Немного истории
Совокупность всех преобразований симметрии любого объекта называют его группой преобразований симметрии, или просто группой симметрии.
История открытия теории групп драматична и даже где-то мистическая. Эварист Галуа (1811-1832; всего 20 лет!) молодой француз, увлекающийся и наукой, и искусством, и политикой, с благородными порывами и юношеской наивностью, случайно был вынужден встать на защиту незнакомой женщины от домогательств хулиганствующих подонков. В результате стычка закончилась дуэлью. В ночь перед дуэлью Эварист, видимо предчувствуя ее роковой исход и по какому-то мистическому наитию, написал письмо своему другу О. Шевалье, в котором изложил свою математическую концепцию, вошедшую в историю математики, как теория групп. Эварист был убит на следующее утро без свидетелей, с преступным намерением, которое так и не было раскрыто. О. Шевалье удалось опубликовать его предсмертные записки только в 1840 г. Таким образом родилась новая наука, оказавшая фундаментальное влияние практически на всю математику. Мистика началась еще в 1828 г., когда Э. Галуа послал свои работы на рецензию О. Коши (1789- 1857), но они вдруг бесследно пропали. Затем он послал их Ж.-Б. Фурье (1768- 1830), но тот через несколько дней после этого неожиданно умер, а сама рукопись исчезла. Статья посланная С. Пуассону (1781-1840) была им не понята и отвергнута.
Ярким примером использования теории групп служит кристаллография. Совокупность всех элементов, переводящих кристалл в эквивалентное ему состояние, образуют группу пространственной симметрии кристалла. Всего существует 230 различных кристаллических групп. Эти группы были открыты Е.С. Федоровым (1853-1919).
Примером из топологии служит теория непрерывных групп, открытых норвежским математиком Софусом Ли (1842-1899), и широко используемой в исследовании дифференциальных уравнений. В квантовой механике группа Ли уравнения Шредингера сыграла решающую роль в установлении законов сохранения.
В космологии наибольший интерес вызывает исключительная группа Ли Е8×Е8 ́. Эту группу симметрии можно разбить до симметрии Е8, а затем до Е(5), которая включает в себя симметрию SU(3)×SU(2)×U(1) Стандартной физической модели.
Современные теории рождения и эволюции Вселенной предполагают, что на самых ранних этапах своего существования (до стадии горячей Вселенной), она могла находиться в неустойчивом вакуумоподобном состоянии, обладающим большой плотностью энергии (~10120 г/см3), большим отрицательным давлением и максимально возможной симметрией. Если первые два предположения более или менее «прижились», то вопрос о группе симметрии исходного состояния до сих пор остается открытым. При экспоненциальном «раздувании» Вселенной («инфляции») вакуум испытывал ряд спонтанных последовательных фазовых превращений с нарушением исходной симметрии.
Вакуум Эйнштейна
Как хорошо известно, первая математическая модель глобальной Вселенной была предложена А. Эйнштейном в 1916 г. Главной особенностью этой модели было введение в уравнения общей теории относительности (ОТО) члена, описывающего космический вакуум, и названный Эйнштейном «новым эфиром». К сожалению, это гениальное предвидение Эйнштейна не было понято его современниками. Намного позже, при создании квантовой теории элементарных частиц, было введено понятие физического вакуума. Более того, когда физики наконец осознали необходимость реализации другой гениальной идеи Эйнштейна (единой теории всех полей и частиц), то 3 пришлось обратиться к разработанной еще в 19 веке, математической теории групп симметрии. Оказалось, что понятие симметрии – это фундаментальное свойство всей Природы, включая Вселенную. Только тогда вспомнили о космическом вакууме Эйнштейна и попытались включить его в Стандартную модель элементарных частиц. Однако, до настоящего времени эти попытки не увенчались успехом.
Стандартная модель
Успехи Стандартной модели обусловлены созданием калибровочных теорий со спонтанным нарушением симметрии в рамках теории Г. Гамова (1904-1968) «горячей Вселенной». В простейшей модели, с калибровочной группой симметрии SU(5), при температуре ̴1015 Гэв во Вселенной не было разницы между сильными, слабыми и электромагнитными взаимодействиями. В момент времени ̴ 10-35 сек после начала расширения Вселенной, когда температура понизилась до ̴1011 Гэв, произошел фазовый переход SU(5) → SU(3)×SU(2)×U(1), плотность энергии вакуума уменьшилась на ̴1080 г/см3 и сильные взаимодействия отделились от электрослабых. Затем в момент времени 10-10 сек, когда температура упала до ̴102 Гэв, произошел следующий фазовый переход во время которого плотность энергии вакуума уменьшилась на ̴ 1025 г/смଷ и нарушилась симметрия между слабыми и электромагнитными взаимодействиями: SU(3)×SU(2)×U(1) → SU(2)×U(1). При дальнейшем понижении температуры до ̴102 Мэв произошел фазовый переход с разделением слабых и электромагнитных взаимодействий, образование барионов, и плотность энергии вакуума становится равной нулю с точностью до 10-29 г/см3. Плотность энергии вакуума связывают с космологической постоянной (Λ), введенной Эйнштейном. Поэтому проблему равенства нулю энергии вакуума называют также проблемой космологической постоянной. Кроме данной проблемы вакуума, Стандартная модель сталкивается еще с рядом других, включая проблему темной энергии и темной материи.
Теория суперструн
Теория суперструн, возникшая в 1968 г. довольно случайно из-за необычных свойств бета-функции Эйлера, приобрела сенсационную популярность в 1985 г. благодаря открытию «гетеротической струны» с группой симметрии Е8×Е8 ́ (исключительная группа Ли). К сожалению, большие надежды возлагавшиеся на теорию суперструн, претендующей на включение гравитационного взаимодействия в общую схему Стандартной модели, пока не оправдались. Это связано главным образом с недостаточно разработанным математическим аппаратом. Как замечает один из разработчиков теории суперструн М. Каку: «она представляется удручающим набором легенд и исторических анекдотов, взятых с потолка рецептов и интуитивных допущений». Сама группа Е8×Е8 ́ пока не поддается сколько- нибудь реальному анализу. Максимум что удалось сделать в этой области теории исключительных групп Ли - это классификация некоторых ее полугрупп Е6, Е7, и Е8 по корневым диаграммам Дынкина.
В 2007 г. международная команда из 18 математиков закончила 4-летний
труд по описанию группы Е8, используя специальный суперкомпьютер.
Результат занял объем в 60 Гбайт и 77 часов работы суперкомпьютера Sage. В
итоге была составлена таблица размером 453060×453060. Ученым удалось
составить полный каталог объектов, на которые может действовать эта группа
и описать, как именно она действует. Ученые пока не знают где можно
использовать этот результат
В том же 2007 г. американский физик Г. Лиси опубликовал свою теорию
единого поля, объединяющую все известные физические взаимодействия.
Теория основана на группе Е8. В этой теории предсказано существование двух
новых частиц и описаны их свойства. Однако пока нет подтверждений
правильности этой теории.
Заключение
Сценарий (не говоря уже о теории) рождения и эволюции Вселенной еще
очень далек от своего завершения и, по моему мнению, не будет приближен
к реальности без признания во Вселенной мнимого вакуума (с сознанием).
На обсуждение такой возможности я надеялся при публикации предшествующих статей:
Однако, к сожалению, обсуждения не получилось и я вынужден прекратить дальнейшие публикации моих математических моделей на данную тему. Желающие принять обсуждение в частном порядке, могут представить свой электронный адрес и я с удовольствием продолжу начатую здесь тему.
