Физическая и математическая реальности

Эта статья является второй частью конспекта книги «Наша математическая вселенная. В поисках фундаментальной природы реальности» (автор Макс Тегмарк).

Невероятная эффективность математики в естественных науках есть нечто граничащее с мистикой, ибо никакого рационального объяснения этому факту нет.

Юджин Вигнер (1960)

Идея, что Вселенная в некотором смысле является математической, восходит по меньшей мере к пифагорейцам и породила многовековую дискуссию физиков и философов. Галилей утверждал, что Вселенная – это «величественная книга», написанная на языке математики. Лауреат Нобелевской премии по физике Юджин Вигнер в 60-х годах XX века настаивал, что «невероятная эффективность математики в естественных науках» нуждается в объяснении.

Если оглядеться. Где вся эта математика, которой мы собираемся заниматься? Разве математика – это не наука о числах? Вероятно, вам на глаза попадется несколько чисел, например, время на часах, но это лишь символы, изобретенные и изображенные людьми, так что вряд ли они отражают математическую сущность Вселенной в каком-либо глубоком смысле.

Галилей говорит о геометрических фигурах вроде окружностей и треугольников как о математических. Видите ли, вы вокруг себя геометрические узоры или фигуры? (Дизайн предметов в виде различных форм не в счет.) Но попробуйте бросить камешек и посмотрите, какую красивую форму придает природа его траектории. Галилей сделал открытие: траектория любых предметов имеет одинаковую форму, называемую перевернутой параболой. Более того, форму этой параболы можно описать простым уравнением: x = y², где x – горизонтальное положение, y – вертикальное положение. В зависимости от начальной скорости и направления эта форма может растягиваться и по вертикали, и по горизонтали, однако она всегда остается параболой.

Когда мы наблюдаем, как объекты движутся по орбитам в космосе, мы открываем другую повторяющуюся форму – эллипс. А эллипс – это просто растянутая окружность. В зависимости от начальной скорости, направления движущегося по орбите объекта и массы, вокруг которой он движется, форма этой орбиты может оказываться растянутой или наклоненной, однако всегда остается эллипсом.

Постепенно люди открыли в природе множество других повторяющихся форм и паттернов, охватывающих не только движение и гравитацию, но и такие разные области, как электричество, магнетизм, свет, теплота, химия, радиоактивность и субатомные частицы. Эти паттерны складываются в законы физики. Как и форму эллипса, эти законы можно описать, применяя математические уравнения (рис. 1).

Уравнения – не единственный скрытый в природе намек на математику: есть также числа. Тегмарк имеет ввиду не о творениях рук человеческих, вроде пагинации в книге, а о числах, которые выражают фундаментальные свойства нашей физической реальности. Сколько карандашей вы сможете расположить так, чтобы все они были перпендикулярны (под углом 90°) друг другу? Три. Откуда взялось число 3? Мы называем его размерностью пространства, но почему существует именно 3 измерения, а не 2, 4 или 42? Почему в нашей Вселенной существует (насколько ученные могут судить) ровно шесть типов кварков? Есть много других «встроенных» в природу целых чисел, которые описывают, какого типа элементарные частицы существуют. Также существуют закодированные в природе величины, которые не являются целыми числами и требуют для записи дробных значений.

Относится ли к ним число, которое появляется на индикаторе весов, когда вы встаете на них? Нет, поскольку является мерой чего-либо (вашей массы), что день ото дня изменяется, а значит, не является фундаментальным свойством нашей Вселенной. Что можно сказать о массе протона (1,672622 × 10^–27 кг) или о массе электрона (9,109382 × 10^–31 кг), которые кажутся неизменными во времени? Они также не в счет, поскольку измеряются в килограммах, а это произвольная единица массы, придуманная людьми. Но если вы разделите одно из этих двух чисел на другое, получится нечто поистине фундаментальное: протон примерно в 1836,15267 раз массивнее электрона. Значение 1836,15267 – безразмерное число, подобное π или √2, в том смысле, что его значение не зависит ни от каких человеческих единиц измерения, вроде граммов, метров, секунд или вольт. Почему это значение так близко к 1836? Почему не 2013? Простой ответ состоит в том, что ученые этого не знают.

В нашей Вселенной есть нечто сугубо математическое, и чем пристальнее мы всматриваемся, тем, похоже, больше математики видим. Что касается природных констант, то имеются сотни тысяч безразмерных чисел, измеренных в разных областях физики: от отношения масс элементарных частиц до отношений характерных длин волн света, испускаемого различными молекулами. С помощью компьютеров, достаточно мощных, чтобы решать уравнения, описывающие законы природы, все до одного эти числа могут быть определены. Некоторые вычисления и измерения крайне сложны, и их до сих пор не удалось выполнить, а когда удастся, то, возможно, числа в теории и эксперименте не совпадут. Такого рода расхождения не раз случались в прошлом и, как правило, разрешались одним из трех способов:

1. Кто-нибудь находил ошибку в эксперименте.

2. Кто-нибудь находил ошибку в вычислениях.

3. Кто-нибудь находил ошибку в наших законах физики.

В последнем случае обычно удавалось найти более фундаментальные законы физики – как тогда, когда замена ньютоновских уравнений для гравитации эйнштейновскими позволила объяснить, почему Меркурий обращается вокруг Солнца не по идеальному эллипсу. Во всех случаях ощущение, что в природе есть нечто математическое, лишь усиливалось.

Дополнительные улики

Что делать со всеми этими намеками на присутствие математики в нашем физическом мире? Большинство физиков привыкло, что природа по некоей причине описывается математикой, по крайней мере приближенно, и признают это как факт.

Почему математика так успешно описывает природу? Как говорил Вигнер: это требует объяснения. Мы постоянно сталкиваемся с уликами, указывающими на то, что математика не просто описывает природу. В некоторых отношениях природа является математической:

1. Сама ткань нашего физического мира, его пространство, является чисто математическим объектом в том смысле, что все неотъемлемые свойства пространства – число измерений, кривизна и топология – являются математическими.

2. «Начинка» нашего физического мира состоит из элементарных частиц, которые, в свою очередь, являются чисто математическими объектами в том смысле, что все их неотъемлемые свойства (например, заряд, спин) являются математическими.

3. Существует нечто, возможно, даже более фундаментальное, чем наше трехмерное пространство с частицами в нем – это волновая функция и бесконечномерное гильбертово пространство, в котором она обитает. Частицы могут создаваться и уничтожаться, а также находиться в нескольких местах одновременно, однако была и всегда будет лишь одна волновая функция, движущаяся по гильбертову пространству в соответствии с уравнением Шредингера. И волновая функция, и гильбертово пространство являются чисто математическими объектами.

Гипотеза математической Вселенной

Однажды вечером в 1990 году Тегмарку пришло в голову, что наша реальность непросто описывается математикой, но и является математикой в очень специфическом смысле. Не какие-то ее аспекты, а вся целиком, включая нас самих.

Прежде чем погружаться в детали, вот логическая структура, к которой он прибегает, размышляя об этом. Во-первых, есть две гипотезы. Первая, гипотеза внешней реальности (ГВР), кажется безобидной: Существует внешняя физическая реальность, совершенно независимая от людей. Вторая, гипотеза математической Вселенной (ГМВ), выглядит куда радикальнее: Наша внешняя физическая реальность является математической структурой.

Во-вторых, у Тегмарка есть доказательство того, что при достаточно широком определении математической структуры из первой гипотезы вытекает вторая.

Первое допущение, гипотеза внешней реальности, не вызывает серьезных споров: большинство физиков согласно с этой старой идеей. В предположении, что внешняя реальность существует, цель физических теорий состоит в описании того, как она устроена. Наиболее успешные теории, например, общая теория относительности и квантовая механика, описывают лишь часть этой реальности: гравитацию или, скажем, поведение субатомных частиц. Но Святой Грааль теоретической физики – это «теория всего», исчерпывающее описание реальности.

Уменьшение нормы разрешенного багажа

Если мы признаем, что реальность существует независимо от людей, то чтобы ее описание было полным, оно должно также быть корректно определенным для нечеловеческих существ – скажем, инопланетян или суперкомпьютеров, – которые не знакомы с человеческими понятиями. Иначе говоря, такое описание должно выражаться в форме, лишенной всякого человеческого «багажа» вроде понятий «частица», «наблюдение» и других слов естественного языка.

При этом все физические теории содержат две компоненты: математические уравнения и «багаж» – слова, объясняющие, как эти уравнения связаны с тем, что мы наблюдаем и интуитивно понимаем. Выводя из теории следствия, мы придумываем для них новые понятия и слова, например, атомы, молекулы, звезды, поскольку ими удобно пользоваться. Важно помнить, однако, что эти понятия придуманы людьми. В принципе, все может быть вычислено без «багажа». Гипотетический идеальный суперкомпьютер способен вычислить, как состояние Вселенной изменяется во времени, без «человеческой» интерпретации, просто рассчитывая, как будут двигаться все частицы или как будет изменяться волновая функция.

Другой замечательный факт: нередко можно математически предсказать существование заслуживающих имени сущностей, опираясь на уравнения, управляющие их частями. На этом пути можно предсказать всю «легоподобную» иерархию структур, от элементарных частиц до атомов с молекулами, а также все объекты на каждом уровне, которым люди дали запоминающиеся имена. Например, если вы решаете уравнение Шредингера для пяти или менее кварков, то оказывается, что есть лишь два способа, которыми они могут быть достаточно стабильно организованы: либо как сгустки из двух верхних кварков и одного нижнего, либо как сгустки из двух нижних кварков и одного верхнего. Люди ради удобства добавили в свой «багаж» названия для сгустков этих двух типов: протоны и нейтроны.

Тегмарк рассматривает такие составные объекты как эмерджентные в том смысле, что они возникают как решения уравнений, описывающих более фундаментальные объекты. Их эмерджентность – трудноуловимое свойство, поскольку исторически научный прогресс по большей части шел в противоположном направлении. Так, люди узнали о звездах прежде, чем поняли, что они состоят из атомов; узнали об атомах прежде, чем поняли, что они состоят из электронов, протонов и нейтронов и так далее. Для каждого эмерджентного объекта, который для нас важен, люди собрали «багаж» в форме новых понятий.

Того же характера эмерджентность и накопление человеческого «багажа» видны на рис. 2. На рисунке приведена грубая схема организации научных теорий в генеалогическое древо, в котором каждая теория может быть выведена из более фундаментальных. Все эти теории имеют две составляющие: математические уравнения, а также слова, которые объясняют, как уравнения связаны с тем, что мы наблюдаем. На каждом уровне иерархии теорий вводятся новые понятия, потому что они удобны и охватывают суть того, что происходит, без обращения к вышестоящей, более фундаментальной теории. Все эти понятия вводят люди: в принципе, все может быть выведено из фундаментальной теории на вершине древа, хотя такой крайний редукционизм на практике обычно бесполезен. Грубо говоря, по мере движения вниз по древу количество слов увеличивается, а уравнений – уменьшается, едва не достигая нуля в таких предельно прикладных сферах, как медицина или социология. Напротив, теории, близкие к вершине, сильно математизированы, и физики с трудом описывают понятия в доступном обывателю виде, если это вообще возможно.

Чего-то недостает: нет целостной теории, объединяющей гравитацию и квантовую механику. ТВ («теория всего») стала бы полным описанием внешней физической реальности, существование которой предполагается в гипотезе внешней реальности. Полное описание должно быть свободно от любого «багажа», то есть не должно содержать никаких понятий. Иными словами, оно должно быть чисто математической теорией без объяснений или «постулатов». Так что бесконечно разумный математик должен быть способен вывести все древо теорий (рис. 2) лишь из этих уравнений, извлекая из них свойства физической реальности, которую они описывают, свойства ее обитателей, их восприятие мира и даже слова, которые они придумывают. Все это неуклонно ведет к вопросу: действительно ли можно найти такое описание внешней реальности, в котором не было бы никакого «багажа»?

Современная математика – это формальное исследование структур, которые можно определить чисто абстрактным способом, без человеческого «багажа». Считайте математические символы просто метками без внутреннего содержания. Обозначения, используемые для указания сущностей и их взаимосвязей, не имеют значения; целые числа обладают лишь теми свойствами, которые связывают их между собой. То есть мы не изобретаем математические структуры: мы открываем их, а изобретаем лишь обозначения для их описания.

Итак, два основных вывода:

1. Из гипотезы внешней реальности вытекает, что «теория всего» (полное описание нашей внешней физической реальности) не содержит «багажа».

2. Нечто, имеющее описание, совершенно свободное от «багажа», – это не что иное, как математическая структура.

Из этих тезисов вытекает гипотеза математической Вселенной, то есть утверждение о том, что внешняя физическая реальность, описываемая посредством «теории всего», является математической структурой. Если вы верите во внешнюю реальность, независимую от людей, то вы должны поверить и в то, что наша физическая реальность является математической структурой. Иными словами, мы живем в гигантском математическом объекте – вероятно гораздо более сложном, чем объекты с пугающими названиями вроде многообразий Калаби–Яу, тензорных расслоений или гильбертовых пространств, которые появляются в передовых современных физических теориях. Все в нашем мире чисто математическое – включая нас самих.

«Багаж» и эквивалентные описания

Итак, люди пополняют свои описания «багажом». Теперь взглянем с другой стороны: как математическая абстракция может избавлять от «багажа», «обнажая» вещи до самой их сути.

Абстрактная партия в шахматы не зависит от цвета или формы фигур, от того, описываются ли ходы движениями фигур на физически существующей доске, на стилизованном компьютерном изображении или с применением алгебраической шахматной нотации – это все равно та же партия. Аналогично математическая структура не зависит от символов, которые используются для ее описания (рис. 3).

Рассмотрим подробнее, как мы описываем абстрактные сущности. Прежде всего описание должно быть конкретным, так что нужно изобрести объекты, слова, символы, соответствующие абстрактной идее. Так, в США шахматную фигуру, которая ходит по диагонали, называют bishop («епископ»). Во-вторых, очевидно, что это название произвольно и другие были бы ничуть не хуже. В самом деле, эта фигура называется fou («дурак») по-французски, strelec («стрелок») по-словацки, löpare («бегун») по-шведски, fil («слон») по-персидски.

Любые слова, понятия или символы, которые появляются в некоторых, но не во всех эквивалентных описаниях, очевидно, являются необязательными, а значит, относятся к «багажу». Но если мы хотим определить сущность шахматной партии, сколько «багажа» мы можем выбросить? Очевидно, много: компьютеры способны играть в шахматы, не имея никакого представления о человеческом языке или понятиях вроде цвета, текстуры, размеров и названий фигур. Чтобы до конца понять, как далеко мы можем зайти, необходимо дать строгое определение эквивалентности: Два описания эквивалентны, если между ними существует соответствие, которое сохраняет все отношения.

В шахматах используются абстрактные сущности (фигуры и поля на доске) и отношения между ними. Одно из отношений, которое фигура может иметь с полем, заключается в том, что первая стоит на втором. Другое отношение, которое фигура может иметь к полю, состоит в том, что ей позволено на него переместиться. Две центральные иллюстрации на рис. 3, согласно нашему определению, эквивалентны: между трехмерными и двумерными фигурами и досками существует соответствие, так что любой трехмерной фигуре, стоящей на определенном поле, соответствует двумерная фигура на соответствующем поле.

Когда в шахматы играют компьютеры, они обычно пользуются иными абстрактными описаниями позиций, представляющими собой схемы из нулей и единиц в памяти. Так что остается после того, как мы избавляемся от «багажа»? Что именно описывается эквивалентными описаниями? Шахматная партия, на 100 % очищенная.

«Багаж» и математические структуры

Разобранный случай с абстрактными шахматными фигурами, полями на доске и отношениями между ними – это пример гораздо более общего понятия – математической структуры. Математическая структура – это набор абстрактных сущностей с отношениями между ними.

На рис. 4 (слева) описываются математические структуры с четырьмя сущностями, связанными между собой отношением нравится. Сущность Филипп представлена изображением с множеством внутренних свойств, таких, например, как цвет волос. Напротив, сущности математических структур совершенно абстрактны, что предполагает отсутствие у них каких бы то ни было внутренних свойств.

Рассмотрим более строгое описание, представленное на среднем рисунке. Оно эквивалентно первому, поскольку, если установить соответствие согласно следующему словарю: Филипп = 1, Александр = 2, лыжи = 3, скейтборд = 4, нравится = R, все отношения сохранятся.

В правой части рис. 4 представлено третье эквивалентное описание нашей математической структуры с помощью числовой таблицы четыре на четыре. В таблице значение 1 указывает, что отношение (нравится) имеет место между элементом, соответствующим данной строке, и элементом, соответствующим данному столбцу. Скажем, тот факт, что в третьей колонке первой строки стоит 1, означает, что «Филиппу нравятся лыжи».

По итогу есть лишь одна уникальная математическая структура, которая описывается всеми этими способами. Итак, любое конкретное описание математической структуры несет «багаж», но сама структура его не содержит. Важно не путать описание с тем, что именно описывается: даже кажущееся наиболее абстрактным описание математической структуры не является самой этой структурой. Правильнее сказать, что структуре соответствует класс всех эквивалентных ее описаний. В табл. 1 дана сводка отношений между ключевыми понятиями, связанными с идеей математической Вселенной.

Табл. 1.

Симметрия и другие математические свойства

Однако, согласно популярному определению, математика – это «формальное изучение математических структур» (от куба, целых чисел до экзотических, вроде банаховых пространств). Одна из наиболее важных задач математиков при изучении математических структур – это доказательство теорем об их свойствах. Но что за свойства может иметь математическая структура, если ее сущностям и отношениям не позволено иметь никаких внутренних свойств?

Рассмотрим математическую структуру, описанную в левой части рис. 5. Между входящими в нее сущностями нет никаких отношений, так что нет ничего, что позволило бы отличить одну из этих сущностей от любой другой. Значит, данная математическая структура не имеет никаких свойств, кроме мощности – числа сущностей в ней. Математики называют эту математическую структуру «множеством из восьми элементов», и единственное ее свойство – наличие восьми элементов.

Среднее изображение на рис. 5 описывает другую математическую структуру с восемью элементами, которая включает их отношения. Одно из описаний этой структуры состоит в том, что ее элементы – это вершины куба, а отношения задают, какие вершины соединены между собой ребрами. Помните, однако, что не следует путать описание с тем, что описывается: математическая структура не имеет собственных свойств (например, размера, цвета, текстуры или состава) – она содержит только восемь связанных отношениями сущностей, которые вы можете по желанию интерпретировать как вершины куба. В правой части рис. 5 представлено эквивалентное определение этой математической структуры без ссылок на геометрические понятия вроде «куб», «вершина» или «ребро».

Но если сущности внутри этой структуры не имеют собственных свойств, то могут ли иметься такие свойства у самой структуры? Да – это симметрия (табл. 1). В физике нечто называют обладающим симметрией, если оно остается неизменным, когда вы определенным образом преобразуете его.

Знаменитый больной вопрос философии – проблема бесконечного регресса. Например, если мы говорим, что свойства алмаза объясняются свойствами и расположением в нем атомов углерода, свойства атомов углерода – свойствами и расположением в них протонов, нейтронов и электронов, а свойства протонов – свойствами и расположением в них кварков, кажется, что мы обречены вечно пытаться объяснять свойства этих составных частей. Гипотеза математической Вселенной предлагает радикальное решение этой проблемы: на нижнем уровне реальность – это математическая структура, так что ее части вообще не имеют внутренних свойств. Иными словами, из гипотезы математической Вселенной вытекает, что мы живем в реляционной реальности, то есть свойства окружающего мира обусловлены не свойствами первичных «строительных блоков», из которых он сложен, а отношениями между «блоками». Внешняя физическая реальность является, таким образом, чем-то большим, нежели суммой ее частей. Она может иметь много интересных свойств, хотя ее части вообще не имеют собственных свойств.

Каждую математическую структуру можно проанализировать на предмет симметричности, и у многих обнаруживаются интересные симметрии. Одним из самых важных открытий в физике стало наличие встроенных симметрий и у нашей физической реальности. Так, законы физики обладают вращательной симметрией, то есть во Вселенной нет выделенного направления, которое можно было бы назвать «верхом». Они также, по-видимому, имеют трансляционную симметрию (относительно сдвига), то есть нет особого места, которое можно было бы назвать центром пространства. В XX веке было открыто множество симметрий природы. Они лежат в основе эйнштейновских теорий относительности, квантовой механики и Стандартной модели элементарных частиц.

Свойства симметрии, столь важные для физики, появляются именно благодаря отсутствию собственных свойств у «строительных блоков» реальности. Если бы точки трехмерного пространства обладали свойствами, которые делали бы одни точки внутренне отличными от других, пространство утратило бы свою вращательную и трансляционную симметрию. «Меньше – это больше» в том смысле, что чем меньше свойств имеют точки, тем больше симметрий у пространства.

Если гипотеза математической Вселенной верна, то наша Вселенная является математической структурой, и из ее описания бесконечно разумный математик должен иметь возможность вывести все физические теории. Как именно он это сделает? Ученые не знают. Но Тегмарк уверен, что первым его шагом стало бы определение симметрий этой математической структуры.

Резюме

• Физики продолжают открывать в природе формы, схемы и закономерности, которые удается описывать математическими уравнениями.

• Ткань нашей физической реальности содержит десятки безразмерных чисел, исходя из которых, в принципе, можно вычислить все измеримые постоянные.

• Некоторые физические сущности, например, пустое пространство, элементарные частицы и волновая функция, кажутся чисто математическими в том смысле, что все присущие им свойства являются математическими.

• Гипотеза внешней реальности (ГВР), состоящая в том, что существует внешняя физическая реальность, совершенно независимая от людей, признается большинством физиков.

• При достаточно широком определении математики из ГВР вытекает гипотеза математической Вселенной (ГМВ), утверждающая, что наш физический мир является математической структурой.

• Это означает, что наш физический мир не только описывается математикой, но и является математической структурой, что делает нас самосознающими частями гигантского математического объекта.

• Математическая структура – это абстрактное множество сущностей с отношениями между ними. Эти сущности не имеют «багажа»: кроме этих отношений они не обладают никакими свойствами.

• Математическая структура может обладать интересными свойствами, например, симметриями, несмотря на то, что ни входящие в нее сущности, ни отношения между ними не обладают собственными свойствами.

• ГМВ разрешает пользующуюся дурной славой проблему бесконечного регресса. Она заключается в том, что свойства природы можно объяснять лишь свойствами ее частей, которые требуют дальнейшего объяснения, и так до бесконечности: свойства природы возникают не из свойств ее самых фундаментальных «строительных блоков» (которые не обладают никакими свойствами), а из отношений между «блоками».

Вывод

В этом конспекте затронута лишь часть обоснований того, что внешняя физическая реальность является математической структурой. Это действительно звучит безумно, однако, как написал Тегмарк, это лишь разминка. В последующих главах Тегмарк занимается следствиями и проверяемыми предсказаниями, вытекающими из гипотезы математической Вселенной, и там все станет еще безумнее. Кроме этого, Тегмарк придет к неизбежному выводу о новом мультиверсе, столь огромном, что в сравнении с ним поблекнет даже мультиверс III уровня в квантовой механике.

Гипотеза математической Вселенной поднимает сразу три вопроса:

1. Что в точности является математической структурой?

2. Как именно наш физический мир может быть математической структурой?

3. Дает ли это утверждение какие-либо проверяемые предсказания?

В этом конспекте был затронут первый вопрос. Со вторым и третьим можно ознакомиться самим в оригинале (второй вопрос – глава «Иллюзорно ли время?», третий вопрос – глава «Мультиверс IV уровня»). Два последних понятия из табл. 1 (Гипотеза вычислимой Вселенной и Гипотеза финитной Вселенной) затрагиваются в главе «Мультиверс IV уровня».

Также еще можно ознакомится с этой статьей «Четвертый уровень мульти-вселенной Макса Тегмарка».

Ссылки на все части

• Квантовая мультивселенная

• Физическая и математическая реальности