avsmal 13 янв 2022 в 19:49

Как измерить количество информации?

16 мин

33K

Блог компании Образовательные проекты JetBrainsАлгоритмы*Математика*Научно-популярное

Мы ежедневно работаем с информацией из разных источников. При этом каждый из нас имеет некоторые интуитивные представления о том, что означает, что один источник является для нас более информативным, чем другой. Однако далеко не всегда понятно, как это правильно определить формально. Не всегда большое количество текста означает большое количество информации. Например, среди СМИ распространена практика, когда короткое сообщение из ленты информационного агентства переписывают в большую новость, но при этом не добавляют никакой «новой информации». Или другой пример: рассмотрим текстовый файл с романом Л.Н. Толстого «Война и мир» в кодировке UTF-8. Его размер — 3.2 Мб. Сколько информации содержится в этом файле? Изменится ли это количество, если файл перекодировать в другую кодировку? А если заархивировать? Сколько информации вы получите, если прочитаете этот файл? А если прочитаете его второй раз?

По мотивам открытой лекции для Computer Science центра рассказываю о том, как можно математически подойти к определению понятия "количество информации".

В классической статье А.Н. Колмогорова "Три подхода к определению понятия количества информации" (1965) рассматривают три способа это сделать:

комбинаторный (информация по Хартли),
вероятностный (энтропия Шеннона),
алгоритмический (колмогоровская сложность).

Мы будем следовать этому плану.

Комбинаторный подход: информация по Хартли

Мы начнём самого простого и естественного подхода, предложенного Хартли в 1928 году.

Пусть задано некоторое конечное множество . Количеством информации в будем называть $\chi(A) = \log_2|A|$ .

Можно интерпретировать это определение следующим образом: нам нужно $\chi(A)$ битов для описания элемента из .

Почему мы используем биты? Можно использовать и другие единицы измерения, например, триты или байты, но тогда нужно изменить основание логарифма на 3 или 256, соответственно. В дальшейшем все логарифмы будут по основанию 2.

Этого определения уже достаточно для того, чтобы измерить количество информации в некотором сообщении. Пусть про $x\in A$ стало известно, что $x\in B$ . Теперь нам достаточно $\chi(A\cap B) = \log_2 |A\cap B|$ битов для описания , таким образом нам сообщили $\chi(A) - \chi(A\cap B)$ битов информации.

Пример

Загадано целое число от до . Нам сообщили, что делится на . Сколько информации нам сообщили?

Воспользуемся рассуждением выше.

$\log_2 1000 - \log_2 166 = \log_2 \frac{1000}{166} \approx 2.59\ \text{битов.}$

(Тот факт, что некоторое сообщение может содержать нецелое количество битов, может показаться немного неожиданным.)

Можно ещё сказать, что сообщение, уменшающее пространство поиска в $\alpha$ раз приносит $\log_2 \alpha$ битов информации. В данном примере пространство поиска уменьшилось в 1000/166 раз.

Интересно, что одного этого определения уже достаточно для того, чтобы решать довольно нетривиальные задачи.

Применение: цена информации

Загадано целое число от до . Разрешается задавать любые вопросы на ДА/НЕТ. Если ответ на вопрос "ДА", то мы должны заплатить рубль, если ответ "НЕТ" — два рубля. Сколько нужно заплатить для отгадывания числа ?

Любой вопрос можно сформулировать как вопрос о принадлежности некоторому множеству, поэтому мы будем считать, что все вопросы имеют вид " $x\in T$ ?" для некоторого множества .

Каким образом нужно задавать вопросы? Нам бы хотелось, чтобы вне зависимости от ответа цена за бит информации была постоянной. Другими словами, в случае ответа "НЕТ" и заплатив два рубля мы должны узнать в два больше информации, чем при ответе "ДА". Давайте запишем это формально.

Потребуем, чтобы

$2\cdot(\log |X| - \log|X \cap T|) = \log |X| - \log|X\cap\overline T|.$

$2\log (1/\alpha) = \log (1/(1-\alpha)).$

Это эквивалентно квадратному уравнению $\alpha^2 = 1 - \alpha.$ Положительный корень этого уравнения $\alpha=(\sqrt 5 - 1) / 2$ . Таким образом, при любом ответе мы заплатим $c = 1/\log(1/\alpha)\approx 1.44$ рублей за бит информации, а в сумме мы заплатим примерно $c\log n$ рублей (с точностью до округления).

Осталось понять, как выбирать такие множества . Будем выбирать в качестве непрерывные отрезки прямой. Пусть нам известно, что принадлежит отрезку [a,b] (изначально это отрезок [1,n] ). В следующего множества возмём отрезок $[a, a+ \alpha\cdot(b-a)]$ , где $\alpha=(\sqrt 5 - 1) / 2$ . Тогда за каждый заплаченный рубль текущий отрезок будет уменьшаться в $1/\alpha^2 = 1/(1-\alpha)$ раз. Когда длина отрезка станет меньше единицы, мы однозначно определим . Поэтому цена отгадывания не будет превосходить

$c\log((n-1)/\alpha^2) = c\log(n-1) - 2c\log \alpha = c\log(n-1) + 2.$

Приведённое рассуждение доказывает только верхнюю оценку. Можно доказать и нижнюю оценку: для любого способа задавать вопросы будет такое число , для отгадывания которого придётся заплатить не менее $c\log (n-1)$ рублей.

Вероятностный подход: энтропия Шеннона

Вероятностный подход, предложенный Клодом Шенноном в 1948 году, обобщает определение Хартли на случай, когда не все элементы множества являются равнозначными. Вместо множества в этом подходе мы будем рассматривать вероятностное распределение на множестве и оценивать среднее по распределению количество информации, которое содержит случайная величина.

Пусть задана случайная величина , принимающая различных значений с вероятностями $p_1,p_2,\dotsc,p_k$ . Энтропия Шеннона случайной величины определяется как

$H(X) = \sum_{i=1}^k p_i\cdot\log\frac1p_i.$

(По непрерывности тут нужно доопределить $0\cdot \log\frac10 = 0$ .)

Энтропия Шеннона оценивает среднее количество информации (математическое ожидание), которое содержится в значениях случайной величины.

При первом взгляде на это определение, может показаться совершенно непонятно откуда оно берётся. Шеннон подошёл к этой задаче чисто математически: сформулировал требования к функции и доказал, что это единственная функция, удовлетворяющая сформулированным требованиям.

Я попробую объяснить происхождение этой формулы как обобщение информации по Хартли. Нам бы хотелось, чтобы это определение согласовывалось с определением Хартли, т.е. должны выполняться следующие "граничные условия":

если все исходы равновероятны ( $p_1=\dotsb=p_k$ ), то $H(X) = \log k$ ,
если распределение вырождено (и для всех $i\neq j$ ), то .

Будем искать $H(\alpha)$ в виде математического ожидания количества информации, которую мы получаем от каждого возможного значения .

$H(X) = \sum_i p_i\cdot \text{(информация в событии $X=a_i$)}.$

Как оценить, сколько информации содержится в событии X = a_i ? Пусть — всё пространство элементарных исходов. Тогда событие X = a_i соответствует множеству элементарных исходов меры p_i . Если произошло событие X = a_i , то размер множества согласованных с этим событием элементарных исходов уменьшается с |U| до $p_i\cdot|U|$ , т.е. событие X = a_i сообщает нам $\log|U| - \log(p_i\cdot|U|) = \log(1/p_i)$ битов информации. Тут мы пользуемся тем, что количество информации в сообщении, которое уменьшает размер пространство поиска в 1/p_i раз приносит $\log(1/p_i)$ битов информации.

Примеры

Подбрасывание честной монетки. Рассмотрим случайную величину, соответствующую подбрасыванию честной монетки. Выпадение орла и выпадение решки равновероятны, следовательно . Тогда $H(X) = 2\cdot \frac{1}{2}\cdot \log_2 2 = 1.$ Это соответствует информации по Хартли в двухэлементном множестве.
Подбрасывание нечестной монетки. Пусть $p_1 = p\neq 1/2$ . Тогда
$H(X) = p\cdot \log_2 \frac{1}{p} + (1-p)\cdot \log_2 \frac{1}{1-p} < 1.$
Если проанализировать это выражение, то можно заключить, что чем дальше монетка от честной, тем меньше энтропия соответствующей случайной величины.
Бросок игрального кубика. Аналогично честной монетке. Все грани выпадают равновероятно, т.е. $p_i=\frac{1}{6}$ . Следовательно, $H(X) = 6\cdot \frac{1}{6}\cdot \log_2 6 = \log_2 6.$ Снова получаем совпадение с информацией по Хартли.
Выбор автомобиля на сайте. Рассмотрим выбор автомобиля на сайте. Как определить, сколько информации в среднем содержит параметр "цвет"? Пусть всего доступны цветов. Обозначим через долю автомобилей с цветом . Пусть белый соответствует у 1/10 доле всех автомобилей. Тогда выбор белого цвета приносит $\log_2 10$ битов информации (по Хартли). В среднем выбор цвета приносит $\sum_k p_k\cdot \log_2\frac{1}{p_k}$ . Это соответствует энтропии Шеннона случайной величины, равномерно распределённой на множестве всех автомобилей.

Свойства энтропии Шеннона

Для случайной величины , принимающей значений с вероятностями $p_1,p_2,\dotsc,p_k$ , выполняются следующие соотношения.

$H(X) \ge 0$ .
$\iff$ распределение вырождено.
$H(X) \le \log k$ .
$H(X) = \log k$ $\iff$ распределение равномерно.

Чем распределение ближе к равномерному, тем больше энтропия Шеннона.

Энтропия пары

Понятие энтропии Шеннона можно обобщить для пары случайных величин. Аналогично это обощается для тройки, четвёрки и т.д.

Пусть совместно распределённые случайные величины и принимают значения $a_1,a_2,\dotsc,a_k$ и $b_1,b_2,\dotsc,b_m$ , соответственно. Энтропия пары случайных величин и определяется следующим соотношением:

$H(X,Y) = \sum_{i=1}^k\sum_{j=1}^m\Pr[X = a_i, Y=b_j]\cdot \log\frac{1}{\Pr[X = a_i, Y = b_j]}.$

Примеры

Рассмотрим эксперимент с выбрасыванием двух игральных кубиков — синего и красного.

Пусть соответствует числу на синем кубике, а — числу на красном кубике. Легко проверить, что $H(X,Y) = H(X)+H(Y) = 2\log 6.$ Это можно объяснить так: есть 36 различных вариантов значений и , и все они равновероятны. Поэтому и получаем $\log 36 = \log 6^2 = 2\log 6$ .
Пусть теперь соответствует сумме чисел на кубиках, а — произведению. Легко понять, что $H(X,Y) < 2\log 6,$ т.к. теперь некоторые пары значений и соответствуют нескольким парам чисел на кубиках, т.е. вариантов значений и меньше 36. Например, соответствует значениям (1,3) и (3,1).

Свойства энтропии Шеннона пары случайных величин

Для энтропии пары выполняются следующие свойства.

$H(X, Y) \le H(X) + H(Y)$ .
$\iff$ и независимы.
$H(X) \le H(X,Y)$ .
$\iff$ однозначно определяет .

Условная энтропия Шеннона

Теперь давайте научимся вычислять условную энтропию одной случайной величины относительно другой.

Условная энтропия относительно определяется следующим соотношением:

$H(X\mid Y) = H(X,Y) - H(Y).$

Примеры

Рассмотрим снова примеры про два игральных кубика.

Пусть соответствует числу на синем кубике, а — числу на красном кубике. Легко проверить, что $H(X\mid Y) = H(X)$ , т.к. знание никак не позволяет получить какую-либо информацию про значение .
Пусть теперь соответствует сумме чисел на кубиках, а — произведению. В этом случае зная произведение чисел на кубиках вы уже что-то знаете про возможные суммы (например, если произведение равно 1, то сумма определяется однозначно), поэтому $H(X\mid Y) < H(X)$ . Условная энтропия позволяет ответить на вопрос, сколько информации приносит величина , если вы уже знаете величину .

Свойства условной энтропии

Условная энтропия обладает следующими свойствами

$H(X\mid Y)\ge 0$ .
$H(X\mid Y) = 0$ $\iff$ однозначно определяется по .

Взаимная информация

Ещё одна информационная величина, которую мы введём в этом разделе — это взаимная информация двух случайных величин.

Информация в о величине (взаимная информация случайных величин и ) определяется следующим соотношением

$I(X:Y) = H(Y) - H(Y\mid X).$

Примеры

И снова обратимся к примерам с двумя игральными кубиками.

Пусть соответствует числу на синем кубике, а — числу на красном кубике. Легко проверить, что , т.к. знание никак не позволяет определить .
Пусть теперь соответствует сумме чисел на кубиках, а — произведению. Взаимная информация позволяет оценить количество общей информации, между двумя случайными величинами (в этом случае ).

Свойства взаимной информации

Выполняются следующие соотношения.

. Т.е. определение взаимной информации симметрично и его можно переписать так:

$I(X:Y) = H(X) - H(X\mid Y).$

Или так: .
$I(X:Y) \le H(X)$ и $I(X:Y) \le H(Y)$ .
.
$I(X:Y)\ge 0$ .

Все информационные величины, которые мы определили к этому моменту можно проиллюстрировать при помощи кругов Эйлера.

Мы пойдём дальше и рассмотрим информационную величину, зависящую от трёх случайных величин.

Пусть , и совместно распределены. Информация в о при условии определяется следующим соотношением:

$I(X:Y\mid Z) = H(Y\mid Z) - H(Y\mid X,Z).$

Свойства такие же как и обычной взаимной информации, нужно только добавить соответствующее условие ко всем членам.

Всё, что мы успели определить можно удобно проиллюстрировать при помощи трёх кругов Эйлера.

Из этой иллюстрации можно вывести все определения и соотношения на информационные величины.

Мы не будем продолжать дальше и рассматривать четыре случайные величины по трём причинам. Во-первых, рисовать четыре круга Эйлера со всеми возможными областями — это непросто. Во-вторых, для двух и трёх случайных величин почти все возможные соотношения можно вывести из кругов Эйлера, а для четырёх случайных величин это уже не так. И в третьих, уже для трёх случайных величин возникают неприятные эффекты, демонстрирующие, что дальше будет хуже.

Рассмотрим треугольник в пересечении всех трёх кругов H(X) , H(Y) и H(Z) . Этот треугольник соответствуют взаимной информации трёх случайных величин I(X:Y:Z) . Проблема с этой информационной величиной заключается в том, что ей не удаётся придать какой-то "физический" смысл. Более того, в отличие от всех остальных величин на картинке I(X:Y:Z) может быть отрицательной!

Рассмотрим пример трёх случайных величин равномерно распределённых на $\{0,1\}$ . Пусть и будут независимы, а $Z=X\oplus Y$ . Легко проверить, что H(X)=H(Y)=H(Z)=1 . При этом I(X:Y) = I(Y:Z) = I(Z:X) = 0 . В то же время $H(X\mid Y,Z) = H(Y\mid X,Z) = H(Z\mid X,Y) = 0$ . Получается следующая картинка.

Мы знаем, что a+c+d=a+d+b=c+d+b=1 . При этом a+d=c+d=b+d=0 . Получается, что a=b=c=1 , а d=-1 , т.е. для таких случайных величин I(X:Y:Z) = -1 .

Применение энтропии Шеннона: кодирование

В этом разделе мы обсудим, как энтропия Шеннона возникает в теории кодирования. Будем рассматривать коды, которые кодируют каждый символ по отдельности.

Пусть задан алфавит $\Sigma$ . Код — это отображение из $\Sigma$ в $\{0,1\}^*$ . Код называется однозначно декодируемым, если любое сообщение, полученное применением к символам некоторого текста, декодируется однозначно.

Код называется префиксным (prefix-free), если нет двух символов $\alpha$ и $\beta$ таких, что $C(\alpha)$ является префиксом $C(\beta)$ .

Префиксные коды являются однозначно декодируемыми. Действительно, при декодировании префиксного кода легко понять, где находятся границы кодов отдельных символов.

Теорема [Шеннон]. Для любого однозначно декодируемого кода существует префиксный код с теми же длинами кодов символов.

Таким образом для изучения однозначно декодируемых кодов достаточно рассматривать только префиксные коды.

Задача об оптимальном кодировании.
Дан текст $T = \langle a_1,a_2,\dotsc,a_n\rangle$ . Нужно найти такой код , что

$\sum_{i=1}^n |C(a_i)| \to \min.$

Пусть $\Sigma = \{\alpha_1,\alpha_2,\dotsc,\alpha_k\}$ . Обозначим через f_i частоту, с которой символ $\alpha_i$ встречается в . Тогда выражение выше можно переписать как

$n\sum_{i=1}^k f_i\cdot |C(\alpha_i)| \to \min.$

Следующая теорема могла встречаться вам в курсе алгоритмов.

Теорема [Хаффман]. Код Хаффмана, построенный по $f_1,f_2,\dotsc,f_k$ , является оптимальным префиксным кодом.

Алгоритм Хаффмана по набору частот эффективно строит оптимальный код для задачи оптимального кодирования.

Связь с энтропией

Имеют место две следующие оценки.

Теорема [Шеннон]. Для любого однозначно декодируемого кода выполняется

$\sum_{i=1}^k f_i\cdot|C(\alpha_i)|\ge \sum_{i=1}^n f_i\cdot \log\frac1{f_i}.$

Теорема [Шеннон]. Для любых значений $\{f_1,f_2,\dotsc,f_k\}$ существует префиксный код , такой что

$\sum_{i=1}^n f_i\cdot|C(\alpha_i)|\le \sum_{i=1}^n f_i\cdot \log\frac1{f_i} + 1.$

Рассмотрим случайную величину , равномерно распределённую на символах текста . Получим, что $H(X) = f_i\cdot \log\frac1{f_i}$ . Таким образом, эти две теоремы задают оценку на среднюю длину кода символа при оптимальном кодировании, т.е. и для кодирования Хаффмана.

$H(X) \le \sum_{i=1}^n f_i\cdot|C(\alpha_i)|\le H(X) + 1.$

Следовательно, длину кода Хаффмана текста можно оценить, как

$nH(X) \le |C(T)|\le n(H(X) + 1).$

Применение энтропии Шеннона: шифрования с закрытым ключом

Рассмотрим простейшую схему шифрования с закрытым ключом. Шифрование сообщения с ключом шифрования выполняется при помощи алгоритма шифрования . В результате получается шифрограмма c = E(k, m) . Зная получатель шифрограммы восстанавливает исходное сообщение : m = D(k, c) .

Мы будем анализировать эту схему с помощью аппарата энтропии Шеннона. Пусть и являются случайными величинами. Противник не знает и , но знает , которая так же является случайной величиной.

Для совершенной схемы шифрования (perfect secrecy) выполняются следующие соотношения:

$H(c\mid k, m) = 0$ , т.е. шифрограмма однозначно определяется по ключу и сообщению.
$H(m\mid k, c) = 0$ , т.е. исходное сообщение однозначно восстанавливается по шифрограмме и ключу.
, т.е. в отсутствие ключа из шифрограммы нельзя получить никакой информации о пересылаемом сообщении.

Теорема [Шеннон]. $H(k)\ge H(m)$ , даже если условие $H(c\mid k,m) = 0$ нарушается (т.е. алгоритм использует случайные биты).

Эта теорема утверждает, что для совершенной схемы шифрования длина ключа должна быть не менее длины сообщения. Другими словами, если вы хотите зашифровать и передать своему знакомому файл размера 1Гб, то для этого вы заранее должны встретиться и обменяться закрытым ключом размера не менее 1Гб. И конечно, этот ключ можно использовать только однажды. Таким образом, самая оптимальная совершенная схема шифрования — это "одноразовый блокнот", в котором длина ключа совпадает с длиной сообщения.

Если же вы используете ключ, который короче пересылаемого сообщения, то шифрограмма раскрывает некоторую информацию о зашифрованном сообщении. Причём количество этой информации можно оценить, как разницу между энтропией сообщения и энтропией ключа. Если вы используете пароль из 10 символов при пересылке файла размера 1Гб, то вы разглашаете примерно 1Гб – 10 байт.

Это всё звучит очень печально, но не всё так плохо. Мы ведь никак не учитываем вычислительную мощь противника, т.е. мы не ограничиваем количество времени, которое противнику потребуется на выделение этой информации.

Современная криптография строится на предположении об ограниченности вычислительных возможностей противника. Тут есть свои проблемы, а именно отсутствие математического доказательства криптографической стойкости (все доказательства строятся на различных предположениях), так что может оказаться, что вся эта криптография бесполезна (подробнее можно почитать в статье о мирах Рассела Импальяццо, которая переведена на хабре), но это уже совсем другая история.

Доказательство. Нарисуем картинку для трёх случайных величин и отметим то, что нам известно.

$H(m\mid k, c) = 0$ .
, следовательно , а значит .
$I(c:k)\ge 0$ (по свойству взаимной информации), следовательно $w + y\ge 0$ , а значит $y \ge -w = x$ .
$u\ge 0$ . Таким образом,

$H(k) = u + z + w + y \ge u + z + w + x = u + H(m)\ge H(m).$

В доказательстве мы действительно не воспользовались тем, что $H(c\mid k,m) = 0$ .

Алгоритмический подход: колмогоровская сложность

Подход Шеннона хорош для случайных величин, но если мы попробуем применить его к текстам, то выходит, что количество информации в тексте зависит только от частот символов, но не зависит от их порядка. При таком подходе получается, что в "Войне и мире" и в тексте, который получается сортировкой всех знаков в "Войне и мире", содержится одинаковое количество информации. Колмогоров предложил подход, позволяющий измерять количество информации в конкретных объектах (строках), а не в случайных величинах.

Внимание. До этого момента я старался следить за математической строгостью формулировок. Для того, чтобы двигаться дальше в том же ключе, мне потребовалось бы предположить, что читатель неплохо знаком с математической логикой и теорией вычислимости. Я пойду более простым путём и просто буду махать руками, заметая под ковёр некоторые подробности. Однако, все утверждения и рассуждения дальше можно математически строго сформулировать и доказать.

Нам потребуется зафиксировать способ описания битовой строки. Чтобы не углубляться в рассуждения про машины Тьюринга, мы будем описывать строки на языках программирования. Нужно только сделать оговорку, что программы на этих языках будут запускаться на компьютере с неограниченным объёмом оперативной памяти (иначе мы получили бы более слабую вычислительную модель, чем машина Тьюринга).

Сложностью K_F(x) строки относительно языка программирования называется длина кратчайшей программы, которая выводит .

Таким образом сложность "Войны и мира" относительноя языка Python — это длина кратчайшей программы на Python, которая печатает текст "Войны и мира". Естественным образом сложность отсортированной версии "Войны и мира" относительно языка Python получится значительно меньше, т.к. её можно предварительно закодировать при помощи RLE.

Сравнение языков программирования

Дальше нам потребуется научиться любимой забаве всех программистов — сравнению языков программирования.

Будем говорить, что язык не хуже языка программирования и обозначать $F\prec G$ , если существует константа c_G такая, что для для всех $x\in\{0,1\}^*$ выполняется $K_F(x) \le K_G(x) + c_G.$

Исходя из этого определения получается, что язык Python не хуже (!) этого вашего Haskell! И я это докажу. В качестве константы $c_\text{Haskell}$ мы возьмём длину реализации интепретатора Haskell на Python. Таким образом, любая программа на Haskell переделывается в программу на Python просто дописыванием к ней интерпретатора Haskell на Python.

Соломонов и Колмогоров пошли дальше и доказали существования оптимального языка программирования.

Теорема [Соломонова-Колмогорова]. Существует способ описания (язык программирования) такой, что для любого другого способа описания выполняется $U\prec F$ .

И да, некоторые уже наверное догадались, что — это JavaScript. Или любой другой Тьюринг полный язык программирования.

Это приводит нас к следующему определению, предложенному Колмогоровым в 1965 году.

Колмогоровской сложностью строки будем называть её сложность относительно оптимального способа описания и будем обозначать K(x) = K_U(x) .

Важно понимать, что при разных выборах оптимального языка программирования колмогоровская сложность будет отличаться, но только на константу. Для любых двух оптимальных языков программирования F_1 и F_2 выполняется $F_1\prec F_2$ и $F_2\prec F_1$ , т.е. существует такая константа , что $|K_{F_1} - K_{F_2}| \le c.$ Это объясняет, почему в этой науке аддитивные константы принято игнорировать.

При этом для конкретной строки и конкретного выбора колмогоровская сложность определена однозначно.

Свойства колмогоровской сложности

Начнём с простых свойств. Колмогоровская сложность обладает следующими свойствами.

Существует такая, что для всех $K(x)\le |x| + c$ .
Существует такая, что для всех $K(xx)\le K(x) + c$ .

Первое свойство выполняется потому, что мы всегда можем зашить строку в саму программу. Второе свойство верно, т.к. из программы, выводящей строку , легко сделать программу, которая выводит эту строку дважды.

Примеры

Какова колмогоровская сложность "Войны и мира"? Это некоторая константа, зависящая от нашего выбора .
Какова колмогоровская сложность первых знаков числа $\pi$ ? Про число $\pi$ любят расказывать, что там вероятно встречается любая подстрока. Это могло бы свидетельствовать, что в числе $\pi$ заключено очень много информации (все возможные строко). Однако с точки зрения колмогоровской сложности число $\pi$ — это простая последовательность. Ведь для её построения можно написать программу фиксированного размера, в которую достаточно вписать числчтобы она вывела первые цифр числа $\pi$ . Таким образом, колмогоровская сложность не превосходит $\log n + c$ для некоторой константы .

Несжимаемые строки

Важнейшее свойство колмогоровской сложности заключается в существовании сложных (несжимаемых строк). Проверьте себя и попробуйте объяснить, почему не бывает идеальных архиваторов, которые умели бы сжимать любые файлы хотя бы на 1 байт, и при этом позволяли бы однозначно разархивировать результат.

В терминах колмогоровской сложности это можно сформулировать так.

Вопрос. Существует ли такая длина строки , что для любой строки $x\in\{0,1\}^n$ колмогоровская сложность меньше ?

Следующая теорема даёт отрицательный ответ на этот вопрос.

Теорема. Для любого существует $x\in\{0,1\}^n$ такой, что $K(x)\ge n$ .

Доказательство. Битовых строк длины всего 2^n . Число строк сложности меньше не превосходит число программ длины меньше , т.е. таких программ не больше чем

$1+2+\dotsb +2^{n-1} = 2^n - 1 < 2^n.$

Таким образом, для какой-то строки гарантированно не хватит программы.

Верна и более сильная теорема.

Теорема. Существует c > 0 такое, что для $99\%$ слов длины верно

$n - c \le K(x) \le n + c .$

Другими словами, почти все строки длины имеют почти максимальную сложность.

Колмогоровская сложность: вычислимость

В этом разделе мы поговорим про вычислимость колмогоровской сложности. Я не буду давать формально определение вычислимости, а буду опираться на интуитивные предствления читателей.

Теорема. Не существует программы, которая по двоичной записи числа выводит строку , такую что $K(x)\ge n$ .

Эта теорема говорит о том, что не существует программы-генератора, которая умела бы генерировать сложные строки по запросу.

Доказательство. Проведём доказетельство от противного. Пусть такая программа существует и P(n) = x . Тогда с одной стороны сложность не меньше , а с другой стороны мы можем описать при помощи $\log n$ битов и кода программы.

$n\le K(x)\le K_P(x) + c_P \le \lceil\log n\rceil + c_P.$

Это приводит нас к противоречию, т.к. при достаточно больших значениях неизбежно станет больше, чем $\lceil\log n\rceil +c_P$ .

Как следствие мы получаем невычислимость колмогоровской сложности.

Следствие. Отображение $x\to K(x)$ не является вычислимым.

Опять же, предположим, что это нет так и существует программа , которая по строку вычисляет её колмогоровскую сложность. Тогда на основе программы можно реализовать программу из теоремы выше: она будет перебирать все строки длины не более и находить лексикографически первую, для которой сложность будет не меньше . А мы уже доказали, что такой программы не существует.

Связь с энтропией Шеннона

Теорема. Пусть $x = \langle{011010010\dotso 10110}\rangle$ длины содержит $p\cdot n$ единиц и $(1-p)\cdot n$ нулей, тогда

$K(x)\le \left(p\cdot\log\frac1p + (1-p)\cdot\log\frac{1}{1-p}\right)\cdot n + O(\log n).$

Я надеюсь, что вы уже узнали энтропию Шеннона для случайной величины с двумя значениями с вероятностями и 1-p .

Для колмогоровской сложности можно проделать весь путь, который мы проделали для энтропии Шеннона: определить условную колмогоровскую сложность, сложность пары строк, взаимную информацию и условную взаимную информацию и т.д. При этом формулы будут повторять формулы для энтропии Шеннона с точностью до $O(\log n)$ . Однако это тема для отдельной статьи.

Применение колмогоровской сложности: бесконечность множества простых чисел

Начнём с довольно игрушечного применения. С помощью колмогоровской сложности мы докажем следующую теорему, знакомую нам со школы.

Теорема. Простых чисел бесконечно много.

Очевидно, что для доказательства этой теоремы никакая колмогоровская сложность не нужна. Однако на этом примере я смогу продемонстрировать основные идеи применения колмогоровской сложности в более сложных ситуациях.

Доказательство. Проведём доказательство от обратного. Пусть существует всего простых чисел: $p_1,p_2,\dotsc,p_m$ . Тогда любое натуральное раскладывается на степени простых:

$x = p_1^{k_1}\cdot p_2^{k_2}\cdot\dotsm\cdot p_m^{k_m},$

т.е. определяется набором степеней $k_1,k_2,\dotsc,k_m$ . Каждое $k_i\le\log x$ , т.е. задаётся $O(\log \log x)$ битами. Поэтому любое можно задать при помощи $O(\log\log x)$ битов (помним, что — это константа).

Теперь воспользуемся теоремой о существовании несжимаемых строк. Как следствие, мы можем заключить, что существуют -битовые числа сложности не менее (можно взять сложную строку и приписать в начало единицу). Получается, что сложное число можно задать при помощи небольшого числа битов.

$n \le K(x) \le O(\log\log x) = O(\log n).$

Противоречие.

Применение колмогоровской сложности: алгоритмическая случайность

Колмогоровская сложность позволяет решить следующую проблему из классической теории вероятностей.

Пусть в лаборатории живёт обезьянка, которую научили печатать на печатной машинке так, что каждую кнопку она нажимает с одинаковой вероятность. Вам предлагается посмотреть на лист печатного текста и сказать, верите ли вы, что его напечатала эта обезьянка. Вы смотрите на лист и видите, что это первая страница "Гамлета" Шекспира. Поверите ли вы? Очевидно, что нет. Хорошо, а если это не Шекспир, а, скажем, текст детектива Дарьи Донцовой? Скорей всего тоже не поверите. А если просто какой-то набор русских слов? Опять же, очень сомневаюсь, что вы поверите.

Внимание, вопрос. А как объяснить, почему вы не верите? Давайте для простоты считать, что на странице помещается 2000 знаков и всего на машинке есть 80 знаков. Вы можете резонно заметить, что вероятность того, что обезьянка случайным образом породила текст "Гамлета" порядка $1/80^{2000}$ , что астрономически мало. Это верно.

Теперь предположим, что вам показали текст, который вас устроил (он с вашей точки зрения будет похож на "случайный"). Но ведь вероятность его появления тоже будет порядка $1/80^{2000}$ . Как же вы определяете, что один текст выглядит "случайным", а другой — не выглядит?

Колмогоровская сложность позволяет дать формальный ответ на этот вопрос. Если у текста отстутствует короткое описание (т.е. в нём нет каких-то закономерностей, которые можно было бы использовать для сжатия), то такую строку можно назвать случайной. И как мы увидели выше почти все строки имеют большую колмогоровскую сложность. Поэтому, когда вы видите строку с закономерностями, т.е. маленькой колмогоровской сложности, то это соответствует очень редкому событию. В противоположность наблюдению строки без закономерностей. Вероятность увидеть строку без закономерностей близка к 1.

Это обобщается на случай бесконечных последовательностей. Пусть $\bar x = x_1x_2x_3\dotso x_n\dotso$ . Как определить понятие случайной последовательности?

(неформальное определение)
Последовательность случайна по Мартину–Лёфу, если каждый её префикс является несжимаемым.

Оказывается, что это очень хорошее определение случайных последовательностей, т.к. оно обладает ожидаемыми свойствами.

Свойства случайных последовательностей

Почти все последовательности являются случайными по Мартину–Лёфу, а мера неслучайных равна .
Всякая случайная по Мартину-Лёфу последовательность невычислима.
Если $\bar x$ случайная по Мартин-Лёфу, то

$\lim_{n\to\infty} \frac{\text{число единиц в префиксе длины n}}{n} = \frac12.$

Заключение

Если вам интересно изучить эту тему подробнее, то я рекомендую обратиться к следующим источникам.

Верещагин Н.К., Щепин Е.В. Информация, кодирование и предсказание. МЦНМО. (нет в свободном доступе, но pdf продаётся за копейки)
В.А. Успенский, А.Х. Шень, Н.К. Верещагин. Колмогоровская сложность и алгоритмическая случайность.
Курс "Введение в теорию информации" А.Е. Ромащенко в Computer Science клубе.

Если вам интересны подобные материалы, подписывайтесь в соцсетях на CS клуб и CS центр, а так же на наши каналы на youtube: CS клуб, CS центр.

Теги:

Хабы:

Как измерить количество информации?

Комбинаторный подход: информация по Хартли

Пример

Применение: цена информации

Вероятностный подход: энтропия Шеннона

Примеры

Свойства энтропии Шеннона

Энтропия пары

Примеры

Свойства энтропии Шеннона пары случайных величин

Условная энтропия Шеннона

Примеры

Свойства условной энтропии

Взаимная информация

Примеры

Свойства взаимной информации

Применение энтропии Шеннона: кодирование

Связь с энтропией

Применение энтропии Шеннона: шифрования с закрытым ключом

Алгоритмический подход: колмогоровская сложность

Сравнение языков программирования

Свойства колмогоровской сложности

Примеры

Несжимаемые строки

Колмогоровская сложность: вычислимость

Связь с энтропией Шеннона

Применение колмогоровской сложности: бесконечность множества простых чисел

Применение колмогоровской сложности: алгоритмическая случайность

Свойства случайных последовательностей

Заключение

Публикации

Информация

Истории