в точности $\mathbf{e^{\ast}} = \{(e_1, -), (e_2, -), \ldots, (e_n, -)\}$ , т.к. $(e_i, -) = e^{\ast}_i \in V^{\ast}$ . И действительно, $(e_i, e_j) = \delta_{ij} = e^{\ast}_i(e_j)$ .

Опишем эндофунктор $D': \mathbf{Eucl_f} \to \mathbf{Eucl_f}, \ D'(V) = V^{\ast}, \ D'(\phi) = (\phi^{\ast})^{-1}$ . Для этого нам достаточно описать следующее преобразование $D'(\phi): V^{\ast} \to W^{\ast}, \ f \mapsto f \circ \phi^{-1}$ . Так как для любого функционала значе��ие в точке $v \in V$ равно , тогда значение функционала $f \circ \phi^{-1}$ в точке $\phi(v) \in W$ равно в точности , что приводит к следующей выкладке

$(\phi(f), \phi(v)) = (f, v) = f(v) = (f \circ \phi^{-1}, \phi(v))$

Отсюда следует, что $D'(\phi)((f, -)) = (\phi(f), -)$ . Т.е. в категории $\mathbf{Eucl_f}$ преобразование $D'(\phi)$ описывается в точности как $D'(\phi): V^{\ast} \to W^{\ast}, \ (f, -) \mapsto (\phi(f), -)$ .

Сформулируем теперь само утверждение об естественности изоморфизма

Утверждение 5. Изоморфизм $\text{conj}_V: V \to V^{\ast}, \ v \mapsto (v, -)$ является естественным изоморфизмом между эндофункторами $I_{\mathbf{Eucl_f}}$ и .

Доказательство. Для начала докажем, что $\text{conj}_V$ естественное преобразование. Для этого для каждого ортогонального преобразования $g: V \to W$ проверим на коммутативность следующую диаграмму

$\text{conj}_W \circ g = D'(g) \circ \text{conj}_V$

Для произвольной точки $v \in V$ с одной стороны

$(\text{conj}_W \circ g)(v) = \text{conj}_W(g(v)) = (g(v), -)$

А с другой стороны

$(D'(g) \circ \text{conj}_V)(v) = D'(g)((v, -)) = (g(v), -)$

Обратное преобразование определяется как $\text{conj}_V^{-1}: V^{\ast} \to V, \ (v, -) \mapsto v$ . Благодаря одинаковой размерности $\dim V^{\ast} = \dim V$ это отображение является изоморфизмом. Проверка происходит совершенно аналогично проверке выше, поэтому я ее пропущу. Итого мы получили, что между эндофункторами $I_{\mathbf{Eucl_f}}$ и существует естественный изоморфизм $\text{conj}_V$ .

Примечание

Категория $\mathbf{Eucl_f}$ является натурализатором преобразования $\text{conj}_{(V, \mathbf{e})}$ в категории $\mathbf{Vect_{f,i}}$ т.е. максимальной такой подкатегорией, в которой это преобразование естественно.

Глава 3. Обобщение

Необходимые условия естественности преобразования

Стоит сказать, что есть большая разница между естественными преобразованиями (в частности, естественными изоморфизмами) и просто стрелками в некоторой категории $\mathbf{C}$ . Для того, чтобы задаваться вопросом естественности в категории $\mathbf{C}$ , необходимо рассмотреть набор стрелок $T_X: G(X) \to F(X)$ для каждого объекта $X \in \mathbf{C}$ , а также иметь два ковариантных эндофунктора $F, G: \mathbf{C} \to \mathbf{C}$ (для простоты пусть $G = I_{\mathbf{C}}$ ), т.е. просто взять случайную стрелку $T: X \to Y$ и проверить ее на естественность нельзя - нужно определить семейство стрелок (еще называемое как инфраестественное преобразование, однако мы будем называть его просто преобразование) и функтор $F: \mathbf{C} \to \mathbf{C}$ .

При этом одно и то же преобразование может быть сопоставлено двум разным функторам и быть в одном случае естественным преобразованием, а в другом нет.

Пример. Преобразование $\text{id}_V: V \to F(V), \ v \mapsto v$ в категории $\mathbf{Vect_{f, ic}}$ (подкатегория в $\mathbf{Vect_{f, i}}$ с теми же самыми объектами, любые две стрелки которой коммутируют, т.е. $g \circ f = f \circ g$ ) является естественным преобразованием, если $F = I_{\mathbf{Vect_{f, ic}}}$ и не является таковым, если , где

$S: \mathbf{Vect_{f, ic}} \to \mathbf{Vect_{f, ic}}, \ S(V) = V, \ S(f) = f^2$

Это действительно функтор, т.к. $S(\text{id}_V) = \text{id}_V$ и $S(g \circ f) = (g \circ f)^2 = g^2 \circ f^2 = S(g) \circ S(f)$ .

При этом если у нас зафиксирован функтор , то два разных преобразования могут одновременно являться естественными (или даже естественными изоморфизмами).

Пример. Функтор $G = I_{\mathbf{Vect_{f, i}}}$ в соответствующей категории естественно изоморфен самому себе относительно, например, любого преобразования $f_{(V, a)}: V \to V, \ v \mapsto a \cdot v$ , где $a \neq 0$ . При этом для фиксированного базиса $\mathbf{e} \in V$ преобразования $f_{(V, \mathbf{e})}: V \to V^{\ast\ast}, \ \mathbf{e} \mapsto \mathbf{e^{\ast\ast}}$ также определяют естественный изоморфизм между функторами $I_{\mathbf{Vect_f}}$ и , несмотря на то, что для их определения требуется базис. Напомню, что $D^2(g): V^{\ast\ast} \to W^{\ast\ast}, \ ev_v \mapsto ev_{g(v)}$ , откуда для любого $e_i \in \mathbf{e}$ с одной стороны

$(f_{(W, \mathbf{h})} \circ g)(e_i) = f_{(W, \mathbf{h})}(g(e_i)) = f_{(W, \mathbf{h})}(\sum_{i=1}^m \lambda_i h_i) = \sum_{i=1}^m \lambda_i ev_{h_i} = ev_{\sum_{i=1}^m \lambda_ih_i} = ev_{g(e_i)}$

, где мы считаем, что $g(e_i) = \sum_{i=1}^m \lambda_i h_i$ , а $\sum_{i=1}^m \lambda_i ev_{h_i} = ev_{\sum_{i=1}^m \lambda_ih_i}$ верно, т.к.

$(\alpha ev_v + \beta ev_w)(f) = \alpha ev_v(f) + \beta ev_w(f) = \alpha f(v) + \beta f(w) = f(\alpha v + \beta w) = ev_{\alpha v + \beta w}(f)$

для любого функционала . С другой стороны верно

$(D^2(g) \circ f_{(V, \mathbf{e})})(e_i) = D^2(g)(ev_{e_i}) = ev_{g(e_i)}$

Только что мы смогли построить естественное преобразование с помощью базиса (обратное строиться и проверяется аналогично, поэтому это естественный изоморфизм), хотя в предыдущей статье строили его без использования базиса. Это приводит нас к мысли, что "каноничность" этого изоморфизма хоть и связана с базисом, но отнюдь не с возможностью построить изоморфизм "без выбора базиса", т.к. мы могли н�� знать о преобразовании $ev_V: V \to V^{\ast\ast}, \ v \mapsto ev_v$ , но все равно построить естественный изоморфизм.

Все это приводит к тому, что для однозначного определения естественности преобразования нам необходимо:

Зафиксировать категорию $\mathbf{C}$ .
Зафиксировать ковариантный эндофунктор $F: \mathbf{C} \to \mathbf{C}$ .
Зафиксировать преобразование $T_X: X \to F(X)$ для каждого объекта $X \in \mathbf{C}$ .

Опишем теперь понятие "изоморфизм без выбора базиса" в категории $\mathbf{Vect_f}$ .

Без выбора базиса

Базис векторного пространства обычно определяется как набор линейно независимых векторов $\{v_1, \ldots, v_n\}$ , линейная оболочка которых совпадает со всем пространством. Однако мы попытаемся определить это понятие с помощью стрелок. Линейную оболочку векторов $\{v_1, \ldots, v_n\} \in V$ можно определить как образ линейного отображения $f: \mathbb{R}^n \to V, \ \delta_{i} \mapsto v_i$ , где $\delta_{i} = (\delta_{1,i}, \delta_{2,i}, \ldots, \delta_{n,i})$ - строка из символов Кронекера. Это совпадает с классическим определением линейной оболочки, т.к. всякая конечная сумма $\lambda_1 v_1 + \lambda_2 v_2 + \ldots + \lambda_n v_n$ это в точности образ вектора $(\lambda_1, \lambda_2, \ldots, \lambda_n)$ при линейном отображении . Линейная независимость накладывает на линейное отображение требование инъективности, т.к. если не инъективен, то у него нетривиальное ядро $\ker f$ , а это означает, что существует нетривиальная линейная комбинация векторов из $\{v_1, \ldots, v_n\} \in V$ , которая равна 0. Совпадение линейное оболочки со всем пространством дает требование сюръективности, т.к. образ должен быть всем . Таким образом, всякий базис пространства это образ $\delta_i \in \mathbb{R}^{\dim V}$ при некотором изоморфизме $f: \mathbb{R}^{\dim V} \to V$ . В обратную сторону это тоже верно - при изоморфизме $f: \mathbb{R}^{\dim V} \to V$ образ $\delta_i \in \mathbb{R}^{\dim V}$ всегда является базисом. Это соответствие позволяет зафиксировать базис в с помощью выбора изоморфизма $f: \mathbb{R}^{\dim V} \to V$ . Этот подход хорош тем, что у нас есть сразу 2 универсальных объекта - координатное n-мерное векторное пространство $\mathbb{R}^n$ и произвольные стрелки $f: \mathbb{R}^n \to V$ . Этот подход можно развить и прийти к концепции арифметического пространства, т.е. работать только с координатными пространствами $\mathbb{R}^m$ и стрелками между ними. Тогда определить понятие "изоморфизм без выбора базиса" можно в таком контексте. Однако есть и альтернативный подход.

Зафиксируем произвольный эндофунктор $F: \mathbf{Vect_f} \to \mathbf{Vect_f}$ и зафиксируем преобразование $T_{V}: V \to F(V)$ , которое для каждого $V \in \mathbf{Vect_f}$ является изоморфизмом. Обозначим за $\text{Aut}(V)$ всевозможные изоморфизмы $f: V \to V$ . Тогда на группе $\text{Aut}(V)$ (групповая операция это композиция стрелок) можно ввести следующее отношение эквивалентности

$f \thicksim_{T} g \Leftrightarrow T_V \circ g \circ f^{-1} = F(g \circ f^{-1}) \circ T_V$

Доказательство

Рефлексивность $f \thicksim_S f$ очевидна.
Симметричность $f \thicksim_S g \Leftrightarrow g \thicksim_S f$ . Из $f \thicksim_S g$ можно написать такую цепочку преобразований

$T_V \circ g \circ f^{-1} = T_V \circ (g \circ f^{-1})^2 \circ (f \circ g^{-1}) = F^2(g \circ f^{-1}) \circ T_V \circ (f \circ g^{-1})$

откуда $F(g \circ f^{-1}) \circ T_V \circ (f \circ g^{-1}) = T_V$ , что и равно $g \thicksim_S f$ . Здесь существенно, что это изоморфизм.

Транзитивность $f \thicksim_S g, g \thicksim_S h \Rightarrow f \thicksim_S h$ . Для доказательства достаточно тождество для $g \thicksim_S h$ домножить справа на $g \circ f^{-1}$ .

Примечание. Стоит заметить, что существует и схожее данному отношение эквивалентности

$f \thicksim_{T'} g \Leftrightarrow T_V \circ g^{-1} \circ f = F(g^{-1} \circ f) \circ T_V$

Тогда класс эквивалентности $[\text{id}_V]_{\thicksim_{T}}$ образует подгруппу в $\text{Aut}(V)$ из всех таких $f \in \text{Aut}(V)$ , что $T_V \circ f = F(f) \circ T_V$ (так, кстати, можно получить ортогональную группу $\text{O}(n)$ с точностью до изоморфизма групп. Для этого достаточно взять ). Теперь скажем, что $T_V =T_{(V, \mathbf{e})}: V \to F(V), \ \mathbf{e} \mapsto \mathbf{\overline{e}}$ сопоставляет некоторый базис $\mathbf{e} \in V$ базису $\mathbf{\overline{e}} \in F(V)$ . Если теперь мы возьмем $f \in [\text{id}_V]_{\thicksim_{T}}$ , то получим $T_{(V, \mathbf{e})} \circ f = F(f) \circ T_{(V, \mathbf{e})}$ , откуда можно вытащить, что имеют одинаковые матрицы в базисах $\mathbf{e}, \mathbf{\overline{e}}$ соответственно. Следовательно, $T_{(V, \mathbf{f(e)})} = F(f) \circ T_{(V, \mathbf{e})} \circ f^{-1}$ , т.к. это равенство выполняется на уровне матриц (матрица отображения $f^{-1}$ задет преобразование базиса $\mathbf{f(e)}$ в $\mathbf{e}$ . Тогда на уровне матриц верно $T_{(V, \mathbf{f(e)})} = A^{-1} \circ T_{(V, \mathbf{e})} \circ A$ ). Отсюда получаем, что $T_{(V, \mathbf{f(e)})} = T_{(V, \mathbf{e})}$ для всех $f \in [\text{id}_V]_{\thicksim_{T}}$ . В случае, когда выполняется $[\text{id}_V]_{\thicksim_{T}} = \text{Aut}(V)$ , преобразование можно задать на любом базисе $\mathbf{e} \in V$ без изменения его естественности, что мы и будем интерпретировать как "без выбора базиса".

P.S.

Уже после написания статьи я заметил, что отношение эквивалентности

$f \thicksim_{T'} g \Leftrightarrow T_V \circ g^{-1} \circ f = F(g^{-1} \circ f) \circ T_V$

Более естественно в нашем контексте, т.к. для элементов $f \in [\text{id}_V]_{\thicksim_{T'}}$ справедливо

$f \thicksim_{T'} g \Leftrightarrow T_{(V, \mathbf{f(e)})} \circ g = F(g) \circ T_{(V, \mathbf{e})}$

Заинтересованному читателю предлагаю развить эту идею самостоятельно.

Это объясняет почему у нас удалось задать преобразование $f_{(V, \mathbf{e})}: V \to V^{\ast\ast}, \ \mathbf{e} \mapsto \mathbf{e^{\ast\ast}}$ и все равно получить естественное преобразования, несмотря на фиксацию базиса.

Выводы

После всего изложенного выше ответ на вопрос из первой статьи будем таким:

Из возможности построить тот или иной изоморфизм без выбора базиса еще не следует какое-то хорошее и интересное свойство. Однако если рассматривать не один изоморфизм, а целое инфраестественное преобразование, то это как минимум упростит нам проверку его естественности, а как максимум подарит нам полезное свойство.
При этом иногда для построения таких естественных изоморфизмов может понадобиться дополнительная структура, как было в случае с двойственным пространством и скалярным произведением, благодаря которой этот изоморфизм можно построить без выбора базиса. Однако знание такой структуры не является чем-то необходимым для доказательства естественности.