Внешняя алгебра, которую мы заслужили. Часть 1 — симплексы и границы

  • Tutorial

Мотивация

Это рассказ о том, что такое внешняя алгебра, из чего она состоит. Удивительно, но на Хабре почти нет статей о внешней алгебре при том, что ее прикладная ценность ничуть не меньше, например, реляционной алгебры. Внешняя алгебра - это смесь теории множеств, алгебры и комбинаторики. Она является основой для понимания пространств, поэтому в той или иной степени присутствует почти во всех разделах математики. При том, что ее постулаты исключительно просты.

Наше изложение отличается от традиционного, - ориентируемся не столько на точность формулировок, сколько на передачу сути. Осознанно используем отличные от общепринятых обозначения для упрощения формулировок. Это статья для того, чтобы ухватить основную суть. Тогда дальше будет проще.

В первой части определим пространство на основе правил внешнего произведения и сложения объектов. Во второй добавим пространству метрические свойства. В целом пройдем путь от внешнего произведения до представления произвольных графов в виде алгебраического выражения. По дороге познакомимся с основными идеями и инструментами внешней алгебры.

Внешнее произведение

Суть внешней алгебры в том, что объекты можно умножать. Если вас это не впечатлило, то еще раз - умножать можно любые объекты, а не только числа. Можно умножать людей, города, компьютеры, бухгалтерские счета и все остальное, что подходит под понятие объекта. Такое произведение объектов называется "внешним умножением". Это исторически сложившийся термин для того, чтобы отличать внешнее произведение от внутреннего, которым обычно обозначают скалярное произведение.

Обычно внешнее произведение математики обозначают клином (wedge)\wedge. Но этот знак неудобен. Во-первых, его нет на клавиатуре. Во-вторых, никакого другого умножения, кроме внешнего, для произвольных объектов не существует. Поэтому будем обозначать внешнее произведение звездочкой. Вот оно, умножение элементаa на элементb: a*b .

Выглядит знакомо, да? Но в отличие от привычного произведения чисел внешнее произведение антикоммутативно - проще говоря, меняет знак при перестановке множителей. Вот так:

a*b=-b*a

Это важное свойство, которое является ключевым для внешней алгебры. Из него в частности следует, что внешнее произведение элемента на самого себя может быть только нулем - объектом без знака: a*a = 0.

Какой смысл несет в себе "внешнее произведение". По простому - это ничто иное, как объединение объектов в список. Поэтому, когда элементов много, то их удобно обозначить списком. Такой упорядоченный список выделим квадратными скобками:a*b*c*d = [abcd]. При этом надо помнить про наличие знака у списка - при перестановке соседних элементов знак списка меняется на противоположный: [abcd] = -[acbd]. Ну и как следствие - в таком списке не может быть одинаковых элементов.

Список с такими свойствами будем называть симплексом. Симплекс из двух элементов - отрезок, из трех - треугольник, и т. д. (Только надо иметь ввиду, что это топологические отрезки и треугольники. У них нет длин, углов и прочих метрических параметров.). Количество элементов симплекса задает его порядок (грейд). Математики чаще используют понятие мерности. Размерность симплекса на 1 меньше его порядка. То есть отрезок является одномерным.

Симплексы можно умножать друг на друга - это будет эквивалентно объединению двух списков: [ab]*[cd] =[abcd]. Но при наличии в множителях одинаковых элементов результатом объединения будет пустой список - нуль: [ab]*[ac]=0.

Ну и еще одно полезное правило. При перестановке перемножаемых симплексов местами знак меняется на противоположный, если произведение порядков симплексов нечетное:

S_s * P_p = (-1)^{sp} P_p*S_s

Здесь нижние индексы обозначают порядок симплексов.

Обратные элементы

В нашей алгебре не обойтись без понятия единицы. Единица - это такой элемент, при умножении на который с любой стороны симплекс остается без изменений: 1*[ab]=[ab]*1=[ab]. В свою очередь наличие единицы позволяет расширить множество элементов, введя понятие обратных. Кратко обратные элементы именуют коэлементами. При умножении на обратный элемент обращается в единицу. Поскольку у нас не обычное умножение, а внешнее, то важно относительное положение множителей - при перемене мест элемента и обратного ему единица становится отрицательной. Для удобства (связанного с понятием граничного оператора) постулируем, что если обратный элемент расположен слева, то результатом произведения будет 1, а если справа, то -1. Это выглядит поначалу немного непривычно, но в целом окупается:

/a*a=1, \quad a*/a =a/a = -1

Здесь перед коэлементами стоит префикс в виде косой черты /. Если обратный элемент умножается на другой элемент, то результатом будет пустой симплекс - ноль: /a*b=0.

Коэлемент можно трактовать как отсутствие элемента. Это дырка в множестве. Но интересно, что с коэлементами можно обращаться так же как с обычными. Произведение коэлементов образует обратный симплекс (косимплекс). Для заданного симплекса можно определить обратный. Постулируем, что при умножении обратного слева на исходный должны получить 1 независимо от порядка симплекса: /S*S=1. Отсюда следует правило расположения элементов в обратном симплексе - в нем порядок элементов меняется на обратный. Таким образом еслиS = [abcd], то/S = /[abcd] = [/d/c/b/a].

Если симплекс умножить на обратный справа, то результат зависит от четности порядка симплекса:

S_p/S^p=(-1)^p

Если симплекс умножается на косимплекс, то взаимно обратные элементы должны сокращаться. Для того, чтобы правильно учесть знак необходимо элемент и обратный ему поставить рядом и выполнить сокращение с учетом их положения. Например: [ab]*[/a] = [ab/a] = -[a/ab]=b.

Если перемножаемые симплекс и косимплекс содержат элементы, которых нет в другом, то результатом произведения будет ноль: [abc]*[/a/b/d] = [abc/a/b/d] = -[c/d] = 0.

Отметим, что симплекса, образованного одновременно обычными и обратными элементами - не существует. Симплексы однородны по составу - либо симплекс полностью состоит из обычных элементов, либо из обратных. Данное свойство вытекает из правил перемножения симплексов. В этом смысле множества обычных элементов и коэлементов принадлежат разным пространствам.

Линейные комбинации и цепи

Элементы и симплексы можно не только умножать, но и складывать, образуя линейные комбинации. Перед каждым симплексом в комбинации может быть скалярный множитель (число). Пример линейной комбинации симплексов 2-го порядка:

B=[ab]-[ac]+[bc].

Линейные комбинации тоже можно интерпретировать как список элементов (слагаемых). Однако в отличие от симплекса в линейных комбинациях допускается наличие произвольного количества одинаковых элементов. Коэффициенты линейной комбинации отражают кратность элементов списка, при этом допускаются и отрицательные кратности. Правила раскрытия двух видов списков отражаются законом дистрибутивности:

a*(b+c)=a*b+a*c

Но надо помнить, что умножение здесь внешнее (антикоммутативное). Поэтому некоторые привычные формулы выглядят иначе. Например, внезапно(a + b)*(a-b) =2 b*a.

Линейную комбинацию симплексов одного порядка в топологии называют также цепью. Как правило, коэффициенты слагаемых цепи целочисленные. Поэтому в общем случае цепи являются подмножеством произвольных линейных комбинаций симплексов. Порядок цепи совпадает с порядком симплексов, из которых она состоит.

Линейную комбинацию можно рассматривать как разложение некоего объекта того же порядка по базисным. Например, если у нас есть два объектаaиb, то можно определить объектx как их линейную комбинацию:

x=x_a a + x_b b

Полученный объект является зависимым, или производным. Отметим, что умножение производного объекта на симплекс его базиса, дает ноль:[ab]*x=0. То есть зависимые объекты не создают нового пространства. Ну или по другому - размерность пространства определяется количеством независимых элементов.

Коэффициенты разложения элемента по базисным могут быть определены через умножение на коэлементы базиса:

x_a = /a*x, x_b = /b*x

Получается, что внешнее произведение элементов и коэлементов является скалярным (в том смысле, что результат является скаляром). Но между самими элементами скалярное произведение не определено.

Аннулятор и граница

Мы определили симплексы как произведение элементов, определили обратные элементы и обратные симплексы, ввели понятие линейной комбинации симплексов. Пора разобраться с понятием вектор. Часто вектор появляется в учебниках как "черт из табакерки" - то есть явочным порядком. Но постулируя вектор как независимое понятие, мы препятствуем осмыслению его обобщения, создаем искусственный барьер в понимании "реальной картины мира". В нашей алгебре первично понятие объекта (элемента). Вектор - производное понятие, и сейчас мы его "произведем".

Вначале нам понадобится еще одно фундаментальное понятие, которое имеет разные названия, в зависимости от контекста в котором употребляется. Здесь для него используем абстрактный термин - аннулятор, хотя пока и непонятно, чего он там обнуляет. Пусть имеется некое конечное множество элементов, например, a, b, c, d. Тогда аннулятором для данного множества является сумма обратных элементов данного множества:

/z_{abcd} = /a+/b+/c+/d

Согласно определению аннулятор принадлежит копространству (пространству обратных элементов), поэтому для его обозначения используем косую черту. Поскольку у каждого симплекса есть множество образующих его элементов, то любому симплексу можно сопоставить аннулятор. При этом от знака симплекса аннулятор не зависит.

Аннулятор позволяет определить граничный оператор над симплексом как внешнее умножение аннулятора на симплекс. Результатом действия является граница. Вот она, граница симплекса[abcd]:

B[abcd] = /z_{abcd}*[abcd] = [bcd] - [acd] + [abd] - [abc]

Границы настолько важны, что не пожалеем для их обозначения отдельных скобок:

(abcd) == B[abcd]

Аннулятор множества является также аннулятором всех его подмножеств. Поэтому граница симплекса может быть образована умножением не только на его аннулятор, но и на любой аннулятор надмножества. Пример:

(abc)= /z_{abc}*[abc] == /z_{abcd}*[abc]

Граница (симплекса) есть цепь - линейная комбинация симплексов. Порядок границы на 1 меньше порядка образующего ее симплекса. В частности, вектор - это граница 1-порядка, образованная отрезком (симплексом 2-го порядка):

(ab) = /z_{ab}*[ab] = b - a

Вектор 2-го порядка называют бивектором, 3-го - тривектором и т.д. Граница произвольного порядка может быть названа мульти- или поливектором.

Действие граничного оператора может быть отменено. Существует элемент, умножая на который границу симплекса, можно восстановить исходный симплекс. Данный элемент называется центроидом множества (или барицентром). Центроид - это среднее суммы элементов:

g_{abcd} = (a+b+c+d)/4

Здесь круглые скобки - это не обозначение границы, а группировка элементов (обычно смысл скобок понятен из контекста). Проверим действие центроида:

g_{abcd}*(abcd) = (a+b+c+d)*([bcd] - [acd] + [abd] - [abc])/4 = [abcd]

Умножение границы на центроид собирает несколько слагаемых в одно.

Основное свойство границ

Границы - это не просто цепи, фактически границы представляют собой новый тип данных со своими особыми свойствами. Главное из них - двойная граница равна нулю.

В традиционных учебниках граничный оператор вводят явочным порядком, и в этом случае приходится доказывать тот факт, что двойной граничный оператор дает ноль. Но в нашем изложении это очевидно ввиду того, что граничный оператор определен как умножение на аннулятор. Повторное умножение на тот же элемент дает ноль в соответствии со свойствами внешнего произведения.

/z_{abcd} * (abcd) = /z_{abcd} * /z_{abcd} * [abcd] = 0

Данная формула раскрывает смысл термина "аннулятор" - при действии на границу аннулятор ее обнуляет. Раскрывая границу как линейную комбинацию симплексов и умножая каждый симплекс на аннулятор, получаем тождества границ:

/z_{abcd} * (abcd) = /z_{abcd} * ([bcd] - [acd] + [abd] - [abc]) = (bcd) - (acd) + (abd) - (abc) = 0

Тождества границ играют ключевую роль в различных доказательствах и выводах, касающихся свойств границ. Например, из них вытекает полезные выражения исключения вершиныxиз линейной комбинации границ:

(ab) = (ax)-(bx),\\ (abc) = (abx)-(acx)+(bcx),\\ (abcd) = (abcx) - (abdx)+(acdx)-(bcdx).

Общий элементxв правой части тождеств можно также интерпретировать как центр координат. На этом свойстве основано определение векторного пространства с общим центром, который всегда можно исключить. при выражении других границ пространства.

Становится понятно также, что двум различным цепям может соответствовать одна и та же граница при условии, что разность данных цепей является границей. Соответственно и восстановление цепи по границе (умножением на центроид) выполняется с точностью до произвольной границы.

Произведение границ

Обратимся к произведению границ. Произведение двух границ тоже является границей, но есть нюансы. Если перемножаемые границы имеют более одного общего элемента, то их произведение равно нулю. Это следствие свойств внешнего произведения. Пример:

(abc)(abd)=([bc]-[ac]+[ab])*([bd]-[ad]+[ab]) = -[bcad]-[acbd] = [acbd]-[acbd] = 0

Если границы имеют один общий элемент, то при умножении они сливаются в одну (компоненту) - это правило слияния границ. Пример слияния двух векторов в 2-границу (бивектор):

(ab)(bc) = (b - a)*(c - b) = b*c - a*c + a*b = (abc)

Если же перемножаемые границы не имеют общих элементов, то границы не сливаются. Получаем границу, состоящую из нескольких компонент связности. Пример такой границы, содержащей 4 элемента:(ab)(cd). Поскольку под поливектором обычно понимают границу с одной компонентой связности, то строго говоря границы и поливекторы - это не одно и то же. Под поливектором будем понимать всегда границу из одной компоненты.

Итак, порядок границы p(B)   зависит не только от количества образующих ее элементов n   , но и от количества ее компонент m. Порядок границы (ab)(cd)  равен 2, несмотря на то, что она содержит 4 элемента. Для получения порядка границы надо из количества элементов вычесть количество компонент: p(B) = n(B) - m(B)   .

Кроме того, одна и та же граница может быть образована произведением разных границ меньшего порядка. Например, граница (abc)может быть образована тремя разными парами векторов: (abc) == (ab)(bc)==(ab)(ac)==(ac)(bc). То есть произведение границ с общим элементом уничтожает информацию о том, какие именно границы умножались - границы сливаются в одну.

Для тех, кому интересны подробности, откуда все это следует

укажем, что в основе доказательства свойств произведения границ лежит правило Лейбница (цепочки), которое применительно к оператору границы можно записать в следующем виде:

\partial (X^p*Y) = \partial(X)*Y+(-1)^p X*\partial(Y)

Здесь граничный оператор (умножение на аннулятор слева /z*обозначен как частная производная\partial - это общепринятое обозначение. Используя данное тождество, можно показать, что\partial[Xv]*\partial[vY] = \partial[XvY]. Проще всего это сделать раскрытием левой и правой частей по правилу Лейбница.

Немного линейной алгебры...

Пространство элементов, с которым мы тут возимся, принято называть аффинным. Это пространство, в котором есть элементы и их линейные комбинации, но нет метрики.

Насчет метрики следует уточнить. В нашем пространстве не определено скалярное произведение между элементами (и между границами тоже). Поэтому нет возможности определить, например, угол между векторами или сравнить длину (норму) двух произвольных векторов. Но. Из этого не следует, что в аффинном пространстве вообще невозможно ничего сравнивать. Мы вполне можем сравнить длину двух векторов, если они лежат на одной прямой. Мы можем сравнить площади двух бивекторов, если они лежат в одной плоскости и т.д. То есть полноценной метрики в аффинном пространстве нет, но есть полуметрика, которой вполне можно пользоваться. Полуметрика является следствием наличия скалярного произведения между элементами и коэлементами. То есть линейного разложения элементов через другие, базисные.

Рассмотрим пространство, образованное тремя элементами, среди которых выделим центр - общий элементO. Границей пространства будет бивектор базиса(Oxy). Пусть теперь в данном пространстве есть три элементаa,b,cс известными координатами относительно базисных элементов. Задача состоит в том, чтобы выразить бивектор(abc)через базисный.

Вначале выпишем координаты элементов. Учтем, что сумма коэффициентов разложения элемента по базисным должна быть равна единице - это следствие того, что граница любого элемента пространства должна быть равна 1: z*a=1. Такие координаты называются барицентрическими. Тогда для базиса из 3-х элементов две координаты являются независимыми, а третья - выражается через них:

a = a_x x  + a_y y + (1 - a_x - a_y) \ O = O + a_x (Ox) + a_y (Oy)

Данная формула может быть представлена как координаты вектора (Oa) = a - O:

(Oa) = a_x (Ox) + a_y (Oy)

Аналогичным образом можно найти координаты векторов(Ob)и(Oc). Перемножая векторы, можно выразить координаты бивекторов через базисный бивектор:

(Oab)=(Oa)*(Ob)=(a_x b_y - a_y b_x) (Oxy)

Для нахождения искомого бивектора(abc)воспользуемся тождеством границ из предыдущего раздела: (abc) = (Oab) - (Oac) + (Obc). Подставляя в него координаты бивекторов, получаем итоговый ответ:

(abc) = abc_{xy} (Oxy) = ((a_x b_y - a_y b_x) - (a_x c_y - a_y c_x) + (b_x c_y - b_y c_x)) (Oxy)

Значение скалярного коэффициента abc_{xy}здесь как раз и будет отношением площадей искомого и базового бивекторов. Отметим, что коэффициент может быть и отрицательным, поскольку у бивекторов есть ориентация.

Аффинные координаты и площади
Аффинные координаты и площади

Коэффициент может быть также выражен как детерминант матрицы: abc_{xy} = det(ABC). Значения матрицы координатABCравны произведению элементов и базисных коэлементов (за исключением центра координат):

ABC=(a,b,c)*(/z,/x,/y) =\matrix{1 && 1 && 1 \\ a_x && b_x && c_x \\ a_y && b_y && c_y}

Для вычисления относительного объема в матрицу добавляется дополнительная строка и колонка, соответствующие новому измерению.

Умение различать ситуации, где пространство является аффинным, является полезным навыком при анализе данных. Пусть, например, задано множество людей, для которых известны рост и вес. Данные свойства образуют два вектора аффинного пространства. Как показано выше, в таком пространстве можно сравнивать людей отдельно по росту или весу, но нет возможности оценить близость людей одновременно по "росто-весу", поскольку нет связи между данными свойствами, нет метрики. Но ничто не мешает сравнивать по "росто-весу" тройки людей. Координаты этих троек (вычисленные указанным выше способом) пропорциональны их относительной площади и не зависят от скалярного произведения свойств (угла между базисными векторами).

... и топологии

Про топологию говорят, что это геометрия без измерений. В том смысле, что конкретные координаты элементов топологам неинтересны. Поэтому коэффициенты топологических цепей всегда равны +-1. Алгебраические выражения границ симплекса можно интерпретировать топологически. В качестве примера приведем разрезание (топологического) квадрата с вершинами a, b, c, dна два треугольника. Треугольники в данном случае должны быть ориентированы, то есть иметь знак. Тогда квадрат можно представить как сумму (склейку) треугольников:Square = [abc]+[acd]. Применив к данной цепи граничный оператор, получим цепь из 4-х 2-симплексов - это граница квадрата:

/z*Square = (abc)+(acd)=[ab]+[bc]+[cd]+[da]

Склейка симплексов
Склейка симплексов

При сложении 2-границ общая сторона треугольников сократилась. В общем случае, можно продолжать склейку треугольников, получая произвольные топологические многогранники. Кажется, что можно любую поверхность представить как сумму треугольников, но на самом деле нет. При покрытии треугольниками поверхности ленты Мёбиуса не удается сократить внутренние границы!

Мы определили границу симплексаBкак результат действия граничного оператора (умножение аннулятора) на некий симплекс. Повторное взятие границы, как уже отмечалось дает ноль:

/z*B = 0

Но вообще говоря, возможны и другие цепи (линейные комбинации симплексов), граница которых нулевая. Цепи с нулевой границей называют цикламиC. Инвариант циклов:

/z*C=0

Циклы - это более общее подмножество цепей, чем границы. В общем случае существуют циклы, которые не являются границами какого-либо симплекса. Их называют гомологиями:

H=C/B

Говоря про циклы, снова оговоримся - это топологические циклы. Так же как в топологическом треугольнике нет величины сторон и углов, так и в топологическом цикле нет величины связи между элементами цикла.

Топология - огромный раздел современной математики. Тут мы лишь показали, как порождаются и связываются направления математики через одну простую операцию - внешнее умножение.

Коцепи и дуальность

Для заданного конечного множества независимых элементов существует симплекс предельного порядка, определяемый как произведение всех элементов. Граница данного симплекса называется предельной границей пространства - она имеет максимальный порядок из всех возможных границ на данном множестве. Предельная граница для множества 4-х элементов a, b, c, d : I_3=(abcd) .

Предельная граница множества всегда связна (имеет только одну компоненту). Умножение предельной границы на коэлементы понижает ее порядок, но оставляет границу связной: (abcd) /a = (bcd). Умножение предельной границы на сумму коэлементов порождает границы, состоящие из компонент. Например,

(/a+/b)(abcd)==(abcd)(/c+/d) = (acd)-(bcd) = (ab)(cd)

Здесь мы видим коцепи 1-го порядка - это линейные комбинации коэлементов. Встречаются также коцепи более высокого порядка. Например, граница из трех компонент может быть получена умножением предельной границы на аннуляторы двух произвольных компонент:

(ab)(ij)(xy) = -(/a+/b)(/x+/y)I_5=(/i+/j)(/x+/y)I_5=(/a+/b)(/i+/j)I_5

ЗдесьI_5 = (abijxy)- предельная граница 6 элементов. Коцепь 2-го порядка:

(/a+/b)(/i+/j) == /a/i+/a/j+/b/i+/b/j

Видим, что разным коцепям может соответствовать одна и та же граница. Из данных соотношений следует, что границуBна конечном множестве элементов можно задать через коцепь/B. Умножая коцепь на предельную границу, переходим из копространства в обычное:

B = /B*I

Преобразование коцепей в границы называется дуальным преобразованием.

Дуальное преобразование и звездочка Ходжа - это не одно и тоже!

Для тех, кто вообще в курсе про оператор Ходжа. Оператор Ходжа преобразует одни (поли)векторы пространства в другие векторы того же пространства. Дуальное преобразование преобразует коцепи в границы.

Чтобы определить в пространстве оператор Ходжа, надо договориться об общем элементе всех границ. То есть задать начало координат. Такое возможно, поскольку произвольная граница всегда может быть выражена через линейную комбинацию границ с общим элементом (см. граничные тождества). В этом случае становится однозначным дополнение поливектора до предельной границы пространства, которое и называется звездочкой Ходжа.

Можно определить и обратное дуальное преобразование - от границ (цепей) к коцепям. Пусть дана некая граница (в общем случае произвольная цепь)B. Надо построить дуальную ей коцепь/B для заданного пространства (симплекса) с предельной границей I.

Алгоритм построения может быть таким. Для цепи определяем центроид g(средняя сумма элементов, образующих цепь). "Интегрируем" цепь умножением слева на центроид. Переводим полученный "интеграл" из пространства в копространство умножением на косимплекс пространства/S. Косимплекс пространства однозначно определяется предельной границейI. Полученная коцепь и будет искомой:

/B = /S*(g*B)

В данной формуле круглые скобки обозначают порядок операций.

На этом завершаем. Надеюсь, что общее представление о том, что такое внешняя алгебра, читатели получили. Самое странное, что все эти "игры с абстрактными символами" отражают свойства вполне реального окружающего мира. В следующей статье рассмотрим пространства со скалярным произведением между элементами.

Комментарии 48

    +2

    Написано что-то сложное и красивое, но вот одна деталь всё портит. Внешнее произведение-то получилось не только антикоммутативным, но и неассоциативным, а далее по тексту я вижу слишком мало скобок...


    По поводу отсутствия ассоциативности:


    (a * /a) * b = 1 * b = b
    a * (/a * b) = a * 0 = 0
      –1
      en.wikipedia.org/wiki/Exterior_algebra
      > unlike the cross product, the exterior product is associative.
        0

        Сказать-то можно что угодно, но что делать с контрпримером выше?

          +1

          Окей, ладно, вы правы. Внешнее произведение в данном случае и правда неассоциативно, а в статье в википедии рассматривается алгебра без обратных элементов.

            0
            А с чего это /a * b должно быть 0?
              +2

              Цитата из поста:


              Если обратный элемент умножается на другой элемент, то результатом будет пустой симплекс — ноль: /a*b=0.

              Ну и дальше этим свойством автор активно пользуется в формулах, так что это явно не случайная ошибка.

          +1
          С ассоциативностью интересно. Произведение однородных элементов ассоциативно. А элементов на коэлементы — нет. Можно сказать, что произведение симплекса и косимплекса — это строго бинарная операция.
            0

            Вот только дальше по тексту эта ассоциативность используется…

              0
              Вроде бы нет. Или ткните меня в это место.
                +1
                Например: [ab]*[/a] = [ab/a] = -[a/ab]=b
                  0
                  Спасибо, я понял, о чем вы. Все-таки в данном примере речь скорее о правиле свертки (схлопывания) симплекса, содержащего разнородные элементы. Внутри такого симплекса следует сначала сократить дуальные пары. Если после такого сокращения остаются разнородные элементы, то симплекс обращается в нуль. Тут все однозначно.

                  Но возможно, что природа все-таки допускает одновременное умножение нескольких симплексов разных пространств без указания порядка. И тогда мы сталкиваемся с различными результатами при одних и тех же начальных условиях. То, что называется вероятностным исходом. Но это так, к слову.
          +2
          замечательная статья! Но очень хочется ссылок на литературу…
            +1
            Я первым делом заглянул в Википедию, там есть небольшой список литературы.
            ru.wikipedia.org/wiki/%D0%92%D0%BD%D0%B5%D1%88%D0%BD%D1%8F%D1%8F_%D0%B0%D0%BB%D0%B3%D0%B5%D0%B1%D1%80%D0%B0
            en.wikipedia.org/wiki/Exterior_algebra
            Английская статья — значительно более обстоятельная.

            У меня есть математическое образование — просмотр статей в Википедии расставил вещи более по местам в моей голове (после состояния лёгкого сумбура, вызванного чтением заметки). Вроде бы вектроное произведение векторов входит в школьный курс геометрии (да, оно ведь и в школьном курсе физики должно использоваться), я бы на месте автора подключил соответствующие ассоциативные связи ранее при изложении.
              +1
              Будь моя воля, я бы убрал векторное произведение из школьной программы. Оно запутывает людей, и потом надо тратить усилия на его переосмысление. Поскольку результатом произведения векторов является бивектор, а не вектор. А то, что он похож на вектор, — лишь следствие трехмерности пространства. Фактически векторное произведение — это действие звёздочки Ходжа на бивектор. Короче, его многие критикуют.
                0

                Предлагаете сразу внешнее произведение в школьную программу включать?

                  0
                  Почему нет? Проще же намного, и общая картина стройнее будет. И всякие подпорки типа аксиальных и полярных векторов отпадут.
                  –1

                  Так можно про очень многое говорить, но не водить же из-за того в школьную программу уравнения Максвелла или дифуры для объяснения формулы ускорения.Или определения придела.И т.п.
                  Школьная программа настроенна на то, что многие вещи надо просто принять на веру и впринципе это хорошо, учитывая то что разные люди по-разному усваивают разные вещи.
                  Вектор и его скалярное/векторное произведнние в школьной программе хоть и не имеет точного определенмя, а даётся как аксиома, даёт примерное представление о том что такое направление и почие и прочие.
                  Удивительно, но для реализации 3d мира, даже этого вполне достаточно.(и ещё то что дают на первом курсе технического института(например о том, что умножения двух ортоганальных между собой векторов даёт ортаганальный им обоим вектор и т.д.)).


                  Всё-таки внешнее произведение будет слегка сложно для школьников, ибо слегка не интуитивно и непонятно зачем оно надо и где его использовать до самого финала(а это влияет на интерес изучения и понимане предмета) и складывается впечетление что это "математика радт матиматики" пока не поймёшь зачем всё надо на самом деле...

                    –1
                    Да, вопрос содержания школьной программы является холиварным, и тут у каждого свое мнение ). Тем не менее я против того, чтобы детей намеренно вводили в заблуждение, сообщая им неверные сведения об окружающем мире, мотивируя тем, что «иначе не усвоят». Как раз школьники усваивают новое намного легче, иногда действительно «просто принимая на веру». Именно поэтому важно дать им правильные основы, а не заставлять потом переосмысливать сложившуюся картину мира.

                    Магнитное поле — это не вектор, а бивектор. Отсюда понятно, почему оно «циркулирует». А вот когда оно объявляется «аксиальным вектором» — еще пойди догадайся, о чем речь, и какие отсюда следуют свойства.
                    Момент силы — тоже бивектор. Отсюда понятно, почему там синус и площадь.
                    Поэтому лучше бы сразу развить интуитивное понимание бивекторов.

                    Отрезок и вектор — не одно и то же! Об этом даже не все математики догадываются. Они похожи, да. Оба состоят из двух элементов, оба имеют направление. Но один при этом — произведение элементов, а другой — разность.

                    Такие нюансы, имхо, более важны, чем заучивание формул тригонометрии.
                      +1
                      Магнитное поле — это не вектор, а бивектор. Отсюда понятно, почему оно «циркулирует».

                      Не вижу связи...


                      А вот когда оно объявляется «аксиальным вектором» — еще пойди догадайся, о чем речь, и какие отсюда следуют свойства.

                      Из объявления его как бивектора свойства понятнее не становятся.


                      Отрезок и вектор — не одно и то же! Об этом даже не все математики догадываются. Они похожи, да. Оба состоят из двух элементов, оба имеют направление. Но один при этом — произведение элементов, а другой — разность.

                      А произведение-то тут откуда?

                0
                В классической линейной алгебре внешнее произведение рассматривается исключительно в векторном пространстве. Из современных, например, монография «Linear Algebra via Exterior Product». Есть здесь — sites.google.com/site/winitzki.
                Определение симплексов и их границ есть в учебниках по топологии, гомологии. Например, «Элементы теории гомологий», Прасолов.
                Но корень у этих разных направлений в математике — общий.
                +1
                Дааа..., видимо, наши дела совсем плохи, раз мы заслужили такую алгебру) Очень похоже на теорию магии, только действительно существует.

                Вы не могли бы всё-таки объяснить, в чём заключается прикладная ценность ничуть не меньше, например, реляционной алгебры?
                +2

                Это же фермионы!


                ab=-ba
                Это важное свойство, которое является ключевым для внешней алгебры. Из него в частности следует, что внешнее произведение элемента на самого себя может быть только нулем — объектом без знака:a*a = 0.

                  +1
                  Совершенно верно)
                  0

                  Немного не въехал вот здесь:


                  Коэффициенты разложения элемента по базисным могут быть определены через умножение на коэлементы базиса

                  У меня получается так:
                  /a x = /a (x_a a + x_b b) = x_a /a a + x_b /a b = x_a + x_b /a b,
                  что никак не равняется x_a, как в статье.
                  С другой стороны, можно сделать финт ушами и сказать что
                  /a x 1 = /a x /b b = (x_a + x_b /a b) /b b = x_a
                  К какому-то противоречию приходим.

                    0
                    Произведение элемента на другой коэлемент равно нулю. a/b = /a*b = 0. Это по определению.
                    +3
                    то еще раз — умножать можно любые объекты, а не только числа

                    Насколько я помню, внешнее произведение определено для вполне конкретных вещей. Это по сути обобщение векторов, которое позволяет иметь, что-то похожее на векторное произведение в любой размерности. Причем здесь любые объекты?
                      0
                      Я потому и потратил время на статью, чтобы изменить восприятие внешнего произведения как обобщения векторного.
                      На свойствах внешнего произведения основан векторный анализ, и люди стали отождествлять векторы и внешнее произведение. Но не все пространства векторные. Например, пространство графов образуется все-таки вершинами. И векторы там — это разность вершин. Поэтому в общем случае вершины (объекты) можно (и нужно) перемножать.
                        +1
                        Мне не нрвится конкретная фраза «любые объекты». Это слишком смелое обобщение. Вещи для которых вводят внешнее произведение—это как правило что-то похожее на модули над кольцами (векторы, функции и т.д.). Его можно обобщить и для других вещей, но наверное есть такие где это не имеет смысла или невозможно
                          –1
                          Хм. А что не так с любыми объектами? Список или множество можно составить из любых объектов. В этом и сила абстракции. Внешнее произведение объектов — это просто их перечень с учётом порядка. Почти как множество, только со знаком. Тут не надо тумана напускать.
                            0
                            Это же можно сказать про тензорное и симметричное произведение
                              0

                              Ну хотя бы тот факт не так, что для произвольного объекта мы не знаем элементарный он или составной. Нужно явно "назначить" его элементарным (или указать "состав") перед тем как можно будет его осмысленно умножать.


                              Ну и плюс не следует забывать, что как только некоторый объект так или иначе включается в множество тех, к которым применима операция внешнего произведения — он автоматически перестаёт быть "любым".

                                –1
                                для произвольного объекта мы не знаем элементарный он или составной. Нужно явно «назначить» его элементарным (или указать «состав») перед тем как можно будет его осмысленно умножать.

                                Если мы не знаем порядок объекта, то это означает, что порядок становится параметром, от которого зависит результат (произведения). Или переменной, подлежащей определению. Например, в эксперименте, где объекты меняются местами. Сами правила не меняются, и алгебра остается применимой для любых объектов.
                            +1
                            Я потому и потратил время на статью, чтобы изменить восприятие внешнего произведения как обобщения векторного.
                            Конкретно это получилось сделать плохо. Я дошел до антикоммутативности и подумал «о, разве у нас определено отрицание?», сразу после этого «откуда у нас взялся ноль?!», а на линейных комбинациях подумал «видимо, мы работаем в некотором линейном пространстве, значит, внешнее произведение — это что-то типа векторного».
                            Если это так, то как понимать умножение людей, если люди (именно люди, а не какие-то их числовые и векторные характеристики) не образуют линейное пространство (по крайней мере, которое бы имело сколь-угодно осмысленную бытовую интерпретацию)? Вот Вы графы упомянули, но они тоже не образуют линейное пространство и сами линейным пр-вом не являются. Как проинтерпретировать a+2b?
                            Если Вы сравниваете внешнее произведение со списком объектов, а алгебру с реляционной алгеброй, можно ли погрузить списковое программирование в эту теорию? То есть, если concat — это умножение, то как выглядят операторы filer, zip, inner join, transpose?

                            И ещё один вопрос-уточнение: следующие линейные комбинации существуют?
                            a + [ab] + [abc]
                            a + /a
                              0
                              Конкретно это получилось сделать плохо.
                              Ну я хотя бы попытался ).

                              … как понимать умножение людей, если люди (именно люди, а не какие-то их числовые и векторные характеристики) не образуют линейное пространство (по крайней мере, которое бы имело сколь-угодно осмысленную бытовую интерпретацию)?
                              Почему не образуют? Очень даже образуют со вполне понятной интерпретацией. Если Вася = (Петя + Сережа)/2, то можно оценивать характеристики Васи, если таковые известны для Пети и Сережи. Обычное аффинное пространство.

                              (графы) тоже не образуют линейное пространство и сами линейным пр-вом не являются.
                              А это почему? Графы задают не только линейное пространство, но и его метрические характеристики. Я про это кучу статей на хабре написал. Там и про координаты объектов есть, и про то, что лапласиан графа — это метрический тензор. Полистайте.

                              Если Вы сравниваете внешнее произведение со списком объектов, а алгебру с реляционной алгеброй, можно ли погрузить списковое программирование в эту теорию?
                              Это хороший вопрос, я сам иногда над ним задумываюсь. Поскольку природе, похоже, вполне хватает свойств внешней алгебры, то есть свойств двух списков — один с исключением одинаковых элементов (фермионы), другой — с накоплением одинаковых элементов (бозоны). А если это так, то, возможно, и все остальные операции (в том числе которые вы перечислили) можно выразить через операции над данными списками с учетом элементов копространства.
                              Надеюсь, что у меня дойдут руки, чтобы это выяснить, если кто другой это уже не сделал. Ну или можете сами попробовать ).

                              И ещё один вопрос-уточнение: следующие линейные комбинации существуют?
                              a + [ab] + [abc]
                              a + /a
                              Первая — вполне обычное выражение (градуированная цепь). Вторая, наверное, тоже имеет место быть, но надо выяснить, какой смысл она несет. Вообще мне не встречались подобные выражения, но я и работал только с обычными (однородными) пространствами.
                                0
                                Если Вася = (Петя + Сережа)/2, то можно оценивать характеристики Васи, если таковые известны для Пети и Сережи. Обычное аффинное пространство.
                                Это как раз понятно и я сразу отметил, что скалярные характеристики мы можем рассматривать как аффинные/векторные/… пространства. Но человек не есть его конкретная скалярная характеристика.
                                Во-первых, существуют нескалярные, например, если Петя пятипалый, а Серёжа шестипалый, то сколько пальцев у Васи? А если Вася = cos 30* Петя + sin 30* Серёжа?
                                Во-вторых, не хотелось бы сводить человека к набору его внутренних характеристик. У него есть и внешние характеристики, вроде социальных связей, отношение к книгам, писателям, любимые фильмы. Как в этом случае быть?
                                Графы задают не только линейное пространство, но и его метрические характеристики.
                                О метрике на графе я знаю, а о линейной структуре не слышал. Судя по всему, Вы таки рассматриваете сам конкретный граф как линейное пространство, а не семейство всех графов в целом. То есть Вы для произвольного графа как-то определяете 0 как выделенную вершину графа и линейную комбинацию вершин как вершину. Как Вы это делаете?
                                  –1
                                  Давайте все в кучу не валить, чтобы не запутаться ).
                                  В аффинном пространстве людей вы можете выражать координаты одних людей через других — базовых. Мерность пространства может быть разной. Я привел простейшее — одномерное, где люди — это точки на одной прямой, которая задается Петей и Сережей.
                                  Когда мы переходим к характеристикам (людей), то это эквивалентно проекции пространства людей на пространство характеристик. При этом мерности пространств надо согласовать, то есть размерность пространства характеристик надо привести к размерности пространства людей.
                                  Допустим есть пространство городов, в которых находятся (проживают) люди. В общем случае оно многомерно (нескалярно в ваших терминах). И поэтому нет смысла проецировать в него одномерное пространство людей. Грубо говоря, из того, что Петя живет в Москве, а Сережа в Ижевске, нет возможности определить, где живет Вася.
                                  Но мы можем предварительно само пространство городов свернуть в одномерное, — то есть расположить все города на линии, образованной городами Пети и Сережи, то есть на векторе «Ижевск — Москва». И вот в такое пространство проецировать линейное пространство людей уже можно вполне корректно. И Вася окажется предположительно в Нижнем Новгороде, поскольку Нижний Новгород примерно равен (Ижевск + Москва)/2. Это все, что мы можем сказать, имея исходную информацию.

                                  — Про графы не уверен, что понял вопрос. Все вершины графа независимы. Нельзя одну из вершин графа определить как линейную комбинацию других. Но это не означает, что в данном пространстве вообще невозможно определить другие элементы (точки), как линейную комбинацию вершин графа.
                                  Например, при переходе к подпространству графа часть его вершин становится зависимой от вершин нового базиса (подграфа).
                                    0
                                    Так, я начал примерно понимать, о чём Вы говорите по ответу про вершины графа.

                                    Краткий пересказ линала про линейные оболочки
                                    Допустим, у нас есть множество X, для простоты конечное. Мы не накладываем никаких ограничений на вид его элементов, а значит, элементами могут быть люди, города, вершины некоторого графа и пр.

                                    Есть некоторое линейное пр-во L. Мы каким-то образом сопоставляем каждому элементу X какой-то вектор L. Если размерность L равна числу элементов X, а каждый элемент сопоставлен базисному вектору, то L является линейной оболочкой X и любой вектор L может быть представлен в виде линейной комбинации (образов) элементов X
                                    .
                                    Если же мы рассмотрим другое линейное пр-во L' меньшей размерности и так же сопоставим элементы X векторам L', элементы (точнее, образы элементов) станут линейно-зависимыми. Тогда некоторые элементы X будут линейной комбинацией других элементов, базисных в L'.

                                    При этом из линейной оболочки L в произвольное линейное пр-во L' существует ровно одно линейное отображение, которое сохраняет сопоставления X в L и L'. Вы его называете проекцией.

                                    Что ж, тогда остаётся открытым вопрос, насколько мы вправе называть линейную оболочку множества людей «линейным пр-вом людей», если не каждый вектор этого пр-ва может быть проинтерпретирован как человек, а только базисные.

                                    P.S. Я не уверен, что понял первую часть Вашего ответа. По-видимому, её тоже надо понимать как определение линейного отображение линейной оболочки городов в малоразмерное линейное пространство, где Нижний Новгород (=его образ) линейно зависит от Москвы и Ижевска.
                                    В любом случае, в моей речи «нескалярный» = «не являющийся скаляром и не обязательно являющийся вектором», а «многомерный» = «вектор, имеющий большую размерность»
                        +1
                        Подобные статьи вызывают ощущение, что ты нашел интересную инопланетную штуковину, но не имеешь понятия, как ее использовать в хозяйстве ))

                        Понимаю, что это может быть не очень просто, но было бы здорово, если бы каждое свойство иллюстрировалось какими-нибудь инженерными примерами, имеющими физический смысл. Мне, например, непонятно, зачем сравнивать тройки людей по росто-весу.
                          0
                          Мне, например, непонятно, зачем сравнивать тройки людей по росто-весу.

                          Может, кластеры какие-то обнаружатся или ещё какие закономерности. Но вообще тут упор на то, что в подобных пространствах по одному параметру можно сравнивать два объекта, по двум — три, и т. д. А вот сравнить два объекта по двум параметрам без дополнительных допущений не получится.
                            0
                            Подобные статьи вызывают ощущение, что ты нашел интересную инопланетную штуковину, но не имеешь понятия, как ее использовать в хозяйстве ))
                            Немного не в тему, вспомнил ваш комент про теорему Пифагора — должно быть для всех понятно) Как земляне определяют точку? Геометрический объект не имеющий измерений. Представим планету с атмосферой очень богатой химией и физикой, в которой зародилась жизнь доросшая до разумной. Как будет у них выглядеть математика? Геометрия, в отличии от нашей ситуации, будет на втором плане. Плоскостей и линий в их восприятии нет. Это мир сплошных атмосферных потоков, вихрей, диффузий, химических градиентов, атмосферного электричества, и тд. Возможно базовым когнитивным примитивом для них будет вектор, как направление и величина потока обычных в их условиях, как для нас плоскатиков (почти) положение на поверхности Земли. Определение точки у этих атмосфериков — точка, вектор с нулевыми (неопределенным) направлением и значением. А аналог теоремы Пифагора? Возможно сложение двух ортогонально направленных вектора. Для них это актуальнее на практике. Хотя и у них тоже могут быть провидцы, кот. будут говорить о другой геометрии. Как человек со временем поднявшийся в воздух, эти разумные существа опустятся на поверхность планеты, такую же не обычную среду, как для нас атмосфера. И со временем поймут, что математика возможна не только в пространстве потоков, но и на фиксированной плоскости, но для них она будет умозрительной) Нам это трудно представить, даже нашим птицам, они произошли от сухопутных. Но это уже будет новый этап развития этих существ, преодолевших свое когнитивное ограничение. Как человек преодолел евклидовы геометрические представления на плоскости, но так же с трудом воспринимающий умозрительные градиенты, дивергенции и роторы векторных полей) только потому что он не возник и живет в этих вихрях и потоках.
                            +5
                            >> ее прикладная ценность ничуть не меньше, например, реляционной алгебры

                            На самом деле никому даже в голову не приходит использовать реляционную алгебру при работе базами данных, не смотря на вроде бы «кровное родство» данных областей. Потому что это сложнее, чем использование очень простых и интуитивно понятных правил.

                            Сама идея использования некой алгебры для моделирования некой предметной области, безусловно, разумная, только математическая реализация такой идеи всегда уходит очень далеко от потребностей данного конкретного приложения. Упрощённо, в алгебре принято определять коммутативность, ассоциативность, задавать единицу или ноль (или и то и другое), выводить на этой основе кучу свойств, которые вполне возможно где-то пригодятся, но вот в конкретном прикладном примере от них не будет никакого толка. Или в подавляющем большинстве случаев не будет толка, а в некотором меньшинстве сама примитивность базовых операций поможет вывести необходимые правила самостоятельно, в привычных выводящему терминах и с использованием знакомых и интуитивно понятных образов.

                            А кроме того есть то, что называют «особенности реализации». И эти особенности, очень часто, на порядки сложнее первоначальной основы в виде собственно алгебры. То есть в тех же базах данных накопилось реально огромное многообразие всяческих дополняющих базовые принципы идей и алгоритмов. И по сути, эти дополняющие реляционную алгебру инструменты сами стали основой любой современной БД, а алгебраическая часть ушла в сухую теорию, прикладной смысл которой не понимают почти все студенты, изучающие данный предмет.

                            Вообще, математический подход из серии «Бурбаки ничего не знает о реальном мире (и не хочет знать)» приводит к весьма выдающимся глупостям, вроде той, которую известный советский алгебраист с фамилией Арнольд, приводил в своих статьях (про мальчика, который на вопрос «сколько будет 3+5» ответил «будет 5+3, потому что сложение коммутативно»). Поэтому надо бы как-то спускаться с небес и погружаться в реальность, что бы всё же разговаривать с людьми на их языке, а не на языке математических определений.
                              0
                              Разрыв между теорией и практикой всегда был и будет, что тут копья ломать. Хорошая теория, как и хорошая программа, должна быть проста и минимумом понятий объяснять большое количество вещей.
                              +1

                              У вас всё разъяснено гораздо лучше, чем в во всех книжка по дифференциальной геометрии и теории гомологий, которые я имел несчастье листать. Спасибо!


                              Вопросы.
                              1) Что здесь всё-таки происходит с точки зрения построения сигнатуры алгебры? Как справедливо указали выше, мы не можем считать множество всех /a и a даже кольцом с единицей, поскольку умножение оказывается неассоциативно. В целом набор операций выглядит странно, я не смог соотнести такое умножение с какой-либо изученной с первого курса алгебраической структурой (группа, кольцо, поле). К сожалению, после первого курса я пошел по специальности, далекой от алгебры, и не знаю, есть ли что-то экзотическое, качественно описывающее формальные свойства таких структур, как то, что выше. Или у внешней алгебры нет аналогов по сигнатуре?


                              2) В качестве упражнения я попытался узнать границу у ленты Мебиуса и получил 0. Это так и должно быть или я что-то делаю не так?


                              3) Я пробовал думать об элементах как о точках в обычном двух- или трех- мерном евклидовом пространстве. Тогда (ab) это, понятно дело, вектор, проведенный от a до b. Пример с квадратом это подтверждает. (ab)(ac) это (abc) — граница ореентированного треугольника. Коэлемент /a это штука, которая при воздействии на симплекс оставит в живых только противоположную её грань симплекса (bc), возможно её вывернув. Однако, что такое в этой системе (ab)(cd), как эту штуку представить? Вычисления её площади (по сравнению с площадью единичного полуквадратика Oxy) по той же методике дают площадь четырехугольника acbd (или abdc, если я ошибся с направлением). Корректно ли считать что (ab)(cd) = (acb) +(bda)?


                              4) Я пробовал думать о границах второго порядка как о замкнутых траекториях в фазовом пространстве некой циклической физической системы. К примеру, тепловая машина преобразует давление и объем внутри котла в энергию в различном виде (тепловом или как механическую работу). Нарисовав в фазовом пространстве PV три точки и считая, что процесс по прямой линии перетягивает машину между тремя состояниями, мы получим энергоперекачку тепловой машины как раз в размере площади означенного тела. Для фазового пространства, скажем, маятника, площадь области, очерченной фазовой траекторией так же имеет непосредственно отношение к энергии, запасенной телом. Однако для всех этих механических применений с интерированием по площади, обычно, фазовая траектория не состоит из множества прямых отрезков — разве что аппроксимируется им. Встает закономерный вопрос — можно ли расширить ли эту теорию на криволинейные структуры, и как это сделать?


                              5) Обобщая 3-4, хочется больше, скажем так, практических примеров применения этой теории. А то всё такое абстрактное, что голову сломать можно. Хочется простых житейских примеров, без всяких там дифференциальных форм на многообразии и когомологий.

                                0
                                Спасибо за добрые слова и содержательные вопросы. На большинство из них я не знаю ответов ). Поэтому могу только кратко прокомментировать.

                                1) Насчет классификации данной алгебры надо алгебраистов спрашивать. Наверное, что-то типа неассоциативного кольца, но опять же тут надо разбираться, всем ли требованиям/определениям удовлетворяет.

                                2) Ленту Мебиуса невозможно выразить как сумму ориентированных треугольников — это все, что я знаю ). В частности потому, что ориентированный треугольник имеет две стороны, а лента Мебиуса — односторонняя. Но тут у меня самого остается вопрос — площадь же у ленты Мебиуса все равно есть — как ее выразить? Наверное, топологи знают ).

                                3) Насчет (ab)(cd). Да, тождество корректно: (ab)(cd) = (ab)(cb + bd) = (ab)(cb) + (ab)(bd) = -(abc) + (abd). Поэтому в аффинном пространстве данный элемент отвечает сумме-разности бивекторов. Площадь в плоскости Oxy и будет разностью площадей данных бивекторов (их проекций на данную плоскость). Но в общем случае 4 элемента не принадлежат одной плоскости.
                                В графе данный элемент соответствует двум несвязанным компонентам, состоящим из двух связанных вершин. Но граф — это все-таки уже другое пространство.

                                4) Насчет фазовых пространств, мне кажется, надо у Арнольда смотреть — «Математические методы классической механики». Там и про энергию, и про криволинейные интегралы есть.

                                5) Да, я тоже за то, чтобы как-то попроще все было, и на конкретных примерах разжевано ).
                                0

                                Подскажите, в чём суть /a * b = 0? Почему так? Я легко это опровергну:


                                a /a b = -1
                                a /a b = -1 b
                                a
                                0 = -1 b
                                0 = -1
                                b


                                что, конечно же, неправда.

                                  –1
                                  Тут у вас непонятные симплексы перемножаются, да и то, похоже, с ошибкой ). В статье указано, что симплекс может быть только однородным. Поэтому если вы умножаете симплекс [a/a] на [b], то получите -[b]. А если умножаете [a] на [/a b], то получите 0. В комментариях выше уже пояснял, как выполняется свертка симплекса для приведения к однородному.
                                  В общем случае произведение симплексов и косимплексов неассоциативно, то есть зависит от расстановки скобок.

                                Только полноправные пользователи могут оставлять комментарии. Войдите, пожалуйста.

                                Самое читаемое