Представьте, что у вас нет под рукой калькулятора (но есть циркуль и линейка или угольник) и вам нужно посчитать результат в виде отрезка. Задача решается за менее чем 5 простых шагов.
Базовая формула вычисления
Для начала докажем одну формулу, которая нам будет помогать с дальнейшим решением.
![](https://habrastorage.org/getpro/habr/upload_files/b87/c92/d36/b87c92d367b5ba5a82c92230b0c89038.jpg)
В прямоугольном треугольнике ABC
проведем высоту h
на сторону C
. По теореме Пифагора выводим:
Подставляем всё в первую формулу:
И если раскрыть скобки:
После сокращения получаем:
Вот с помощью этой формулы и будем выводить наши решения.
Единичная мера длины
Так как мы вычисления проводим на плоскости с отрезками, нам необходимо определиться с мерой единичной длины равной 1
. Если мы отложим отрезок 1
дециметр, то он так же будет равен 10
сантиметрам, 100
миллиметрам или 4
дюймам. Один отрезок и 4 разных чисел разной меры длины его определяют. Что бы выбрать одну систему счисления длин отрезков, примем за единицу длины какой-то отрезок. Какой - определим по ходу расчетов, и он зафиксирует нужную меру длины.
Циркуль как универсальный инструмент
Циркуль удобно использовать как средство:
отмерить отрезок определенной длины, при этом знать величину этой длины совершенно нет надобности.
прочертить дугу на одинаковом расстоянии от определённой точки.
отложить перпендикуляр к линии через определённую точку. Для этой цели удобнее использовать угольник с прямым углом, чем циркулем чертить 4 дуги.
Вычисление квадрата длины
Для вычисления квадрата величины X
используем нашу формулу в виде:
Чертим прямую линию достаточной длины.
![](https://habrastorage.org/getpro/habr/upload_files/8e8/b34/a1d/8e8b34a1dd95ca28b67362a279aa2ef7.jpg)
Откладываем на ней отрезок единичной длины.
![](https://habrastorage.org/getpro/habr/upload_files/a6d/272/cc3/a6d272cc331163294a448cb21259bc41.jpg)
От правого конца единичного отрезка 1
откладываем вверх перпендикуляр длиной X
.
![](https://habrastorage.org/getpro/habr/upload_files/8bb/5a1/cf3/8bb5a1cf31f9ca52acf49bae4b1a6c8e.jpg)
Проводим линию от левого конца единичного отрезка 1
до верхнего конца отрезка X
.
![](https://habrastorage.org/getpro/habr/upload_files/2fe/bcb/f42/2febcbf4273d433d648f6adb2cc18651.jpg)
От этого отрезка откладываем перпендикуляр на линию продолжения единичного отрезка 1
. Их пересечение и есть правый край квадрата длины. Левый край начинается от точки, где отложена высота.
![](https://habrastorage.org/getpro/habr/upload_files/e9e/086/213/e9e0862133e94bb3f187078424f90318.jpg)
Пример. У вас есть какой-то квадрат, со стороной X
, начерченный на плоскости или на земле. Нужно узнать его площадь в попугаях. Одна сторона квадрата длиной X
у нас уже есть. На соседней стороне откладываем длину одного попугая (там где 1
находится). Соединяем концы линией, откладываем перпендикуляр, продлеваем отрезок с попугаями до перпендикуляра и получаем решение в квадратных попугаях.
Вычисление квадратного корня длины
Для вычисления квадратного корня величины используем нашу формулу в виде:
Чертим прямую линию достаточной длины.
![](https://habrastorage.org/getpro/habr/upload_files/c2c/7c5/a91/c2c7c5a91ef4b1181388358af77b3730.jpg)
Откладываем на ней единичный отрезок длины 1.
![](https://habrastorage.org/getpro/habr/upload_files/d74/aed/d9a/d74aedd9a116d4cc5a8ca18279a7845a.jpg)
На продолжении единичного отрезка откладываем отрезок длины X
.
![](https://habrastorage.org/getpro/habr/upload_files/19d/2d9/f37/19d2d9f371a3efd27e689a045d45943c.jpg)
Полученный отрезок 1+X
делим пополам с помощью циркуля и получаем точку O
. Как это сделать, приводить здесь не буду, это задачка из школьного курса. Обозначим длину найденной половины как R
.
![](https://habrastorage.org/getpro/habr/upload_files/57c/ebe/4de/57cebe4dee82e636067d693c1fac4db5.jpg)
Вокруг центра O
, циркулем нарисуем дугу радиусом R
.
![](https://habrastorage.org/getpro/habr/upload_files/88f/573/b93/88f573b93b7c39b77bd483dad61948b5.jpg)
От правого конца отрезка 1 отложим вверх перпендикуляр до пересечения с дугой окружности. Длина этого перпендикуляра и будет равна корню квадратному из длины X
.
![](https://habrastorage.org/getpro/habr/upload_files/1db/593/ec4/1db593ec43584c48f8bed0e82448756c.jpg)
Вычисление обратной величины длины
Для вычисления обратной величины длины используем нашу формулу в виде:
Решение очень похоже на нахождение квадрата величины, только a
и h
меняются местами.
Чертим прямую линию достаточной длины.
![](https://habrastorage.org/getpro/habr/upload_files/610/dfa/9a1/610dfa9a169a04b7047675f9472550d4.jpg)
Откладываем на ней отрезок длины X
.
![](https://habrastorage.org/getpro/habr/upload_files/d2d/33d/8e8/d2d33d8e8ef708a24abd511079f8b23f.jpg)
От правого края отрезка X
откладываем вверх перпендикуляр единичной длины 1
.
![](https://habrastorage.org/getpro/habr/upload_files/db3/f33/d4d/db3f33d4d91105ee19d848b52dbb6359.jpg)
Соединяем концы отрезков линией.
![](https://habrastorage.org/getpro/habr/upload_files/9eb/6bb/473/9eb6bb473660a5ff3711a759ffd85644.jpg)
От верхнего конца отрезка X
откладываем перпендикуляр к линии продолжения отрезка 1
. Полученный отрезок и есть решение.
![](https://habrastorage.org/getpro/habr/upload_files/7ce/62f/9fb/7ce62f9fbe8f5843d5aa32d8016701f5.jpg)
Выводы
Приведенные выкладки удобны, когда не хочется возиться с цифрами и их арифметическими вычислениями, которые всё равно будут обратно приложены к длинам отрезков.
Если величина X
сильно отличается от единичного отрезка 1
, ошибка вычисления может быть значительной. Но если применить масштабирование, то ошибку можно значительно уменьшить. Например, при захождении корня длины 20, его можно поделить на 16 (4 раза поделить пополам), а потом ответ умножить на 4 (4 раза отложить полученный отрезок).