dmagin 1 мар 2021 в 18:47

Внешняя алгебра, которую мы заслужили. Часть 2 — полиформы и графы

15 мин

3.1K

Туториал

В данной работе мы продолжаем обзор свойств внешней алгебры. В первой части мы определили внешнее произведение элементов, ввели понятие симплексов, границ и копространства. Здесь рассмотрим аффинные пространства, в которых определено скалярное произведение между элементами. Такие пространства называют также евклидовыми.

Окружающее нас трехмерное пространство вполне подходит в качестве евклидового. В нем действительно есть скалярное произведение как между элементами, так и между векторами. Но все-таки оно является лишь частным случаем общего семейства пространств. Более часто встречаются пространства, в которых заданы связи элементов, в простонародье именуемые графами. Поэтому от описания графов мы и будем отталкиваться. Покажем, как построить полиформу для заданного графа, и на ее основе определять его метрические свойства.

Полиформа графа строится на основании его связей. Но можно идти и обратным путем - от расстояний между элементами. Так строится полиформа на обратных элементах, ее мы кратко рассмотрим в конце.

Upd. Лучше перед чтением данной статьи ознакомиться предварительно вот с этой частью, если еще не.

Билинейная и квадратичная формы

Поскольку в евклидовом пространстве есть дополнительное (по отношению к просто аффинному) свойство, то нам надо определить сущность, которая это свойство выражает. Надо дать возможность задания связей между элементами пространства. Это можно сделать, используя билинейную форму, которую далее будем именовать просто формой.

Что такое "форма"? Проще всего считать ее еще одним типом произведения. Аргументами формы (множителями произведения) могут быть произвольные цепи (либо коцепи). Как правило, порядок аргументов формы одинаков. Напомним, что цепи - это линейные комбинации симплексов - внешних произведений элементов. Здесь аргументами форм будут в основном границы (поливекторы). Формы будем обозначать угловыми скобками. Вот пример билинейной формы, образованной двумя векторами (ab) и (bc) :

$F(ab, bc) == \langle ab, bc\rangle$

Вместо скобок можно было бы использовать какой-либо знак умножения, но возникают трудности с подбором подходящего символа, да и угловые скобки для обозначения форм в принципе приняты. Еще один момент - внутри формы мы опустили круглые скобки для обозначения границ (векторов). То есть ab==(ab) . Далее мы будем иметь дело большей частью с границами и не хотим отягощать выражения большим количеством скобок.

Почему форма - билинейная? Префикс "би" тут означает наличие у формы двух аргументов - ее валентность (или ранг) равны двум. А линейная она потому, что подчиняется закону дистрибутивности, как и любое произведение, то есть линейна по аргументам. Если какой-либо аргумент формы является суммой, то форму можно представить в виде суммы форм. Также можно выносить из аргументов скалярный множитель (или знак):

$\langle ab+bc, cd \rangle = \langle ab, cd \rangle + \langle bc, cd \rangle, \quad \langle 3ab, -2bc \rangle = -6\langle ab, bc \rangle$

Если форма - это произведение аргументов, то чему равен его результат? Это хороший вопрос, ответ на который такой: форма - это и есть результат произведения. То есть форма просто связывает (объединяет) свои аргументы. Этим форма похожа на внешнее произведение. Но в отличие от него аргументами формы может быть один и тот же элемент. Такие формы называют квадратичными (иногда - квадратными). Чтобы не повторять дважды один и тот же аргумент, будем обозначать квадратичные формы степенью:

$\langle ab, ab \rangle == \langle ab \rangle^2$

Здесь степень - это просто напоминание, что форма квадратичная. Важная особенность квадратичной формы в том, что она не зависит от знака аргумента. То есть она избавляет от необходимости следить за знаком аргументов: $\langle abc \rangle^2 = \langle -abc \rangle^2 = \langle bac \rangle^2$ .

Кстати, перестановка аргументов формы называется ее транспонированием $\langle ab, cd \rangle^T = \langle cd, ab \rangle$ . В общем случае форма и ее транспонирование - это разные формы!

Теперь внимание. Формы можно умножать и складывать между собой. Сложение мы уже видели, а что с умножением? При умножении двух форм перемножаются их аргументы - левый с левым, правый с правым. Пожалуй, это основное свойство форм. Умножение аргументов - это их внешнее произведение. То, которое мы рассматривали в предыдущей части. Поэтому если перемножаемые границы (аргументы) имеют общую вершину, то они сливаются в одну:

$\langle ab, ac \rangle*\langle bc \rangle^2 = \langle ab*bc, ac*bc \rangle = \langle abc \rangle^2$

Порядок результата произведения равен сумме порядков перемножаемых форм (порядок формы - это порядок ее аргументов).

Важно, что произведение форм коммутативно. Как показано в первой части, знак произведения двух симплексов при их перестановке зависит от четности произведения их порядков. Но поскольку у формы два аргумента, то если сменится знак у левого аргумента, то точно так же он сменится и у правого. Это следует из того, что оба аргумента формы имеют один и тот же порядок. Минус на минус даст плюс, то есть знак формы останется одним и тем же: F*G = G*F .

Также как существует единичный симплекс, существует и тождественная (единичная) форма, при умножении на которую произвольная форма не меняется: $E*\langle ab, bc \rangle = \langle ab, bc \rangle$ .

Нулевая форма тоже существует. При этом если один из аргументов формы равен нулю, то и вся форма равна нулю - это полезное свойство, которое позволяет сокращать многие выражения.

Полиформы

Полиформой мы будем называть линейную комбинацию форм - это сумма форм, каждая из которых умножена на некий скалярный коэффициент. Пример полиформы на трех вершинах:

$W(a, b, c) = E + \langle ab\rangle^2 + 2\langle ab, ac \rangle + 3\langle abc \rangle^2$

Каждое слагаемое полиформы - это форма-моном определенного порядка. Единичная формаимеет 0-й порядок - это скалярная форма. Векторная форма $\langle ab \rangle^2$ имеет 1-й порядок и т.д. Слагаемые полиформы могут быть сгруппированы по величине порядка форм-мономов. Каждая такая сумма имеет свой порядок (грейд), поэтому такие суммы удобно называть грейд-формами. Если обозначить грейд-форму k-го порядка как $G^{(k)}$ , то полиформа - это сумма грейд-форм:

$W = \sum_k {G^{(k)}}$

Вообще алгебру выражений, содержащих мономы разного порядка, принято называть градуированной.

Поскольку количество терминов растет (а мы только начали), то пора уже заземлиться и привязать абстрактные полиформы к какой-либо известной сущности. Определений достаточно, чтобы ввести полиформу связи. Вот связь двух элементов (это граф из двух вершин):

а вот ее полиформа: $W(a, b) = E + p_{ab} \langle ab\rangle^2$ .

Здесь $p_{ab}$ - скаляр, величина связи. Ее значение отражает близость элементов a, b . Если обозначить размерность линейных расстояний как [l] (length), то размерность связи будет 1/[l]^2 , (квадрат появляется потому что форма квадратичная).

Почему полиформа связи имеет именно такой вид? Никто не знает (шутка). Будем считать, что это установлено опытным путем. В простых графах связи равны единице, поэтому полиформа единичной связи имеет вид $E + \langle ab \rangle^2$ .

Полиформу связи будем называть также фактор-формой, - далее станет понятно почему. У фактор-формы есть интересное свойство - умножение фактор-формы на себя эквивалентно удвоению величины связи:

$(E + \langle ab \rangle^2)*(E + \langle ab \rangle^2) = E + 2\langle ab \rangle^2$

Ну или в общем случае: $(E + p_{ab} \langle ab \rangle^2)^k = E + p_{ab} k\langle ab \rangle^2$ .

Отсюда уже можно догадаться, какой вид имеет полиформа двух разных связей. Пусть величина связей равна 1 (коэффициенты всегда можно добавить), тогда последовательное связывание трех вершин образует граф-путь (маршрут) a - b- c . Полиформа маршрута равна произведению полиформ каждой его связи - вот так вот просто:

$Path(abc) = (E + \langle ab\rangle^2)*(E + \langle bc\rangle^2)$

Это факторное представление полиформы графа, то есть произведение фактор-форм его связей. Можно раскрыть скобки и получить линейное разложение полиформы:

$Path(abc) = E + \langle ab\rangle^2 + \langle bc\rangle^2 + \langle abc\rangle^2$

Общий метод получения полиформы графа теперь понятен. Полиформа графа - это произведение фактор-форм его связей.

Из данного определения следует, что если разделить граф на два подграфа (делением множества связей графа на два подмножества), то полиформа графа будет произведением полиформ данных подграфов. Это факторное свойство полиформы графа.

Для получения полиформы цикла на трех вершинах надо добавить в маршрут еще одну связь.

$Cycle(abc) = (E + \langle ab\rangle^2)*(E + \langle bc\rangle^2)*(E + \langle ca\rangle^2) = E + \langle ab\rangle^2 + \langle bc\rangle^2 + \langle ca\rangle^2 + 3\langle abc\rangle^2$

В данной полиформе можно выделить три грейд-формы: 0-го порядка $G^{(0)} = E$ , 1-го порядка $G^{(1)} = \langle ab\rangle^2 + \langle bc\rangle^2 + \langle ca\rangle^2$ и 2-го порядка $G^{(2)} = \langle abc\rangle^2$ .

Ряд Тейлора (ну почти)

Давайте немного поиграемся с полиформой графа. Мы можем изменить ее представление, используя то обстоятельство, что умножение формы-монома на себя дает ноль. Если возвести в квадрат сумму нескольких форм, то результатом будет их удвоенное произведение по всем возможным комбинациям форм:

(X+ Y + Z)^2 = 2(X*Y + X*Z + Y*Z)

Тут использована коммутативность произведения. Двойка появляется из-за того, что произведение одной форму на другую встречается дважды. Если же возвести сумму форм в куб, то всего получим 6 произведений форм - именно столько будет возможных сочетаний разных форм: (X+ Y + Z)^3 = 6 X*Y*Z . Шестерка здесь - это факториал от тройки. Для 4-й степени получим (если получим) коэффициент 24 = 4!

Но полиформа графа как раз и состоит из произведений всех возможных связей разного порядка. Отсюда следует, что все грейд-формы полиформы графа можно получить, возводя в степень ее грейд-форму 1-го порядка $G = G^{(1)}$ , которая просто представляет собой сумму форм с коэффициентами, равными связям графа. Данную грейд-форму назовем основанием полиформы. Основание простого цикла из 3-х вершин - $G = \langle ab \rangle^2 + \langle bc \rangle^2 + \langle ac \rangle^2$ . Тогда полиформа всего графа - это сумма степеней основания с коэффициентами в виде обратных факториалов:

$W = \sum_{k=0}^t {G^k / k!}$

Здесь суммирование идет от нуля, подразумевая, что основание в нулевой степени равно единичной форме. Верхний индекс суммирования- это предельная степень (грейд) полиформы, выше которой все степени будут равны нулю. В принципе можно было бы его опустить и считать степени до бесконечности. Не путаем степень основания и грейд-форму данного порядка. Но они связаны, да:

$G^{(k)} = G^k/k!$

Если сумма степеней вам что-то напоминает, то вы не ошиблись. Точно такой же вид имеет разложение функции-экспоненты в ряд Тейлора. Только здесь в качестве переменной выступает основание. Поэтому можно записать полиформу графа еще короче:

W = exp(G) == e^G

Не стоит сильно заморачиваться, пытаясь понять, что же означает возведение в степень полиформы - это просто компактная форма записи суммы грейд-форм. Но красиво, да?

Что касается предельной степени. В математике есть понятие индекса нильпотентности, это индекс, при которой степень нильпотентного объекта обращается в нуль. Но предельная степень более удобна. Ее значение на 1 меньше индекса нильпотентности. Обозначим число вершин графа, а число независимых компонент, тогда предельная степень будет равна t = n - c . Ее можно также выразить через количество связей графаи цикломатическое число r = m-n+c как t = m - r . Например, для приведенного выше несвязного графа из двух компонент на 4-х вершинах предельная степень равна двум (4-2=2). То есть все степени выше второй основания $\langle ab \rangle^2 + \langle cd \rangle^2$ будут равны нулю.

Итак, для полиформы графа у нас есть два представления. Одно факторное - в виде произведения фактор-форм связей. Другое аддитивное - в виде суммы степеней основания, где основание - это сумма форм связей графа. Не любая полиформа с произвольными коэффициентами будет иметь факторное представление, также как не любой полином можно разложить на произведение полиномов меньшего порядка. Разложимые полиномы называют приводимыми. В такой терминологии полиформа графа - это приводимая полиформа. То есть это такая полиформа, которую можно выразить в виде произведения полиформ меньшего порядка (у графа - в виде произведения форм 1-го порядка). Существуют полиформы, которые не разлагаются в произведение (неприводимые). Вот простейший пример такой полиформы:

$W = E + \langle ab\rangle^2 + \langle bc\rangle^2 + 2\langle abc\rangle^2$

Подобного рода полиформы описывают гиперграфы. Это графы, у которых могут быть заданы связи не только между двумя вершинами, но и между тремя, четырьмя и т.д. Поэтому полиформа - это более общий механизм описания графов (и пространств), чем, например, матрица смежности.

Предельная форма и остовное число

Настало время разобраться - а что, собственно, дает представление графа в виде полиформы? Как ей пользоваться? Сама полиформа задана через значения связей. Но эти связи преобразуются полиформой в метрические характеристики пространства - дистанции между вершинами графа, углы между векторами, площади треугольников и прочее. Фактически полиформа представляет (или заменяет) собой метрический тензор.

В первой части мы ввели понятие предельной границы для конечного множества элементов:. Ей соответствует предельная форма $\langle I \rangle^2$ . Предельная форма на 4-х вершинах a, b, c, d имеет 3-й порядок и равна $\langle abcd \rangle^2$ . Поскольку граф как правило имеет конечное множество вершин, то ему также соответствует предельная форма. Произведение любой формы-монома полиформы графа на его предельную форму дает ноль (потому она и предельная).

Коэффициент при предельной форме полиформы графа называется остовным числом (tree number) графа. То есть грейд-форма предельной степени может быть выражена как $G^{(t)} =u \langle I \rangle^2$ , где- остовное число графа.

В теории графов остовное число интерпретируется как количество различных остовов (деревьев), которые можно построить на связях данного графа. В графе-пути остовное число равно 1 (путь - это одно дерево), в графе-цикле - количеству связей (удаляя по одному звену цикла, получим разные деревья).

Почему коэффициент при предельной полиформе равен количеству возможных деревьев, понять не так сложно. В первой части мы приводили правило слияния границ при умножении, из которого следует, что одна и та же граница может быть получена слиянием разных границ меньшего порядка. Полиформа графа образуется перемножением фактор-форм, образованных связями. Чем больше связей перемножается - тем выше порядок получаемой формы (и границы). При этом одна и та же форма может быть получена умножением разных форм. Поэтому коэффициент при ней будет отражать число способов, которыми можно слить исходные связи (векторы) в одну общую границу. Например, в 3-цикле число таких способов равно трем, потому что здесь перемножаются попарно три связи с общей вершиной.

Остовное число произвольной полиформыбудем обозначать как u(W) . Тогда

$W = E + \dots + u(W) \langle I \rangle^2$

Остовное число графа из 3-х узлов с произвольным значением связей можно выразить в явном виде: $u_{abc} = p_{ab} p_{bc} + p_{bc} p_{ac} + p_{ab} p_{ac}$ . Его размерность обратна 4-й степени расстояния. Вообще численно остовное число обратно пропорционально квадрату объема k-мерного симплекса, образованного вершинами графа:

$u = 1/(k! \ vol)^2$

Откуда можно вывести выражение для квадрата площади треугольника через связи между вершинами:

$4 \ S_{abc}^2 = 1/u = 1/(p_{ab} p_{bc} + p_{bc} p_{ac} + p_{ab} p_{ac})$

Граф является связным, если его полиформа содержит предельную форму для заданного множества вершин. Не во всех графах остовное число отлично от нуля, и не все полиформы содержат предельную форму. Если граф состоит из несвязных компонент, то в нем предельная форма отсутствует, что эквивалентно нулевой связности графа. Пример минимального несвязного графа - две компоненты из двух вершин:

$W_{ab,cd} = (E + \langle ab\rangle^2)*(E + \langle cd \rangle^2) = E + \langle ab \rangle^2 + \langle cd \rangle^2 + \langle (ab)(cd) \rangle^2$

Потенциалы форм

Обратимся к другим характеристикам. Каждой форме можно сопоставить значение в рамках заданной полиформы. Звучит туманно, поэтому поясним. Если есть некая полиформа (например, полиформа графа-цикла) и есть какая-то форма (например, форма вектора $\langle ab \rangle^2$ , то для данной формы можно вычислить ее скалярное значение в рамках полиформы. Данные значения будем называть потенциалами форм.

Как рассчитать потенциал формы? Несложно - умножаем полиформу на форму и находим коэффициент при предельной форме результата. Это и будет потенциалом формы. Вот формальное выражение для потенциала формы в полиформе:

u_F = u(F*W)

Остовное число графа соответствует потенциалу единичной формы: u_E = u(E*W) = u(W) . Потенциал предельной формы равен 1, - при умножении полиформы на предельную обнуляются все формы-мономы кроме единичной: u_I = u(I*W) = u(E) = 1 .

Рассчитаем потенциал вектора (ac) для графа-пути. Умножая форму вектора на полиформу пути, получаем: $\langle ac \rangle^2*Path(abc) = \langle ac \rangle^2 + 2 \langle abc\rangle^2$ . Коэффициент при предельной форме равен 2. Это и будет потенциалом данного вектора: $u_{ac} = 2$ .

Потенциал - это метрическая характеристика формы. Потенциал формы 1-го порядка (вектора_ пропорционален квадрату длины вектора, потенциал формы 2-го порядка - квадрату площади и т.д.

Для тех, кто в курсе, что такое лапласиан графа, отметим, что

все потенциалы форм (включая остовное число) могут быть рассчитаны как детерминанты миноров матрицы-лапласиана графа (она же - матрица Кирхгофа). Для получения минора надо удалить колонки и столбцы матрицы, соответствующие вершинам границ. Для расчета остовного числа следует удалить одну любую вершину.

Потенциалы форм определены для любых графов, в том числе несвязных. Но особенность потенциалов в том, что их значения комбинаторны. Чем больше в графе связей (вершин), - тем больше значение потенциалов форм, поскольку больше различных перемножений связей. Для того, чтобы справиться с этой комбинаторикой, значения потенциалов делят на остовное число графа, получая относительные потенциалы. Размерность относительного потенциала вектора обратна величине связи между вершинами, то есть пропорциональна квадрату расстояния. Значение относительных потенциалов и есть то самое "скалярное произведение" аргументов формы, поэтому будем их называть значениями формы.

Скалярное произведение векторов - это значение формы, образованной данными векторами. Значение формы границы из 3-х вершин - это квадрат площади, образованной данными вершинами и т.д.

Как уже отмечалось, значение формы вектора соответствует квадрату расстояния. Но сама интерпретация расстояния в разных пространствах может быть разной. Например, в электрических сетях квадрату расстояния соответствует значение эффективного сопротивления (резистивной дистанции) между узлами сети.

Рассчитаем эффективное сопротивление участка цепи

графа из 3-х вершин с произвольными значениями связей.

Полиформа данного графа имеет вид:

$W_{abc} = E + p_{ab} \langle ab \rangle^2 + p_{bc} \langle bc \rangle^2 + p_{ac} \langle ac \rangle^2 + u \langle abc \rangle^2$

Здесь $p_{ij}$ - значения проводимости (связи) между узлами, $u = p_{ab} p_{bc} + p_{bc} p_{ac} + p_{ab} p_{ac}$ - остовное число графа. Сопротивление участка равно значению формы $\langle ab \rangle^2$ . Для его расчета определим потенциал формы. Умножив полиформу на форму вектора, получим следующий коэффициент при предельной форме:

$\langle ab \rangle^2 * W_{abc} = \dots + (p_{bc} + p_{ac}) \langle abc \rangle^2$

Откуда $u_{ab} = p_{bc} + p_{ac}$ . Разделив потенциал на остовное число, получим искомое значение сопротивления:

$R_{ab} = u_{ab}/u = (p_{bc} + p_{ac}) / (p_{ab} p_{bc} + p_{bc} p_{ac} + p_{ab} p_{ac}) = r_{ab} (r_{bc} + r_{ac}) / (r_{ab} + r_{bc} + r_{ac})$

Здесь $r_{ij} = 1/p_{ij}$ - сопротивление связи (обратная проводимость). Если проводимости всех участков равны, то $R_{ab} = 2/(3 p)$ .

Геометрические тождества

Продолжим игры с формами. Многие (все?) геометрические тождества, в которых задействованы квадраты величин, являются следствием алгебраических свойств форм. Рассмотрим одно из известных школьных - теорему косинусов, которая выражает скалярное произведение сторон треугольника через квадраты сторон.

Каждой стороне треугольника можно сопоставить квадратную форму вектора. Скалярному произведению сторон соответствует форма из двух векторов.

Раскрывая форму стороны как $\langle ac \rangle^2 = \langle ab + bc \rangle^2 = \langle ab \rangle^2 + \langle ab, bc \rangle + \langle bc, ab \rangle + \langle bc \rangle^2$ , получаем теорему косинусов, выраженную в терминах форм:

$2 \{ ba, bc \} = \langle ab \rangle^2 + \langle bc \rangle^2 - \langle ac \rangle^2$

Здесь $\{ ba, bc \} = (\langle ba, bc \rangle + \langle bc, ba \rangle)/2$ - это так называемая полярная форма - среднее от суммы формы и ее транспонирования. Именно в ней содержится тот самый косинус из названия теоремы.

Потенциал полярной формы $\{ ba, bc \}$ в треугольнике равен величине связи между вершинами a,c : $u_{ba, bc} = p_{ac}$ . В этом несложно убедиться, умножив основание полиформы треугольника (графа) на полярную форму. Основание полиформы для 3-х вершин:

$G_{abc} = p_{ab} \langle ab \rangle^2 + p_{bc} \langle bc \rangle^2 + p_{ac} \langle ac \rangle^2$

Поэтому $\{ ba, bc \} * G_{abc} = p_{ac} \langle ba*ac, bc*ac \rangle = p_{ac} \langle abc \rangle^2$

При отсутствии связи $(p_{ac} = 0)$ векторы (ba), (bc) будут ортогональны.

Преимущество алгебраического представления свойств пространства в том, что тождества можно обобщать на пространства более высокой размерности. Вот, например, аналог теоремы косинусов для тетраэдра (3-мерное пространство):

$\langle abc \rangle^2 + \langle bcd \rangle^2 - \langle (ad)(bc) \rangle^2 = 2 \{ abc, bcd \} = 2 p_{ad} \langle I_{abcd} \rangle^2$

Способ его вывода аналогичен теореме косинусов, - достаточно раскрыть форму $\langle (ad)(bc) \rangle^2$ . Форма $\langle abc \rangle^2$ соответствует (квадрату) площади грани тетраэдра, а форма $\langle (ad)(bc) \rangle^2$ (внезапно) - площади грани описанного около него параллелепипеда.

Наконец, приведем еще одно симпатичное тождество форм на тетраэдре. В терминах площадей тождество звучит так ("Элементарная геометрия. Т. 2. Стереометрия", Я.П. Понарин, стр. 95): "Сумма квадратов площадей граней тетраэдра равна сумме квадратов площадей трех непараллельных граней описанного около него параллелепипеда". На языке форм:

$\langle abc \rangle^2 + \langle bcd \rangle^2 + \langle cda \rangle^2 + \langle dab \rangle^2 = \langle (ab)(cd) \rangle^2 + \langle (ad)(bc) \rangle^2 + \langle (ac)(bd) \rangle^2$

Для его вывода можно использовать тождества границ 2-го порядка, приведенные в предыдущей части. Данное тождество является частным случаем общей теоремы о симметрических полиформах.

Формы и потенциалы векторов

В полиформе графа формы векторов выделены среди прочих, поскольку от них рассчитываются все остальные. Пусть $F^{(1)}$ - это форма какого-либо вектора графа. Тогда ей соответствует фактор-форма связи $E + F^{(1)}$ . Умножение на данную фактор-форму полиформы графасоответствует образованию нового графа:

$W' = W*(E + F^{(1)}) = W + W*F^{(1)}$

Откуда получаем выражение для произведения форм как разности полиформ графа после добавления связи и до:

$W*F^{(1)} = W' - W$

Отсюда следует известный факт, что потенциал вектора отражает величину изменения остовного числа графа при добавлении связи по данному вектору:

u_F = u(W') - u(W)

Но это не все. Потенциалы форм векторов фактически дуальны значению связей графа. Поскольку. Для того, чтобы в результате умножения формы вектора на полиформу графа получилась предельная форма, надо умножать вектор на грейд-форму порядка (k - 1). Поскольку умножение вектор-формы на грейд-формы других (меньших порядков) не даст предельную.

$W*F^{(1)} == G^{(k-1)} *F^{(1)}$

Среди всех форм-мономов допредельной грейд-формы $G^{(k-1)}$ только две квадратичных формы дадут вклад в результат умножения с векторной формой. А именно те формы, в которых отсутствует одна из вершин вектора. Таким образом потенциал вектора (ab) будет складываться из коэффициентов двух допредельных форм-мономов:

$u_{ab} = u(W*\langle ab \rangle^2) == u(G^{(k-1)} * \langle ab \rangle^2) == u_{/a} + u_{/b}$

Здесь $u_{/a}, u_{/b}$ - коэффициенты допредельных форм $\langle I/a \rangle^2, \langle I/b \rangle^2$ в полиформе графа. Тогда векторной форме $\langle ab \rangle^2$ можно сопоставить сумму двух допредельных квадратичных форм полиформы:

$/\langle ab \rangle^2 = \langle I \rangle^2 (u_{/a} \langle /a \rangle^2 + u_{/b} \langle /b \rangle^2)$

Вот и появились элементы копространства. Давайте присмотримся к нему внимательнее.

Дуальные полиформы и коформы

Полиформа графа определена, если известны значения связей между его вершинами. Для такой полиформы можно рассчитать потенциалы (нормы) векторов, - то есть значения связей определяют метрические характеристики. Но часто бывает и другая ситуация - известны расстояния между вершинами (потенциалы), а связи как раз неизвестны. Вопрос - можно ли создать полиформу на основании значений норм векторов? Ответ известен - да. Но как построить полиформу от обратного? Надо использовать свойства коэлементов.

Нам нужна некая форма, образованная коэлементами, которая была бы дуальна форме вектора. Приведенная в предыдущем разделе допредельная полиформа, определяющая потенциал вектора, не подходит, поскольку она состоит из суммы двух форм (с двумя разными коэффициентами), а нам нужна одна с одним коэффициентом.

Построим из двух коэлементов полярную форму (коформу):

$F^{ab} = -\{ /a, /b \} = -(\langle /a, /b \rangle + \langle /b, /a \rangle)/2$

Формы, образованные элементами копространства, обозначаем верхними индексами. В обычном пространстве данной форме соответствует допредельная полярная форма, которая получается умножением исходной на предельную форму справа:

$F_{ab} = F^{ab} * \langle I \rangle^2 = -\{ /a, /b \}* \langle I \rangle^2$

Например, для пространства из трех вершин получим:

$F_{ab} = -\{ /a, /b \}* \langle abc \rangle^2 = \{bc, ca \}$

Данная полиформа имеет интересные свойства. В некотором смысле она ортогональна формам векторов, поскольку при умножении ее на форму связи (вектора) получим ноль для всех форм, кроме формы вектора, образованного элементами a, b . Для него получим предельную форму:

$\langle ab \rangle^2 * F_{ab} = \langle I \rangle^2, \quad \langle bc \rangle^2 * F_{ab} = 0$ .

Несложно понять, почему так происходит. Если предельную границу умножить на коэлемент, то получим допредельную границу из всех элементов, кроме удаленного. Поэтому чтобы при умножении на вектор восстановить предельную границу надо, чтобы удаленный элемент входил в этот вектор. Тогда другим элементов вектор "зацепится" за границу и произойдет слияние. Если же вектор образован другими вершинами, то они также будут содержаться в допредельной границе и поэтому результатом умножения будет ноль.

Форма $F_{ab}$ называется дуальной формой вектора - она образована элементами того же пространства, что и вектор. Форма $F^{ab}$ является обратной формой (коформой) вектора. Она принадлежит копространству.

Если из дуальных форм векторов образовать линейную комбинацию (с коэффициентами равным потенциалам соответствующего вектора), то при умножении формы вектора на данную комбинацию сократятся все слагаемые, кроме одного. То есть останется как раз нужный потенциал вектора. Для трех элементов данная грейд-форма будет такой:

$G^{(1)}_{abc} = u_{ab} F_{ab} + u_{bc} F_{bc} + u_{ac} F_{ac}$

А если перейти в копространство, то данной грейд-форме будет соответствовать линейная комбинация коформ векторов:

$G_{(1)}^{abc} = u_{ab} F^{ab} + u_{bc} F^{bc} + u_{ac} F^{ac}$

Данное выражение является основанием полиформы в двумерном копространстве. В многомерном случае кооснование будет суммой по всем сочетаниям коэлементов, что можно представить в виде:

$/G = -\sum_{xy} {u_{xy} \{ /x, /y \} }$

Дуальное основание графов не содержит квадратичные коформы вида $\{ /x, /x \} == \langle /x \rangle^2$ . Данные коформы соответствуют нормам элементов (вершин). Нулевая норма соответствует элементам-точкам.

Ну а дальше все так же, как и в случае с основанием полиформы в обычном пространстве. Основание кополиформы можно возводить в степень, получая грейд-коформы более высокого порядка. Предельная степень для коформ равна размерности пространства (на 1 меньше количества элементов предельного симплекса).

Возведем в квадрат приведенное выше кооснование трех вершин и переведем полученную грейд-форму в обычное пространство умножением на предельную форму. Получим скаляр:

$(G^{abc})^2 * \langle I \rangle^2 = -(u_{ab}^2 + u_{bc}^2 + u_{ac}^2)/4 + (u_{ab} u_{bc} + u_{bc} u_{ac} + u_{ab} u_{ac})/2 = u_{abc}$

Если кто не узнал, то данное тождество - это формула Герона для квадрата площади треугольника $u_{abc} = 4S_{abc}^2$ (напомним, что потенциалы - это квадраты расстояний, соответственно квадраты потенциалов - это 4-я степень расстояния). Таким образом коформы также позволяют рассчитывать метрические характеристики пространства и получать тождества как следствие правил умножения и сложения элементов.

С коформами мы только размялись, но силы писателя (и читателей, думаю, тоже) на исходе. Возможно, в некоторые вопросы углубились чересчур подробно. Но зато теперь с билинейными формами кое-что прояснилось, да?

Осталось несколько тем, которые мне кажутся интересными - теорема о симметрических полиформах, полиформы направленных графов, связь спектров и полиформ (характеристические многочлены). Если кто-то тоже считает их интересными, напишите, пожалуйста, в комментариях. Спасибо ).

Теги:

Хабы:

Математика