С начала 1980-х годов в среде энтузиастов кубика Рубика обсуждались алгоритмы сборки, поиск оптимальных решений и «числа Бога», симметрии и паттерны. Но до конца 1990-х годов на повестке дня практически не обсуждалась тема мозаик из кубиков Рубика. В 1997 году доктор теоретической физики Хана Байзек из Иллинойса опубликовала книгу Mathematics of the Rubik’s Cube Design, где рассматривала кубики Рубика в качестве модулей для трехмерного художественно-математического проектирования. В книге была изложена концепция управления цветами, симметрией и ориентацией кубов при построении 3D-мозаик и скульптур, отличавшихся от обычных плоских мозаик, с которыми в то время уже начали экспериментировать некоторые любители кубика.
В этой статье я расскажу о наследии Байзек и современных экспериментах с 3D-мозаиками и скульптурами из кубиков Рубика.
Идеи Ханы Байзек
Имя Ханы Байзек (Hana M. Bizek) редко встречается в задокументированной истории кубика Рубика, но ее идеи были передовыми на этапе становления рубиккубического дизайна конца 1990-х – начала 2000-х годов, а выступления и публикации на математических конференциях можно считать первым научным осмыслением мозаик из кубиков Рубика.
В 1998–1999 годах Байзек активно участвовала в обсуждениях сообщества Cube-Lovers – одного из главных интеллектуальных центров энтузиастов кубика Рубика того времени (20-летний архив которого с 1980 по 2000 годы сохранен на сайте проекта cube20). Она поднимала вопросы визуализации трехмерных структур из десятков кубиков Рубика, предлагая использовать зеркальный стол для съемки всех граней или интерактивный апплет для вращения 3D-композиций.
Байзек развивала идею Rubik’s Cube Kingdom – концептуального «королевства кубика Рубика», где куб рассматривался как медиум в искусстве, математике и науке. Она предлагала исследовать фракталы и клеточные автоматы, создавать 3D-композиции с подавлением части цветов для усиления визуальной симметрии и разрабатывала концепцию parity pairs – зеркальных пар кубов с обратной ориентацией цветов на боковых гранях (правой и левой – L/R). Это позволяло бы создавать сложные симметричные структуры, уменьшать число используемых цветов (до 3–5 вместо 6) и строить фрактальные прототипы, такие как губка Менгера – трехмерный аналог более известной «ковровой салфетки» Серпинского. Разница в том, что ковер Серпинского двумерный, а губка — трехмерная.
В качестве нулевой итерации берется кубик в собранном состоянии без рисунка. Первая итерация – это куб с заранее заданным паттерном, который играет роль зерна. На кубике Рубика 3×3×3 собирается известный точечный паттерн, где основной цвет играет роль фона и символизирует «материю», а цвет центрального элемента (цвет точки) обозначает «пустоту». То есть Реальные отверстия не создаются – они моделируются цветом.
Далее вводится строгое правило самоподобной итерации. При переходе от n-й итерации к (n+1)-й каждый малый кубик (cubie) рассматривается отдельно. Если в n-й итерации он имеет фоновый цвет, он заменяется целым кубом с исходным паттерном-зерном. Если же кубик имеет цвет отверстия, он заменяется «чистым» кубом, полностью окрашенным в цвет отверстия – таким образом отверстие как бы увеличивается в масштабе.
Применяя это правило к зерну, соответствующему губке Менгера, Байзек получает вторую итерацию: окружающие кубики заменяются кубами с паттерном, а центральный куб, являющийся «дырой», остается пустым (цветовым). На следующем шаге процедура повторяется абсолютно тем же образом, но уже для всех кубиков новой структуры. За счет этого правило автоматически обеспечивает самоподобие, а сама губка Менгера возникает как последовательность итераций, каждая из которых является увеличенной версией предыдущей.
Кл��чевая идея Байзек состоит в том, что фрактал здесь понимается не как геометрический объект с реальными пустотами, а как алгоритм проектирования, реализуемый через цвет, масштабирование и замену модулей. Благодаря этому губка Менгера становится реализуемой с помощью кубиков Рубика и одновременно сохраняет свои математические свойства – самоподобие и дробную размерность.
Эту модель Байзек представила в 2000 году на одной из признанных международных научных конференций по математике в искусстве Bridges. В своей работе The Rubik's-Cube Design Problem она формализует задачу создания 3D-композиций из кубиков и связывает ее с математикой через фрактальную геометрию, показывая, как ограниченные правила окраски и ориентации кубиков позволяют создавать сложные, самоподобные структуры.
На Bridges 2002 в работе Vasarely Design and Other Non-Cubical Designs Байзек расширяет рамки экспериментов, демонстрируя возможности нестандартных форм. Она приводит примеры дизайнов, вдохновленных оп-артом (оптиче��ким искусством) и работами Виктора Вазарели, где кубики выходят за привычные кубические сетки и становятся частью сложных архитектурно-художественных структур.
Оп-арт играет на особенностях оптического восприятия человека, когда наш разум разрывается между двумя вариантами из-за проблемы перспективы. Эта особенность была открыта швейцарским кристаллографом Луи Альбаном Неккером в 1832 году. Если мы смотрим на кубы, то чувство перспективы, на которое мы полагаемся для создания трехмерной интерпретации двухмерного изображения, проецируемого на сетчатку, нарушается: не существует единственного трехмерного изображения, которое бы создавало эту двухмерную проекцию. Мозг строит две модели куба, каждая с разной ориентацией в пространстве, и переключается между ними, показывая нам обе возможные перспективы. Эксплуатируя эту неоднозначность обработки изображений, возникли целые художественные движения. Виктор Вазарели, венгерско-французский художник, считающийся отцом оп-арт, и другие представители оптического искусства создавали сложные изображения, которые используют неопределенность в идентификации мозгом соседних точек и линий, которые он выстраивает между ними так, что перспектива постоянно меняется.
В своих новых кубических скульптурах Байзек сохраняет внимание к симметрии и контролю цвета с использованием parity pairs, но дает больше свободы для экспериментов с формой и пространством, что делает конструкции еще более разнообразными и визуально впечатляющими. Она подробно описывала алгоритм создания своих дизайнов:
Сначала проектируется локальный модуль – то есть узор на одном отдельном кубике. Паттерн должен учитывать допустимые повороты, паритеты и ориентации элементов. Фактически создается «строительный блок» всей будущей композиции. На этом этапе определяется, какие цвета будут играть роль фона, какие – акцентов, какие – «пустот» (если речь о фрактальных или структурных дизайнах).
Затем наступает этап color control – контроля согласованности цветов. Здесь проверяется, как отдельные кубы взаимодействуют друг с другом при соприкосновении граней. Важно, чтобы при стыковке цвета продолжались корректно: линии не обрывались, фоны совпадали, «дыры» расширялись согласно правилу самоподобия. Это уже не работа с отдельным объектом, а с системой. По сути, задаются правила глобальной совместимости, чтобы множество локально корректных кубов образовали цельный рисунок. Для Байзек контроль цвета был сравним со стратегией в шахматах, где необходимо думать на несколько шагов вперед.
И только после этого происходит финальная сборка – пространственная композиция. Кубы располагаются в соответствии с выбранной блочной моделью (например, 3×3×3 или более сложной конфигурацией). На этом этапе реализуется трехмерная структура: ступени, усечения, фрактальные итерации или иные пространственные формы. Если предыдущие два шага выполнены правильно, итоговая конструкция собирается как 3D-пазл без дополнительной «подгонки».
Идеи Байзек эволюционировали от формализации алгоритмов и правил сборки 3D-композиций до экспериментов с фракталами и нестандартными формами. Ее работы показывают, что кубик Р��бика может быть полноценным материалом для искусства, науки и алгоритмического дизайна.
Современные эксперименты со скульптурами и трехмерными мозаиками из кубиков Рубика
В середине 2000-х французский уличный художник Invader основал направление в искусстве, которое назвал «рубиккубизм». О его мозаиках я уже рассказывал в своих статьях на Хабре. Его работы – это преимущественно «плоские» мозаики, но он создал и несколько скульптур из кубиков Рубика, которые сегодня оцениваются на рынке искусства в десятки тысяч евро.
Арт-студия Cube Works из Торонто также известна рубиккубическими мозаиками, в том числе трехмерными моделями, как, например, инсталляция по мотивам компьютерной игры Super Mario для одной из своих выставок.
В интернете популярна довольно любопытная скульптура Rubik's Cube Thinker неизвестного автора.
Итальянский художник Джовани Контарди реализовал любопытный 3D-проект: он воссоздал из кубиков Рубика в масштабе 1:1 знаменитый комод Calamobio, созданный архитектором и дизайнером Алессандро Мендини.
Одним из впечатляющих примеров оптических 3D‑мозаик из кубиков Рубика стала работа испанца Эрнесто Фернандеса к 40-летнему юбилею кубика Рубика. В Национальном музее науки и технологии в Ла‑Корунье был представлен трехмерный портрет Альберта Эйнштейна, собранный из 4444 кубиков Рубика. Композиция собрана на трех перпендикулярных друг другу плоскостях, а изображение меняется в зависимости от угла обзора: с одного ракурса портрет читается четко, а при смещении позиции зрителя узор визуально «движется» и слегка искажается, создавая эффект глубины и объема.
Аналогичную технику использовал в 2020 году индийский рубиккубист Харипрасад, собравший портрет Махатмы Ганди, использовав около 600 кубиков Рубика.
Я в своих работах из кубиков Рубика также экспериментирую с визуальными эффектами и различными формами: футбольный мяч, скейтборд, кроссовки…
Крутите кубик, и пусть всё сложится!
