Виды бесконечностей и вынос мозга


    Эта статья — продолжение статьи про громадные числа. Но сейчас мы пойдем еще дальше — в бесконечности бесконечностей.

    Для этого нам понадобится ZFC — теория множеств Zermelo, Frenkel + Choice. Choice — это аксиома выбора, самая спорная аксиома теории множеств. Она заслуживает отдельной статьи. Предполагается, что вы знаете, что такое «мощность» множества. Если нет, то погуглите, наверняка это изложено лучше, чем смогу я. Здесь я лишь напомню некоторые

    Известные факты


    • Мощность множества целых чисел обозначается $\aleph_0$. Это первая бесконечная мощность, такие множества называются счетными.
    • Мощность любого бесконечного подмножества целых чисел — простые, четные итд. — тоже счетна.
    • Множество рациональных чисел, то есть дробей p/q тоже счетно, их можно пройти змейкой.
    • Для любой мощности есть операция powerset — множество всех подмножеств, которая создает мощность бОльшую, чем исходная. Иногда эта операция обозначается как возведение двойки в степень, то есть $powerset(\aleph_0) = 2^{\aleph_0} = \aleph_c$. powerset от счетной мощности есть мощность континуума.
    • Мощностью континуума обладают: конечные и бесконечные отрезки, плоские и объемные фигуры, и даже n-мерные пространства целиком
    • Для обычной математики следующая мощность, $powerset(\aleph_c)$ практически не нужна, обычно вся работа происходит со счетными множествами и множествами мощности континуума

    Теперь

    Малоизвестные факты


    В ZFC не все собрания элементов могут быть множествами. Бывают коллекции столь широкие, что позволить им быть множествами нельзя, возникают парадоксы. В частности, "множество всех множеств" не есть множество. Впрочем, есть теории множеств, где такие множества разрешены.

    Дальше. Теория множеств… Каких объектов? Чисел? Яблок? Апельсинов? Как ни странно, ZFС не нуждается ни в каких объектах. Возьмем пустое множество {} и договоримся, что оно означает 0. 1 обозначим с помощью {{}}, двойку как {{{}}} итд. {5,2} есть {{{{{{{}}}}}}, {{{}}}}. С помощью целых чисел мы можем создать вещественные, а коллекции вещественных создают любые фигуры.

    Таким образом, теория множеств это… как бы сказать… пустотелая теория. Это теория ни о чем. Точнее, о том как можно нестить (nest, то есть вкладывать друг в друга) фигурные скобки.

    Единственная операция, которая определена в теории множеств, это $\in$ — символ принадлежности. А как же объединение, исключение, равенство итд.? Все это макросы, например:

    $(A = B) \equiv \forall x((x \in A) = (x \in B))$


    То есть, в переводе на русский язык, два множества считаются одинаковыми, когда при тестировании любого элемента на принадлежность к им мы будем получать одинаковые результаты

    Множества не упорядочены, но это можно исправить: пусть упорядоченная пара (p,v) это {{p}, {p, v}}. Неэлегантно с точки зрения программиста, но достаточно для математика. Теперь множество всех пар param-value задает функцию, которая теперь тоже множество! Et voila! весь математический анализ, который работает на уровне языков второго порядка, так как говорит не о существовании чисел, а существовании функций — коллапсирует в язык 1 порядка!

    Таким образом, теория множеств — это убогая теория без объектов и с одним значком отношения, которая обладает совершенно чудовищной силой — без каких то новых допущений она порождает из себя формальную арифметику, вещественные числа, анализ, геометрию и многое другое. Это своеобразное TOE математики.

    Гипотеза континуума — CH


    Существует ли мощность между $\aleph_0$ и $2^{\aleph_0}$? Это проблему не мог решить Кантор, «король математиков» Гильберт высоко оценивал ее важность, но лишь позже было доказано что эту гипотезу нельзя ни доказать, ни опровергнуть. Она независима от ZFC.

    Это означает, что вы можете создать две разных математики: одну с ZFC+CH, другая ZFC+(not CH). На самом деле даже больше, чем две. Допустим, мы отвергнем CH, то есть будем верить, что между $\aleph_0$ и $2^{\aleph_0}$ есть еще мощности. Сколько их может быть? Одна, две? Гедель верил, что только одна. Но, как оказалось, предположение о том, что их 2, 17, 19393493 не приводит к противоречиям. Любое число, но не бесконечное!

    Когда в формальной арифметике мы сталкиваемся с недоказуемым утверждением, то в силу определенных причин мы знаем, что, тем не менее, это утверждение, хоть и не доказуемо, но на самом деле либо истинно, либо ложно. В теории множеств это не работает, мы реально получаем разные математики. Как к этому относиться? Есть три философских подхода:

    Формализм: а чему, собственно, удивляться? Мы задаем правила игры в символы, разные правила — разный результат. Не надо искать проблему там, где ее нет

    Платонизм: Но как тогда объяснить, что совершенно разные теории, например ZFC и New Foundations, построенные по совершенно разным принципам, дают почти всегда один и тот же результат? Не говорит ли это о том, что за формулами стоит какая то реальность, которую мы изучаем? Такой точки зрения придерживался, например, Гедель

    Multiverse: У нас может быть много аксиоматик, иногда дающих одинаковый результат, иногда нет. Мы должны воспринимать картину в целом — если с разными системами аксиом ассоциировать цвет, то цветное дерево следствий и есть математика. Если что-то верное везде — это белый цвет, но есть и цветные ветви.

    Все выше и выше.


    В дальнейшем мы, для простоты, примем гипотезу континуума, то есть $powerset(\aleph_0) = \aleph_1 = \aleph_c$ — это очень удобно. На самом деле мы примем и более сильную аксиому, обобщенную гипотезу континуума, что между x и powerset(x) никогда нет промежуточных мощностей. Теперь мы итерируем powerset и все просто:

    $\aleph_0 \rightarrow \aleph_1 \rightarrow \aleph_2 \rightarrow ... \rightarrow \aleph_{36463634} \rightarrow$


    Как далеко мы можем продвинуться? После бесконечного количества итераций мы дойдем до $\aleph_\omega$ — бесконечная по порядку мощность! Кстати, ее существование было неочевидно Кантору. Но секунду! Ведь функция powerset всегда определена, поэтому $\aleph_\omega$ не может быть последней!

    $\aleph_\omega \rightarrow \aleph_{\omega+1} \rightarrow \aleph_{\omega+2} \rightarrow ...$


    Чтобы получить $\aleph_{\omega+3}$ надо повторить powerset бесконечность и еще три раза. У вас уже начало сносить крышу? То ли еще будет. Потому что снова проитерировав powerset бесконечное число раз, мы дойдем до $\aleph_{\omega+\omega} = \aleph_{\omega2}$, после чего, естественно, идет $\aleph_{\omega2+1}$

    Дойдя до бесконечности бесконечное число раз, мы получим индекс $\omega^2$. Как вам такая мощность, например: $\aleph_{\omega^3+\omega^2+\omega4+48745}$? Пока мы итерировали powerset по списку ординалов, вот начальные ординалы:

    image

    но их значительно, значительно больше. Так что мы сразу все это пропустим и сделаем

    Сразу большой шаг


    Внимание! То что написано дальше, может быть опасно для вашего мозга! Мы итерировали powerset счетное число раз, а не замахнуться ли нам на континуум? Честно, меня самого немного колбасит от того, что цикл может выполняться континуум раз, но теория множеств требует существования

    $\aleph_{\aleph_1}$


    Далее мы пойдем быстрее:

    $\aleph_{\aleph_1} \rightarrow \aleph_{\aleph_2} ... \rightarrow \aleph_{\aleph_\omega} = \aleph_{\aleph_\aleph} \rightarrow$


    У последнего алефа индекс ноль, но местный latex не дает его поставить — слишком много уровней. Но главное вы поняли, какую бы новую чудовищную мощность мы бы не создали, мы можем сказать — ага, это всего лишь повторитель, и поставить всю эту конструкцию к новому алефу в виде индекса. Теперь мощности растут как снежный ком, нас не остановить, пирамида алефов все выше, и мы можем создать любую мощность… Или нет?

    Недостижимые мощности


    Что если есть мощность настолько большая, $\theta$, что как бы мы ее ни пытались достичь «снизу», выстраивая конструкции из алефов, мы ее не достигнем? Оказывается, существование такой мощности независимо от ZFC. Вы можете принять ее существование или нет.

    Я слышу шепот «бритва Оккама»… Нет, нет. Математики придерживаются противоположного принципа, который называется онтологический максимализм — пусть существует все, что возможно. Но существуют еще как минимум две причины, почему эту гипотезу хочется принять.

    • Во первых, это не первая недостижимая мощность, которую мы знаем. Первая… это всем знакомая счетная мощность. Как ни странно, она обладает всеми свойствами недостижимой — просто ее не принято так называть:
    • Бесконечную мощность никак не получить «снизу» — ни добавляя элементы конечное количество раз, ни итерируя powerset() конечное число раз, используя конечные множества для затравки, бесконечности вы не получите. Чтобы получить бесконечность, вы где-то должны уже иметь ее.
    • Существование бесконечной мощности вводится специальной аксиомой — аксиомой бесконечности. Без нее существование бесконечной мощности недоказуемо.


    Второе: если отвергнуть аксиому бесконечности, то мы получим FinSet, простую игрушечную теорию множеств с конечными множествами. Давайте выпишем все эти множества (так называемая модель теории)

    {}
    {{}}
    {{{}},{}}
    {{{{}}}}
    {{{{}}},{{}}}
    {{{{}}},{{}}}
    {{{{}}},{{}},{}}


    И получим… бесконечное множество конечных множеств… То есть, модель теории конечных множеств бесконечна, и играет в ней роль «множества всех множеств». Может быть, это поможет понять, почему теория не может говорить о «множестве всех множеств» — такое множество всегда существует как модель вне теории и обладает другими свойствами, чем множества внутри. Вы не можете добавить в теорию конечных множеств бесконечное.

    И да, $\theta$ это «множество всех множеств» теории ZFC. В этом видео в конце очень красиво сказано про недостижимую мощность, но нам пора дальше.

    Еще дальше.


    Разумеется, мы можем пойти дальше, итерируя $powerset(\theta)$. Пройдя все описанные этапы, построив огромные башни повторителей, мы снова упремся в недостижимый кардинал (но теперь нам не нужны новые аксиомы, с аксиомой существования недостижимой мощности, которую мы только что добавили, это стало доказуемо). И снова и снова.

    $\theta_0 \rightarrow \theta_1 \rightarrow \theta_2 \rightarrow ... \rightarrow \theta_{36463634} \rightarrow$

    Заметьте, что теперь стрелка у нас имеет смысл не как выполнение функции Powerset(), а GetNextInaccessible(). В остальном все выглядит очень похоже, мы имеем:

    $\theta_{\theta_1} \rightarrow \theta_{\theta_2} ... \rightarrow \theta_{\theta_\omega} \rightarrow \theta_{\theta_\theta} \rightarrow$



    Теперь то мы точно достигнем чего угодно… Или нет?

    Иерархия больших мощностей.


    Да, с помощью GetNextInaccessible мы упремся уже в гипер-недостижимую мощность. Существование ее требует принять еще одну аксиому. Есть и гипер-гипер-недостижимые мощности. И так далее. Но есть и другие способы определять мощности, не только через недостижимость:



    За каждой ссылкой стоит, как правило, целая бесконечная иерархия с произвольным количеством приставок hyper- и повторителей. Однако, общее количество формул, определяющие недостижимые кардиналы, не такое уж большое — ведь количество формул счетно!!! Поэтому рано или поздно они кончатся. Там, где они кончаются, проведена красная черта. Все, что ниже этой черты, определяется более зыбко, хотя и формально.

    Сама красная черта обозначает конец вселенной Геделя (но не забываем, что Гедель создал ДВЕ разные вселенные) — вселенная множеств, конструируемых «снизу» с помощью формул. Мощности выше красной черты называются хм, «малыми», а ниже — большими:



    Главная идея в них в том, что вселенная множеств становится столь большой, что начинает повторять себя в разных смыслах. Каждая строчка, как всегда, требует отдельной аксиомы, и нескольких. И что еще интереснее, все это не настолько бесполезно, как вы могли подумать. Например, самая сильная аксиома (rank-into-rank), в самой нижней строчке, нужна, чтобы доказать факт о табличках.

    Ниже опрос, последний вариант выбора расшифрован тут.

    Только зарегистрированные пользователи могут участвовать в опросе. Войдите, пожалуйста.

    Какая точка зрения вам ближе:

    Поделиться публикацией

    Комментарии 203

      +2
        0

        Да, эта статья у меня упоминается

          0
          Эх, а ведь искал.
      • НЛО прилетело и опубликовало эту надпись здесь
          0
          Тут не понятно причем тут мультиверс. Можно было бы и другие математические философии назвать. Интуицонизм, конструктивизм или что-то из современного.
            0
            Про интуиционизм лучше говорить в связи с Аксиомоф Выбора и конструктивной математикой
          +1
            +1
            Для обычной математики следующая мощность, практически не нужна, обычно вся работа происходит со счетными множествами и множествами мощности континуума

            Практически? А где все же нужна и как ее можно представить, может там какие-нибудь специальные числа. Например, при переходе от счетной к континуальной появились действительные числа.

              0
              См пример в конце, там ссылка на статью
                +1
                Кстати, в обычной математике (вне анализа свойств континуума) вам нужны только вычислимые действительные числа, коих счетное число.
                  0
                  Кстати, в обычной математике (вне анализа свойств континуума) вам нужны только вычислимые действительные числа, коих счетное число.

                  Чисел в принципе "счетное число", т.к. формул — счетное число. Можно доказать существование не более чем счетного числа объектов. Все остальные существуют только виртуально — вроде как у вас есть множество, которому эти объекты должны принадлежать, но сами эти объекты вы никак "пощупать" не можете, на самом деле их как бы и нет.

                    0
                      0

                      Я об этом и говорил. У нас просто есть некая интуиция "размера множества" и есть строгое понятие мощности. В конечных случаях определение совпадает с интуицией, и мы переносим этот факт автоматом на бесконечные случаи. Но бесконечные множества, в отличии от конечных, имеют внутреннюю структуру, которая может сохраняться либо нет. С-но, у нас может быть два неизоморфных (неравномощных), но одинаковых по размеру мн-ва (точно так же как может быть две одинаковых по размеру но неизоморфных группы).

                  0
                  Рискну предположить, что они нужны исключительно сумасшедшим (в хорошем смысле) математикам для получения докторских.
                  Ну или просто для удовлетворения любопытства («а что, если...» и понеслось).
                    0
                    Тут я даже не имел в виду какое-то практическое физическое применение (понятно, что его нет), а даже чисто теоретическое, что можно как-нибудь понять обычному человеку.
                0
                А существует ли бесконечность? Не бесконечная мощность множества, а просто бесконечное множество.
                  +1
                  В теории ZFC — точно Да
                  А вот у древних греков было другое мнение
                    0
                    del
                      0
                      А в чём тут разница? Казалось бы если существует бесконечная мощность, то существует множество для которого оно является мощность.
                      +1
                      Господи Иисусе. Ничего не понял, но это очень круто. Завидую людям, которые могут досчитать
                      до бесконечности бесконечное число раз
                        +1

                        Элементарно, как в анекдоте про математиков.
                        К зданию, в котором проходит конференция по математике, подъезжает автобус, из которого выходит бесконечное (счетное) количество математиков. И все они заходят в здание. Если нумеровать зашедших математиков, то здесь вы досчитали до бесконечности один раз.
                        Далее, подъезжает ещё один автобус с математиками. Здесь остановился Чак Норрис.
                        Далее, подъезжает бесконечное количество автобусов. Вот вы и досчитали бесконечное число раз до бесконечности (омега в квадрате)
                        Проведите бесконечное количество конференций и получите омега в кубе.
                        А вот представить степенную башню из омег, содержащую омега этажей, уже сложно.

                          0

                          Спасибо за пояснение, введение конкретного физического смысла позволило досчитать до бесконечности ещё раз.


                          Проведите бесконечное количество конференций и получите омега в кубе.

                          Теперь мощность моего воображения заканчивается здесь. :(
                          Будет над чем помедитировать на досуге.

                            0
                            Но до мощности континуума так не добраться: математиков всё время мало :)
                              0
                              Можно и до континнума: уже приехавшие математики стали собираться во всевозможные группы (подмножества), и каждая группа пригласила извне ещё одного математика.
                                0
                                Так тоже получится счётная мощность: континуальной мощностью будет обладать множество ВСЕХ подмножеств множества математиков, то есть, математикам придётся ещё бесконечное число раз перегруппироваться, и тогда, возможно (я в этом очень не уверен), множество всех групп за всё (!) время будет иметь мощность континуума
                                  0
                                  Ну так я и пишу, что все возможные подмножества — как раз будет континуум.
                                    0
                                    «всевозможные группы» и «все возможные подмножества» — не одно и то же
                        0
                        Помню, еще в школе, классе в восьмом, задавался вопросом — каких чисел больше, кратных пяти или кратных десяти :)
                          0
                          При том, что их число бесконечно, предел отношений (кратных 10 к кратных 5) будет 2.
                            +1

                            На любом отрезке числовой оси — да. Но если брать всю ось — то их одинаково. Все счётные множества имеют одинаковое количество элементов.

                              –4
                              Вы же понимаете, что когда вы говорите «количество», вы же не про натуральные числа говорите, а про дурацкие трансфинитивные конструкции, всё существование которых зависит от религиозных убеждений спорных аксиом.

                              А я говорю про старый-добрый предел, в котором бесконечность — только возле стрелочки. И если религиозные представления запрещают писать =∞, то устремляться — всегда пожалуйста. «Для любого эпсилон есть такая сигма, что...» и т.д.
                                +1
                                Пределы и все вот эти стрелочки основаны, в том числе, на теории множеств и всех этих построениях. Так что сравнивать «дурацкие трансфинитные конструкции» со «старым добрым пределом» — некорректно.

                                Что же до предмета спора, то математически корректно будет сказать, что чисел кратных пяти столько же, сколько и кратных десяти, но встречаются они в два раза чаще.
                                  0
                                  Ну, математически корректно будет формально математически описать термин «встречается», прежде (не в буквальном смысле, можно и после) чем его использовать
                                    0
                                    Стоп. А чему равен предел count5(n)/count10(n) при n →∞?
                                      0
                                      2. Но почему именно count5(n)/count10(n)? Мы же считаем не отношение частоты с какой они встречаются, а их количество. Пусть a_i = i*5, b_i = i*10, количество элементов с i < n, в этих последовательностях одинаково. Предел отношения этих количеств при n →∞ соответственно равен 1.
                                        0
                                        А почему у вас в качестве счётчика используется собственный порядковый номер, т.е. почему мы их считаем раздельно?
                                          0
                                          Потому что можем. Нет никаких причин «выравнивать» последовательности при подсчете количества строго определенным способом.

                                          Количество элементов в множестве как бы не должно зависеть от порядка в котором мы их подсчитываем, иначе это уже не количество.
                                            0
                                            Почему вариант с пределом отношений числа элементов даёт другой ответ, чем ваш?

                                            Я предлагаю начать с конечных множеств (например, в диапазоне от 0 до 100 сколько 5 и сколько 10) и устремить n к бесконечности. А вы предлагаете сравнивать поэлементно множество 5ок и множество 10ок. Если мы применим ваш алгоритм к конечному интервалу, то у нас просто не будет правильного ответа — ведь при подсчёте до 1000 и n=200 пятёрки всё ещё в искомом диапазоне, а 10-ки — уже вышли.
                                              0
                                              Потому что понятие «мощности» более глобально
                                              Вот например возьмите множество Кантора, подмножество отрезка длины (меры) 0 равномощно целому отрезку
                                                –1
                                                Отлично, но каким образом ваш вариант применим к конечным множествам?

                                                Например, на интервале 0-1000 чего больше — 5 или 10?
                                                  0
                                                  Для конечных множеств равномощными являются только множетсва, содержащие одинаковые количества элементов
                                                    –1
                                                    Отлично. А теперь, объясните мне, наивному, без привлечения «досчитать до бесконечности», каким образом получается так, что у бесконечной последовательности всё больших множеств отношение числа 5 к 10" стремится к 2, а потом, таинственным образом, становится равна 1?

                                                    Т.е. выражение ( ( n % 5 ) / (n % 10 ))` (% — челочисленное деление) у меня получается примерно 2 для любого большого n, устремляется к 2 при устремлении n к бесконечности, но почему-то равно 1 если n равно бесконечности. Так?
                                                      0
                                                      Потому что неверно выделенное:

                                                      Т.е. выражение ( ( n % 5 ) / (n % 10 ))` (% — челочисленное деление) у меня получается примерно 2 для любого большого n, устремляется к 2 при устремлении n к бесконечности, но почему-то равно 1 если n равно бесконечности.


                                                      Для бесконечности это значение НЕ ОПРЕДЕЛЕНО
                                                        0
                                                        Во. Тогда почему вы говорите, что они равномощны? У меня предел отношений числа элементов устремляется к 2. И тут, вдруг, приходят и говорят «мощность одинаковая».
                                                          0
                                                          Потому что равномощность определяется не как предел, а как наличие однозначного отображения из одного множества в другое, которое, очевидно, существует
                                                            0
                                                            Тогда у нас какой-то интересный перелом. " характеристика множеств (в том числе бесконечных), обобщающая понятие количества (числа) элементов конечного множества. " (из Википедии).

                                                            Получается, оно не должно противоречить наблюдению над конечными множествами.

                                                            И главное, как получается так, что выборка из конечных множеств даёт разную мощность, предел, уходящий в бесконечность, подтверждает соотношение, а мощности одинаковые, друг.

                                                            Напоминаю, что мне очень не хочется делать что-либо бесконечно много раз. Я уже один раз попробовал, и у меня (уже) не получилось, т.е. я за конечное число шагов убедился, что до бесконечности не досчитать.
                                                              0
                                                              Какое множество мощнее {{}, {{}}, {{{}}}} или {10, 20, 30}?
                                                                0
                                                                у каждого три элемента)
                                                                  –2

                                                                  У обоих 3.


                                                                  Кстати, вы мне питон сломали.


                                                                  >>> a =  set([set(), set(set()), set(set(set()))])
                                                                  Traceback (most recent call last):
                                                                    File "<stdin>", line 1, in <module>
                                                                  TypeError: unhashable type: 'set'

                                                                  А вот тут вот эпикфейл:


                                                                  >>> a =  frozenset([frozenset(), frozenset(frozenset()), frozenset(frozenset(frozenset()))])
                                                                  >>> a
                                                                  frozenset({frozenset()})

                                                                  И да, питон по-своему прав,


                                                                  >>> x=frozenset()
                                                                  >>> y=frozenset(frozenset())
                                                                  >>> x is y
                                                                  True
                                                                    0
                                                                    Потому что надо писать вот так: frozenset([frozenset()])

                                                                    Квадратные скобки тут — важны.
                                                                  0
                                                                  Получается, оно не должно противоречить наблюдению над конечными множествами


                                                                  Это почему это? Разумеется, бесконечные множества могут и должны обладать свойствами, которые возможны только для них, а для конечных множеств — ложны.

                                                                  Более того, одно из определений бесконечности множества (бесконечность по Дедекинду — равномощность множества с собственным подмножеством) как раз абсолютно невозможно в мире конечныфх множеств

                                                                  Мне кажется главное где вы заблуждаетесь это вот это:
                                                                  оно не должно противоречить наблюдению над конечными множествами.


                                                                  Разумеется, многие свойства бесконечных множеств явно противроечат свойствам конечных. Пример выше — возможность быть равномощным собственному подмножеству
                                                                    0
                                                                    Но каким образом разрешается конфликт между пределом и сопоставлением 1 к 1? В моём представлении они должны быть консистентными.
                                                                      0
                                                                      А никакого конфликта нет. Просто предел оказывается равным в одном случае 2 * omega, в другом — omega. И по определению операций с ординалами они равны.
                                                                        0
                                                                        А почему 2*omega, а не omega*2? Смотрите, мы строим соответствие 1 к 1 для 5к, только той части, которая кратна и 10, множеству 10к. После чего у нас остаётся ещё omega+1, omega+2, omega+omega (т.е. omega*2) множество.
                                                                          0
                                                                          Проблема в том, что у Вас получается несоответствие между порядком на множестве «кратных пяти» и на множестве натуральных чисел — а именно он и может здесь создать отличие. По Вашему построению получается, что либо 5 больше 10 (если сначала кратные, потом некратные), либо 10 больше 15 (если наоборот). Так-то omega и omega*2 — это один и тот же кардинал, то есть, перестановкой превратить одно в другое — не проблема.
                                                                            0
                                                                            Э… Мне интернеты говорят, что 2*ω и ω*2 — это две большие разницы. 2*ω = ω, а вот ω*2 = ω+ω
                                                                              0
                                                                              Это разные ординалы, я не спорю, но кардинальное число им соответствует одно и то же.
                                                                                0
                                                                                Напоминаю оригинальный вопрос: чего больше-то? кратных 5 или кратных 10? Я понимаю, что в рамках трансфинитивной риторики, у множеств одинаковая мощность, одинаковое No и т.д. Но в простейшем бытовом смысле — кратных 5 больше в два раза.
                                                                                  0
                                                                                  Безусловно. Только когда дело доходит до бесконечностей, «больше в два раза» — это либо в точности столько же (если мы берём счётное множество пар с ординалом 2*omega), либо столько же с точностью до перестановки (если мы берём пару счётных множеств с ординалом omega*2).
                                                                                    0
                                                                                    Вот тут вот я не понимаю. Я могу согласиться, что бесконечность плюс 1 — это бесконечность. Но если у меня предел отношений двух функций (счёта) даёт мне два, то я точно могу сказать, что одного в два раза больше.

                                                                                    Они там, конечно, ординалы, но один — в два раза больше другого. Что с точки зрения бесконечности мало, а с бытовой — вполне себе результат.
                                                                                      0
                                                                                      А с бытовой точки зрения две бесконечности больше, чем одна?
                                                                                        0
                                                                                        Да, конечно. Например, если у нас есть одна прямая (бесконечность, может быть даже и континуум), и если у нас есть две прямых (две бесконечности), то разница между ними в два раза.
                                                                                          0
                                                                                          В таком случае, получается, что бесконечность в смысле бытовой логики выражается не в понятии мощности, а как раз в ординалах.
                                                                                            0
                                                                                            С точки зрения «мощности» [0;1] и [0;1000] равномощны, а с бытовой точки зрения одно в машину влазит, а другое даже по железной дороге не доставить.

                                                                                            Т.е. я понимаю, что математическая нотация ищет фундаментальные различия между [0,..,∞) и [0,∞), но не стоит забывать и про бытовую интерпретацию бесконечностей.

                                                                                            Кстати, сложение двух отрезков — отличный пример, в котором бытовой здравый смысл и трансфинитивная риторика радикально расходятся в интерпретациях.
                                                                                              +1
                                                                                              Кстати, сложение двух отрезков — отличный пример, в котором бытовой здравый смысл и трансфинитивная риторика радикально расходятся в интерпретациях.

                                                                                              А зачем применять теорию множеств там, где нужно использовать геометрию или алгебру? Биекция между двумя закрытыми интервалами — тривиальна, значит мощность у них одинакова. Длина двух отрезков равна сумме их длин.


                                                                                              То, что бытовое понятие мощности смешивает метрику и мощность множества в строгом смысле — это проблема бытового понятия, а не теории множеств. Нет?

                                                                                                –1
                                                                                                Ну так исходный же вопрос был — каких чисел больше. Оказалось, что использование матаппарата для работы с множествами предоставляет понятия, которые противоречат бытовой интуиции. Так что я всё-таки остановлюсь на своём аргументе, что предел их отношений — 2, т.е. чисел кратных 5 в два раза больше, чем чисел кратных 10.
                                                                                                  0
                                                                                                  О, ещё один хороший вопрос придумался. Предположим, вселенная бесконечна.
                                                                                                  На каждый атом гелия приходится 2 атома водорода. Чего больше во вселенной — водорода или гелия?
                                                                                                    0
                                                                                                    Воспользуйтесь определением: надо установить взаимно-однозначное соответствие между атомами водорода и гелия. В ограниченной области собираем водород и гелий попарно. Лишний водород выкидываем наружу. Постепенно расширяем область. После бесконечного количества времени каждому атому гелия будет соответствовать один атом водорода.

                                                                                                    Куда лишний водород делся? Никуда — его как было бесконечно много, так и осталось.
                                                                                                      –1
                                                                                                      Видите, именно на этом примере хорошо видно, что понятие «сравнение мощностей множества» не соответствует бытовому (да и научному) определению «чего больше?».

                                                                                                      Я ж не к тому, что мощности плохо. Я к тому, что не надо использовать понятие «мощности» для ответа на вопрос «чего больше?». Сравнение мощностей просто не даёт ответа на этот вопрос.
                                                                                                        +1
                                                                                                        Можно проще: бытовое понятие количества перестаёт работать для бесконечных множеств.
                                                                                                          –1
                                                                                                          Что больше — одна прямая вещественных чисел или две прямые вещественных чисел?

                                                                                                          UPD: не «количества», а сравнения, «кого больше».
                                                                                                            +1
                                                                                                            А такое сравнение с бытовыми представлениями как вам нравится? Если есть конечное множество чисел, и мы каждое из них умножим на 2, то чисел останется столько же. Если мы берём бесконечное множество чисел (например, все натуральные) и каждое умножим на два (получатся чётные), то их тоже останется столько же. Никаких противоречий с интуицией.
                                                                                                              –1
                                                                                                              Я тут параллельно в жж этот вопрос обсуждал. Ваш пример интересный.

                                                                                                              … А там родилось ещё одно интуитивное (бытовое) определение слова «больше» в контексте недостижимых бесконечностей (т.е. таких бесконечностей, до которых не надо досчитывать или преодолевать).

                                                                                                              «больше» в контексте бесконечного или несчётного множества — это «плотность». В бесконечной вселенной на каждый атом гелия приходится два атома водорода. Мощности равны, но «водорода в два раза больше, чем гелия». Аналогично, «плотность кратных 5 в два раза выше, чем кратных 10, т.е. кратных пяти больше».

                                                                                                              Что делать с умножением не знаю, но интуиция (бытовая) мне говорит, что для начала, я не смогу умножить все числа на 2, их же там бесконечно много.
                                                                          0
                                                                          Никак. Они ни в коем случае не должны быть «консистентными», потому что если бы вы были бы правы, то не могло бы быть, например, множеств бесконечных по Дедекинду

                                                                          В данном случае вы выступаете примерно как классические физики, которые указывали природе что в соответствии со «здравым смыслом» она должны вести себя так то и такто. Вы это делаете для математики.
                                                                            0

                                                                            Потому, что предел отвечает на вопрос: Что встречается чаще и во сколько раз.
                                                                            А соотношение мощностей 1:1 говорит, что всего элементов в обоих множествах одинаковое количество.

                                                                    0
                                                                    Ну там же выше пояснили, что подразумевается предел при стремлении к бесконечности. Предел равен.
                                                              0

                                                              Ну сейчас же разговор про "количество", а не про "мощность" :)

                                                                0
                                                                Количество не работает для бесконечных коллекций без добавления дополнительных идей, и способов расширения понятия «количество» на бесконечные множества много: тут вам и ординалы, и меры, и мощности, и размерности множеств\

                                                                Ну а рассуждение «если для любого конечного N тото, то и для бесконечного тоже» неверно
                                                                  0
                                                                  Количество не работает для бесконечных коллекций

                                                                  Точнее — не определено. С-но, если мы говорим о "количестве" элементов в бесконечном множестве (а точнее даже — о соотношении таких количеств), то мы вполне можем подразумевать не мощность, а что-нибудь другое. Почему бы, например, и не описанный выше человеком предел?


                                                                  Ну а рассуждение «если для любого конечного N тото, то и для бесконечного тоже» неверно

                                                                  Но оно как раз используется в интуиции мощностей: "если конечные разномощные множества имеют разный размер, то и бесконечные разномощные множества — тоже :)

                                                                    0
                                                                    Но оно как раз используется в интуиции мощностей


                                                                    Как вы наверное знаете, построение современной теории множеств началось с краха так называемой Наивной теории множеств — потому что она как раз строилась по интуиции, а это до бобра не доводит)
                                                              0
                                                              Какого такого правильного ответа не будет? Всё правильно же: пятерки еще есть, десятки — вышли, значит на вашем интервале пятерок больше чем десяток. Разве это не правильный ответ?

                                                              А вот для бесконечных множеств так не получается.
                                                                0
                                                                Окей, не получается, потому что на этапе «досчитали до бесконечности» мы ломаемся (если не считаем возможным дойти до всяких алефов и прочих недостижимых вещей).

                                                                Почему бы тогда не использовать подход, который в конечных цифрах позволяет дать ответ на этот вопрос, через предел? Напоминаю, что он не требует «досчитать» до бесконечности, достаточно показать «для любого эпислон» (из N).
                                                                  0
                                                                  Потому что на вашем подходе не выйдет нормальной непротиворечивой теории. Либо кучу операций с множествами придётся запрещать, либо будут парадоксы.

                                                                  Вот смотрите: мы берем и умножаем каждый элемент множества на 2… после чего их становится в два раза меньше. А если поделим на 2 — их станет в два раза больше! Так что ли получается?
                                                                    0
                                                                    Вот смотрите: мы берем и умножаем каждый элемент множества на 2… после чего их становится в два раза меньше. А если поделим на 2 — их станет в два раза больше! Так что ли получается?

                                                                    Допустим, так. Тут есть противоречие?

                                                                      +1
                                                                      Допустим, так. Тут есть противоречие?

                                                                      Если не называть эту штуку мощностью множества, то никаких противоречий (вероятно). Если назвать, то оно будет противоречить определению мощности множества.

                                                                      0

                                                                      Мой вопрос не в том, зачем люди трансфинитивную математику придумали и мощности бесконечных множеств, а в том, почему мой наивный вариант неверен. Я вполне серьёзно интересуюсь, потому что в моём представлении никакое расширение теории не должно противоречить более "примитивным" конструкциям.


                                                                      Вот смотрите, где ошибка в утверждении:


                                                                      для любого наперёд взятого положительного числа E найдётся отвечающее ему положительное число D(E) такое, что для всех n > D, выполняется неравенство: 2 — ( (n % 10 ) / (n % 5 ) ) < E.

                                                                        0
                                                                        Ваше утверждение верное, но к мощности множеств отношения не имеет.
                                              +1
                                              Как далеко мы можем продвинуться? После бесконечного количества итераций мы дойдем до — бесконечная по порядку мощность! Кстати, ее существование было неочевидно Кантору. Но секунду! Ведь функция powerset всегда определена, поэтому не может быть последней!


                                              Думаю многим и сейчас неочевидно, почему функция определена везде? Почему ее можно применить после бесконечного числа раз и самый главный вопрос, почему для после бесконечного числа итераций они вдруг не начнут совпадать, то есть операция powerset — просто не замкнется. Разве это все выражается в ZFC?
                                                +2
                                                >почему для после бесконечного числа итераций они вдруг не начнут совпадать, то есть операция powerset — просто не замкнется

                                                Это доказано еще Кантором
                                                  0
                                                  Доказано, используя теорию множеств. Для классов и для таких множеств нужны другие аксиомы.
                                                    0
                                                    powerset применим к множествам.
                                                    для собственных классов это разумеется не работает
                                                    Например, если V — вселенная (класс всех множеств), то powerset(V) = V
                                                    именно поэтому собственные классы не множества — чтобы не было парадоксов

                                                    Но в статье мы не дошли до собственных классов
                                                +4
                                                С помощью целых чисел мы можем создать вещественные

                                                Мне кажется, что из этой фразы следует эквивалентность множеств целых и вещественных чисел, что, как известно, неверно.
                                                  0
                                                  В статье говорится об операции powerset, которая как раз превращает рациональные в вещественные.
                                                  +3
                                                  Честно прочитал все полностью
                                                  Честно ничего не понял
                                                  Добавил в закладки, что бы потом снова прочитать и снова ничего не понять
                                                  И так N + 1 раз, где N бесконечность
                                                    –9
                                                    Тут неплохо показано, что никаких несчётных множеств нет и быть не может: habr.com/ru/post/445762
                                                      +3
                                                      ничего такого там не показано. Если вам не нравятся несчетные множества, то придется отказаться от вещественных чисел. И я боюсь, что в этом случае сломается анализ.
                                                        –7
                                                        Вы внимательно почитайте. И вспомните «доказательство» несчётности.
                                                          +1
                                                          Счетное множество это то, у которого существует биекция со множеством натуральных чисел. У иррациональных чисел, которые часть вещественных, такой биекции не существует.
                                                            –6
                                                            Даже с уверенностью повторённая глупость меньше глупостью не становится.
                                                              +1
                                                              Будут какие-то конструктивные аргументы, а не утверждения что мои аргументы глупые?
                                                                –3
                                                                Вы используете выводы из неверного доказательства в качестве обоснования, что доказательство верно.
                                                                  +2
                                                                  Вам удастся высказаться конкретнее (какой вывод и из какого доказательства был приведён), или нам требуется угадывать Вашу мысль самостоятельно?
                                                                    +1
                                                                    Укажите пожалуйста конкретную ошибочную строчку в тексте доказательства, с развернутым пояснением почему она не верна.
                                                                      –2
                                                                      Ну, приведите тогда для начала вашу любимую формулировку доказательства.
                                                                        0
                                                                        Зачем приводить «любимую», если можно привести ту, которую Вы и сами моментально нашли бы, если бы считали нужным спорить, а не упираться рогом? ru.wikipedia.org/wiki/%D0%94%D0%B8%D0%B0%D0%B3%D0%BE%D0%BD%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D1%8B%D0%B9_%D0%B0%D1%80%D0%B3%D1%83%D0%BC%D0%B5%D0%BD%D1%82
                                                                          0
                                                                          Я знаю как минимум несколько формулировок. Даже по ссылке вашей в названии фигурирует диагональный аргумент, картинка про диагональный аргумент, а в тексте про диагональный аргумент, собственно, ни слова. Так какой вариант будем разбирать? Диагональный или Множественный?
                                                                            0
                                                                            Тот, про который Вы сказали чуть выше, что вывод из него используется в словах собеседника. Неужели так трудно развивать свою собственную мысль?
                                                                              –3
                                                                              Без разницы они все имеют одну и ту же логическую ошибку — самоотрицание.
                                                                                +1
                                                                                Это называется не «самоотрицание», а «рассуждение от противного». Которое допустимо благодаря закону исключённого третьего.
                                                                                  –1

                                                                                  Рассуждение от противного работает только для одного единственного предположения. Тут же вводятся 2, которые изначально противоречат друг другу:


                                                                                  1. Для любого а из А есть ровно один б из Б, и наоборот.
                                                                                  2. Существует такой а из А, который не равен любому соответствию б из Б в А.

                                                                                  А из противоречивых утверждений, как известно, можно сделать совершенно любые выводы. Кантор, в частности, решил, что (2) несомненно, а следовательно (1) ложно. Но с тем же успехом можно прийти и к противоположным выводам.

                                                                                    0
                                                                                    Второе не вводится, а строится как следствие первого.
                                                                                      –1
                                                                                      Вводится в той же мере, что и «брадобрей бреющий всех и только тех, кто не бреет себя сам». Не всё, что можно сформулировать, может существовать.
                                                                                        +1
                                                                                        А можно было сразу сказать, что Вы — сторонник конструктивной математики и отвергаете все теории, не приводящие к явному построению искомого объекта? Это бы сильно упростило нам жизнь, полагаю.
                                                                                          –1
                                                                                          Я отвергаю лишь те теории, которые строятся на самоотрицании. И по ссылке, что я дал, человек размышляет о том, почему объявление противоречивых сущностей пагубно для математики. а против неконструктивных объявлений я ничего не имею. Если доказана их непротиворечивость. Аналогично предел ряда существует лишь если доказана его сходимость.
                                                                                            0
                                                                                            А Вас не смущает, что доказательство от противного — это в точности Ваши рассуждения, только с одним дополнительным шагом: «а если для чего-то доказана его противоречивость, значит, оно неверно»?
                                                                                              –1

                                                                                              А вы считаете этот шаг несущественным?

                                                                                                0
                                                                                                Нет, это вы почему-то считаете его несущественным и пропускаете при чтении доказательств.
                                                                                      0
                                                                                      Но с тем же успехом можно прийти и к противоположным выводам.

                                                                                      Нельзя, т.к. 2 напрямую следует из аксиоматики.

                                                                                        –2

                                                                                        Если вы про аксиому выбора, то она как ничто другое хорошо иллюстрирует то, что некоторые так сказать математики предпочитают изучать невидимых розовых единорогов, вместо того, чтобы заняться чем-то полезным.


                                                                                        Фактически она постулирует, что (2) истина и поэтому (1) ложно. Но с тем же успехом можно было бы постулировать и что (1) истина, из чего следовала бы ложность (2).


                                                                                        Вот вам самим что кажется более правдоподобным, что можно принять за базис рассуждений:


                                                                                        1. Отсутствие чего-то не может быть больше или меньше отсутствия чего-то ещё.
                                                                                        2. Всё, что можно описать, может существовать.
                                                                                          0
                                                                                          Оба высказывания достаточно правдоподобны, за исключением того, что первое излишне запутано, а второе относится к элементам некоторой научной системы, а не конкретным физическим объектам.
                                                                                            0
                                                                                            «То, что существвоать не может» может существовать? Очень правдоподобно.
                                                                                              0
                                                                                              Это не описание. Это одно конкретное свойство. Если Вы сможете привести полное (с опорой на некоторую аксиоматику) непротиворечивое описание сущности, которая обладает этим свойством, — разговор будет другой.
                                                                                                +1
                                                                                                непротиворечивое

                                                                                                Ключевой момент.

                                                                                                  0
                                                                                                  Да, разумеется. Сущность, которой одновременно приписываются два несовместимых свойства (что и есть противоречие), существовать не может. Если у Вас есть пример обратного — прошу его предъявить.
                                                                                                    –2
                                                                                                    Как вы ловко пересели на другой стул. На этом закончим.
                                                                                            +2
                                                                                            Если вы про аксиому выбора

                                                                                            Я в общем про ZFC.


                                                                                            Вот вам самим что кажется более правдоподобным, что можно принять за базис рассуждений:

                                                                                            Ни первое, ни второе. Есть аксиомы, есть правила вывода. Если формула, содержательно утверждающая существование чего-либо, выводится в рамках данной системы — то она выводится. Если не выводится — то не выводится. Но все это не совсем важно, поскольку:


                                                                                            1. теорема Кантора утверждает как раз НЕсуществование определенного объекта. Конкретно — биекции между множеством и его булеаном. А существование утверждает как раз тот, кто говорит что такая биекция есть (или, что эквивалентно — несчетных множеств не бывает).
                                                                                            2. Никакой аксиомы выбора для доказательства теоремы Кантора не требуется. Достаточно только аксиомы булеана и аксиомы выделения, без которых (или их содержательных аналогов) никакой вменяемой теории множеств просто нельзя построить
                                                                                            3. исходя из вышесказанного — у вас каша в голове
                                                                                              –2
                                                                                              Теорема Кантора утверждает именно **существование** такого объекта в бесконечном множестве, который не равен любому элементу этого же множества.

                                                                                              Прям секта свидетелей Кантора какая-то. Впрочем, не буду учить вас жить. Вы имеете полное право верить в любой бред.
                                                                                                0
                                                                                                Теорема Кантора утверждает именно **существование** такого объекта в бесконечном множестве, который не равен любому элементу этого же множества.


                                                                                                А значит, этот элемент обладает двумя несовместимыми свойствами. Значит, он на самом деле не существует. Далее применяем метод «от противного»: существование выводилось из предположения, что множество и его булеан равномощны. Но существование невозможно, значит, и равномощность невозможна. Вам настолько не нравится метод «от противного», что Вы такими сложновывернутыми методами пытаетесь показать его некорректность?
                                                                                                  0
                                                                                                  Теорема Кантора утверждает именно существование такого объекта в бесконечном множестве, который не равен любому элементу этого же множества.

                                                                                                  Нет, не утверждает. Она вообще ничгео не утверждает про элементы бесконечных мн-в. Теорема кантора утверждает, что если у вас есть два непустых множества X и 2^X, то между ними не существует биекции.
                                                                                                  Вы же утверждаете, что биекция между ними есть. Или вы утверждаете, что нету самого мн-ва 2^X?

                                                                +2

                                                                Вот это?


                                                                Представим множество (или же список, массив) всех положительных целых чисел, а затем представим число, соответствующее количеству чисел в нашем множестве. Представили? Если да, то что будет со множеством после добавления в него числа, равного количеству его элементов с прибавленной единицей? Если там уже есть все элементы, вспомним, что они могут быть отсортированы по возрастанию и тогда станет очевидным, что наибольший элемент равен количеству элементов в нашем множестве. Но если прибавить к количеству единицу, то мы получим элемент, которого в множестве нет, значит вроде бы представить такой список нельзя, ведь каждый раз будет всплывать вопрос о новом элементе.

                                                                Ошибка тут в том, что во множестве всех натуральных чисел нет максимального элемента. А значит нет и натурального числа равного количеству элементов во множестве натуральных чисел. Кроме того в вышеприведенном рассуждении смешиваются ординальные и кардинальные числа.


                                                                До Кантора в девятнадцатом веке и ранее это было бы простительной ошибкой. Сейчас это — недостаток знаний.


                                                                Аксиоматическое введение трансфинитных чисел и алефов не приводит к противоречиям. Можно сказать: "Я не верю в актуальные бесконечности", и отвергнуть аксиому существования бесконечных множеств, как делают финитисты, но доказать несуществование бесконечных и несчетных множеств не получится.

                                                                  –4
                                                                  Вот это?

                                                                  Не это, продолжайте чтение :-)


                                                                  Я не верю в актуальные бесконечности", и отвергнуть аксиому существования бесконечных множеств

                                                                  Какой интересный переход. Уверен, вы в курсе термина "потенциальная бесконечность".


                                                                  но доказать несуществование бесконечных и несчетных множеств не получится.

                                                                  В той же мере, что и доказать, что бога нет.

                                                                    0
                                                                    > Не это, продолжайте чтение

                                                                    Мне неинтересно играть в угадайку. Покажите где там вывод противоречия из аксиом Цермело — Френкеля или что-то аналогичное. Я ничего похожего там не увидел.
                                                                      –3
                                                                      Не гадайте, а прочитайте. Вся статья о том, что «доказательство» несчётсности ничего не доказывает.
                                                                        0
                                                                        Я считаю, что играться с формальной логикой — хорошее занятие, строить теории и тому подобное — весело и полезно для ума. А вот приходить в чужие статьи и троллить — плохое занятие, единственный выхлоп это потраченные человеко-часы.
                                                                          –1
                                                                          Ага, назови оппонента троллем и можно смело игнорировать его аргументы.
                                                                            +1
                                                                            Какие еще аргументы? Вы лишь отсылаете к статье, в которой даже нет вхождний слова «счетное».
                                                                            В треде же чуть выше, где вам дали ссылку на доказательство Кантора и попросили указать ошибку (что было бы, вероятно, самым эпичным событием в математике за тысячу лет), вы пишете, что там картинка неправильная, т. е. троллите.
                                                                  0

                                                                  Как вы сделали такой странный вывод из этой статьи?

                                                                    –2
                                                                    Ничего странного, если вспомнить как доказывается несчётность.
                                                                    Спойлер: точно так же.
                                                                  +1
                                                                  Меня как раз интересовал вопрос: если у нас есть гипотеза, которую можно опровергнуть контрпримером, и мы доказываем её недоказуемость, что значит, что контрпример привести невозможно, будет ли это означать её истинность? В статье вроде говорится, что с континуум-гипотезой так нельзя, а может ли такое быть например с гипотезой Римана?
                                                                    0
                                                                    Как я понимаю, такое работает только для счетных множеств. Если недоказуемо, что forall x A(X) значит контрпримера нет, значит это утверждение истинно на самом деле. Если же взять его отрицание как аксиому, то формально это не приведет к противоречиям, но такая арифметика будет w-противоречивой, что на бытовом уровне очень плохое свойство

                                                                    Почему это не работает для ZFC, это хороший вопрос. Мне самому надо подумать. По моему потому что и так в любой ветке ZFC уже неконструктивна (в математическом смысле) какие аксиомы или их отрицания не добавляй (например, попытка отказаться от Axiom of Choice заменой ее на Axiom of Determinancy избавляет от одних парадоксов, но добавляет свои)

                                                                    ЧТо касается вещественных чисел — то это зависит от того, как их вводить. Но скорее всего их можно вводить либо формально через ZFC, либо с помошью разного рода правдоподобных рассуждений, что ставит нас на зыбкую почву теорий второго порядка?
                                                                      0
                                                                      Если я правильно понял вопрос, то если гипотеза — тип Hyp, контрпример — тип Hyp → ⊥, доказательство невозможности контрпримера — тип (Hyp → ⊥) → ⊥, то ваш вопрос экивалентен наличию аксиомы о двойном отрицании в вашей логической системе.

                                                                      Правда, ещё под ковёр заметается вопрос о том, что такое «доказать недоказуемость».
                                                                        0
                                                                        «Это утверждение недоказуемо» Это утверждение недоказуемо.
                                                                          0
                                                                          Это не формулировка на языке, например, FOL.
                                                                        0

                                                                        Для того, чтобы это было так, нужно чтобы из существования контрпримера следовала доказуемость его существования. А это не так даже для гипотезы Римана: на множестве комплексных чисел континуум точек, но только счётное число точек является вычислимым. Все остальные точки мы не можем записать аналитически, а значит их нельзя использовать как контрпример в доказательстве.

                                                                          0
                                                                          К сожалению не могу найти цитату. Читайте «I am a strange loop» Дугласа Хофштадтера, там много мозговыносящих примеров и разбор всех последних математических тем на хабре. Более популярно также разобрано в «Гёдель Эшер Бах»
                                                                            –1
                                                                            Для того, чтобы это было так, нужно чтобы из существования контрпримера следовала доказуемость его существования.

                                                                            А "существование контрпримера" — это что? Не совсем понятно, как можно говорить о том, что что-то существует, если существование не доказано. В каком тогда смысле оно существует?

                                                                        • НЛО прилетело и опубликовало эту надпись здесь
                                                                            +6
                                                                            Ага. И зачем вы его тут сделали?
                                                                            0
                                                                            Это своеобразное TOE математики.

                                                                            Ну так себе TOE. В тру TOE утверждения типа $5 \in \sin$ не имеют смысла «статически», а в ZFC они просто ложны.

                                                                              +3
                                                                              Как же офигенно интересно вы, математики, живёте. Если вам ещё и платят за такое, я даже не знаю, это как-то нечестно :)
                                                                                0
                                                                                Да, вот это жизнь!
                                                                                ru.wikipedia.org/wiki/%D0%AD%D1%80%D0%B4%D1%91%D1%88,_%D0%9F%D0%B0%D0%BB
                                                                                Лучше прочтите по англ полный вариант, как он приезжал к знакомым математикам, говорил «мой разум открыт» и его кормили, а потом он предлагал назвать ему, куда ехать дальше… И все его имущество состояло из чемоданчика…

                                                                                Единственное, почему бы я не хотел поменяться с ним судьбой — у него вроде не было женщин.
                                                                                0
                                                                                И всё-таки, множеством всех подмножеств какого множества является алеф-омега? Объединения всех множеств алеф-n при натуральных n (используя тот факт, что множество всех подмножеств включает в себя одноэлементные подмножества, а их множество эквивалентно исходному), или тут какая-то другая конструкция?
                                                                                  0
                                                                                  Пределом последовательности -> powerset() ->…
                                                                                  Поэтому сам ординал omega называется предельным (limit ordinal)
                                                                                    0
                                                                                    Насколько я понимаю — никакого. По-моему, тут всё аналогично множеству натуральных чисел и операции прибавления единицы. Прибавляя единицу к натуральному числу мы никогда не выйдем за пределы множества натуральных чисел. Поэтому аксиоматически вводится трансфинитное число ɷ, которое располагается после всех натуральных чисел.
                                                                                      0

                                                                                      Допустим, множество мощности алеф-нуль — это множество чисел. Тогда алеф-1 состоит из множеств и содержит {}. Далее, {{}} не лежит в алеф-1, но лежит в алеф-2. Тогда {{...{{{}}}...}} (пропущено бесконечное количество скобок) лежит в алеф-омега и не лежит ни в каком предыдущем.

                                                                                      0
                                                                                      А какие принципиальные отличия между первым ординалом \omega и \omega + 1? Насколько я помню там это не очень понятно… И как я понимаю там в это опирается чуть ли нахождение гомотопических групп сфер, ну и если разница существенная, то ко всем доказательствам по индукции нужно доблавлять, что действительно до первого ординала))
                                                                                        0
                                                                                        omega это limit ordinal, в частности, нет такого ординала, которые ему предшествует
                                                                                        omega+1 это successor ordinal, и он имеет предыдущий ординал — это, очевидно, omega
                                                                                        ординалы бывают двух видов: limit and successor
                                                                                          0
                                                                                          Принципиальные отличия в том, что есть биекция, но нет изоморфизма. Если тот нолик справа, который даёт единицу в \omega + 1, изоморфизмом мапится на какой-то элемент в \omega, например, x, то x — 1 обязан мапиться на \omega-часть \omega + 1, а между этим отображением и нулём бесконечно много элементов, которые мы уже никуда замапить не можем.
                                                                                            0
                                                                                            Как минимум в омега+1 есть наибольший элемент, а в омега нету.
                                                                                            0
                                                                                            А где же сюрреальные числа, которые, по-моему, прекрасно описывают все эти бесконечные бесконечности, но совершенно не выносят мозг?
                                                                                              0
                                                                                              Surreal numbers это очень красивое построение, но у этих чисел есть страшный дефект. Так как поколения индексируются ординалами, а Ord — класс всех ординалов слишном широк и не является множеством, то коллекции surreal numbers — это собственные классы а не множества.

                                                                                              так что вы, например, не можете взять множество surreal numbers между 1 и 3 и пересечь с множеством surreal numbers между 2 и 4
                                                                                              +1

                                                                                              А что насчёт кардиналов, не совместимых с аксиомой выбора?

                                                                                                0
                                                                                                Спасибо за вопрос

                                                                                                Да такие есть на самом верху… И что интересно, в New Foundations, построенной по совсем другим принципам:
                                                                                                1. Существует «множество всех множеств»
                                                                                                2. Аксима выбора опровергается в New Foundations
                                                                                                3. New foundations «из коробки» дает ZFC + начальные расширения недостижимых кардиналов
                                                                                                4. Для всех множеств, ограниченых какой то очень большой (недостижимой) мощностью в New Foundations аксиома выбора НЕ опровергается

                                                                                                То есть, NF повторяет ZFC+расширения (совпадение? не думаю) и обе теории говорят, что AC не верна, но для очень очень очень больших мощностей. Платонист во мне говорит, это это показывает нам, что мы реально изучаем некую реальность, а это не игра в символы
                                                                                                0
                                                                                                В статье не раскрыта тема бесконечного взятия powerset.

                                                                                                Если интересно, советую посмотреть «Не совсем наивная теория множеств» Вавилова. Она написана в непривычно художественном стиле, но доказательства строгие.
                                                                                                  +1
                                                                                                  Хм. Я старался
                                                                                                  А как же мы досчитали до aleph_omega, aleph_aleph_0 итд?
                                                                                                  +1
                                                                                                  Пишите еще! Интересно! :)
                                                                                                    0
                                                                                                    Меня волнует один вопрос.
                                                                                                    Машина Тьюринга это конечный автомат с бесконечной лентой. Но на эту ленту можно записать только конечный алгоритм. И никакое выполнение алгоритма не может занять всю ленту.
                                                                                                    Итак, всякий компьютер реализует машину Тьюринга. Но логически всякий компьютер является конечным автоматом. Хотя, если учитывать, что Машина Тьюринга не может занять всю ленту, мы можем вырезать неиспользуемую часть ленты (на каждый алгоритм разная часть)! Таким образом, необходимости в бесконечной ленте нет и всякий компьютер на 100% соответствует машине Тьюринга (и наоборот).
                                                                                                    Наибольший парадокс, который я не могу разрешить, вот в чем: алгоритмы или формулы работают для произвольных чисел (a+b=c работает независимо от величин переменных, «а» может быть гуглплексом и т.д.). Машина Тьюринга как-бы тоже может работает с произвольными величинами. Компьютеры реализуют МТ, но размерность величин строго ограничена. Итак, каждую возможную программу можно заменить конечной памятью, где адрес — программа (вместе с входными данными), а значение по адресу — результат ее выполнения (как ни парадоксально, в схемотехнике так и сделано, просто логика сокращена!). Таким же образом мы можем заменить Машину Тьюринга гигантской конечной памятью, где адрес — алгоритм, а значение по адресу — результат выполнения алгоритма! Куда пропадает бесконечность???
                                                                                                      0
                                                                                                      И никакое выполнение алгоритма не может занять всю ленту.

                                                                                                      Если он не зациклился
                                                                                                      Выполняя программу на конечной машине вы не знаете, закрепилась программа или нет

                                                                                                        0
                                                                                                        Это понятно. Но если занята вся память, значит машина зациклилась. Таким образом, после выполнения абсолютно любого алгоритма можно обрезать ленту.
                                                                                                          +1
                                                                                                          если занята вся память

                                                                                                          Этого не может произойти, лента бесконечная.


                                                                                                          Более того, если лента конечная и вся ячейки заняты, это не значит, что она зациклилась.

                                                                                                        0
                                                                                                        Таким же образом мы можем заменить Машину Тьюринга гигантской конечной памятью, где адрес — алгоритм, а значение по адресу — результат выполнения алгоритма!

                                                                                                        И как можно заменить алгоритм a+b конечной памятью? Если эта память конечна, то существуют максимальные значения a_m и b_m, для которых в памяти есть результат. Алгоритм может рассчитать (a_m + 1) + b_m, но в памяти этого значения не будет. Следовательно они не эквивалентны.

                                                                                                          0
                                                                                                          Вот это я не могу понять. С одной стороны, Машина Тьюринга превосходит конечную память. С другой стороны, все возможные выполнимые алгоритмы конечны по памяти и по времени. Значит каждый возможный алгоритм можно воплотить в своей ячейке памяти.
                                                                                                            0

                                                                                                            Что бы ни было записано в конечной памяти, алгоритм может рассчитать больше. Чтобы память была эквивалентна алгоритму, должно выполняться условие "если результат a+b находится в памяти, то и результаты (a+1) + b, a + (b+1), (a+1) + (b+1) находятся в памяти", а это условие выполняется только для актуально бесконечной памяти.

                                                                                                              0
                                                                                                              Всё сложно )
                                                                                                              Очевидно, привести конкретный численный пример где алгоритм отличается от памяти принципиально невозможно. Ведь такой конкретный пример можно добавить в память. Парадокс?
                                                                                                              Я понимаю, что конкретный пример всегда конечен, а алгоритм безразмерен. Но есть одна тонкость. Допустим перечисляем все простые числа. Очевидно, что наивный алгоритм никогда не остановится. Поэтому каждый алгоритм, который остановится имеет, по крайней мере, счетчик, который в какой-то момент остановит его выполнение.
                                                                                                              Делаем вывод: ∀ алгоритм (∈ остановишийся алгоритм) можно записать в память.
                                                                                                              Не силен в кванторах, если сказать на естественном языке, то вот так: Каждый алгоритм из множества остановившихся алгоритмов можно записать в память.
                                                                                                                0
                                                                                                                Загвоздка здесь вот в чём. Если считать этот счётчик частью алгоритма — т.е. если исключить из рассмотрения входные данные и считать, что машина Тьюринга всегда стартует на пустой ленте, — то да, любая программа, которая завершается, будет эквивалентна своему результату. А вот если считать, что на ленте может быть записано некоторое входное значение алгоритма (как и предполагается по определению) — у нас получится бесконечно большое количество результатов, каждый из которых может оказаться больше любой наперёд заданной памяти.
                                                                                                                  0
                                                                                                                  Я примерно понял где я ошибся. Но всё не так просто. Я давно размышляю над вычислениями и даже работаю над идеей «действительного компьютера», где все вычисления выполняются над настоящими действительными числами.
                                                                                                                  Если сократить, то вот мои размышления про МТ:
                                                                                                                  Строго говоря, устройство управления (УУ) в Машине Тьюринга (МТ) это программа. А лента это только входные данные. Естественно, невозможно знать наперед входные данные, иначе мы знали бы будущее. Сама же программа (УУ) детерминирована и известна до конца (тут можно закинутся, что само УУ тоже может быть реализовано на отдельной МТ и так бесконечная рекурсия). Итак, хотя МТ является полностью абстрактной, ее логику мы реализовываем в физических «калькуляторах». Абсолютно строго придерживаясь соответствия, программа (УУ) в физических калькуляторах это сама программа плюс его железо (на самом деле, программа в RAM (или на перфоленте) это такой же физический объект как и процессор). А лента — это наши нажатия на кнопки. Из-за особенностей МТ часто считают, что на ленте записана программа, но это просто возможность МТ так делать (Тьюринг-полнота), а не само определение машины!
                                                                                                                  Есть одна особенность, которая всё портит — мы не знаем, остановится ли МТ на некоторых входных данных. Это естественно и понятно, но всё равно ломает всю магию. Математически возможный выход — использовать такую МТ, которая каждое следующее действие выполняет в два раза быстрее предыдущего, что в математике делается на изи (но невозможно в реальности). Таким образом, каждый выполнимый алгоритм выполняется за конечное время. Гипотетически, так можно разделить МТ на два множества — остановившиеся и зациклившийся. Мой вопрос был в том, можно ли каждую МТ из множества остановившихся записать в конечную таблицу. Как видно, так нельзя, из-за бесконечной ленты.
                                                                                                                  Я знаю, математический трюк ускорения можно оспорить. Но не суть. Проблема следующая — МТ абстрактна. Но математика не вычисляет саму себя. Всякое вычисление есть физический процесс. А все физические реализации — конечны. Так что любой компьютер можно заменить «пререндеренной» конечной таблицей с готовыми ответами.
                                                                                                                  В процессе создания своего «действительного компьютера» я столкнулся с тяжелой проблемой — на него нельзя создать новый алгоритм. Все алгоритмы, которые на нем можно запустить должны быть уже до этого вычислены на обычной машине Тьюринга. Единственное, что я смог пока придумать — сложение и вычитание.
                                                                                                                  Так вот я теперь сижу и думаю, что более абстрактно — Машина Тьюринга или «Действительный Компьютер»?
                                                                                                                  Вообще, это тема для отдельной статьи
                                                                                                                    0

                                                                                                                    Кстати, настоящую машину тьюринга можно построить в игре Жизнь

                                                                                                                      0
                                                                                                                      Это я знаю и уже включил в свою черновую статью )
                                                                                                                        0
                                                                                                                        Подписался. Буду читать)
                                                                                                                          0
                                                                                                                          Вы там случайно не делаете машину Тьюринга в Майнкрафте?
                                                                                                                          0
                                                                                                                          «Blum–Shub–Smale machine» модель вычислений, которая работает с действительными числами. Меня смутило вот это: «BSS machines are more powerful than Turing machines (which in a sense are restricted to storing rational numbers only).»
                                                                                                                          С мат. точки зрения всё идеально, но как воплотить такую машину в физическом виде? Я не нашел способа составления произвольных алгоритмов для «действительного компьютера». Всё что пока известно — вычисление «самого себя». С одной стороны, такой компьютер будет превосходить МТ по понятным причинам. Но с другой стороны, если на такой компьютер невозможно создать произвольный алгоритм, то толку от него будет мало.
                                                                                                                          0

                                                                                                                          Сейчас я представляю "действительные вычисления" разве что как символьные, в которых число sqrt(2) представляется с помощью числа 2 и операции взятия корня. У таких вычислений проблемы со сколько нибудь нетривиальными задачами, в которых представления чисел будут расти до астрономических размеров. Например, как в системах компьютерной алгебры.


                                                                                                                          С другой стороны, есть системы счисления с нецелым основанием, в которых некоторые действительные числа представляются нативно. Может на их основе тоже можно придумать что-нибудь интересное. Вообще самая оптимальная система счисления — с основанием e. Но оно нецелое, поэтому двоичная тоже является неплохим приближением (а троичная еще лучше).

                                                                                                                        +1

                                                                                                                        Ваши сомнения можно и проще выразить: "каждое натуральное число конечно, поэтому ничего бесконечного в натуральных числах (N) нет".


                                                                                                                        Бесконечность появляется когда мы рассматриваем множество N как единое целое.


                                                                                                                        Процедура добавления ещё одного натурального числа к имеющемуся конечному множеству — это не множество N. Это разве что часть определения, в котором не хватает: "Полученное множество будет равно N после добавления всех элементов множества N".

                                                                                                                      0
                                                                                                                      все возможные выполнимые алгоритмы конечны по памяти и по времени

                                                                                                                      Нет. Алгоритм a+b может занять больше любого заранее заданного количества памяти, если входные данные достаточно большие.


                                                                                                                      Вашу гипотетическую таблицу "алгоритм -> результат" невозможно составить для натуральных чисел. Вам что бы записать все возможные входные данные, нужна бесконечная память.

                                                                                                                    0
                                                                                                                    Таким образом, необходимости в бесконечной ленте нет и всякий компьютер на 100% соответствует машине Тьюринга (и наоборот).

                                                                                                                    Это утверждение не верно. Банальный бесконечный алгоритм "иди к следующему адресу памяти, повтори" на любой реальной машине упадет в исключение. На машине Тьюринга просто будет бесконечно выполняться. Это показывает, что нет, вы не можете заменить машину Тьюринга реальным компьютером и ожидать их 100% эквивалентность.


                                                                                                                    Ответ на ваш вопрос — бесконечность пропадает тогда, когда вы выкидываете бесконечную ленту. Все алгоритмы, которые её используют, перестают работать.

                                                                                                                    0

                                                                                                                    Нет, если алгоритм зациклился
                                                                                                                    А на конечной машине вы часто не можете узнать, зациклился он или нет


                                                                                                                    Что касается успешно остановившихся алгоритмов, то они используют всегда конечную память, но ее объем — алгоритмически неразрешимая проблема

                                                                                                                      0
                                                                                                                      Можно добавить правила для маркировки текущей ячейки

                                                                                                                      используют всегда конечную память

                                                                                                                      Значит все остановившиеся МТ можно заменить памятью с заранее написанным результатом, всего лишь элементарная комбинаторика.
                                                                                                                      Что я хочу сказать? Даже в МТ нет бесконечности, единственное что она может сделать сверх этого — зациклится. Все алгоритмы работают с конечными величинами.
                                                                                                                        +3
                                                                                                                        Даже в МТ нет бесконечности, единственное что она может сделать сверх этого — зациклится.

                                                                                                                        Но вы не сможете никак отличить зациклившуюся от той, которой нужно "еще немного". Возьмите МТ, которая просто пишет на ленте единицы, до бесконечности. Вам придется постоянно "подклеивать" к этой МТ все новые и новые кусочки ленты, и этот процесс не закончится никогда. С-но никакой конечной ленты вам не хватит.

                                                                                                                        0
                                                                                                                        А на конечной машине вы часто не можете узнать, зациклился он или нет

                                                                                                                        Вообще не можете узнать, это же неразрешимая задача :)

                                                                                                                          0

                                                                                                                          Я написал "часто"
                                                                                                                          Потому что в общем случае это неразрешимая задача, но бывает что зацикленность очевидна

                                                                                                                            0

                                                                                                                            Я имел в виду не это, а то, что не важна конечность машины. Без разницы, конечная машина или не конечная — если у вас программа виснет "ациклически" (мозаику Пенроуза пусть рисует в какой-то кодировке, допустим), то, наблюдая ее поведение, вы никак и никогда не определите, что она висит, даже если у вас лента бесконечная.


                                                                                                                            С конечной там обратная проблема — вы тогда будете обрубать все алгоритмы, которые требуют памяти больше, чем имеется.

                                                                                                                        0
                                                                                                                        У меня возникло несколько вопросов, очевидных для математиков, но неочевидных, по крайней мере, для меня.

                                                                                                                        1.
                                                                                                                        коллекции вещественных создают любые фигуры

                                                                                                                        Я правильно понял, что можно использовать упорядоченную пару {тип, параметры типа} и записывать, например
                                                                                                                        {точка, {x, y}}
                                                                                                                        {треугольник, {точка1, точка2, точка3}}
                                                                                                                        {окружность, {точка_центра, радиус}}
                                                                                                                        {парабола, {директриса, точка_фокуса}}
                                                                                                                        ?

                                                                                                                        2.
                                                                                                                        С помощью целых чисел мы можем создать вещественные
                                                                                                                        — как? Рациональные понятно — упорядоченная пара. Даже sqrt(5) понятно — {корень, {2, 5}}, вторая степень из 5.
                                                                                                                        А как с трансцендентными pi, e и др?

                                                                                                                        3. Что такое ТОЕ?
                                                                                                                          0
                                                                                                                          1) можно
                                                                                                                          2) Вики
                                                                                                                          3) Theory Of Everything
                                                                                                                            0
                                                                                                                            А как с трансцендентными pi, e и др?

                                                                                                                            Самый примитивный способ — школьный. Просто определяем действительное число как что-то, записанное в десятичной системе счисления. Более формально, действительное число — это пара из целого числа (называемого целой частью) и бесконечной последовательности цифр 0-9, ни один хвост которой не является последовательностью из одних только девяток.


                                                                                                                            Чуть более продвинутое определение использует двоичную систему счисления как более простую.


                                                                                                                            Другие определения более сложны, но зато не привязаны к конкретной форме записи.


                                                                                                                            Третье определение: действительное число — это абсолютно сходящаяся последовательность рациональных чисел (но тут понадобится способ определения абсолютной сходимости на незамкнутых множествах).


                                                                                                                            Четвертое: действительное число — это разрез множества рациональных чисел, т.е. такое разбиение Q на сумму A и B, что для любого x из A и y из B выполняется x<y.

                                                                                                                              +1
                                                                                                                              Третье определение: действительное число — это абсолютно сходящаяся последовательность рациональных чисел (но тут понадобится способ определения абсолютной сходимости на незамкнутых множествах).

                                                                                                                              Только не сама последовательность, а класс эквивалентности последовательностей с одинаковым пределом. Это существенный момент, т.к., выбирая другое отношение эквивалентности, мы получим другие числа.