Задачи с Международной математической олимпиады 2021 (решаем в комментах)

Предлагаю поразмять мозги и как в прошлом году, порешать задачки с математической олимпиады в комментариях к этой статье. Задачек 6 штук, и на них отводилось 2 дня по 4,5 часа. (Чур, в ответы не подглядывать!)

Этим летом в Питере прошла 62-я Международная математическая олимпиада с вот какими итогами:

• Первое место заняла команда Китая, завоевавшая шесть золотых медалей (208 баллов).
• Российские школьники заняли второе место с пятью золотыми и одной серебряной медалью (183 балла)
• На третьем месте южнокорейская команда с пятью золотыми и одной серебряной медалью (172 балла)

Первая такая олимпиада прошла в 1959 году в Румынии, и тогда в ней принимали участие представители всего семи стран. В 2021 году в олимпиаде участвовали более 619 школьников из 107 стран.

День 1

Время на работу: 4 часа 30 минут.
Каждая задача оценивается в 7 баллов

Задача 1

Дано целое число n > 100. Ваня написал числа n, n+ 1,..., 2n на n+ 1 карточке, каждое по одному разу. Затем он перемешал колоду из этих карточек и разделил её на две стопки. Докажите, что хотя бы одна из двух стопок содержит две карточки, сумма чисел на которых — точный квадрат.

Задача 2

Докажите, что для любых вещественных чисел x₁,..., x_n выполняется неравенство

Задача 3

Точка D внутри остроугольного треугольника ABC, в котором AB > AC, такова, что
∠DAB = ∠CAD. Точка E на отрезке AC такова, что ∠ADE = ∠BCD; точка F на отрезке AB
такова, что ∠F DA = ∠DBC; точка X на прямой AC такова, что CX = BX. Точки O₁ и O₂ — центры
описанных окружностей треугольников ADC и EXD соответственно. Докажите, что прямые BC,
EF и O₁O₂ пересекаются в одной точке.

День 2

Время на работу: 4 часа 30 минут.
Каждая задача оценивается в 7 баллов

Задача 4

Дана окружность Γ с центром I. Выпуклый четырёхугольник ABCD таков, что каждый из отрезков AB, BC, CD и DA касается Γ. Пусть Ω — описанная окружность треугольника AIC. Продолжение отрезка BA за точку A пересекает Ω в точке X, продолжение отрезка BC за точку C пересекает Ω в точке Z. Продолжения отрезков AD и CD за точку D пересекают Ω в точках Y и T соответственно.

Докажите, что AD + DT + T X + XA = CD + DY + Y Z + ZC.

Задача 5

Чип и Дейл собрали на зиму 2021 орешек. Чип пронумеровал орешки числами от 1 до 2021 и вырыл 2021 маленькую ямку вокруг их любимого дерева. На следующее утро он обнаружил, что Дейл положил в каждую ямку по орешку, ничуть не беспокоясь о порядке. Расстроившись, Чип решил переупорядочить орешки посредством следующей последовательности из 2021 действия: во время k-го действия он меняет местами орешки, соседние с орешком под номером k.

Докажите, что найдётся такое число k, что во время k-го действия поменялись местами орешки с номерами a и b такими, что a < k < b.

Задача 6

Дано целое число m > 2. В конечном множестве A, состоящем из (не обязательно положительных) целых чисел, нашлись такие подмножества B₁, B₂, B₃,..., B_m, что при каждом k = 1, 2,..., m сумма элементов множества B_k равна m^k. Докажите, что A содержит хотя бы m/2 элементов.

• Второе место на Международной математической олимпиаде 2020
• Международная математическая олимпиада 2020 (решаем в комментах)
• 100 уроков Математики Алексея Савватеева