Привет, Хабр!
В свободное от учебы время пишу статьи, которых мне не хватало несколько лет назад.
Алгоритмы нахождения MST применимы в различных областях, начиная от кластеризации данных до построения компьютерных, транспортных сетей.
Я надеюсь, что вы после прочтения данной статьи, примерно понимали, как работают жадные алгоритмы нахождения MST.
Визуализация графов проводится с помощью graphonline.
Формальная постановка задачи
Имеется следующий неориентированный взвешенный граф. Назовем остовным деревом подграф, содержащий все вершины исходного графа, который является деревом. И задача состоит в том, чтобы найти такое остовное дерево, сумма рёбер которого минимальна.
Неформальная постановка задачи
Представьте исходный граф без рёбер, теперь вам нужно как-то соединить все вершины между собой, чтобы можно было бы попасть из любой вершины в другую, не имея при этом циклов в получившемся графе с минимально возможной суммой весов включенных рёбер.
Алгоритм Краскала
Механизм, по которому работает данный алгоритм, очень прост. На входе имеется пустой подграф, который и будем достраивать до потенциального минимального остовного дерева. Будем рассматривать только связные графы, в другом случае при применении алгоритма Краскала мы будем получать не минимальное остовное дерево, а просто остовной лес.
Вначале мы производим сортировку рёбер по неубыванию по их весам.
Добавляем
i-оеребро в наш подграф только в том случае, если данное ребро соединяет две разные компоненты связности, одним из которых является наш подграф. То есть, на каждом шаге добавляется минимальное по весу ребро, один конец которого содержится в нашем подграфе, а другой - еще нет.Алгоритм завершит свою работу после того, как множество вершин нашего подграфа совпадет с множеством вершин исходного графа.
Данный алгоритм называется жадным из-за того, что мы на каждом шаге пытаемся найти оптимальный вариант, который приведет к оптимальному решению в целом.
Разбор конкретного примера по шагам
Из представленного сверху графа, выпишем все его ребра в отсортированном порядке:
1) D <--> B; w = 2
2) D <--> C; w = 6
3) A <--> B; w = 7
4) A <--> C; w = 8
5) C <--> E; w = 9
6) D <--> F; w = 9
7) F <--> E; w = 10
8) B <--> C; w = 11
9) D <--> E; w = 11
И начнем по списку добавлять эти ребра в наш остов:
При добавлении в наше остовное дерево ребра A <--> C, как вы можете заметить, образовывается цикл, поэтому мы просто пропускаем данное ребро.
По итогу у нас образовывается следующий подграф, и как вы заметили, мы соединили все вершины ребрами с минимально-возможными весами, а значит, нашли минимальное остовное дерево для нашего исходного графа.
Проводим проверку с помощью встроенного алгоритма для нахождения MST на graphonline, и видим, что подграфы идентичны.
И да, из-за того, что при равенстве весов рёбер мы можем выбрать любое из них, конечные подграфы, являющиеся минимальными остовными деревьями, могут различаться с точностью до некоторых рёбер.
Суммарный вес искомого MST равен 33.
Реализация
Реализовать представленный алгоритм проще всего с помощью СНМ(система непересекающихся отрезков).
Вначале, как мы уже раннее говорили, необходимо отсортировать ребра по неубыванию по их весам. Далее с помощью вызовов функции make_set()мы каждую вершину можем поместить в свое собственное дерево, то есть, создаем некоторое множество подграфов. Дальше итерируемся по всем ребрам в отсортированном порядке и смотрим, принадлежат ли инцидентные вершины текущего ребра разным подграфам с помощью функции find_set() или нет, если оба конца лежат в разных компонентах, то объединяем два разных подграфа в один с помощью функции union_sets().
В итоге асимптотическая сложность данного алгоритма сводится к:
, где:sort() - 
make_set()- 
find_set - 
union_sets - 
Псевдокод
vector<int> parent, rank;
void make_set(int v) {
parent[v] = v;
rank[v] = 0;
}
int find_set(int v) {
if (v == parent[v])
return v;
return parent[v] = find_set(parent[v]);
}
void union_sets(int a, int b) {
a = find_set(a);
b = find_set(b);
if (a != b) {
if (rank[a] < rank[b])
swap(a, b);
parent[b] = a;
if (rank[a] == rank[b])
rank[a]++;
}
}
struct Edge {
int u, v, weight;
bool operator<(Edge const& other) {
return weight < other.weight;
}
};
int n;
vector<Edge> edges;
int cost = 0;
vector<Edge> result;
parent.resize(n);
rank.resize(n);
for (int i = 0; i < n; i++)
make_set(i);
sort(edges.begin(), edges.end());
for (Edge e : edges) {
if (find_set(e.u) != find_set(e.v)) {
cost += e.weight;
result.push_back(e);
union_sets(e.u, e.v);
}
}Алгоритм Прима
Суть самого алгоритма Прима тоже сводится к жадному перебору рёбер, но уже из определенного множества. На входе так же имеется пустой подграф, который и будем достраивать до потенциального минимального остовного дерева.
Изначально наш подграф состоит из одной любой вершины исходного графа.
Затем из рёбер инцидентных этой вершине, выбирается такое минимальное ребро, которое связала бы две абсолютно разные компоненты связности, одной из которых и является наш подграф. То есть, как только у нас появляется возможность добавить новую вершину в наш подграф, мы тут же включаем ее по минимальмально возможному весу.
Продолжаем выполнять предыдущий шаг до тех пор, пока не найдем искомое MST.
Разбор конкретного примера
Выбираем чисто случайно вершину E,далее рассмотрим все ребра исходящие из нее, включаем в наше остовное дерево ребро C <--> E; w = 9, так как данное ребро имеет минимальный вес из всех рёбер инцидентных множеству вершин нашего подграфа. Имеем следующее:
Теперь выборка производится из рёбер:
D <--> C; w = 6
A <--> C; w = 8
F <--> E; w = 10
B <--> C; w = 11
D <--> E; w = 11
То есть, в данный момент, мы знаем только о двух вершинах, соответственно, знаем о всех ребрах, исходящих из них. Про связи между другими вершинами, которые не включены в наш подграф, мы ничего не знаем, поэтому они на этом шаге не рассматриваются.
Добавляем в наш подграф реброD <--> C и по аналогии добаляем ребро D <--> B. Получаем следующее:
Давайте добьем наш подграф до минимального остовного дерева. Вы, наверное, уже догадались о том, по каким ребрам мы будем связывать наши оставшиеся вершины: A и F.
Проводим последние штрихи и получили тот же самый подграф в качестве минимального остовного дерева. Но как мы раннее говорили, сам подграф ничего не решает, главное тут - множество рёбер, которые включены в наше остовное дерево.
Суммарный вес искомого MST равен 33.
