Вычислительная геометрия, или как я стал заниматься олимпиадным программированием.Часть 1

    Здравствуйте, уважаемые хабравчане! Это моя вторая статья, и мне хотелось бы поговорить о вычислительной геометрии.

    Немного истории


    Я являюсь студентом уже 4 курса математического факультета, и до того как я начал заниматься программированием, я считал себя математиком на 100 процентов.

    В конце первого курса мой преподаватель по информатике, который занимается олимпиадным программированием, обратил на меня внимание. Им как раз не хватало одного математика в команду. Так потихоньку меня начали приучать к олимпиадному программированию. Скажу честно, для меня это было очень сложно: для человека, который узнал слово Delphi на первом курсе. Однако мой преподаватель оказался очень грамотным специалистом и нашел хороший подход ко мне. Он начал давать мне математические задачи, который я сначала решал чисто математически, а уже потом писал код (с грехом пополам).

    Мне очень нравится подход моего преподавателя: «разберись с этой темой, а потом расскажи нам, да так чтоб мы все поняли».

    Итак, первой на самом деле важной задачей, с которой мне поручили разобраться, было именно вычислительная геометрия, необходимо было разобраться в типичных задач этого раздела информатики. И я решил подойти к этой задаче со всей ответственностью.

    Я помню, как долго мучился с этими задачами, чтобы они прошли все тесты на сайте informatics.mccme. Зато теперь я очень рад, что прошел через все испытания и знаю, что же такое задачи вычислительной геометрии.

    Вступление


    «Вычислительная геометрия – это раздел информатики, изучающий алгоритмы решения геометрических задач. Такие задачи возникают в компьютерной графике, проектировании интегральных схем, технических устройств и др. Исходными данными в такого рода задачах могут быть множество точек, набор отрезков, многоугольники и т.п. Результатом может быть либо ответ на какой-то вопрос, либо какой-то геометрический объект».

    Поскольку статья является достаточно большой я решил разбить ее на две части: первая часть посвящена многоугольникам, вторая – взаимному расположению различных геометрических объектов.

    Немного теории о векторах


    Отрезок, для которого указано, какой из его концов считается началом, а какой — концом, называется вектором. Любая точка пространства также может рассматриваться как вектор. Такой вектор называется нулевым. Начало и конец нулевого вектора совпадают, и он не имеет какого-либо определенного направления.
    image

    Длиной ненулевого вектора AB называется длина отрезка AB. Длина нулевого вектора считается равной нулю.
    Два ненулевых вектора называются коллинеарными, если они лежат на одной прямой или на параллельных прямых. Если два ненулевых вектора AB и CD коллинеарны и если при этом лучи AB и CD сонаправлены, то векторы AB и CD называются сонаправленными, а если эти лучи не являются сонаправленными, то векторы AB и CD называются противоположно направленными. Нулевой вектор принято считать сонаправленным с любым вектором.

    Скалярное произведение векторов

    Скалярное произведение векторов — это число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними.
    (a, b) = |a||b|cos∠(a, b)
    image
    Если векторы заданы своими координатами a(x1, y1), b(x2, y2) то скалярное произведение (a, b) = x1x2 + y1y2.

    Косое произведение векторов

    Псевдоскалярным или косым произведением векторов на плоскости называется число
    [a, b] = |a||b|sinθ
    где image — угол вращения (против часовой стрелки) от a к b. Если хотя бы один из векторов a и b нулевой, то полагают [a, b] = 0.
    Если векторы заданы своими координатами a(x1, y1), b(x2, y2) то косое произведение [a, b] = x1y2 — x2y1.
    Геометрически косое произведение векторов представляет собой ориентированную площадь параллелограмма, натянутого на эти вектора.
    image

    Косое произведение векторов в задачах вычислительной геометрии занимает такое же почетное место, как рекурсии в комбинаторике. Это своего рода жемчужина вычислительной геометрии. Практически каждая задача вычислительной геометрии имеет более простое решение с помощью косового произведение вместо лобового решения.

    А теперь займемся практикой


    Начнем с треугольников
    image

    Задача №1

    Задача очень простая, а именно: по введенным трем числам a, b, c определить существует ли треугольник с такими сторонами.

    Решение
    Понятно, что здесь нужно только проверить неравенство треугольника: a + b > c, a + c > b, b + c > a. Интересно, при изучении неравенства треугольника только ли у меня возник вопрос: не могут ли отрицательные числа тоже удовлетворять этим трем неравенствам? Оказывается, нет! Если мы сложим каждое неравенство, то получим a > 0, b > 0, c > 0. Поэтому неравенство треугольника является необходимым и достаточным условием существования треугольника.

    Задача №2

    Задача является очень похожей на предыдущую с той разницей, что треугольник задан не сторонами, а координатами вершин.

    Решение
    С первого взгляда решение кажется очевидным: вычислить стороны треугольника и свести задачу к предыдущей. Однако поскольку расстояние между двумя точками A(x1, y1), B(x2, y2) вычисляется по формуле √(x1-x2)2+(y1-y2)2 то при извлечении корня возможна потеря точности, что плохо скажется на проверке неравенства треугольника. Оказывается, что если треугольник задан координатами своих вершин, то вычислять длины его сторон и проверять неравенство треугольника не требуется. В этом случае треугольника не существует тогда и только тогда, когда данные три точки лежат на одной прямой. А это легко проверяется через косое произведение векторов. Если оно равно нулю, то векторы коллинеарные, то есть все три точки лежат на одной прямой.
    image

    Во всех следующих задачах будем считать, что треугольник существует, поскольку процедуру проверки существования треугольника мы только что рассмотрели.

    Задача №3

    Треугольник задан своими сторонами. Определить тип треугольника: тупоугольный, прямоугольный или остроугольный.

    Решение
    Вспомним, что представляют собой каждый вид треугольника.

    image

    Из курса геометрии известно, что напротив большей стороны лежит больший угол (он нам и нужен). Поэтому если мы выясним чему равен больший угол, то поймем тип треугольника:
    1. Угол больше 90° – треугольник тупоугольный
    2. Угол меньше 90°– треугольник остроугольный
    3. Угол равен 90°– треугольник прямоугольный
    Воспользуемся теоремой косинусов:
    image

    Очевидно, что если косинус угла больше нуля то угол меньше 90°, если он равен нулю, то угол равен 90°, если он меньше нуля, то угол больше 90°. Однако немного поразмыслив можно понять, что вычислять косинус угла не обязательно, необходимо учесть лишь его знак:
    • Если cosα > 0, то a2 < b2 + c2 – треугольник остроугольный
    • Если cosα = 0, то a2 = b2 + c2 – треугольник прямоугольный
    • Если cosα < 0, то a2 > b2 + c2 – треугольник тупоугольный
    где a – большая сторона.

    Задача №4

    Задача аналогична предыдущей задаче, только треугольник задан не своими сторонами, а координатами вершин.

    Решение
    Аналогично задаче 2 можно сказать, что эта задача полностью сводится к предыдущей задаче (так оно и есть). Однако, как и во второй задаче, решение можно упростить. Вообще, если треугольник задан координатами своих вершин, то всегда легче работать с ним через вектора, нежели вычислять стороны. Аналогично предыдущей задаче, необходимо определить каким является наибольший из углов треугольника. Вид угла легко определяется по знаку скалярного произведения образующих его векторов: оно положительно для острого угла, равно нулю для прямого угла и отрицательно для тупого угла. Поэтому необходимо посчитать все три скалярных произведения и перемножить их и по знаку данного числа можно судить о типе треугольника.

    Задача №5

    По данным сторонам треугольника найти его площадь.

    Решение
    Очевидно решение, заключается в применение формулы Герона.
    image
    Кстати, никого не интересовало доказательство этой формулы?
    Доказательство
    image
    Вот и все!

    Задача №6

    Вычислить площадь треугольника заданного координатами своих вершин.

    Решение
    Не будем говорить о решении, которое сводится к предыдущей задачи, а попробуем воспользоваться геометрическим смыслом косового произведения. Геометрически косое произведение двух векторов определяет ориентированную площадь параллелограмма натянутого на эти вектора. Поскольку диагональ параллелограмма разбивает его на два равновеликих треугольника, то можем найти площадь нашего треугольника, как половину площади параллелограмма.
    Для векторов a(x1, y1), b(x2, y2)
    image
    S = (x1y2 — x2y1) / 2 — ориентированная площадь треугольника

    Задача №7

    Дана точка и треугольник заданный координатами своих вершин. Определить лежит ли точка внутри, на границе или вне этого треугольника.

    Решение
    У этой задачи есть два принципиально разных решения. Начнем с наименее привлекательного.

    Метод площадей
    image
    Если сумма площадей треугольников AKB, AKC, BKC (не ориентированных, а «обычных») больше площади треугольника ABC точка лежит вне треугольника. Если же сумма первых трех площадей равна четвертой, то нужно проверить, не равна ли нулю одна из трех площадей. Если равна, то точка лежит на границе треугольника, иначе – внутри.
    Вычислять площади треугольников, естественно, надо через косое произведение векторов. Этот метод не очень хороший. Поскольку здесь используются сравнение чисел с плавающей точкой, а это в свою очередь может привести к принятию неверного решения при сравнении. Второй метод опять таки опирается на вектора, он намного эффективнее во всех отношениях.

    Проверка полуплоскостей
    Если хотя бы одна из сторон треугольника «разводит» противолежащую ей вершину и точку по разным полуплоскостям, то точка лежит вне треугольника. Иначе, если точка принадлежит хотя бы одной из прямых, содержащих стороны треугольника, то она находится на границе треугольника. Иначе точка лежит внутри треугольника.
    image
    В первом примере сторона AB разводит вершину C и точку K по разным полуплоскостям, поэтому точка лежит снаружи.

    Задача №8

    Вычисление площади многоугольника заданного координатами своих вершин.

    Решение
    Под многоугольником будем подразумевать простой многоугольник, то есть без самопересечений. При этом он может быть как выпуклым, так и не выпуклым.

    Данную задачу можно решить двумя способами: вычисляя ориентированные площади трапеций и треугольников.

    Метод трапеций

    image
    Для того чтобы посчитать площадь многоугольника нужно разбить его на трапеции, так как это показано на рисунке, а затем сложить ориентированные площади полученных трапеций это будет ориентированной площадью исходного многоугольника.
    S = SA1 A2 B2 B1 + SA2 A3 B3 B2 + SA3 A4 B5 B3 + SA4 A5 B6 B5 + SA5 A6 B4 B6 + SA6 A1 B1 B4
    Площади трапеций считаем по известной формуле: полусумма оснований на высоту
    SA1 A2 B2 B1 = 0.5 * (A1B1 + A2B2) *(B2 — B1)

    Поскольку полученная площадь является ориентированной, необходимо вычислить ее модуль.

    Метод треугольников

    image

    Аналогично предыдущему методу можно разбивать многоугольник не на трапеции, а на треугольники, как показано на рисунке. В результате, сложив ориентированные площади этих треугольников, мы получим опять-таки ориентированную площадь многоугольника.
    S = SOA1A2 + SOA2A3 + SOA3A4 + SOA4A5 + SOA5A6 + SOA6A1

    Как вы видите задача вычисления площади многоугольника достаточна проста. Не знаю, почему, но мне больше нравится решать эту задачу методом разбиения на трапеции (наверно потому, что на всех олимпиадах я ее так решал). Тем более, что при втором решении площади треугольников надо вычислять через косое произведение. О формуле Герона надо забыть!!!

    Задача №9

    Многоугольник задан координатами своих вершин в порядке его обхода. Необходимо проверить является ли многоугольник выпуклым.

    Решение
    Напомню, что многоугольник называется выпуклым, если он лежит в одной полуплоскости относительно любой прямой, содержащей его сторону.
    image

    Задача опять сводится к вычислению косового произведения векторов, а именно у выпуклого многоугольника знаки косых произведений [Ai Ai+1, Ai+1 Ai+2] либо положительны, либо отрицательны. Поэтому если мы знаем направление обхода, то знак косых произведений для выпуклого многоугольника одинаков: он неотрицателен при обходе против часовой стрелки и неположителен при обходе по часовой стрелки.

    Задача №10

    Многоугольник (не обязательно выпуклый) на плоскости задан координатами своих вершин. Требуется подсчитать количество точек с целочисленными координатами, лежащих внутри него (но не на его границе).

    Решение
    Для решения этой задачи рассмотрим вспомогательную задачу: отрезок задан координатами своих концов, являющихся целыми числами. Необходимо посчитать количество целочисленных точек лежащих на отрезке. Понятно, что если отрезок вертикальный или горизонтальный, то необходимо вычесть координаты концов и добавить единицу. Интерес представляет случай, когда отрезок не является вертикальным или горизонтальным. Оказывается в этом случае необходимо достроить отрезок до прямоугольного треугольника и ответом будет число равное наибольшему общему делителю длин катетов этого треугольника плюс единица.
    image

    Для любого многоугольника с целочисленными координатами вершин справедлива формула Пика: S = n + m/2 — 1, где S – площадь многоугольника, n – количество целых точек лежащих строго внутри многоугольника, m – количество целых точек лежащих на границе многоугольника. Поскольку площадь многоугольника мы знаем как вычислять, то S известно. Так же мы можем вычислить количество целых точек лежащих на границе многоугольника, поэтому в формуле Пика остается лишь одна искомая неизвестная которую мы можем найти.
    Рассмотрим пример:
    image
    S = 16 + 4 + 4,5 + 6 + 1 + 2 = 33,5
    m = 15
    n = 33,5 – 7,5 +1 = 27 — точек лежит строго внутри многоугольника
    Вот так вот решается эта задачка!

    Вот и все! Надеюсь, Вам понравилась статья, и я напишу ее вторую часть.

    Средняя зарплата в IT

    120 000 ₽/мес.
    Средняя зарплата по всем IT-специализациям на основании 6 051 анкеты, за 1-ое пол. 2021 года Узнать свою зарплату
    Реклама
    AdBlock похитил этот баннер, но баннеры не зубы — отрастут

    Подробнее

    Комментарии 39

      +17
      Школьные задачи все. Ну разве что формула Пика не у всех бывает.
        +1
        Смотря в какой школе…
        +2
        Немного сумбурно. Перескоки с одной тему на другую, но все равно плюс вам старания :) Математика всем нужна.
          0
          В пятом классе, помню, при подготовке к олимпиаде это всё как-то с неба свалилось внезапно… Тоже, помню, приходилось разбираться вечерами.
            0
            Вроде синусы начинают в 7-8 классе проходить, а автор так вообще на первом курсе это всё делал, как это возможно в 5ом классе?
              0
              Задачи в олимпиадном программировании одни и те же были, и вычислительную геометрию никто бы не отменял.
            0
            А что, интересные простенькие задачки с элегантными решениями. Интересно было читать, спасибо за статью!
              +3
              Был бы в восторге, если так же подробно рассмотрели кривые Безье: как «пройти» такой кривой без изломов через ряд точек, например.
                0
                Еще можно почитать статьи Е.В.Андреевой «Вычислительная геометрия на плоскости».
                  0
                  > Отрезок, для которого указано, какой из его концов считается началом, а какой — концом, называется вектором.
                  Bullshit. Это направленный отрезок. Вектор — это множество сонаправленных отрезков одинаковой длины.
                  Ну и очередное разжевывание стандартных вещей.
                    +5
                    «Вектор — понятие, определяемое в разных разделах математики различно» — говорит нам Википедия.

                    «Вектор в геометрии — упорядоченная пара точек (или направленный отрезок), одна из которых называется началом, вторая — концом вектор» — утверждает она же.
                      +3
                      «Вектор — класс эквивалентности кривых на многообразии», говорит нам дифференциальная геометрия :D
                    +2
                    Последняя задача интересная. Остальные все довольно тривиальны.
                      +1
                      n = 33, 5 – 7, 5 +1 = 27
                      Рекомендую не отбивать пробелом дробную часть, а писать вот так:
                      n = 33,5 – 7,5 +1 = 27
                      Иначе это похоже на перечисление отдельных формул (n = 33; 5 – 7; 5 + 1 = 27) и выносит мозг.
                        0
                        подправил)
                        0
                        Я — призер городских оллимпиад по программированию (решал комбинаторику, реализацию, геометрию). Но я в упор (учусь только в 7 классе) не могу понять как найти площадь пересечения окружностей.

                        Была задача просто на acmp — про фонарики. Мне ее дали как «подумать на досуге», я подумал и рассмотрел все случаи.

                        Кто-либо из присутствующих сможет подсказать как зная координаты центров и радиусы кругов — найти S пересечения.
                          0
                          Написал нечаянно ниже. Насколько я помню (это было оочень давно), это делалось как-то так: пересечь все окружности друг с другом, затем отсортировать точки пересечений по x, затем по y (если x совпадают). Потом идем слева направо так называемой «выметающей» прямой (воображаемая вертикальная пряма(суммируя и вычитая различные части пересечений окружностей). Вроде, как-то так)
                            0
                            Методом Монте-Карло можно. Единственный алгоритм, который помню со времен информатики в школе, но приложить его можно к чему угодно.
                              0
                              Точность несолидная
                              0
                              Как сумму двух сегментов.
                              Это если границы пересекаются.
                              Остальные случаи тривиальны.
                                0
                                Точный метод вычисления (как сумма двух сегментов кругов) — да, так решать можно, но будет куча подводных камней.

                                Но есть такой простой приближённый алгоритм: заменить каждую окружность правильным многоугольником с большим числом вершин (например, сто тысяч), а потом пересечь эти два многоугольника (это делать попроще, чем пересекать круги). При ограничениях, как на acmp, я верю, что может быть достаточно и нескольких тысяч вершин (тогда пересечение многоугольников можно написать за квадрат, что вообще занимает несколько строчек). Добавлю, что, чтобы точность этого приближенного алгоритма была выше, при замене окружности на многоугольник мы делаем его чуть большего радиуса: ровно настолько, чтобы площадь многоугольника была равна площади круга (если немного подумать, можно вывести формулу нового радиуса).
                                  0
                                  Для вычисления площади плоских фигур можно использовать численный «метод ячеек» — разбить область на квадраты или прямоугольные ячейки. Что делать с граничными ячейками — (1) можно истинную границу заменить хордой. (2) Можно вообще граничные ячейки не учитывать.

                                  Если вы упорно хотите посчитать, площадь фигуры ограниченной кусочно непреррывными кривыми аналитическим методом — то замечательным инструментов для этого служит использование формулы Грина для многосвязной области. Она позволит вам посчитать площадь лоской области (с внутренними дырками) и изучается в курсе «Кратные и криволиненйые интегралы». См. «VII Гаврилов Иванова Морозова Кратные и криволинейные интегралы.Элементы теории поля», изд-во МГТУ им Н.Э.Баумана, стр. 295
                                  0
                                  Насколько я помню (это было оочень давно), это делалось как-то так: пересечь все окружности друг с другом, затем отсортировать точки пересечений по x, затем по y (если x совпадают). Потом идем слева направо так называемой «выметающей» прямой (воображаемая вертикальная пряма(суммируя и вычитая различные части пересечений окружностей). Вроде, как-то так)
                                    0
                                    Разбейте задачу на подзадачи:
                                    1. Окружности равного радиуса (R=R).
                                    2. Окружности разного диаметра (R>r).
                                    Пусть расстояние между центрами равно D, а также d=D/2 (понадобится при расчетах).
                                    1.1. D>2R (не пересекаются, S=0).
                                    1.2. D=2R (пересекаются в одной точке, S=0).
                                    1.3. D>R (две точки пересечения, строим между ними хорду, считаем площадь сектора, вычитаем площадь треугольника).
                                    1.4. D=R
                                    1.5. D=0
                                    Далее для R и r, только стоит учесть что для меньшей окружности сектор может быть больше 180 грудусов, начиная с момента, когда центр лежит на хорде: D^2 < R^2-r^2
                                    дальше сами…
                                      0
                                      Вроде подразумевается, что окружностей не две.
                                      0
                                      Спасибо, все очень понятно!
                                        0
                                        Многие задачи были в программировании курсе на первом или втором, но неточности решения иногда были, как например во второй задаче. А так интересно, спасибо.
                                          0
                                          Был призером олимпиад, но, из-за пробелов в вычислительной геометрии так дальше республики и не попал никуда. Спасибо огромное за статью. С нетерпением жду следующую часть.
                                            +1
                                            3) Треугольник задан своими сторонами. Определить тип треугольника: тупоугольный, прямоугольный или остроугольный.

                                            Берем квадрат самой длинной стороны и сравниваем его с суммой квадратов коротких сторон. Если больше — тупоугольный. Если меньше — остроугольный. Если равно — теорема Пифагора. Особенные случаи — по желанию (в условии написано — треугольник «задан», значит все-таки существует). И не надо считать синусы-косинусы совсем.
                                              +1
                                              Дочитай решение до конца. Я к этому пришел!
                                              0
                                              Я что-то совсем забыл геометрию…
                                              На рисунке cs403223.userapi.com/v403223083/152c/juz1bZwf7CY.jpg указан отрезок и подписано, что он равен |A|*|B|*cosθ Но мне почему то кажется, что длина этого отрезка равна |A|*cosθ
                                                0
                                                Да ты прав длинна этого отрезка равна |A|*cosθ. Я просто хотел показать чему равно скалярное произведение этих векторов.
                                                upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/3/3e/Dot_Product.svg/200px-Dot_Product.svg.png
                                                  0
                                                  Я не понимаю геометрический смысл «прямого» скалярного произведения. Если смысл косого произведения это площадь параллелограмма, то какой смысл у прямого?
                                                0
                                                Скалярное произведение вводится для определения угла между векторами. То есть по нему можно сказать ортогональны ли вектора и т.д.
                                                  0
                                                  Странно, что никто не отметил, что в решении задачи о выпуклом-невыпуклом многоугольнике заложена скрытая «бомба»: указанный в статье критерий может сказать «выпуклый» для самопересекающегося многоугольника. Поэтому, если задача стоит так: «дана последовательность точек, проверить, образует ли она границу валидного выпуклого многоугольника», то этот алгоритм «спалится».
                                                    –1
                                                    Хабр расстраивает — 70 плюсов за школьную математику.
                                                      0
                                                      Не все к сожалению знают школьную математику!
                                                      0
                                                      Не совсем понял задачу 7 решение методом площадей: «Этот метод не очень хороший. Поскольку здесь используются сравнение чисел с плавающей точкой»

                                                      Почему в этом методе нужно сравнивать числа с плавающей точкой?
                                                        0
                                                        Это не метод плохой, это задача сама по себе плохая (недостаточно аккуратно поставленная).
                                                        «Точка лежит на границе» — само по себе практически невозможное событие, если координаты заданы с плавающей точкой. В любом случае нужно задавать допустимую точность («эпсилон»).

                                                      Только полноправные пользователи могут оставлять комментарии. Войдите, пожалуйста.

                                                      Самое читаемое