Преобразование черно-белых изображений в ASCII-графику при помощи неотрицательного матричного разложения / Хабр

В общем случае преобразование изображения в ASCII-графику представляет собой довольно трудоемкую задачу, однако существуют алгоритмы, позволяющие автоматизировать данный процесс. В данной статье рассматривается подход, предложенный исследователями Paul D. O’Grady и Scott T. Rickard в работе «Automatic ASCII Art Conversion of Binary Images Using Non-Negative Constraints». Описанный ими метод предполагает представление процесса преобразования изображения как задачи оптимизации и решение этой задачи при помощи неотрицательного матричного разложения. Ниже приведены описание рассматриваемого алгоритма, а также его реализация:

Описание алгоритма

Исходное изображение разбивается на блоки размером $M\times N$ , где

— ширина и высота одного символа в пикселях. Если ширина\высота изображения не кратна ширине\высоте символа, то картинка обрезается или дополняется белыми областями нужного размера.

Каждый из

блоков, полученных после разбиения, представляется в виде вектора длиной R=M*N

, значениями которого являются интенсивности цвета пикселей изображения (значения от 0 до 255, где белому пикселю соответствует значение 0, а черному — 255). Полученные векторы следует нормировать, используя норму l_2

$v_i= \frac{v_i}{\sqrt{\sum^R_{k=1}{v^2_k}}}$

Нормированные векторы переписываются в виде столбцов, образуя таким образом матрицу

размером $R\times K$ .

Полученную матрицу

нужно представить в виде произведения матриц

, все элементы которых неотрицательны:

$V_{R \times K}=W_{R\times L} H_{L \times K}$

Матрица

известна заранее: она строится аналогично матрице

, но вместо участков исходной картинки используются изображения всех символов, используемых при генерации ASCII-графики. Если применяемый набор включает в себя

символов, то матрица

будет иметь размер $R\times L$ .
Остается лишь подобрать матрицу

таким образом, чтобы минимизировать значение некоторой целевой функции, характеризующей разницу между

и произведением

. В качестве такой функции используется следующая зависимость:

$D(V,W,H,\beta)=\sum_{ik}\bigg({v_{ik}\frac{v_{ik}^{\beta-1}-[WH]^{\beta-1}_{ik}}{\beta(\beta-1)}}+[WH]^{\beta-1}_{ik}\frac{[WH]_{ik}-v_{ik}}{\beta}\bigg)$

Данное выражение по сути объединяет в себе несколько целевых функций: при $\beta = 2$ оно преобразуется в квадрат евклидова расстояния (Squared Euclidean Distance), при $\beta \rightarrow 1$ приближается к расстоянию Кульбака-Лейблера (Kullback-Leibler Divergence), а при $\beta \rightarrow 0$ — к расстоянию Итакуры-Сайто (Itakura-Saito Divergence).

Непосредственно подбор матрицы

производится следующим образом:

инициализируется случайными значениями от 0 до 1, после чего ее значения итеративно обновляются согласно следующему правилу (количество итераций задается заранее):

$h_{jk}=h_{jk}\frac{\sum^R_{i=1}{w_{ij}\frac{v_{ik}}{[WH]^{2-\beta}_{ik}}}}{\sum^R_{i=1}{w_{ij}[WH]^{\beta-1}_{ik}}}$

Каждое значение $h_{ij}$ соответствует степени схожести

-го символа из используемого набора с

-м участком изображения.

Таким образом, чтобы определить, каким символом следует заменить

-й участок, достаточно найти максимальное значение в

-м столбце матрицы

. Номер строки, в котором располагается данное значение, и будет номером искомого символа в наборе. Кроме того, можно ввести некоторое пороговое значение $\epsilon$ , и если найденное максимальное значение меньше этого порога, то участок изображения заменяется пробелом. Использование пробела может положительно сказаться на виде результирующего изображения по сравнению с использованием символа с низкой степенью схожести.

Реализация

Реализация алгоритма выполнена на языке C#. Для генерации ASCII-графики используются 95 символов (от 0x20 до 0x7E) размером 11x23 пикселей; применяемый шрифт — Courier. Ниже представлен исходный код функции преобразования исходного изображения в ASCII-графику:

public static char[,] ConvertImage(
    Bitmap image, 
    double beta,
    double threshold,
    ushort iterationsCount,
    ushort threadsNumber,
    Action<int> ProgressUpdated)
{
    int charNumHor = (int)Math.Round((double)image.Width / glyphWidth);
    int charNumVert = (int)Math.Round((double)image.Height / glyphHeight);
    int totalCharactersNumber = charNumVert * charNumHor;
    int glyphSetSize = wNorm.ColumnCount;

    Matrix<double> v = SplitImage(image, charNumVert, charNumHor);

    Matrix<double> h = Matrix<double>.Build.Random(
        glyphSetSize, 
        totalCharactersNumber, 
        new ContinuousUniform());

    int progress = 0;
    ushort step = (ushort)(iterationsCount / 10);

    for (ushort i = 0; i < iterationsCount; i++)
    {
        UpdateH(v, wNorm, h, beta, threadsNumber);

        if((i + 1) % step == 0)
        {
            progress += 10;

            if(progress < 100)
            {
                ProgressUpdated(progress);
            }
        }
    }

    var result = GetAsciiRepresentation(h, charNumVert, charNumHor, threshold);
    ProgressUpdated(100);

    return result;
}

Рассмотрим каждый ее шаг по отдельности:

1) Вычислим, какое количество символов можно уместить по ширине и по высоте изображения:

int charNumHor = (int)Math.Round((double)image.Width / glyphWidth);
int charNumVert = (int)Math.Round((double)image.Height / glyphHeight);

Используя рассчитанные значения, разобьем исходное изображение на блоки необходимого размера. Для каждого блока запишем значения интенсивности цвета пикселей в соответствующий столбец матрицы

(при необходимости расширим исходное изображение, добавив в матрицу нулевые значения, соответствующие белым пикселям), после чего нормализуем все столбцы:

private static Matrix<double> SplitImage(
    Bitmap image, 
    int charNumVert, 
    int charNumHor)
{
    Matrix<double> result = Matrix<double>.Build.Dense(
        glyphHeight * glyphWidth, 
        charNumHor * charNumVert);

    for (int y = 0; y < charNumVert; y++)
    {
        for (int x = 0; x < charNumHor; x++)
        {
            for (int j = 0; j < glyphHeight; j++)
            {
                for (int i = 0; i < glyphWidth; i++)
                {
                    byte color = 0;

                    if ((x * glyphWidth + i < image.Width) &&
                        (y * glyphHeight + j < image.Height))
                    {
                        color = (byte)(255 - image.GetPixel(
                            x * glyphWidth + i,
                            y * glyphHeight + j).R);
                    }

                    result[glyphWidth * j + i, charNumHor * y + x] = color;
                }
            }
        }
    }

    result = result.NormalizeColumns(2.0);

    return result;
}

2) Заполним матрицу

случайными значениями от 0 до 1:

Matrix<double> h = Matrix<double>.Build.Random(
    glyphSetSize, 
    totalCharactersNumber, 
    new ContinuousUniform());

Применим к ее элементам правило обновления заданное количество раз:

for (ushort i = 0; i < iterationsCount; i++)
{
    UpdateH(v, wNorm, h, beta, threadsNumber);

    if((i + 1) % step == 0)
    {
        progress += 10;

        if(progress < 100)
        {
            ProgressUpdated(progress);
        }
    }
}

Непосредственно обновление элементов матрицы реализовано следующим образом (к сожалению, проблемы, связанные с делением на ноль, решаются при помощи некоторых костылей):

private static void UpdateH(
    Matrix<double> v, 
    Matrix<double> w, 
    Matrix<double> h, 
    double beta,
    ushort threadsNumber)
{
    const double epsilon = 1e-6;
    Matrix<double> vApprox = w.Multiply(h);

    Parallel.For(
        0, 
        h.RowCount, 
        new ParallelOptions() { MaxDegreeOfParallelism = threadsNumber }, 
        j =>
        {
            for (int k = 0; k < h.ColumnCount; k++)
            {
                double numerator = 0.0;
                double denominator = 0.0;

                for (int i = 0; i < w.RowCount; i++)
                {
                    if (Math.Abs(vApprox[i, k]) > epsilon)
                    {
                        numerator += 
                            w[i, j] * v[i, k] / Math.Pow(vApprox[i, k], 2.0 - beta);
                        denominator += 
                            w[i, j] * Math.Pow(vApprox[i, k], beta - 1.0);
                    }
                    else
                    {
                        numerator += w[i, j] * v[i, k];

                        if (beta - 1.0 > 0.0)
                        {
                            denominator += 
                                w[i, j] * Math.Pow(vApprox[i, k], beta - 1.0);
                        }
                        else
                        {
                            denominator += w[i, j];
                        }
                    }
                }

                if (Math.Abs(denominator) > epsilon)
                {
                    h[j, k] = h[j, k] * numerator / denominator;
                }
                else
                {
                    h[j, k] = h[j, k] * numerator;
                }
            }
        });
}

3) Последний шаг состоит в выборе для каждого участка изображения подходящего символа путем нахождения максимальных значений в столбцах матрицы

private static char[,] GetAsciiRepresentation(
    Matrix<double> h, 
    int charNumVert, 
    int charNumHor, 
    double threshold)
{
    char[,] result = new char[charNumVert, charNumHor];

    for (int j = 0; j < h.ColumnCount; j++)
    {
        double max = 0.0;
        int maxIndex = 0;

        for (int i = 0; i < h.RowCount; i++)
        {
            if (max < h[i, j])
            {
                max = h[i, j];
                maxIndex = i;
            }
        }

        result[j / charNumHor, j % charNumHor] =
            (max >= threshold) ? (char)(firstGlyphCode + maxIndex) : ' ';
    }

    return result;
}

Полученное изображение записывается в html-файл. Полный исходный код программы можно найти тут.

Примеры сгенерированных изображений

Ниже представлены примеры изображений, сгенерированных при различных значениях параметра $\beta$ и количествах итераций. Исходное изображение имело размер 407x500 пикселей, соответственно результирующие изображения имели размер 37x22 символов.

Заключение

В рассматриваемом алгоритме можно выделить следующие недостатки:

Долгая обработка изображений: в зависимости от размера картинки и количества итераций ее обработка может занимать от нескольких десятков секунд до нескольких десятков минут.
Низкое качество обработки детализированных изображений. Например, попытка преобразования изображения человеческого лица дает следующий результат:

В то же время уменьшение количества деталей за счет увеличения яркости и контрастности изображения позволяет значительно улучшить вид результирующего изображения:

В целом несмотря на перечисленные недостатки можно сделать вывод о том, что алгоритм дает удовлетворительные результаты.