Если математика может давать нам элегантное объяснение многих физических явлений, то иногда в реальных ситуациях необходимо продираться через заросли численных данных
Со времён Пифагора люди верят в особую способность красивой математики раскрыть перед нами все секреты мира. Мы использовали знаменитую статью Юджина Вигнера "Необоснованная эффективность математики в естественных науках", чтобы обсудить с читателями эту тему и порешать несколько связанных с нею задачек. Задачки должны были продемонстрировать, что, хотя математика действительно очень полезна для создания идеализированных моделей и элегантных объяснений множества физических явлений, в реальных ситуациях иногда бывает необходимо продираться через заросли численных данных.
Сценарий 1: Простота и однородность
А) Объект скользит по однородной поверхности, имея начальную скорость 1. На каждую единицу расстояния его скорость уменьшается на 1/10 от того значения, которое было у него перед началом прохождения этого конкретного отрезка. Какое расстояние сможет преодолеть предмет перед тем, как полностью остановится? Какова общая формула для его вычисления?
Эта задача имеет подвохи. На первый взгляд, она напоминает парадокс Зенона об Ахиллесе и черепахе, который выдаёт бесконечную геометрическую прогрессию 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 +… и для времени, и для расстояния. Хотя эта последовательность и бесконечна, она сходится, и поэтому можно подсчитать её итоговую сумму (в данном случае это 2). Поэтому в данном случае конечное расстояние покрывается за конечное время [с этим можно поспорить: тут речь идёт не о математической модели, а о реальном движении, и поэтому бессмысленно ограничивать анализ парадокса математикой — ведь Зенон как раз и ставит под сомнение применимость к реальному движению идеализированных математических понятий / прим. перев.].
Скрытый текст
Однако в нашей задаче уменьшается только скорость, и к тому же, пропорционально своему значению, на каждый фиксированный пройденный участок расстояния. Это свойство, когда изменение значения переменной (производная) пропорционально ей самой согласно изменениям в независимой переменной, характеризует экспоненциальную кривую. Значение переменной, уменьшающейся экспоненциально, приближается к нулю, но никогда его не достигает. Поэтому на любом отрезке пути, вплоть до бесконечности, наш объект будет иметь конечную скорость, и покрывать этот отрезок за конечное время. Следовательно, судя по идеализированным законам физики, наш объект никогда не остановится. Вот правильная формула расчёта расстояния D от времени T – в неё входят логарифмы, чего и следовало ожидать от экспоненциальной кривой (объяснение формулы):
Получается, что по идеализированным законам движения, объект никогда не остановится – он так и будет вечно двигаться со всё уменьшающейся черепашьей скоростью. Возможно ли такое? Естественно, нет! Именно в таких местах, где, как говорится, резина соприкасается с дорогой, элегантная, абстрактная, непрерывная, гладкая, предсказуемая математика сталкивается с неопрятной, практичной, грубой, хаотичной, непредсказуемой реальностью. Объект остановится потому, что сила трения, уменьшающая его скорость, создаётся миллионами крохотных зазубренных несовершенств двух поверхностей, трущихся друг об друга. Поэтому на мелких масштабах значение этой силы хаотически изменяется, хотя и может иметь постоянное среднее значение. На очень малой скорости какая-то случайная группа несовершенств немногим больших среднего окажется той самой последней соломинкой, которая остановит объект. Как отметил один из читателей: «Поскольку скорость экспоненциально падает, она никогда не упадёт до нуля; однако скорость в итоге станет слишком маленькой для того, чтобы сдвинуть этот объект». Конкретную точку, в которой это произойдёт, на практике предсказать нельзя, хотя процесс и является детерминистским с классической точки зрения. Если, конечно, вы не захотите потратить остаток жизни Вселенной, моделируя взаимодействия малых несовершенств двух поверхностей на компьютере размером с галактику.
Кстати, эта довольно простая ситуация перекликается с той, что возникает на гораздо более важном рубеже современной физики, где гладкая и непрерывная математика общей теории относительности сталкивается с микроскопическими, вероятностными, хаотическими флуктуациями вакуума в квантовой теории поля, в тигле планковских размеров, создающем пространство и время. Воздадим хвалу смелым теоретикам, желающим попытаться согласовать два этих мира.
Получается, что по идеализированным законам движения, объект никогда не остановится – он так и будет вечно двигаться со всё уменьшающейся черепашьей скоростью. Возможно ли такое? Естественно, нет! Именно в таких местах, где, как говорится, резина соприкасается с дорогой, элегантная, абстрактная, непрерывная, гладкая, предсказуемая математика сталкивается с неопрятной, практичной, грубой, хаотичной, непредсказуемой реальностью. Объект остановится потому, что сила трения, уменьшающая его скорость, создаётся миллионами крохотных зазубренных несовершенств двух поверхностей, трущихся друг об друга. Поэтому на мелких масштабах значение этой силы хаотически изменяется, хотя и может иметь постоянное среднее значение. На очень малой скорости какая-то случайная группа несовершенств немногим больших среднего окажется той самой последней соломинкой, которая остановит объект. Как отметил один из читателей: «Поскольку скорость экспоненциально падает, она никогда не упадёт до нуля; однако скорость в итоге станет слишком маленькой для того, чтобы сдвинуть этот объект». Конкретную точку, в которой это произойдёт, на практике предсказать нельзя, хотя процесс и является детерминистским с классической точки зрения. Если, конечно, вы не захотите потратить остаток жизни Вселенной, моделируя взаимодействия малых несовершенств двух поверхностей на компьютере размером с галактику.
Кстати, эта довольно простая ситуация перекликается с той, что возникает на гораздо более важном рубеже современной физики, где гладкая и непрерывная математика общей теории относительности сталкивается с микроскопическими, вероятностными, хаотическими флуктуациями вакуума в квантовой теории поля, в тигле планковских размеров, создающем пространство и время. Воздадим хвалу смелым теоретикам, желающим попытаться согласовать два этих мира.
Б) Машина может двигаться как вперёд, так и вбок, с одинаковой лёгкостью. Её нормальная крейсерская скорость в любом направлении составляет 1 единицу на гладкой поверхности. На рисунке показано, что ей нужно преодолеть 10 полосок местности, каждая из которых имеет длину в 10 единиц и ширину в 1 единицу. Длина полосок перпендикулярна направлению, в котором нужно двигаться машине. Машина расположена в середине первой полоски, являющейся гладкой (гладкие полоски обозначены серым). После этого неровные (пурпурные) и гладкие полоски чередуются.
Однако неровности на неровных полосках не одинаковые. Каждая полоска состоит из 10 квадратных участков, которые мы можем представлять себе в виде искусственных дорожных неровностей. Неровности стоят рядом друг с другом, размер каждой из них составляет 1х1. Их свойства варьируются. Неровности могут замедлять крейсерскую скорость машины на величину от 50% до 95%, и эта величина изменяется шагами по 5%. Каждая из неровных полосок составлена из неровностей всех 10 типов, идущих в случайном порядке (на первой пурпурной полоске показан один из возможных вариантов распределения неровностей). Машина умеет считывать неровность участка, расположенного прямо перед ней (но только одного), и может сдвинуться вбок со своей крейсерской скоростью, равной 1, чтобы, по желанию, переехать другую неровность, которая замедлит её не так сильно. На это, естественно, уйдёт время, и если она сдвинется вбок на несколько квадратиков, времени потратится больше. После преодоления каждой пурпурной полоски крейсерская скорость увеличивается обратно до 1. Какую стратегию стоит принять машине для наиболее быстрого преодоления всей территории? Сколько времени это займёт?
Скрытый текст
Можно перечислить количество времени, требуемого для пересечения каждого из типов неровностей в одной полоске. Эти времена, отсортированные по увеличению, будут следующими: 2, 2.22, 2.5, 2.86, 3.33, 4, 5, 6.67, 10 и 20 единиц. На перемещение вбок всегда тратится 1 единица времени. Видно, что разница во времени преодоления неровностей в 85% и той, что стоит перед ней, превышает 1; то же верно для неровностей 90% и 95%. Поэтому легко предположить, что стоит сдвигаться вбок, когда вы встречаете одну из трёх этих неровностей. Неровность 80% находится на границе – её переезд занимает ровно на 1 единицу времени больше, чем неровности 75%. Однако в оптимистичном подходе можно сдвинуться вбок, и с большой вероятностью наткнуться на участки, пересечь которые можно быстрее. С другой стороны, вам может не повезти, и вы встретите идущие друг за другом три самых медленных участка, хотя вероятность такого исхода и мала. Поскольку в каждой полоске есть 10 участков, то с левой или с правой стороны от машины, в каком бы месте полоски она не появилась, всегда найдётся не менее пяти участков с неровностями. При движении вбок следует всегда выбирать то направление, в котором есть не менее пяти этих участков. Поэтому даже в худшем случае вы гарантированно найдёте более быстрый участок, пытаясь избежать участка 80%, и преодолеете полоску за разумное время. В большинстве случаев вы преодолеете её быстрее.
Так что же лучше – избегать участков 85% и преодолевать 80%, или же избегать 80%, или пытаться избегать даже участков 75%? К сожалению, этого просто так не подсчитаешь. Придётся подсчитать вероятности и время прохода всех 30 возможных случаев, чтобы получить среднее время каждой стратегии. Если проделать это, то выигрышной стратегией окажется следующая: избегать 80%, но пересекать 75% и менее. Среднее время пересечения одной полоски с неровностями в такой стратегии составит 3,39 единиц времени, а всего участка – 21,95.
Изначальная формулировка этой задачи требует элегантного математического мышления, однако потом не остаётся другого выхода, как заняться вычислениями.
Так что же лучше – избегать участков 85% и преодолевать 80%, или же избегать 80%, или пытаться избегать даже участков 75%? К сожалению, этого просто так не подсчитаешь. Придётся подсчитать вероятности и время прохода всех 30 возможных случаев, чтобы получить среднее время каждой стратегии. Если проделать это, то выигрышной стратегией окажется следующая: избегать 80%, но пересекать 75% и менее. Среднее время пересечения одной полоски с неровностями в такой стратегии составит 3,39 единиц времени, а всего участка – 21,95.
Изначальная формулировка этой задачи требует элегантного математического мышления, однако потом не остаётся другого выхода, как заняться вычислениями.
Сценарий 2: Суммирование и симметрия
Рассмотрим гипотетический твёрдый объект, имеющий форму прямоугольного треугольника, со всей его массой, сконцентрированной в вершинах. Для простоты представим, что этот объект двумерный – не имеет толщины. Каждая вершина является точкой с массой в 1 единицу, и общая масса объекта равна 3 единицы. Основание треугольника имеет длину 4 единицы, вертикальный катет – 3 единицы, и гипотенуза – 5 единиц. Представим, что рядом находится такой же треугольник, ориентированный точно так же, причём медианы обоих треугольников (отрезок, соединяющий середину гипотенузы с противоположной вершиной) лежат на одной прямой, а вершины прямых углов расположены на расстоянии в 4 единицы. Каково будет действующее на них притяжение? Работает ли закон гравитационного притяжения, если применить его к двум треугольникам как к отдельным объектам? Что, если бы треугольники были расположены на расстоянии в 8 единиц длины друг от друга, и ориентированы так же? В такой ситуации справляется ли формула для гравитационного притяжения лучше?
Скрытый текст
Для решения этой задачи требуется подсчитать все девять гравитационных взаимодействий между тремя массами одного треугольника и тремя массами другого, и сложить вектора, чтобы получить результат. Затем нужно сравнить его с гравитационным притяжением, которое работало бы, если бы масса в 3 единицы каждого треугольника располагалась бы в его центре масс, а центры масс располагались бы на расстоянии в 4 единицы друг от друга. Для сложения векторов можно воспользоваться одним из многих имеющихся в онлайне калькуляторов, или использовать математическую программу типа Maple, как сделал один из читателей, дав правильное решение задачи. Стандартная формула Ньютона даёт силу гравитационного притяжения, равную 68,3% от реальной силы, получаемой при сложении девяти векторов притяжения. Если удвоить расстояние до 8 единиц, сила возрастёт до 94,3%. Поэтому упрощённая формула Ньютона для центра масс быстро становится довольно точной [с ростом расстояния].
Конечно, как правильно пояснил один из читателей, на близких расстояниях на треугольники будут действовать приливные и закручивающие силы, и их движение будет сложным и нестабильным.
Конечно, как правильно пояснил один из читателей, на близких расстояниях на треугольники будут действовать приливные и закручивающие силы, и их движение будет сложным и нестабильным.
Так требует ли закон природы элегантной математики? И что делает элегантную математику такой способной и применимой в широком спектре задач?
Один читатель перечислил среди преимуществ математики абстрактность, встроенные проверки на непротиворечивость, непрерывность, работу с бесконечностями, обратную связь с физикой и симметрию. Другой привёл следующую историю из жизни:
Несколько недель назад я беседовал с Доном Линкольном, физиком из Фермилаб. Я спросил у него: «Почему математика так хорошо описывает Вселенную?» Он ответил, что математические системы можно формулировать бесконечным числом способов, поэтому для любой вселенной, имеющей причинно-следственные связи, всегда получится найти математическую платформу, описывающую её физику.
Другие читатели описали похожие наблюдения. Мне кажется, что математика сама по себе – это огромный набор закономерностей и техник, которые, благодаря своей абстрактности, могут найти применение во многих не связанных между собой областях, имеющих сходную структуру и динамику, или обоюдное взаимодействие другого рода. Также нам повезло жить в такой вселенной, в которой элегантная математика оказывается полезной. Как заметил один из читателей: «Математика и законы Ньютона были бы довольно непрактичными, если бы мы жили во вселенной с энтропией, близкой к максимуму».
Но насколько полно элегантная математика может описывать природу? Процитирую комментарий одного из читателей полностью:
Не нужно углубляться в биологию, чтобы обнаружить, что многие математические представления становятся недостаточно полными: химия, материаловедение, физика конденсированных сред. К примеру, молекулу воды нельзя описать аналитически при помощи инструментов квантовой механики по той же причине, по которой в небесной механике нам недоступна задача трёх тел. Целые области науки, такие, как термодинамика и статистическая механика, существуют потому, что некоторые физические системы, например, кубик льда в воде, слишком сложны для того, чтобы описать математически каждую молекулу воды во льду и в ёмкости, не говоря уже о конденсатах Бозе-Эйнштейна или сверхтекучести. Закон Ома – электромагнитная версия грубой статистической суммы, а закон Гука и тензоры напряжённости – это эластическая версия грубой статистической суммы, и оба они отказываются работать в определённое время или после определённого предела из-за зависимости электрического тока от температуры и материала, и эффектов необратимой деформации в физических телах под большой нагрузкой.
Причина простоты большей части математики, используемой в физике, состоит в том, что это грубая статистическая сумма или серьёзное упрощение физических явлений.
Почему нам так нравится элегантная математика?
Один из читателей озаглавил свой комментарий «элегантность – это наименьшие энергетические затраты мозга» и написал:
Ощущение «эврика!», сведение высокой сложности к простому принципу организации нейронов, или к «математическому закону» во многих задачах является примером упрощения, дающим то эйфорическое чувство экономии энергии. Этот принцип, возможно, связан с принципом KISS (Keep It Simple, Stupid), как и с высказыванием Эйнштейна: «Всё нужно сводить к наипростейшей форме из возможных, однако дальше уже упрощать не стоит».
Осознание нашим мозгом того, что в природе есть множество связанных друг с другом явлений, порождает такую симметрию, которую самоорганизация наших нейронов воспринимает, как способ хранения информации с минимальными затратами энергии.
Как я писал в свой статье на эту тему, бритва Оккама и приятное ощущение в момент «эврика!» жёстко прописаны в нашем мозгу и являются проявлениями уникальной когнитивно-эмоциональной связи, которая и делает нас разумными. Я предполагаю, что каждый раз, когда у нас в голове уменьшается та величина, которую я называю «психической энтропией», мы получаем награду. Эта психическая энтропия – не просто компактность, но и организация невидимых до этого момента связей, и ощущение, что всё складывается в единое целое. Эволюция сделала нас разумными, обеспечив небольшие внутренние вознаграждения после решения каждой загадки – очень эффективная стратегия.
Так прав ли Вигнер?
И да, и нет. Он был прав, что в математических описаниях некоторых физических задач встречаются абстрактные закономерности и симметрии, и тогда математика показывает всю свою мощь. Однако есть такие области, и в физике, и в других сложных науках, когда это не работает. Возможно, Вигнер был немного мистиком, или «патриотом математики», и несколько преувеличил проблему в своём эссе.
