Число, лежащее в основе современной музыки


    Почему двенадцать?


    Если вы посмотрите на клавиатуру, то увидите, что в каждой октаве содержится 12 полутонов.
    В случае фортепиано это всего лишь значит, что между, например, "до" первой октавы и "до" второй октавы расположено 11 клавиш. Вместе с одним из "до" (например, до второй октавы) мы получим 12 клавиш: до#, ре, ре#, ми, фа, фа#, соль, соль#, ля, ля#, си, до.


    Но почему 12?


    Может быть это просто случайность? Вот нравилось нашим предкам число 12, у них везде 12: 12 месяцев, 12 знаков зодиака, 12 колен Израилевых, 12 апостолов,… и здесь решили, пусть будет 12, и так и повелось. Или все же здесь есть объективный закон, и это число не случайно?


    В этой статье я попытаюсь продемонстрировать, что это не случайность. Достаточно общие требования, вполне естественные для современной (западной) музыки, с математической необходимостью приводят нас к числу 12. Интересно, что причиной почему у нас появляется это значение является свойство другого числа (см. в конце статьи). Можно даже сказать, что оно то и лежит в основе современного звучания.


    Постановка задачи


    Сначала давайте попробуем формализовать задачу.


    У нас есть опорная частота $\omega_0$. Будем называть ее тоникой. У нас также есть октава с частотой $2\omega_0$. Теперь мы должны понять, какие могут быть варианты промежуточных частот от $\omega_0$ до $2\omega_0$, такие, чтобы мелодия, построенная на этих нотах, звучала бы для нашего слуха гармонично?


    Боюсь, что эта формулировка, хотя и отражает суть вопроса, все же, с математической точки зрения, является довольно туманной, и на такой вопрос не может быть однозначного ответа, хотя бы потому, что человеческий слух имеет довольно ограниченную разрешающую способность по частоте. И это подтверждается тем, что в разное время использовались разные строи, например, пифагоров, чистый, хорошо темперированный, равномерно темперированный строи. И все они звучали и звучат, как минимум для определенных произведений, вполне приемлемо.


    Что такое гармония?


    Мы должны наложить некоторые дополнительные условия. Но прежде мы должны ответить на один важный вопрос: что мы воспринимаем как гармоничное звучание?


    Давайте рассмотрим два звука — с частотами $\omega_1$ и $\omega_2$.


    Возьмем отношение этих частот. Это отношение можно представить в виде произведения чисел $a_1^{k_1}\cdot a_2^{k_2}\cdot...\cdot a_l^{k_l}$, где $a_1, a_2,..., a_l$ — простые числа, а $k_1, k_2,..., k_l$ — целые числа, например, это отношение может равняться $2^{-3}\cdot3\cdot5$. И чем эти простые числа ($a_1, a_2,..., a_l$) меньше, тем гармоничнее для нашего уха будет звучать этот интервал (я нашел это утверждение тут (см. второй абзац))


    Так, например, самым гармоничным звучанием в соответствии с этим утверждением будет являться октава (изменение частоты в 2 раза). А следующими по гармоничности интервалами будут квинта (изменение частоты в $3/2$ раза) и кварта (изменение частоты в $4/3$ раза).


    Но не так все просто с этим утверждением. Так, например, не очень понятно, как влияет степень. Например, что гармоничнее умножение на $3^2$ или на 7? Я не знаю, изучен этот вопрос или нет, и можно ли в принципе дать на него ответ. Также восприятие гармоничности — вещь довольно субъективная. Так, современная музыка полна звучаний, которые 100 — 200 лет были бы восприняты не иначе как жуткая какофония.


    Условие первое. Тоника, кварта, квинта, октава


    Эта неопределенность не является проблемой для нашего маленького исследования. Дело в том, что единственный вывод, который я хочу сделать из этого утверждения заключается в том, что в нашем строе в любом случае должны быть как минимум "самые гармоничные" интервалы, а именно, октава, кварта и квинта. То есть наряду с тоникой с частотой $\omega_0$ и октавой с частотой $2\omega_0$ у нас также должны быть квинта и кварта, с частотами соответственно ${3\over 2}\omega_0$, ${4\over 3}\omega_0$ или что-то очень близкое, что мы не смогли бы отличить от чистой квинты и кварты.


    Замечание: на самом деле достаточно только тоники, квинты и октавы. Наличие квинты сразу дает нам и кварту, как дополнение до октавы, и в силу второго условия (инвариантность), которое описано ниже, мы также должны иметь кварту и от тоники. То есть необходимость наличия кварты есть следствие наличия квинты и требования инвариантности.


    И это наше первое требование.


    Условие второе. Инвариантность


    Вторым нашим требование будет инвариантность. И это важное требование современной музыки. Заключается это требование в том, что все гармонии в любых тональностях должны звучать одинаково. Если мы говорим про современный строй, который применяется при настройке фортепиано, то это значит, что квинта, состоящая из семи полутонов, должна звучать одинаково, независимо от того, от какого звука она построена. То есть соотношение частот между до и соль должно быть таким же как и для до# — соль#, ре — ля, ре# — ля#,… и равняться $3/2$. И эта инвариантность должна относиться, конечно, не только к квинте, но и к любым интервалам. Важным преимуществом этого строя является возможность транспонирования пьесы на любой интервал. В этом и заключается суть равномерной темперации.


    Нужно сказать, что это требование инвариантности не является таким очевидным, и данный подход был применен относительно недавно, лишь в 18 веке. Строи, применявшиеся до этого, (например, пифагоров и чистый) не обладали таким свойством. Вот послушайте, например, Sonata for Microtonal Piano (Ben Johnston), написанную в чистом строе (prime limit = 5). Такое ощущение, что фортепиано не настроено. Все богатство современных гармоний основано именно на этой инвариантности. Например, "Хорошо темперированный клавир" Баха появился именно благодаря новому подходу в настройке клавишных. Именно вот эта инвариантность дала возможность Баху создавать гармонические последовательности, которые просто были невозможны раньше.


    Итак, теперь мы имеем все необходимые для расчета данные.


    Расчет


    Давайте построим звукоряд от тоники до октавы, который бы удовлетворял обоим требованиям.
    Предположим, что в этом случае мы получим $N$ звуков (включая октаву). Это $N$ и является искомым числом. Мы хотим показать, что $N$ при наших условиях должно равняться 12.


    Следствием второго требования является то, что интервал между частотами соседних звуков должен быть одинаковым и должен быть равен $2^{1\over N}$.


    Теперь первое требование говорит о том, что в нашем ряду должны быть два звука, соответствующие (с хорошим приближением) частотам ${3\over 2}\omega_0$ и ${4\over3}\omega_0$. Это квинта и кварта. Предположим, что кварта это $n_1$-ый звук в нашем ряду, а квинта — $n_2$-ой. Обозначим $n = n_2 - n_1$.


    Нетрудно видеть, что изменение частоты между квартой и квинтой (отношение частот) равно $9/8$.


    Но, в соответствии с нашим вторым условием, это также должно быть равно $2^{n\over N}$.


    Итак, мы получили формулу:


    $2^{n\over N} \approx 9/8$


    После несложных преобразований получим основную формулу:


    $n \approx N(2\log_2 {3} - 3) = N\cdot 0,170$


    Легко увидеть, что решением (конечно, приблизительным) является $N = 6i $, где $i$ — любое натурально число (достаточно малое, потому что все же 0,170 отличается от 1/6).


    Давайте рассмотрим случай $i = 1$. В этом случае $N = 6$, $n = 1$. То есть, это вариант современного строя, только без полутонов, только с тонами (до, ре, ми, фа#, соль#, ля#, до). Но, как вы видите, в этом случае кварта (фа) и квинта (соль) в этот звукоряд не попали.


    То есть единственным вариантом для нас может быть


    $N = 12 i $, где $i$ — любое натурально число ($i$ достаточно малое). Случай $i =1$ как раз и соответствует нашему современному строю, который называется равномерно темперированный строй.


    Но почему не 24 или большее число? Причина проста — могу предположить, что такая градуированность уже является излишней для нашего восприятия. Поэтому остается только одно число: 12.


    Если вас не устраивают приведенный ход мысли, то здесь вы можете найти


    строгое математическое доказательство

    Задача:


    Найти минимальное натуральное число N, при котором найдется натуральное число $n <N$ такое, что $2^{n\over N}$ отличается от $3\over2$ не более, чем на $\delta$ центов.


    Решение:


    Обозначим через $Z_n = N\cdot(log_2{3}-1)$. Тогда, при $\delta < {1200\over N}$ (что справедливо для диапазона тех $\delta$ и $N$, которые мы будем рассматривать) наша задача сводится к нахождению минимального $N$, при котором


    ${1200\over N}\cdot|Z_n - round(Z_n)| < \delta$,


    где $round$ — функция округление до ближайшего целого.


    Будем решать эту задачу численно.


    image


    Теперь самое время все же определиться с $\delta$.


    Какую величину (в центах) несоответствия чистой квинты и "нашей" квинты мы считаем приемлемой? Многие слышат, например, то что большая/малая терция в равномерно темперированном строе "фальшивит". А ведь это всего лишь около 15 центов по отношению к чистым интервалам. Поэтому наше требование должно быть лучше, чем 15 центов. Некоторые источники говорят, что на определенных частотах музыканты различают до 5 — 6 центов. Поэтому разумно взять $\delta = 5$.


    Тогда из таблицы однозначно видно, что наименьшее $N = 12$. Следующие "удовлетворительные" $N = 17,24,29,34,36,41,...$.


    Замечание:
    Следующей итерацией, для каждого $N$ нужно так же проверять звучания и других интервалов. В случае $N = 17$, например, терции становятся совсем "фальшивыми": больше 30 центов (для большой терции).


    Таким образом наш ответ: $N = 12$. Что и требовалось доказать.


    И, кстати, видно, что наш ответ не изменится, если мы вместо $\delta = 5$ взять, например, 10 или даже 15.


    Заключение. Число, лежащее в основе


    Удивительно, но получается, что числом, лежащим в основе современного музыкального строя и современной (европейской) музыки, является $\log_2{3}$, а именно то, что с хорошей точностью (0,1%) выполняется следующее равенство:


    $\log_2 {3} \approx 19/12$


    Ответы на замечания и критику в комментариях

    Прежде всего спасибо за интересные комментарии!
    Здесь мои ответы на наиболее важные (на мой взгляд) замечания и критику.


    Критика 1. Яйцо или курица


    Druu: Смотрите, 12 звуков в октаве было до равномерной темперации вообще, поэтому вы не можете обосновывать 12 звуков при помощи темперации, это будет просто неверно заведомо.


    lair: Это именно та кольцевая логика, про которую я и говорю: если выбрать музыку, построенную на определенном строе, очевидно, что в ее контексте другой строй невозможен.


    На эти и похожие замечание я бы привел 2 контраргумента:


    1) если бы с достаточной точностью не выполнялось бы равенство $log_2{3} = 19/12$, то невозможно было бы "натянуть" равномерно темперированный строй на чистый строй, состоящий из 12 звуков. Чем сильнее $log_2{3}$ отличался бы от $19/12$, тем фальшивее звучала бы наша квинта. Если это число было бы (сильно) другим, то не было бы равномерно темперированного приближения к чистым интервалам, и, как следствие, не было бы современной музыки или, скажем так, она была бы другой. Поэтому вполне логичен вывод о том, что свойства числа $log_2{3}$ лежат в основе современной музыки.


    2) второй контраргумент невозможно строго логически обосновать, и является лишь предположением, но мне кажется, что все же это рассуждение достойно внимания. Давайте попробуем ответить на вопрос, а почему вообще возникла потребность в равномерно темперированном строе? В комментариях уже отчасти был дан ответ. Музыка в то время (время создания равномерно темперированного строя) уже использовала модуляции и полифонии, которые на самом деле, по большому счету, уже требовали равномерной темперации. Проблема "фальшивого" звучания решалась тем, что музыканты чуть "подстраивали" звучание во время исполнения. Это легко было сделать для струнных (во всяком случае безладовых), духовых и для вокала (поправьте, если я не прав — этот вывод я сделал из ваших комментариев). Например, для скрипки — это всего лишь легкое изменение положения пальцев. Но как только вы были лишены такой возможности (клавесин), то сразу все начинало звучать плохо. Итак, все выглядит так, что вот эти 12 нот появились не просто так, а как естественное развитие музыки в сторону вот этой возможности свободных модуляций и богатых полифоний, а это в свою очередь является следствием инвариантности. Это было естественное развитие музыки. То есть я хочу сказать, что если бы математически инвариантность была бы возможна не для 12 звуков, а, например, для 10, то мы бы (еще до равномерной темперации) в нашем звукоряде имели бы 10 звуков (в данном случае я говорю о пути развития европейкой музыки). А потом бы "натянули" 10 звуков равномерной темперации на наш чистый строй.


    Критика 2. Уникальность двенадцати


    Очень много было критики по поводу утверждения, что 12 — это единственное разумное число.


    Во-первых, понимая агрессивность этого утверждения и в принципе невозможности строгого обоснования, я по-возможности снизил степень категоричности некоторых утверждений в статье. И все же...


    В данном случае имеем 2 линии критики.


    1) Почему я считаю, что 19, 24 или 29 (и т.д.) неприемлемы?


    Нет, не считаю. Для разных инструментов существуют приемы использования звуков за пределами звукоряда, например, глиссандо и вибрато. Эти приемы придают красоту и естественность звучанию. Поэтому, даже с 12-ю нотами мы и сейчас используем вспомогательные звуки. Если мы говорим об антураже, о необычном звучании, об обогащении звучания..., то это вполне оправдано, но если мы говорим об основных тонах, то здесь у меня сомнения. Музыка создается не только для избранных, а для обычных людей, и вот для них такая градуированность (ИМХО) является излишней.


    Второй аргумент, и он был приведен в комментариях, заключается, действительно, в сложности создания инструментов и исполнения в случае длинного звукоряда, хотя, у нас есть прекрасный пример такого инструмента — ситар. Но попробуйте взять на пианино октаву (одной рукой), если у вас будет звукоряд из 24 звуков.


    2) А как же пентатоника?


    Во всех восточных странах, в которых я был, я почему-то очень редко слышал национальную музыку, построенную на пентатонике. И все музыканты с востока, которых я слушал (а некоторых люблю), тоже исполняли вполне европейскую музыку. Вот интересная цитата: "Академические композиторы начиная с XIX века применяли пентатонику как особую краску для придания музыке аромата архаики ". Аромат архаики…
    В моем восприятии все же эта музыка не является современной, но не хочу отстаивать эту позицию, поэтому в некоторых местах в статье использую термин "современная европейская музыка". Ясно, что эта музыка (построенная на пентатонике) развивалась по другим законам, и не дошла до требования богатой полифонии и частой и легкой модуляции, которые проявились в европейской музыки. Поэтому эта статья очевидно не про пентатонику.


    Критика 3. Современная музыка


    Что я называю современной музыкой?


    Хотя это и выглядит тавтологией, но под современной музыкой я подразумеваю музыку, которая требует инвариантности, что в случае инструментов с фиксированным строем (например, клавесин, пианино) приводит к необходимости равномерно темперированного строя (или чего-то близкого). В случае остальных инструментов, например, безладовых струнных, все выглядит несколько сложнее, потому что, в действительности, есть возможность использовать больший (чем 12) набор звуков. Но все же, когда мы говорим про требование инвариантности, то подразумеваем, что эти звуки должны быть очень близкими (по частоте) к нашим 12.


    В это определение входит почти вся фортепианная музыка, европейская классическая, джазовая, рок музыка, попса и все производные от них. Уверен, что есть исключения, но ИМХО это именно исключения. Спорить об этом не вижу смысла, т.к. каждый может вкладывать в это понятие что-то свое.


    Критика 4. Расчет


    Ошибка в расчетах.


    Думаю, этот вопрос снят. Впрочем, должен признать, что в процессе дискуссии мною было сделано несколько ошибочных утверждений о второстепенных вещах, которые не повлияли на основной вывод статьи.


    P.S. Не стоит относиться к этой статье (и предъявлять соответствующие требования), как к академическому труду. :) Это не статья по теории музыки. Тем более это не статья по истории музыки. В этих областях я ни в коей мере не считаю свое знание хоть сколько-нибудь значительным и допускаю, что могут быть неточности, хотя и старался их избегать. Здесь сформулирована простая математическая задача (школьного уровня сложности), решение которой, как мне показалось, имеет интересную интерпретацию. С чем я и поделился.

    Поделиться публикацией
    AdBlock похитил этот баннер, но баннеры не зубы — отрастут

    Подробнее
    Реклама

    Комментарии 412

      +22
      Но почему не 24, 36, 48…? Причина проста — наш слух уже не различает этой градуированности. Поэтому остается только одно число: 12.

      О да, конечно не различает)))



      В видосике строй на 24 нотах.


      Вы слишком субъективны в своих суждениях и подгоняете формулу под ожидание.

        +14
        Как давний подписчик паблика с микротональной музыкой, зашёл написать этот комментарий, а он уже написан.
          0
          А не знаете, есть ли примечательные примеры? Которые не просто играются на неизведанной территории, а хорошо продуманы, ну и, скажем, не этническая музыка.
          И кроме упомянутого в видео «Lo-Fi Hip Hop» радио.

          Есть, кстати, другая сторона микротональности — точное интонирование, когда выходят за рамки 12 полутонов для построения правильных гармоний. Хороший пример — вундеркинд от музыки Jacob Collier, его композиции могут звучать непривычно, при том что, наоборот, используют математически правильные интервалы! И интервью с ним иногда очень удивляют.
            0
            Альбом «Flying Microtonal Banana» от King Gizzard and the Lizard Wizard.

            www.youtube.com/watch?v=Q-i1XZc8ZwA
              0
              Да у них и в других альбомах, тут просто в названии упомянули микротональность.

              Ещё можно у Brendan Byrnes альбом Micropangaea послушать, он конечно не без заходов на территорию, но продуман хорошо…

              И ещё турки, Tolgahan Çoğulu & Sinan Cem Eroğlu — Microtonal Guitar Duo, не без этники но многие вещи звучат вполне себе по европейски…
              +2

              Пожалуйста, сейчас я вам накидаю ссылок.
              Исполнитель: Gary Garrett. Песня в натуральном строе, с наглядной визуализацией всей гармонии: Flying Dream https://youtu.be/jA1C9VFqJKo
              Исполнитель: Dolores Catherino. Композиция Towards the Continuum, служащая "мостом" от стандартного строя 12edo к континууму. Клавиатура Tonal Plexus, 106 ступеней в октаве. https://youtu.be/8re6rFj7q10
              Исполнитель: Brendan Byrnes. Красивая игра на 22-ступенной гитаре. https://youtu.be/qHHv3mwJTlg

            +6
            Как видите с математической точки зрения может быть и 24 и 36 и 48 при тех же 2х условиях, которые были сформулированы.
            Я не имел ввиду то, что мы не различаем что-то меньше, чем малая секунда. Конечно, различаем. Некоторые люди с абсолютным слухом могут сказать вам что звучит с точностью до 1/8 тона. Я скорее предположил, что это различие уже настролько несущественно и градуировано, что может служить лишь как некоторая окраска, как некие вспомогательные звуки (как в случае индийской музыки), но не как основные звуки.

            Впрочем, это утверждение не явлется столь важным. Если хотите, то можно говорить о 12 и о 24.
              +5
              Некоторые люди с абсолютным слухом могут сказать вам что звучит с точностью до 1/8 тона.

              Чтобы различать 1/8 тона требуется развитый относительный(интервальный) слух, а не абсолютный. И развивается точность в 1/8 за 3-5 лет сольфеджио. То есть это по силам практически всем заинтересованным лицам, правда я не понимаю зачем им это может понадобиться.

                0
                Глядя на прогресс в гармонии и ритме в музыке за последние сто лет, причем даже в «популярной», той, что крутят на радио, можно ожидать, что средний слушатель в 2119 будет готов различать 1/8 тона.

                То есть, вместо 3-5 лет сольфеджио на него точно так же будет воздействовать его среда: радио, музыка, которую включают друзья, рекомендации Яндекс.Музыки и тд
                  –1
                  Средний слушатель будет слушать микротональный и сложноритмичный мусор, большой прогресс. )) Сейчас из наушников окружающих особенно часто можно слышать: 1) быструю дробь синтезированных ударных, затем следующий равномерный ритм тех же ударных 130-160, потом эти два куска закольцовываются. Подозреваю, что это модный сейчас аккомпанемент различных рэп-стилей. 2) Легкая музыка для «расслабона» или обзора тачки/мобилы с частой вставкой эффектов «стон негра», «стон девки», «стон ребенка».

                  Вот такой прогресс.
                –5
                отличная статья! конечно различаем меньше малой секунды, и очень неплохо, просто мелодических канонов для такой ткмперации нет или они не распространены. и последние несколько сотен лет развиваемся таким образом, чтобы музыка, основанную именно на таком строе, нам было приятно и «удобно» слушать. как академический музыкант до мозга костей, к микротональной музыке отношусь скептически, эдакий творческий фаллоимитатор — когда ты бессилен в октаве из 12 нот, начинаешь лепить франкенштейна из 19, выдавая за высокое искусство, к которому человечество еще не готово. И получается, как в том анекдоте:

                Стоит чувак в галерее напротив картины:
                — Какое буйство красок! Какое… легкость линий! Какая… чистота мазков!
                К нему подходит другой и спрашивает:
                — Я извиняюсь, а вы когда-нибудь е*али ежа?
                — Нет конечно, а почему вы спрашиваете??
                — Да я смотрю вы какую-то херню несете, и я решил что-то спи*дануть

                стоит чувак в галерее напротив картины:
                  0
                  как академический музыкант до мозга костей

                  А из Дмитрия Курляндского можете сыграть что-нибудь поинтереснее? "Прерванную память", например, или "Riot of spring"? Это академическая музыка для академических музыкантов.

                    0
                    эдакий творческий фаллоимитатор — когда ты бессилен в октаве из 12 нот, начинаешь лепить франкенштейна из 19, выдавая за высокое искусство, к которому человечество еще не готово

                    Я так всякий техникал металкор научился слушать. Первый-второй раз слушаешь — ужас, какофония какая-то, ритма нет, ничего не понятно. А потом как-то приучаешься.

                    +2

                    Надмножества строя 12edo, конечно, удобны тем, что они делят ступени 12edo на равные части. Но всё-таки, если рассмотреть ряд 12edo, 24edo, 36edo и т.д., то с уменьшением ступени относительная погрешность только растёт, и они всё хуже выполняют свою задачу — аппроксимацию натуральных гармоник.
                    Тут нужен другой математический подход. Пусть x — число ступеней в октаве. Для каждого из базовых интервалов (2/1, 3/1, 5/1 и т.д.) желательно, чтобы в него умещалось целое число ступеней. Построим функцию от х, значение которой тем выше, чем лучше аппроксимируются наши интервалы:
                    f(x) = cos(2πx) + cos(2πx log(3)/log(2)) + cos(2πx log(5)/log(2)) + cos(2πx log(7)/log(2)) +…
                    Если взять последовательные максимумы данной функции, то получится множество оптимальных делений октавы.
                    Также можно почитать о поиске равномерных строёв на Xenharmonic Wiki: https://en.xen.wiki/w/The_Riemann_Zeta_Function_and_Tuning

                      0
                      Чтобы различать две ноты, звучащие отдельно, возможн нужен тренированный слух.
                      Но если они звучат одновременно, то существует такая вещь, как резонанс. И вот он легко улавливает даже незначительное отличие, ибо он либо возникает, либо нет
                      +1
                      О! Вышнеградский упоминается! :)

                      Теперь я понял, как получается звучание, которое я раньше знал по Клатчи Хопкинсу.
                        +1
                        Снизил степерь категоричности в статье. Спасибо!
                        +7
                        Единственно возможный? Расскажите китайцам и всяким арабам, что пентатоника, их музыкальный лад, невозможна.
                          0
                          А я всегда думал что пентатоника из диатоники вытекает, просто отбрасываем малые секунды.
                            +6

                            "Пентатоника — самодостаточная и полная интервальная система; ангемитоновый пятиступенный звукоряд не следует трактовать как диатонический с «пропущенными» ступенями."

                              +2
                              Мне кажется, что ясно показано, что если у нас есть 2 условия (сформулированные в статье), то может быть лишь 12, 24, 36…
                              Если вы утверждаете что существует что-то еще, то значит это не соответствует этим 2м условиям и скорее всего это условие инврариантности. Стоев без инавериатности огромное количество, точнее все, которые не являются равномерно темперированными.
                                +1

                                … и как это связано с комментарием, на который вы отвечаете?

                                  –1
                                  а почему вы говорите про пентатонику?
                                    0

                                    Потому что человек в комментарии, на который я отвечаю, говорит про пентатонику.

                                    0
                                    >Расскажите китайцам и всяким арабам, что пентатоника, их музыкальный лад, невозможна.
                                    Я не говорил про невозможность. Кроме равномерно темперированного строя существует много других строев. Что в них невозможно, так это модуляция.
                                      +1

                                      А по-моему, говорили:


                                      12 является единственно возможным вариантом в современном музыкальном строе
                                        0
                                        Наверно, каждый под словом современная музыка подразумевает свое.

                                        Я воспитан на западной музыке. На классической музыке и джазе, во многом опирающемся на гармонии классической музыки. Я люблю Баха, например, и его музыку, его гармонии я считаю основой СОВРЕМЕННОЙ музыки.

                                        Может быть было бы правильно добавить слово европейской. Может быть.

                                        Но если вы под современной музыкой подразумеваете музыку, построенной на пентатонике или например пифагоровом строе или каком-нибудь современном, необычном микротонике, то у нас с вами очень разный бэкграунд.

                                        В статье же описаны 2 требования, которые я считаю являются необходимыми для того, что я подразумеваю под современной музыкой. И так же я говорю в статье что существуют другие строи.

                                        И в статье на самом деле главное математика.
                                        Там сформулирована задача. Описано почему такие требования и задача решена.
                                          +4
                                          Но если вы под современной музыкой подразумеваете музыку, построенной на <...> каком-нибудь современном

                                          Да, и в самом деле странно такое подразумевать...

                                          0
                                          Я так понимаю, речь о западной музыке, которая на нём построена. Автор статьи говорит, что в контексте этой музыки другой строй невозможен.
                                            +5
                                            Автор статьи говорит, что в контексте этой музыки другой строй невозможен.

                                            Это именно та кольцевая логика, про которую я и говорю: если выбрать музыку, построенную на определенном строе, очевидно, что в ее контексте другой строй невозможен.

                                              +1
                                              Кому именно очевидно? Вам очевидно, кругу комментаторов здесь очевидно или всем очевидно? С точки зрения обывателя, существует 7+5 нот, на которых построена «вся» музыка. И для него как раз вовсе не очевидно, как получается, что есть музыка других культур или музыка того же Вышнеградского сотоварищи, в которой используются «фальшивые» ноты, но которая при этом звучит мелодично, хотя и «странновато». И почему те же ноты звучат именно что фальшиво или, как минимум, очень странно, если попытаться их использовать в «обычной» музыке.
                                                +4
                                                Кому именно очевидно?

                                                Человеку, который прочитает фразу "в контексте музыки, построенной на строе Х, невозможен строй, отличный от Х".


                                                И для него [обывателя] как раз вовсе не очевидно, как получается, что есть музыка [...] в которой используются «фальшивые» ноты, но которая при этом звучит мелодично, хотя и «странновато». И почему те же ноты звучат именно что фальшиво или, как минимум, очень странно, если попытаться их использовать в «обычной» музыке.

                                                Ну во-первых, я не думаю, что обыватель об этом вообще задумывается, извините за прямоту. Слушать музыку можно и без этого.


                                                А во-вторых, статья, полностью игнорируя музыку других культур, как раз и не дает ответа на этот вопрос.

                                          +1
                                          Что в них невозможно, так это модуляция.

                                          Это, очевидно, неправда. В барочной музыке модуляции предостаточно, а равномерного строя там нет.


                                          И вы в любом случае отвечаете не тому человеку.

                                            +1
                                            В барочной музыке модуляции предостаточно, а равномерного строя там нет.

                                            К слову, как я понимаю, они ограничены тональностями первой (возможно, максимум второй) степени родства, потому что при более далеких модуляциях отсутствие равномерно темперированного строя приведет к заметной фальши.
                                              0

                                              Только на инструментах с фиксированной темперацией (да и там можно подобрать строй под произведение, или написать произведение с расчетом на конкретный строй).


                                              Но, на самом деле, ничего такого ужасного в ограничении на тональности для модуляции нет, это всего лишь еще одно из множества инструментальных ограничений, которые можно побороть в обмен на что-нибудь другое.

                                        +4
                                        Мне кажется, что ясно показано, что если у нас есть 2 условия (сформулированные в статье), то может быть лишь 12, 24, 36… Если вы утверждаете что существует что-то еще, то значит это не соответствует этим 2м условиям и скорее всего это условие инврариантности.

                                        Это не так. Посмотрим на эти условия еще раз.


                                        Первое требование: звукоряд должен содержать, помимо основания (с высотой x), ступени с высотами , 4x/3 и 3x/2.


                                        Второе требование: все расстояния между соседними ступенями должны быть равны.


                                        Второму требованию удовлетворяет любой равномерно темперированный строй, и он же удовлетворяет требованию на наличие ступени 2x.


                                        Остается найти такой равномерно темперированный строй, в котором будут существовать еще и ступени 4x/3 и 3x/2.


                                        Автор предлагает использовать для этого формулу 2^(n/N) ~ 9/8 (где n — число ступеней между 4x/3 и 3x/2, а N — число ступеней в звукоряде); я (логично, я надеюсь) полагаю, что для этого надо решать задачу минимизации |2^(n/N) — 9/8|. Я недостаточно знаю математику, чтобы решать ее как есть, но зато я могу просто подставить в нее значения и посмотреть, что получается.


                                        Начнем с предлагаемого автором 12-ступенного строя. N = 12, n = 2, |2^(n/N) — 9/8| = 2.537952e-03


                                        Окей, возьмем 58-ступенный строй: N = 58, n = 10, |2^(n/N) — 9/8| = 1.942411e-03. Упс, мы нашли строй, удовлетворяющий всем условиям задачи (что бы я про эти условия ни думал), и число ступеней в котором не делится на 12 нацело.


                                        Что-нибудь не такое страшное? 41 ступень: N = 41, n = 7, |2^(n/N) — 9/8| = 6.292375e-04. Результат даже лучше. 53 ступени: N = 53, n = 9, |2^(n/N) — 9/8| = 8.864364e-05.


                                        Что там говорили про то, что условиям задачи удовлетворяет только 12i?

                                          0
                                          Вы пишите об очевидных вещах. Конечно, т.к. равенство лишь приблизительное, то при больших числах накапливается ошибка.
                                          Так, например, то что вы написали является всего лишь следствием того, что 0,170 это не 1/6. И конечно при больших i это отличие становится существенным.

                                          Вы действительно все еще пытаетесь найти математическую ошибку в рассуждении?

                                            +3
                                            Вы пишите об очевидных вещах.

                                            Если то, о чем я пишу, очевидно, то почему вы утверждаете, что остается только одно число, хотя очевидно, что их больше одного?


                                            Вы действительно все еще пытаетесь найти математическую ошибку в рассуждении?

                                            Не просто пытаюсь, а нашел.

                                              –2
                                              вы не знаете что такое приблизительно и как накапливается ошибка?
                                                +1

                                                Я знаю, что такое "приблизительно", и не понимаю, почему вы считаете, что ваше приближенное значение лучше любого другого.

                                                  –1
                                                  да нет, не считаю
                                                  но такой результат дает математика
                                                    +1

                                                    Неа, не дает. Математика всего лишь говорит нам, какова разница между нужным нам чистым интервалом и интервалом в такой-то системе, а вы уже говорите, какая разница вас устраивает, а какая — нет.

                                                0
                                                ок, тогда отдельно для вас. Все это справедливо для малых i.
                                                  0

                                                  Для "малых i" в какой формуле? Что "это" справедливо?


                                                  (ну то есть на самом деле в вашей системе не два требования, а три?)

                                                    +1
                                                    Хорошо. Давайте еще раз. Смотрите, мы получили число 0,170. На самом деле — это тоже приближение до 3 го знака. На самом деле это число иррациональное. И нам нужно его умножить на целое число, чтобы получить опять таки целое число. Т. к. это число иррациональное, то в любом случае нет такого целого числа. Поэтому все наши рассчеты приблизительны. И вот первое такое целое число очевидно 6. Но если мы умножит 0,170 на 6 то получим 1,02. Не 1, а 1,02. Но это выглядит вполне приемлимо. Таким образом N = 6 удовлетворяет уравнению, но при этом мы «перепрыгиваем» через квинту (и кварту) — почитайте объяснение в статье почему. Поэтому 6 не подходит. Следующее число очевидно 12. Но при это ошибка уже 0,04. Оно нам подходит. Потом 18 — опять перепрыгиваем через квинту и кварту. Не подходит. Поэтому следующее подходящее — 24. При этом ошибка уже 0,08. Дальше при 36 — ошибка 0,12, а при 48 — 0,16 — уже близко к 0.170 поэтому лучше использовать 47.

                                                    Это очевидно. Это не отменяет что в основе лежит 12. Просто так как это все приблизительно, то да, при больших числах мы уже должны учитывать ошибку. Все равно 12 в основе!!!
                                                      0
                                                      Смотрите, мы получили число 0,170.

                                                      Откуда вы его получили, и почему это число для нас важно?


                                                      Поэтому следующее подходящее — 24. При этом ошибка уже 0,08

                                                      Этого быть не может, потому что при дроблении ступеней пополам ошибка увеличиваться не может — старые ступени остались на своих местах.

                                                        +2
                                                        >Откуда вы его получили, и почему это число для нас важно?
                                                        Кажется я начинаю понимать природу ваших вопросов :)
                                                        Вы прочитали статью?
                                                          0

                                                          Да. Более того, выше по треду я привожу вычисления из нее же.

                                                        +1
                                                        Хорошо. Давайте еще раз. Смотрите, мы получили число 0,170. На самом деле — это тоже приближение до 3 го знака. На самом деле это число иррациональное. И нам нужно его умножить на целое число, чтобы получить опять таки целое число. Т. к. это число иррациональное, то в любом случае нет такого целого числа.


                                                        да. но, если говорить про формулы из статьи, получим:

                                                        n/N ~ (ln(9)-ln(8))/ln(2)

                                                        это, по сути, ваша формула про логарифм трех по основанию два.

                                                        с малой погрешностью — 0,169925001442313; разложив в цепную дробь получим: 0;5,1,7,1,2,4,11,1,2,2,3,27,…

                                                        для нахождения наилучших приближений рациональными дробями получим (посчитаем подходящие дроби): 1/5, 1/6, 8/47, 9/53, 26/153,…

                                                        именно про это, как я понимаю, пытается сказать ваш оппонент — в наилучших приближениях ни одной дроби с знаменателем кратным 12 нет. Да, можно использовать 12, но примерно с теми же основаниями как и другие числа.

                                                        Можно сколько угодно пытаться натянуть сюда математику, но математика против. :)
                                                          0
                                                          Добавил под катом в статье строгое математическое доказательство.
                                                          Думаю это должно снять все вопросы к расчетам.
                                                            –1
                                                            cтрогое математическое доказательство.

                                                            … не от той задачи, ага. От правильно сформулированной, да (наконец-то). Но не от той, которая заявлена.

                                                              0
                                                              Возможно, вы не обратили внимание, но некоторые категоричные заявления в статье были поправлены в течении нескольких часов после ее публикации. И об этом я написал в одном из комментариев, поблагодарив за указание.
                                                              Вы воюете с фантомом.
                                                                0

                                                                Я эту статью периодически перечитываю перед написанием очередного комментария, и те вещи, которые вызывали у меня вопросы, там остались.

                                                –1
                                                Ну и в случае 41, n = 7 — нечетное, значит вы прошли мимо квинты и кварты, они не попали в ваш звукоряд. Но т.к. градация очень плотная, то вы наверно это даже не почувтсвуете.
                                                  0
                                                  Ну и в случае 41, n — нечетноя, значит вы прошли мимо квинты и кварты, они не попали в ваш звукоряд

                                                  Это неправда:


                                                  perfect fourth: 17 steps, 497.56 cents
                                                  perfect fifth: 24 steps, 702.44 cents

                                                  Ошибка по сравнению с чистыми интервалами — 0.48 цента, по сравнению с 1.96 цента в предлагаемой вами.

                                                    0
                                                    конечно, потому что это 41 (а не 12) звуков. Я же написал, что ваша градуированность уже настолько плотная что вы это не услышите. Но математически вы перепрыгнули через квинту и кварту
                                                      0

                                                      Что такое "математически перепрыгнул"? Дайте формальное определение этого понятия.

                                                        –2
                                                        ОК. Квинта это 7/12 изменения частоты в логарифмической шкале
                                                        Вы можете представить эту частоту как
                                                        7/12 = 14/24 = 21/36 = 7 * i/ 6 *2* i
                                                        но вы не сможете ее представить как
                                                        x/6* (2i + 1) где x и i целые числа
                                                        То есть каждый раз когда вы берете деление 6* (2i + 1) вы «перепрыгиваете» через квинту

                                                        Поэтому имеет смысл рассматривать только вариант 6*2*i = 12*i
                                                          0
                                                          Квинта это 7/12 изменения частоты в логарифмической шкале

                                                          Это почему? Квинта — это отношение частот (линейное) 3/2. Как вы из этого получаете ваше число?

                                                            –1
                                                            2 в степени 7/12 лишь на 0,1 процента (одна тысячная) отличается от 3/2
                                                              0

                                                              И что? Из этого никак не вытекает, что это лучшее приближение. Поэтому использовать "7/12 в логарифмической шкале" для какого-то дальнейшнего обоснования — нельзя. Надо использовать именно 3/2.


                                                              PS 2 в степени 7/12 отличается от 3/2 на 1.692923e-03. 2 в степени 24/41 отличается от 3/2 на 4.194331e-04.

                                                                –1
                                                                это был ответ на вопрос почему я в логарифмической шкале квинту считаю за 7/12
                                                                То есть вам теперь понятно, почему при нечетных степенях при 6: 6,18,30,41(с учетом нарастющей ошибки) вы будете «перепрыгивать» через квинту и кварту?
                                                                  +1
                                                                  это был ответ на вопрос почему я в логарифмической шкале квинту считаю за 7/12

                                                                  … потому что вам так удобно? Никакого другого варианта я не вижу.


                                                                  У вас есть квинта, которая 3/2. Все надо сравнивать с ней. Это даже в вашем собственном условии написано: "соотношение частот между до и соль должно [...] равняться 3/2."


                                                                  То есть вам теперь понятно, почему при нечетных степенях при 6:

                                                                  А меня не интересуют "степени при 6". Меня интересует деление октавы на равные отрезки, и я уже несколько раз продемонстрировал, что есть деления, при которых ошибка уменьшается по сравнению с вашей.

                                                                    +1
                                                                    У Вас ошибка в рассуждениях, потому что при переходе от чистой квинты к логарифмической, Вы подменяете квинту, а приравнивая 2^(7/12) к 3/2. lair прав, в том, что 2^(24/41) будет ещё больше похоже на чистую квинту, поскольку модуль разницы с 3/2 в случае 24/41 лучше.

                                                                    Такая подмена лишает Ваши рассуждения математичности.
                                                                      +1
                                                                      Ну, конечно, ведь вы разбили на 41 интервал.
                                                                      Так например, если сделать деление не на 41 а на 1000, то у 10 звуков рядом с квинтой точность будет лучше чем в моем случае :)
                                                                        +1
                                                                        Кстати да, действительно звуковой ряд из 41 звуков хорошо попадает и в квинту и в кварту. Проверил. Признаю.
                                                                        Все же вот эта приблизительность при таких больших числах (и соответвтенно более высокими требованиями к точности) играет роль.

                                                                        Но это не отменяет написанного в статье :). Конечно, когда мы используем большое количество звуков в нашем строе, мы уже не можем рассуждать приблизительно и оценочно и должны точно считать.
                                                                          0
                                                                          Но это не отменяет написанного в статье

                                                                          … за тем небольшим исключением, что число 12 — не единственное (и даже не лучшее), удовлетворяющее вашим условиям.

                                                                            0
                                                                            Ну, это как минимум наименьшее.
                                                                              0

                                                                              Тоже неправда. Наименьшее — три.

                                                                                0
                                                                                Поясните
                                                                                  0

                                                                                  При делении октавы на три (равных) части получается два интервала, больший из которых имеет соотношение приблизительно 3/2, а меньший, его обращение — приблизительно 4/3.

                                                                                    0
                                                                                    хм… а почему тогда не 2?
                                                                                    Понимаете в чем штука, вот когда вы видите число 0,170 и вам нужно его умножить на целое число и получить тоже целое число, то вот как-то видно что лучшее наименьшее число — это 6. Но вот вы говорите 3. Но тогда, без всяких критериев и 2 также хорошо как и три. Ну бог с ними с квинтами и квартами — вот будет один интервал, он и квинта и кварта.
                                                                                      0

                                                                                      Потому что ни то, ни другое деления не дают двух различных интервалов.

                                                                                        0
                                                                                        ну а зачем вам различные, если при делении на 3 интервала вас не смущает разница с квинтой и квартой на величину порядка 100 центов
                                                                                          0

                                                                                          Затем, что в условии задачи два разных интервала.

                                                                                        0
                                                                                        Понимаете в чем штука, вот когда вы видите число 0,170

                                                                                        … я вижу взятое с потолка число.


                                                                                        вот как-то видно что лучшее наименьшее число — это 6.

                                                                                        … а недавно было 12. Хм.

                                                                                          0
                                                                                          в статье показано откуда оно берется
                                                                                          где на ваш взгляд ошибка?
                                                                                            0

                                                                                            В округлении, очевидно.

                                                                                              0
                                                                                              ок
                                                                                              вот у нас есть число 12 с погрешнсотью в 2 цента и число 41 с лучшей погрешностью

                                                                                              вы выбираете 41?
                                                                                                0

                                                                                                Я-то вообще не выбираю равномерный строй, я его не хочу.


                                                                                                Но дошло до "какой вы выбираете", о какой "математической необходимости" идет речь?

                                                                                                  +1
                                                                                                  вот. Мы просто спорим не о том. Вы спорите о том насколько хорош этот строй. Я же предположив, что это необходимая реальность для современной музыки показал что в этом случае
                                                                                                  минимаельный звукоряд должен состоять из 12 звуков.
                                                                                                  Но, да, я так же думаю что это и достаточный звукоряд (но это утверждение не является основным).

                                                                                                  При этом под современной музыкой я считаю не музыку родившейся в последние десять — двадцать (ну может чуть больше) лет, а в последние 200 лет.

                                                                                                  В конце-концов для европейсокй музыки, которая насчитывает тысячилетия период в 200 лет, как мне кажется, более адекватно характеризует понятие «соверменность» чем 10 — 20 лет.
                                                                                                    0
                                                                                                    показал что в этом случае минимаельный звукоряд должен состоять из 12 звуков.

                                                                                                    Нет, не показали. Вы всего лишь показали, что звукоряд из 12 звуков удовлетворяет выставленным вами условиям.


                                                                                                    При этом под современной музыкой я считаю не музыку родившейся в последние десять — двадцать (ну может чуть больше) лет, а в последние 200 лет.

                                                                                                    И вас совершенно не смущает, что европейская музыка за 200 лет изменилась совершенно радикальным образом?


                                                                                                    В конце-концов для европейсокй музыки, которая насчитывает тысячилетия

                                                                                                    Сколько, простите?


                                                                                                    период в 200 лет, как мне кажется, более адекватно характеризует понятие «соверменность» чем 10 — 20 лет.

                                                                                                    Вам кажется. Это еще один пример того, как вы выбираете понятия тем образом, которым вам хочется, без какого-либо объективного критерия для этого.

                                                                                                      –2
                                                                                                      Согласитесь, что нет смысла продолжать :)
                                                                                                      Мне казалось, что в принципе математика штука довольно объективная, но если вы просто говорите, что это все фигня, то спорить смысла нет. Мне кажется вам просто не нравится вывод.
                                                                                                        –1

                                                                                                        Математика-то штука объективная, но вы-то выбираете свои критерии произвольным образом, и в этот момент места для объективности не остается.


                                                                                                        Назовите мне хотя бы один объективный критерий, согласно которому современная музыка — это последние двести лет?


                                                                                                        (я даже не буду спрашивать, при чем тут тогда Бах и Бетховен)

                                                                                                          0
                                                                                                          Давайте на этом остановимся.
                                                                                                          В любом случае спасибо за 41 — это было интересно
                                                                                                            –1

                                                                                                            … а вы говорите — объективность.

                                                                                                              –1
                                                                                                              так нет смысла спорить, когда перед вами лежит доказательство, а вы говорите: «Для меня очевидно, что нет никакого смысла умножать 0.170 на три. „

                                                                                                              Что тут еще можно сказать — уже все сказано в статье.
                                                                                                              Или по существу, или — спокойно ночи.

                                                                                                              Просто интересно — у вас какое образование?

                                                                                                                0
                                                                                                                так нет смысла спорить, когда перед вами лежит доказательство

                                                                                                                Перед вами — тоже, но вы его игнорируете.


                                                                                                                Вы, я повторюсь, даже в математических терминах задачу не формализовали до сих пор, о каком доказательстве идет речь?


                                                                                                                Просто интересно — у вас какое образование?

                                                                                                                Вы не поверите: высшее, история и теория музыки.

                                                                                                                  –2
                                                                                                                  да нет, в это как раз я верю
                                                                                                                  и понятно почему вы игнорируете математическое доказательство
                                                                                                                    –1

                                                                                                                    Повторюсь еще раз: у вас нет строгой формулировки задачи в математических терминах, о каком математическом доказательстве идет речь?

                                                                                                                      0
                                                                                                                      математика оперирует в том числе и с приблизительными величинами
                                                                                                                      задача сформулирована достаточно ясно, чтобы получить ответ
                                                                                                                        –1
                                                                                                                        задача сформулирована достаточно ясно, чтобы получить ответ

                                                                                                                        Покажите (полную и достаточную) формулировку в математических терминах.

                                                                                                                          0
                                                                                                                          у меня физико-математическое образование
                                                                                                                          поверьте мне на слово
                                                                                                                            –1

                                                                                                                            Нет, не поверю (вы же не верите мне на слово, когда я вам говорю, что ваши выкладки о современной музыке неверны). Покажите формулировку. "Нужно найти такое N, чтобы...".

                                                                                                                              0
                                                                                                                              читайте статью
                                                                                                                              и простите, я пас
                                                                                                                                –1

                                                                                                                                А в статье такой формулировки нет (если бы она была, вы бы могли ее просто скопировать, это не так сложно).


                                                                                                                                О чем, собственно, и речь.


                                                                                                                                А когда задачу за вас сформулировали, вы проигнорировали решение, потому что оно не сошлось с вашим.

                                                                                                                                  0
                                                                                                                                  Ей богу, разговор слепого с глухим
                                                                                                                                  Спокойной ночи
                                                                                                                                    –2

                                                                                                                                    Я подозреваю, что намного проще уходить от ответа на прямой неудобный вопрос, нежели признать, что ответа просто нет.


                                                                                                                                    И это, на самом деле, очень грустно.

                                                                                                                                      0
                                                                                                                                      Грустно. Но суть в том что в статье все есть.
                                                                                                                                      Конечно, это не статья по математике и я пытался быть краток, поэтому не все детали оговорены и кое-где может быть были (и есть) неточные формулировки и может быть даже слишком агрессивные выводы, но если бы вы действительно поняли математическую часть то 90 процентов этой беседы не было бы.
                                                                                                                                      Вы бы поняли, что 12 — это не случайное число а предопределенное если хотите число и что причина этого в том, что логарифм 3 по основанию 2 c хорошей точностью равен 19/12

                                                                                                                                      Знаете, у меня есть идея написать еще одну статью. Я думаю после нее будет все понятней

                                                                                                                                      Давайте отложим этот диалог до следующего раза
                                                                                                                                        –1
                                                                                                                                        Но суть в том что в статье все есть.

                                                                                                                                        В статье нет самого важного: доказательства того, что число 12 чем-то уникально в рамках поставленной вами задачи.


                                                                                                                                        если бы вы действительно поняли математическую часть то 90 процентов этой беседы не было бы.

                                                                                                                                        Проблема в том, что я понимаю математическую часть, иначе бы я не смог написать, где конкретно там ошибка, как я сделал выше. И, что занятно, ни на одну ошибку в моих выкладках никто не указал.


                                                                                                                                        причина этого в том, что логарифм 3 по основанию 2 c хорошей точностью равен 19/12

                                                                                                                                        "С хорошей точностью" — это такая принятая математическая формулировка, да? А можете сослаться на какой-нибудь авторитетный источник, где вводится это понятие?


                                                                                                                                        А что делать с тем фактом, что логарифм 3 по основанию два с большей (приблизительно в четыре раза) точностью равен 65/41, и с еще большей (более чем в двадцать раз) — 84/53?

                                                                                                                                          0
                                                                                                                                          ну точность такая что квинта у вас при этом воспроизводится с точностью до 2х центов
                                                                                                                                          вам это достаточно?

                                                                                                                                          и я вас уже спрашивал, вот вы имеете
                                                                                                                                          12 (с точностью 2 цента), 41 и 53 (с гораздо лушей точночтью) — что вы выбираете

                                                                                                                                          ну не хотел я расписывать и разжевывать все
                                                                                                                                          мне кажется и так все очевидно и каждый может додумать и досчитать сам
                                                                                                                                            0
                                                                                                                                            ну точность такая что квинта у вас при этом воспроизводится с точностью до 2х центов

                                                                                                                                            Что из этого является математическим термином?


                                                                                                                                            что вы выбираете

                                                                                                                                            Какая разница, что я выбираю, если мы говорим о формальной математической задаче? Какое решение удовлетворяет этой задаче?

                                                                                                                                              0
                                                                                                                                              Ну послушайте, мне действительно сложно с вами общаться — мы из разных миров. Вы просто говорите какие-то вещи, которые в принципе очевидны и я не вижу смысла их даже обсуждать. Они подразумеваются.

                                                                                                                                              Понятно, что чем больше знаменатель вы берете тем лучше будет ваше приближение к иррациональному числу. Вы могли бы вообще не заморачиваться рассчетами, а тупа брать 10, 100, 1000, 10000 и с каждым разом ваше приближение будет все ближе и ближе.

                                                                                                                                              Так же понятно, что если у вас есть ошибка (неточность) потому что ваша формула приблизительна, то при некоторых математических операциях (например умножении) это ошибка будет увеличиваться, но я же в статье ограничился лишь малыми числами i потому что посчитал что большие i рассметривать нет смысла. Не потому, что там не будет квинт и кварт, а потому что по разным причинам такая градуированность (ИМХО конечно — я понимаю что вы с этим не согласны) не нужна.

                                                                                                                                              Конечно, если бы это была статья по физике и математике, то все эти вещи (какая точность требуется, какая ошибка) были бы оговорены, но это НЕ статья по математике и в принципе все эти вещи то очевидны. Это можно было бы обсудить но не с позиции прав — не прав и спокойно.

                                                                                                                                              Вот мы потратили столько времени, и все лишь для того чтобы я вам в энный раз сказал — 12 это наименьшее «хорошее» число. И видно это из того что 0,170 * 6i (при малых i конечно) дает число близкое к целому (но i = 1 нам не подходит)!

                                                                                                                                              Но ваш ответ на это (который уже тоже неоднократно встречался) в том, что вы не понимает откуда и почему я беру число 0,170, но ответ то в статье. В этом и суть математики — мне надо вот по идее ничего уже объяснять!

                                                                                                                                                0
                                                                                                                                                Вы просто говорите какие-то вещи, которые в принципе очевидны и я не вижу смысла их даже обсуждать.

                                                                                                                                                Знаете, вы тоже говорите какие-то вещи, которые в принципе очевидны… очевидно неправильны, в смысле. И это действительно нет особого смысла обсуждать, но вы продолжаете использовать эти очевидно неправильные суждения для аргументации в пользу своей точки зрения.


                                                                                                                                                Понятно, что чем больше знаменатель вы берете тем лучше будет ваше приближение к иррациональному числу.

                                                                                                                                                Почему-то если взять тринадцать ступеней вместо двенадцати, ошибка увеличивается. Хотя знаменатель больше.


                                                                                                                                                Так же понятно, что если у вас есть ошибка (неточность) потому что ваша формула приблизительна, то при некоторых математических операциях (например умножении) это ошибка будет увеличиваться,

                                                                                                                                                … и какое это имеет отношение к дискусии? Покажите мне хотя бы один пример в ваших или моих расчетах, где происходит накопление ошибки.


                                                                                                                                                но я же в статье ограничился лишь малыми числами i

                                                                                                                                                … хотя увеличение i — если вы, конечно, говорите об i в 6i — само по себе не ведет к увеличению ошибки. Так при чем тут это?


                                                                                                                                                это НЕ статья по математике

                                                                                                                                                А по чему эта статья? По теории музыки? Тоже нет.


                                                                                                                                                в принципе все эти вещи то очевидны

                                                                                                                                                Как раз наоборот. Если это статья не по математике, вам надо оговаривать все математические допущения, которые вы делаете, именно потому, что вы находитесь за пределами стандартного контекста.


                                                                                                                                                12 это наименьшее «хорошее» число

                                                                                                                                                Что такое "хорошее" число? Не субъективно "мне нравится", а объективно?


                                                                                                                                                И видно это из того что 0,170 * 6i (при малых i конечно) дает число близкое к целому

                                                                                                                                                А при больших — не дает? Да нет, дает. Я помножил на 300 (ну так, от балды), и получил целое число.


                                                                                                                                                но i = 1 нам не подходит

                                                                                                                                                Почему? Оно формально удовлетворяет условиям задачи.


                                                                                                                                                вы не понимает откуда и почему я беру число 0,170

                                                                                                                                                Я понимаю, откуда вы берете это число. Я не понимаю, зачем вы держитесь за него держитесь, хотя это очевидно приближенное значение, когда вы могли бы оперировать исходным log2(9/8) (или, что характерно, log2(3/2), потому что вам достаточно минимизировать ошибку на чистой квинте), и иметь формальную точность в ваших вычислениях, а не "хорошие числа".


                                                                                                                                                В этом и суть математики — мне надо вот по идее ничего уже объяснять!

                                                                                                                                                Вы уж определитесь, это статья по математике или нет. Потому что если не по математике, то вам придется объяснять каждый математический шаг.

                                                                                                                                                  –1
                                                                                                                                                  Ну я же говорю… Вы только подтвердили мое высказывание.
                                                                                                                                                  Отвечу только вот на это потому что все остальное — мыло да мочало начинай сначала

                                                                                                                                                  >Почему-то если взять тринадцать ступеней вместо двенадцати, ошибка увеличивается. Хотя знаменатель больше.

                                                                                                                                                  Знаете, понимая уже вашу дотошность я знал что вы это напишете :).
                                                                                                                                                  Конечно, мое утверждение было не совсем точным, потому что ну вот я не на экзамене и не на математическом форуме и мы говорим о вещах очевидных, так что можно просто намекнуть и не приводить точные формулировки. Но вам не понятно. Там же даже пример приведен — 100, 1000, 10000… Ну ок.
                                                                                                                                                  Мы должны говорить о степенях конечно. Вот тот пример был со степенью 10
                                                                                                                                                  Но давайте возьмем степень 2.
                                                                                                                                                  16, 32, 64, 128, 256,… (или степень любого другого числа)
                                                                                                                                                  вот беря их в качестве знаменателя вы будете все ближе приближаться к вашему иррациональному числу. И здесь все будет линейно. 32 будет прибижать лучше чем 16, 64 — чем 32… Поэтому просто беря числа все больше и больше вы будете находить числа, которые все ближе и ближе к вашему значению. Поэтому взяв например этот ряд (16, 32, 64… ) для 128 мы уже получаем для 75 ступени около одного цента отличие отк квинты и теперь для всех остальных чисел в (256, 512 ...) результат будет все лучше и лучше.

                                                                                                                                                  Поэтому это общая тенденция улучшения при увеличении знаменателя. Она не монотонна.
                                                                                                                                                    0
                                                                                                                                                    все остальное — мыло да мочало начинай сначала

                                                                                                                                                    Вот, например, вопрос, "по чему" эта статья, если не по математике.


                                                                                                                                                    мы говорим о вещах очевидных

                                                                                                                                                    Кому очевидных?


                                                                                                                                                    Поэтому просто беря числа все больше и больше вы будете находить числа, которые все ближе и ближе к вашему значению.

                                                                                                                                                    Казалось бы, из этого очевидно, что 12 — не уникальное и не лучшее число. Так почему же вы продолжаете пытаться это доказать?

                                                                                                                                                      –1
                                                                                                                                                      Почитайте статьи по математике в научных журналах — увидите разницу. Разица во-первых в сложности (это школьная математика), а во-вторых, в строгости суждения (это научно-популярный стиль изложения — очень лайт). И если бы я написал ее в стиле академической научной статьи вы бы первый уснули бы на первом абзаце.

                                                                                                                                                      На второе уже нет смысла отвечать — отвечал много раз.
                                                                                                                                                        0
                                                                                                                                                        Почитайте статьи по математике в научных журналах — увидите разницу.

                                                                                                                                                        Да я вижу разницу. Я спрашиваю, по чему эта статья, если не по математике.


                                                                                                                                                        И если бы я написал ее в стиле академической научной статьи вы бы первый уснули бы на первом абзаце.

                                                                                                                                                        Я читал академические научные статьи, спасибо.


                                                                                                                                                        На второе уже нет смысла отвечать — отвечал много раз.

                                                                                                                                                        Нет, вы ни разу не ответили, почему вы считаете, что число 12 уникально. Ну то есть нет, я не прав. Почему вы считаете — ответили. Но почему вы считаете это математически доказанным фактом?

                                                                                                                                                          0
                                                                                                                                                          Это есть в статье, и я разъяснял вам это уже в коммнтариях.
                                                                                                                                                          Очень сложно объяснить что-то человеку, который не просто не пытается понять, но пытается НЕ понять.
                                                                                                                                                            0
                                                                                                                                                            Это есть в статье

                                                                                                                                                            Выкладки в статье недостаточны, и это, казалось бы, уже неоднократно показано.


                                                                                                                                                            Да блин (извините), уникальность опровергается одним контрпримером, вам их привели не меньше трех, ну о чем тут можно говорить?

                                                                                                                                                              –1
                                                                                                                                                              Давайте, последняя попытка, которую вы опять используете, чтобы меня минусануть, к чему то придраться или просто не понять, но все же если мне все еще кажется что человек хочет понять что-то, то я пытаюсь объянить.

                                                                                                                                                              Я не очень понимаю что вы опровергаете?

                                                                                                                                                              То что вы привели числа много большие чем 12, которые так же решают поставленную задачу (и даже лучше)?

                                                                                                                                                              И что вы этим опровергли? Я же говорю вот числа 256, 512, 1024… (до бесконечности) все будут удовлетворять требованиям задачи и даже лучше чем 12. И что?

                                                                                                                                                              Я же нигде не сказал что 12 — это единственное число. Более того, я же говорил что 24 — тоже хорошее число.

                                                                                                                                                              12 — это первое удовлетворительное число. Следующее 24. И ни 3 ни 4 ни… 11 не дают тот же результат. И потом от 13 до 23 — тоже не то.

                                                                                                                                                              В этом смылсе 12 уникально!

                                                                                                                                                              Вы можете конечно построить звукоряд и на 41 звуке ( а так же и на бесконечном количестве комбинаций с большим количеством звуков в звукоряде), но ИМХО это не имеет большого смысла (вот здесь конечно можно спорить, но статья то не об этом)

                                                                                                                                                              Еще раз. Посыл этой статьи в том, что 12 — не случайное число. Ну вот не могло быть 11 или 10 или как вы предлагали 3. 19 — тоже не очень хорошее число — квинта 7 центов мимо (во всяком случае в рамках сформулированных требований)

                                                                                                                                                                0
                                                                                                                                                                Я не очень понимаю что вы опровергаете?

                                                                                                                                                                То, что 12 — уникальное число, подходящее под ваши условия.


                                                                                                                                                                И что?

                                                                                                                                                                И то, что 12 — не уникально.


                                                                                                                                                                Я же нигде не сказал что 12 — это единственное число.

                                                                                                                                                                Вот прямо двумя абзацами ниже в этом же комменте.
                                                                                                                                                                Или вот вам цитата: "остается только одно число: 12".


                                                                                                                                                                В этом смылсе 12 уникально!

                                                                                                                                                                Нет, не уникально. Первое "удовлетворительное число" — 3.


                                                                                                                                                                Но вообще, формулировка "первое число (из бесконечного множества), удовлетворяющее требованиям — уникально" меня потрясает своей бессмысленностью.


                                                                                                                                                                19 — тоже не очень хорошее число — квинта 7 центов мимо (во всяком случае в рамках сформулированных требований)

                                                                                                                                                                У вас нет такого сформулированного требования.

                                                                                                                                                                  –1
                                                                                                                                                                  Ну, т.к. формулы, судя по всему, не ваш конек привожу табличку (сделал специально для вас)

                                                                                                                                                                  Первый столбец — число звуков в вашем звукоряде
                                                                                                                                                                  Второй — разница с чистой квинтой в центах

                                                                                                                                                                  3 98
                                                                                                                                                                  4 100
                                                                                                                                                                  5 18
                                                                                                                                                                  6 98
                                                                                                                                                                  7 16
                                                                                                                                                                  8 48
                                                                                                                                                                  9 35
                                                                                                                                                                  10 18
                                                                                                                                                                  11 47
                                                                                                                                                                  12 2
                                                                                                                                                                  13 36
                                                                                                                                                                  14 16
                                                                                                                                                                  15 18
                                                                                                                                                                  16 27
                                                                                                                                                                  17 4
                                                                                                                                                                  18 31
                                                                                                                                                                  19 7
                                                                                                                                                                  20 18
                                                                                                                                                                  21 16
                                                                                                                                                                  22 7
                                                                                                                                                                  23 28
                                                                                                                                                                  24 2
                                                                                                                                                                  25 18
                                                                                                                                                                  26 10
                                                                                                                                                                  27 9
                                                                                                                                                                  28 16
                                                                                                                                                                  29 1,5


                                                                                                                                                                  Минимумы (ниже 2 центов): 12, 24, 29
                                                                                                                                                                  17 — тоже неплохо, но все же в 2 раза хуже

                                                                                                                                                                  Нет?
                                                                                                                                                                    0

                                                                                                                                                                    Нет.


                                                                                                                                                                    Минимум — 29. И про 29 EDO я вам написал больше суток назад.

                                                                                                                                                                      0
                                                                                                                                                                      ну… я пытался
                                                                                                                                                                        –1
                                                                                                                                                                        Минимум в бесконечности, например 2 в бесконечной степени будет минимумом и это будет ровный 0 центов, да хотя любое бесконечное число даст вам настоящий минимум (0 смещение, причем не только от квинты но и от любых чистых интервалов)

                                                                                                                                                                        Поэтому не очень понятно, почему вы считаете 29 минимумом
                                                                                                                                                                          0

                                                                                                                                                                          Казалось бы, очевидно, что минимум из представленной вами таблицы (почему вы решили выбрать именно такую таблицу — это к вам вопрос, не ко мне).

                                                                                                                                                                            –1
                                                                                                                                                                            почитайте пожалуйста на досуге, что такое минимумы и максимумы функций
                                                                                                                                                                            я же говорю мы с вами из разных миров и говорим на разных языках
                                                                                                                                                                              –1
                                                                                                                                                                              почитайте пожалуйста на досуге, что такое минимумы и максимумы функций

                                                                                                                                                                              Спасибо, я в курсе. Какую таблицу дали, какой вопрос поставили, такой ответ и получили.

                                                                                                                                                                                –1
                                                                                                                                                                                Нет, судя по всему вы не в курсе
                                                                                                                                                                                  0

                                                                                                                                                                                  Ну, если вы мне покажете определение, согласно которому 1.5 цента не является минимальным значением в этой таблице, у меня будет возможность исправить эти пробелы в моем образовании.

                                                                                                                                                                          0

                                                                                                                                                                          Вы считаете, что полцента оправдывает такую ужасающую потерю эргономики?

                                                                                                                                                                            0

                                                                                                                                                                            Понимаете ли, в чем дело. "Я считаю, что [не] оправдывает" — это субъективное суждение. Я могу так считать, кто-то другой может считать иначе; кому-то много 12 клавиш, у кого-то струнный (безладовый) инструмент, для которого это все вообще мелочи. Это все субъективно.


                                                                                                                                                                            А автор утверждает, что число 12 обусловлено объективными причинами.

                                                                                                                                                                          0

                                                                                                                                                                          На всякий случай:


                                                                                                                                                                          Normal adults are able to recognize pitch differences of as small as 25 cents very reliably.
                                                                                                                                                                          [...]
                                                                                                                                                                          vibrato span typically ranged between ±34 cents and ±123 cents with a mean of ±71 cents
                                                                                                                                                                            –1
                                                                                                                                                                            ну да, тоже на всякий случай
                                                                                                                                                                            «К изменениям высоты, громкости и тембра С. м. наиболее чувствителен в среднем регистре — примерно от 500 до 3000-4000 герц, здесь музыканты различают изменения высоты в 5-6 центов»
                                                                                                                                                                            и вы сами жаловались что все криво звучит, а тут вдруг 25 центов

                                                                                                                                                                            Ладно, надо заканчивать этот троллинг с вашй стороны. Вы просто очень не хотите… или получаете от этого удовольствие
                                                                                                                                                                            Всего хорошого
                                                                                                                                                                              0
                                                                                                                                                                              вы сами жаловались что все криво звучит, а тут вдруг 25 центов

                                                                                                                                                                              Ну так одно другому не противоречит.

                                                                                                                                                                              0
                                                                                                                                                                              Normal adults are able to recognize pitch differences of as small as 25 cents very reliably.

                                                                                                                                                                              Тут вот, конечно, надо уточнять, как идет распознавание. Если просто в изолированном виде дать послушать ноту а потом следом за ней другую — будет распознавание точнее. Если дать интервал — будет еще точнее, т.к. биения, и там вообще до единиц центов их можно услышать. Если идет какая-то мелодия — важна не погрешность ноты, а погрешность соответствующего интервала. И то, какой интервал. И то, какой мелодический контекст.


                                                                                                                                                                              ЗЫ: вибрато на 100 центов — это уже не вибрато а быстрые слайды :))

                                                                                                                                                                                0
                                                                                                                                                                                Тут вот, конечно, надо уточнять, как идет распознавание.

                                                                                                                                                                                Да там, собственно, абзацем раньше много таких оговорок, и про гармонию, и про то, что тональный контекст повышает точность. Но в первую очередь пишут, что разброс адский.


                                                                                                                                                                                вибрато на 100 центов — это уже не вибрато а быстрые слайды

                                                                                                                                                                                Вокалисты, страшные люди.

                                                                                                                                                    0

                                                                                                                                                    … а 16/10 всего лишь в десять раз менее точно приближает нужный вам логарифм. А 46/29 — наоборот, более точно.

                                                                                                                                  0
                                                                                                                                  И почему вы минусуете каждый мой ответ — это не способствует конструктивному диалогу
                                                                                                                  +1
                                                                                                                  Я же предположив, что это необходимая реальность для современной музыки показал что в этом случае
                                                                                                                  минимаельный звукоряд должен состоять из 12 звуков.

                                                                                                                  Смотрите, 12 звуков в октаве было до равномерной темперации вообще, по-этому вы не можете обосновывать 12 звуков при помощи темперации, это будет просто неверно заведомо :)


                                                                                                                  12 получается от того, что если вы будете поочередно отстраивать квинты друг за другом и смотреть, на сколько эта последовательность квинт отличается от целого числа октав, то вы получите через 12 квинт второй локальный минимум (первый получается через 5 квинт, это будет си, и система, замыкаемая через этот минимум, будет пентатоникой). При этом дальнейшие минимумы будут наоборот удаляться достаточно долго. По-этому 12. А уже потом взяли погрешность этого минимума и размазали по всем квинтам.

                                                                                                                    0
                                                                                                                    >Смотрите, 12 звуков в октаве было до равномерной темперации вообще, по-этому вы не можете обосновывать 12 звуков при помощи темперации, это будет просто неверно заведомо :)

                                                                                                                    Это хорошее замечание. У меня есть что сказать на это :)
                                                                                                                    Но это я приберег для следующей статьи
                                                                                                                      0
                                                                                                                      Я ответил в том числе и на этот вопрос. Смотрите в конце статьи под катом «Ответы на замечания и критику в комментариях»
                                                                                                            0
                                                                                                            я же объяснил в статье
                                                                                                            все же мне кажется вы не поняли что там написано
                                                                                                            уровнение которое там приведено (и откуда берется 6*i) исходит из того что между квиной и квартой должно быть целое колическтво интервалов, но это не значит, что когда вы откладываете эти интервалы от тоники квинта и кварта туда попадают
                                                                                                            и вот для 6 — не попадают
                                                                                                            поэтому 6 — не подходит (хотя и удовлетворяет условию)
                                                                                                            а вот следующее число 12 — подходит

                                                                                                            я это вам уже и отдельно пытался объяснить

                                                                                                            вот вы столько пишете, но прочитаейте внимательно статью

                                                                                                            мне кажется дальше, пока не будет конструктивной критики нет смыслка продолжать
                                                                                                              0
                                                                                                              уровнение которое там приведено (и откуда берется 6*i) исходит из того что между квиной и квартой должно быть целое колическтво интервалов, но это не значит, что когда вы откладываете эти интервалы от тоники квинта и кварта туда попадают

                                                                                                              Это, прямо скажем, невозможно. И поэтому шесть — подходит (просто дает ту же погрешность на квинте, что и 3).


                                                                                                              прочитаейте внимательно статью

                                                                                                              Я как раз прочитал статью внимательно. И в ней есть сильно больше одной методической ошибки, которые вы упорно продлжаете игнорировать.

                                                                                                                0
                                                                                                                Не знаю что ответить. Если для все не очевидно, что 0,170 * 6 ближе к целому числу чем 0,170 * 3, то спор не имеет смысла.
                                                                                                                  0

                                                                                                                  Для меня очевидно, что нет никакого смысла умножать 0.170 на три. Более того, нет никакого смысла даже вводить 0.170, надо оперировать исходными числами.


                                                                                                                  А вы зацепились за это 0.170, и пытаетесь от него все построить, хотя оно не имеет значения.

                                                                +9
                                                                Стало быть, о 19-и, 24-x, 31-x и 53-х ступенчатой темперации вы ничего не слышали?
                                                                  0
                                                                  Смотрите замечание выше!
                                                                    0
                                                                    В статье же все показано с точки зрения математики.
                                                                    Ну вот смотрите. 24 ступенчатая темперация — ок. В статье это число тоже получается.
                                                                    Но если вы уножите 0,17 на 19 или 31 но вы не получите целого числа
                                                                    0,17 x 19 = 3,23
                                                                    0,17 x 31 = 5,27

                                                                    При умножении на 53 имеем что-то близкое

                                                                    0,17 x 53 = 9,01

                                                                    Но это потому что это число близко к 54 = 6 x 9
                                                                    Но девятка — нечентное число.

                                                                    Все это значит, что если вы применяете принцип инвариантности, то вы теряете в вашем звуковом ряде квинты и/или кварты
                                                                    Или вы сохраняете квинты и кварты, но теряете инвариантность.

                                                                    Я ничего не имею против, но я писал про другую музыку
                                                                      +2

                                                                      Вы писали про современную музыку.


                                                                      Интересно, в каком строе и в какой тональности чаще всего играют "4:33"?

                                                                    +5
                                                                    Небольшое дополнение.
                                                                    Рассказ о равномерно темперированном музыкальном строе был бы неполным без упоминания о человеке, который, собственно, все это придумал. То есть о немецком математике и музыканте Андреасе Веркмейстере.

                                                                    Подробности — https://ru.wikipedia.org/wiki/Веркмейстер,_Андреас
                                                                    Еще много интересного про теоретическую основу музыки (причем «на пальцах», то есть без заумных математических формул) можно почитать в книжке Спартака Суреновича Газаряна, «В мире музыкальных инструментов». (Ее в гугле поищите).
                                                                      +3
                                                                      Рассказ о равномерно темперированном музыкальном строе был бы неполным без упоминания о человеке, который, собственно, все это придумал. То есть о немецком математике и музыканте Андреасе Веркмейстере.

                                                                      Прямо по вашей же ссылке написано, что Веркмейстер равномерную темперацию не изобретал (и, прямо скажем, скептически к ней относился).

                                                                      +3
                                                                      Вот нравилось нашим предкам число 12, у них везде 12

                                                                      12 не просто так понравилось и получило очень широкое распространение (измерение времени, длин, весов, объёмов, денежных единиц и так далее). Оно делится без остатка на 2,3,4,6 в отличии от, например, 10, которое делится только на 2 и 5.
                                                                        0
                                                                        почему тогда не 60?
                                                                        Оно еще и на 5 делится
                                                                          +2
                                                                          60 секунд, 60 минут, 360 градусов.
                                                                            0
                                                                            ну не спорю). Но мы же про музыку
                                                                              0
                                                                              60 использовалось в цивилизациях Междуречья, оттуда все эти минуты, секунды, градусы. Более того, в один период там даже использовался контроль работников 60 раз в сутки (рабочий день)! Это вам не скрины рабочего стола раз в час!
                                                                            0
                                                                            Кроме 12 есть 24, 36 и 60. Все они делятся на 12 (значит и на 2,3,4,6 тоже).
                                                                              +1
                                                                              12 считается на пальцах же, а 60 — нет
                                                                                0
                                                                                12 фаланг одной руки + 5 пальцев второй, большой палец первой руки используется как указатель фаланги. А вообще некоторые на пальцах считали до сотни миллионов.
                                                                                  0
                                                                                  интересная статья, спасибо
                                                                              0

                                                                              Из всех надмножеств 12-ступенного строя, пожалуй, лучший — 72EDO. Под него был изготовлен легендарный советский синтезатор АНС. В нём удобно запоминать и играть мелодии, в этот строй хорошо укладываются многие натуральные интервалы:
                                                                              квинта (3/2) в 72edo — 42 ступени — равна квинте 12edo (6*7=42);
                                                                              большая терция (5/4) — 23 ступени — на 1/6 полутона меньше аналогичного интервала в 12edo;
                                                                              малая терция (6/5) — 19 ступеней — на 1/6 полутона больше аналогичного интервала в 12edo;
                                                                              натуральная септима (7/4) — 58 ступеней — на 1/3 полутона меньше малой септимы в 12edo;
                                                                              полуувеличенная кварта (11/8) — 33 ступени — равна 4.5 полутона в 12edo;
                                                                              существуют большой тон (9/8) — 12 ступеней и малый тон (10/9) — 11 ступеней;
                                                                              при движении по терциям/секстам добавляется или отнимается одна ступенька (1/72 октавы), а по квинтам и квартам — нет.

                                                                              +8
                                                                              Число, лежащее в основе современной музыки

                                                                              Современной западной музыки.
                                                                                0
                                                                                Да, пожалуй. Но мы же западные люди. Я слушаю только западную (или порождение западной)
                                                                                  +11

                                                                                  Вы слушаете музыку, которая построена на 12 нотах, и пытаетесь найти число, которое лежит в ее основе. Занятное изыскание.

                                                                                    +1
                                                                                    Я не понял этого посыла.
                                                                                    Вы можете указать, где вы видите ошибку в рассуждении?
                                                                                      +9

                                                                                      Ошибка не в рассуждении, ошибка в постановке задачи. Вы взяли некое очень узкое подмножество музыки, про которое известно, что оно построено на системе из двенадцати нот, а теперь пытаетесь доказать, что 12 — единственное число, удовлетворяющее этой системе, взяв два произвольных нравящихся вам требования. Неудивительно, что после приблизительных вычислений ответ сходится.

                                                                                        +1
                                                                                        нет не так. Я взял 2 требования и обосновал разумность каждого из них:
                                                                                        1 — в вашем звукоряде должны быть тоника квинта и октава
                                                                                        2 — инвариантность (наверно не музыкальный термин, но я объяснил что имею ввиду)
                                                                                        и эти два дают так же и требование чтобы была кварта

                                                                                        И получил что это может быть только для 12*i

                                                                                        Какое из требований кажется вам неразумным?
                                                                                          0
                                                                                          в вашем звукоряде должны быть тоника квинта и октава

                                                                                          … а была октава, квинта и кварта...


                                                                                          Какое из требований кажется вам неразумным?

                                                                                          Оба.


                                                                                          И получил что это может быть только для 12*i

                                                                                          Неа, вы не получили этого. В полученном вами звукоряде нет чистой квинты.


                                                                                          А, и отдельно мне кажется неразумным то, что вы так и не объяснили, о какой музыке вы говорите. Пока получается, что вы говорите о музыке, которую лично вы слушаете.

                                                                                            0
                                                                                            про кварту я же описал
                                                                                            если у вас есть квинта и требование инвариантности, то кварта получается автоматически — это не понятно?

                                                                                            я получил квинту с точностью 0,1 % (одна десятая процента !!!) — вам этой точности недостаточно?

                                                                                            например, любая фортепианная музыка, которая не предусматривает изменения строя: Бах, Бетховен, Лист, Рахманинов…

                                                                                            Любая современная джазовая музыка — в последнее время слушаю Brad Mehldau, Monty Alexander, Muchel Petruciani, Chick Corea

                                                                                            Мне сложнее назвать соврменную музыку к которой эти бы принципы не подошли.
                                                                                              +4
                                                                                              если у вас есть квинта и требование инвариантности, то кварта получается автоматически — это не понятно?

                                                                                              Вот только требование инвариантности — произвольное.


                                                                                              я получил квинту с точностью 0,1 % (одна десятая процента !!!) — вам этой точности недостаточно?

                                                                                              Недостаточно. Нет определения, какая точность достаточна, а какая — нет.


                                                                                              например, любая фортепианная музыка, которая не предусматривает изменения строя: Бах, Бетховен, Лист, Рахманинов…

                                                                                              Что значит "не предусматривает изменения строя"? Бах не писал для равномерной темперации (да и для фортепиано он не писал).


                                                                                              Ну и да. А не-фортепианная музыка? А все, что до Баха? А послевоенный двадцатый век, в частности, сонорика? А народная музыка? А смесь всего этого вместе, как у Kronos Quartet или Danish String Quartet?


                                                                                              Кстати, а "Литургия Иоанна Златоуста" и "Всенощное Бдение" Рахманинова — они для какого строя написаны?


                                                                                              Любая современная джазовая музыка — в последнее время слушаю Brad Mehldau, Monty Alexander, Muchel Petruciani, Chick Corea

                                                                                              "Microtonal variation of intervals is standard practice in the African-American musical forms of spirituals, blues and jazz (Cook and Pople 2004, 124–26)."


                                                                                              Мне сложнее назвать соврменную музыку к которой эти бы принципы не подошли.

                                                                                              Не вставая с места — фламенко. Это в том смысле, что не надо ничего искать, не надо думать, прямо в википедии написано. Но опять же, вы не даете определения "современная" (потому что из перечисленных вами академических авторов современным не является ни один). Lachrymæ Antiquæ Кроноса — это современная музыка? Саундтрек к Ghost in the Shell Кендзи Каваи — это современная музыка? "Terror in Tokyo" Йоко Канно? "Sing Me Home" Silk Road Ensemble? Музыка к Fla-co-men Израэля Гальвана и Xenos Акрама Кхана?

                                                                                                +4
                                                                                                я получил квинту с точностью 0,1 % (одна десятая процента !!!) — вам этой точности недостаточно?

                                                                                                … а в 29 EDO и в 41 EDO погрешность (на квинте) еще ниже. Это явно показывает нам, что 12 — не уникальное число в этом отношении. И, что характерно, 29 EDO была предложена в XIV веке.

                                                                                            +1
                                                                                            Извините, конечно, но «узкое подмножество»? Я понимаю, что если мерить в штуках, то всяких извращённых нотных систем можно наплодить хоть миллион, но давайте всё таки делать поправку на распространённость.
                                                                                              +1
                                                                                              Извините, конечно, но «узкое подмножество»?

                                                                                              Ну да.


                                                                                              давайте всё таки делать поправку на распространённость.

                                                                                              Давайте. Вы правда думаете, что фортепианная музыка западноевропейской классико-романтической традиции — это сильно распространенная штука?

                                                                                      0

                                                                                      Да даже если ещё сильнее сузить и выкинуть современную западную академическую музыку (хотя это уже совсем нечестно), останется ещё, например, noise.

                                                                                        0
                                                                                        останется ещё, например, noise.

                                                                                        … или фламенко.

                                                                                        +1
                                                                                        Да, в нескольких местах добавил слово «европейская». Спасибо!
                                                                                          0

                                                                                          Фламенко — не современная европейская музыка?

                                                                                            0
                                                                                            То, что музыку играют сегодня, не означает что положенные в её основу принципы современны.
                                                                                              0

                                                                                              Конечно.


                                                                                              И в этот момент, собственно, возникает вопрос: так что же автор называет "современной" музыкой?

                                                                                                +2

                                                                                                То что играют сегодня не всегда является музыкой

                                                                                                  0

                                                                                                  … мы вот выяснили, что автор считает современной музыкой то, что написано в последние 200 лет. Фламенко точно попадает.

                                                                                            0
                                                                                              +1
                                                                                              С привлечением одной лишь математики, удивительно… Не зря говорят, что музыка — самое абстрактное из искусств.
                                                                                              Я тоже задумывался между делом, почему музыка столь прицельно бьёт по эмоциям, и полагал, что без привлечения психологии это не объяснить.
                                                                                                +3
                                                                                                Заключается это требование в том, что все гармонии в любых тональностях должны звучать одинаково.

                                                                                                … одинаково плохо, вы хотели сказать?


                                                                                                Если мы говорим про современный строй, который применяется при настройке фортепиано, то это значит, что квинта, состоящая из семи полутонов, должна звучать одинаково, независимо от того, от какого звука она построена. То есть соотношение частот между до и соль должно быть таким же как и для до# — соль#, ре — ля, ре# — ля#,… и равняться 3/2.

                                                                                                Вы же знаете, да, что это требование невыполнимо?


                                                                                                Нужно сказать, что это требование инвариантности не является таким очевидным

                                                                                                Оно вообще не является очевидным, и более того, до сих пор не обязательно.


                                                                                                и данный подход был применен относительно недавно, лишь в 18 веке.

                                                                                                … а был ли? Назовите, пожалуйста, известные произведения XVIII века, которые доказано написаны для равномерной темперации.


                                                                                                Например, "Хорошо темперированный клавир" Баха появился именно благодаря новому подходу в настройке клавишных.

                                                                                                "Хорошо темперированный клавир", как, казалось бы, можно догадаться из названия, написан не для равномерной, а для хорошей темперации. Так что, вновь, ваше требование — произвольно.


                                                                                                Именно вот эта инвариантность дала возможность Баху создавать гармонические последовательности, которые просто были невозможны раньше.

                                                                                                Вы, конечно же, можете показать "невозможную раньше" гармоническую последовательность у Баха, и объяснить, почему она возможна только в равномерной темперации?


                                                                                                Но вернемся на минутку к определению вашего "требования".


                                                                                                Заключается это требование в том, что все гармонии в любых тональностях должны звучать одинаково.

                                                                                                Но что такое "тональность"? Почему вы строите требования к структуре музыкального строя исходя из какого-то дополнительного внешнего понятия (которое, будем честными, по отношению к музыкальному строю даже не вторично, а третично)?


                                                                                                Легко увидеть, что решением (конечно, приблизительным) является

                                                                                                Угу. Приблизительным. Вот и все ваше доказательство — оно приблизительно. Потому что вы сочли, что этой приближенности достаточно для целей вашего доказательства, но где аргументы?


                                                                                                есть единственным вариантом для нас может быть

                                                                                                А почему вы не рассматриваете i = 3?


                                                                                                Но почему не 24, 36, 48…? Причина проста — наш слух уже не различает этой градуированности.

                                                                                                Если бы наш слух не различал четверти тона (а это то, что получится, если поделить октаву на 24 части), не было бы никакой разницы между всеми темперациями. А она есть, даже вы ее упоминаете. Следовательно, слух различает эти градации. Следовательно, и ваш вывод об уникальности числа 12 — ошибочен.


                                                                                                Но, впрочем, он был ошибочен еще тогда, когда вы решили, что равномерная темперация обязательна.

                                                                                                  0
                                                                                                  Равномерная темперация придумана чтобы обеспечить свободу модуляций, например в фугах. А современному попо-року модуляции зачем, максимум временный тональный центр, в итоге идея оказалась почти никому не нужной…
                                                                                                    0
                                                                                                    Равномерная темперация придумана чтобы обеспечить свободу модуляций, например в фугах.

                                                                                                    Вот только нужна ли она, ценой потери "хорошего" звучания (особенно в оркестре) и индивидуальности каждой тональности?


                                                                                                    Я могу понять, если бы речь шла о музыке ХХ века, там на это есть как минимум один утвердительный ответ, но вот применительно к XVIII я что-то не уверен.

                                                                                                      0
                                                                                                      Вот только нужна ли она, ценой потери "хорошего" звучания (особенно в оркестре) и индивидуальности каждой тональности?

                                                                                                      С оркестром-то какие проблемы, учитывая, что почти весь этот оркестр как играл так и продолжает играть либо в свободном строе (смычковые, вокал) либо в относительно-свободном (духовые)? Проблема-то только с пианинками, по сути. Но так и те иногда с розливом настраивают, чтоб больше мяса.
                                                                                                      А еще почти все инструменты на атаках завышают (весьма существенно иногда), так что при быстрой игре атакующими штрихами или с резкой динамикой вообще про строй можно забыть, там выше чем у темперации погрешности.
                                                                                                      Так что для оркестров шо темперировали шо не темперировали — все едино :)

                                                                                                        0
                                                                                                        С оркестром-то какие проблемы

                                                                                                        Ну так ровно те, что не надо придумывать равномерную темперацию, чтобы обеспечить свободу модуляций, если оркестру на нее положить.

                                                                                                          0
                                                                                                          Ну так ровно те, что не надо придумывать равномерную темперацию, чтобы обеспечить свободу модуляций, если оркестру на нее положить.

                                                                                                          Так у оркестра в порядке все. Не в порядке у инструментов с фиксированным строем. Если вы, допустим, на скрипке хотите сыграть один и тот же интервал по-разному — то делаете это не отрывая смычка от струны. Проблемы просто не стоит. А на пианинке у вас только один вариант, в итоге либо вы темперируете, либо ограничиваетесь в музыкальном материале, чтобы, например, на волчью квинту не попасть. + регулярная перенастройка инструмента из тональности в тональность при смене материала. А настраивать пианинку — это тоже не колок подкрутить.
                                                                                                          Обратите внимание, "хорошо темперированный клавир", а не "клавир в хорошо темперированном строе". Инструмент темперированный. Не строй :)


                                                                                                          Ну и если виртуоз какой-то хочет, на самом деле, то может строиться как ему угодно.

                                                                                                          0
                                                                                                          С пианинками сплошные проблемы, по сути ни блюз ни джаз на них не звучит, поэтому и придумали всякие колесики, чтоб совсем из оркестра не выбросили :)
                                                                                                          0
                                                                                                          там на это есть минимум один утвердительный ответ
                                                                                                          А что это за ответ?
                                                                                                            0

                                                                                                            Додекафония, для которой нужны независимые тона.