«Бесконечность не предел» или краткая история отеля Hilbert

Многие научные теории постулированы в результате философских размышлений и дискуссий над парадоксальными вопросами. Таких вопросов с самых древнейших времен накопилось огромное количество, и многие из них без дополнительных условий действительно являются парадоксальными. Некоторые из них привели к серьезным научным открытиям.

Достоверно неизвестно, когда именно появилась такая категория человеческого мышления как бесконечность, но уже в дошедших до нас сочинениях Древнего мира имеются упоминания этого термина. Однако большая часть современных представлений базируется на открытиях интересных аспектов бесконечности, впервые обнаруженных в 19 веке, благодаря новаторским работам Георга Кантора. Многие его открытия намного опережали своё время. Одним из них было определение строгого способа сравнения различных бесконечных множеств, в результате которого он неожиданно обнаружил, что одни бесконечности больше других.

В то время теория Кантора вызвала не просто возмущение, а агрессивное сопротивление. Анри Пуанкаре, один из ведущих математиков того времени, назвал это «канторовской болезнью». Однако некоторые математики, в том числе Давид Гильберт, увидели в этом опередившее свое время открытие.

Цель статьи в том, чтобы достаточно просто рассказать об этом открытии. Сегодня не будет сложных формул или зубодробительных формулировок. Вместо этого попробуем следовать подходу, предложенному самим Гильбертом. Странность и чудо теории Кантора отлично описывается мысленным экспериментом, иллюстрирующим парадоксальную природу реальных бесконечностей, ныне известном как «Парадокс Гильберта о Гранд‑отеле». Формулировка парадокса очень проста:

Отель Hilbert всегда забронирован, но в нём всегда есть свободные места.

По условиям эксперимента в отеле не просто сотни номеров — их актуальная бесконечность. К тому же довольно странная система размещения гостей. Всякий раз, когда прибывает новый гость, администратор «сдвигает» всех уже заселившихся в отель людей, т. е. переводит обитателя номера 1 в номер 2, номера 2 в номер 3 и так далее, таким образом освобождая первый номер для новичка.

Теперь предположим, что к ресепшену прибывает бесконечно много новых уставших и раздражительных гостей. Ну что же, без проблем. Невозмутимый администратор переводит обитателя номера 1 в номер 2, номера 2 в номер 4, номера 3 в номер 6 и так далее. Такой трюк с удвоением освобождает все нечётные номера, а так как их бесконечно много — все новые гости с успехом размещаются.

Позже и, возможно, той же ночью к парадному входу отеля подъезжает бесконечная колонна туристических автобусов. Автобусов бесконечно много, и каждый из них плотненько набит бесконечным количеством ещё более уставших и раздражительных людей, требующих, чтобы отель соответствовал своему правилу: деятельность на территории Континенталя запрещена «В отеле Hilbert всегда есть места».

Администратор сталкивался с этой проблемой раньше и принимает её совершенно спокойно. Для этого он использует второй трюк, переселяющий текущих гостей в номера с чётными номерами. Все номера с нечётными номерами убраны и готовы к заселению гостей — хорошее начало, потому что теперь у него опять бесконечное количество доступных номеров. Но достаточно ли этого? Действительно ли достаточно нечётных номеров, чтобы вместить такое количество новых гостей? На первый взгляд кажется маловероятным, поскольку есть что‑то вроде «бесконечности в квадрате» людей, требующих размещения (в каждом из бесконечного числа автобусов — бесконечное количество людей).

Вот здесь логика бесконечности становится немного странной. Чтобы понять, как администратор собирается решить проблему, полезно визуализировать людей, которых он должен обслужить, в некое подобие матрицы.

Конечно, нельзя показать буквально всех посетителей, однако идеальная версия картины понятна. Дело в том, что любой конкретный пассажир автобуса обязательно появится где-нибудь на рисунке, если мы включим достаточное количество строк и столбцов матрицы. В этом смысле учитываются все в каждом автобусе. Вы называете пассажира, и он наверняка будет изображён на некотором конечном числе шагов от левого верхнего угла матрицы.

Задача администратора состоит в том, чтобы найти способ систематически работать с этой матрицей. Ему нужно разработать схему распределения номеров таким образом, чтобы каждый в конце концов получил ключ от номера, после того, как будет обслужено конечное число других людей.

К сожалению, в определённый момент отсутствия администратора, когда появился аналогичный поток гостей, воцарился хаос. Персонал гостиницы, пытаясь линейно обслужить всех людей в первом автобусе, так и не смог добраться до следующего автобуса. Такая стратегия распределения неверна и показана ниже.

Однако когда вернулся администратор, порядок был восстановлен. Вместо того чтобы заниматься только одним автобусом, он зигзагом ходит по матрице, начав с обслуживания первого пассажира первого автобуса.

Первый пассажир первого автобуса получает ключи от первого свободного номера. Второй пустой номер достаётся второму пассажиру в первом автобусе, за которым последует первый пассажир второго автобуса. Оба изображены на второй диагонали от угла матрицы. Обслужив их, администратор переходит к третьей диагонали и выдаёт набор ключей от номера первому пассажиру третьего автобуса, второму пассажиру второго автобуса и третьему пассажиру первого автобуса. Таким образом, алгоритм действий администратора позволяет обслужить любого конкретного пассажира за конечное число шагов.

Аргумент, который я только что представил, известен в теории бесконечных множеств, основоположником которой и является Георг Кантор. Он использовал его, чтобы доказать, что положительных дробей (отношений A/B целых положительных чисел A и B) ровно столько, сколько натуральных чисел (1, 2, 3, 4, …). А это гораздо более сильное утверждение, чем утверждение, что оба множества бесконечны. То есть между ними может быть установлено однозначное соответствие.

Это соответствие можно представить как парную систему, в которой каждое натуральное число сочетается с некоторой положительной дробью, и наоборот. Существование такой системы кажется совершенно несовместимым со здравым смыслом и напоминает софизм. Вот эта кажущаяся логическая ошибка и заставила Пуанкаре и многих других корифеев науки крайне отрицательно отнестись к теории Кантора. Ведь это бы значило, что можно составить исчерпывающий список всех положительных дробей, даже если наименьшей из них не существует.

Такое кажется немыслимым, но такой список уже есть. Если дробь A/B соотнести с пассажиром A в автобусе B, то список размещения гостей и будет этим списком. Каждой из дробей можно поставить в пару некоторое натуральное число, заданное гостиничным номером пассажира в отеле Hilbert. Такой вот математический парадокс о бесконечных множествах, предполагающий гостиницу с актуальной бесконечностью номеров.

Притча наглядно иллюстрирует, что утверждение «все комнаты заняты» вовсе не означает, что «больше нет места для новых гостей». Это действительно странно, хотя, строго говоря, не является парадоксом в логическом смысле. Однако это настолько противоречит обычному житейскому смыслу и заставляет предполагать, что исчисляемые фактические бесконечности не принадлежат реальному миру, в котором мы живем.

Kontrollschuss или Coup de Grace

Кантор доказал, что некоторые бесконечные множества больше, чем другие. В частности, множество вещественных чисел от 0 до 1 несчётно, и его нельзя поставить во взаимно однозначное соответствие с натуральными числами. Для гостиничного бизнеса это означает, что если бы все эти числа (гости) появились на стойке регистрации, то мест на всех не хватило бы, даже в таком грандиозном отеле, как Hilbert.

Доказательство от противного. Предположим, что каждому вещественному числу может быть отведён отдельный номер. Тогда список постояльцев, идентифицированный их десятичными разложениями и перечисленный по номеру комнаты, будет выглядеть примерно так:

Предполагается, что каждое действительное число от 0 до 1 появляется где-то, в каком-то конечном месте списка.

Кантор показал, что многие числа отсутствуют в любом таком списке, а это серьёзное противоречие. Например, чтобы составить число, которого нет нигде в приведенном списке, пройдите по диагонали и составьте новое число из цифр, выделенных жирным шрифтом:

Сгенерированное таким образом десятичное число равно 0.9242…

Следующий шаг — взять эту десятичную дробь и изменить все её цифры, заменив каждую из них любой другой цифрой от 1 до 8. Например, можно изменить 9 на 6, 2 на 4, 4 на 5, а 2 на 8, и так далее. Этот новый посетитель 0.6458… просто «убийца» системы. Его точно нет в первом номере, так как у него другая цифра в первом десятичном разряде. Также он не может находиться во втором номере и т.д. В общем случае оно отличается от любого i-го числа в j-м десятичном разряде. «Его нет в списке администратора, КАРАУЛ! Дайте жалобную книгу!» Следовательно, напрашивается вывод, что отель не может вместить всех гостей, обозначенных действительными числами {0, 1}. Их просто намного больше.

С 1970-х годов отель Hilbert использовался в самых различных областях науки. Долгое время оставалось неизвестным, правда ли Давид Гильберт предложил этот мысленный эксперимент или это просто математический фольклор. Оказалось, что Гильберт действительно представил свой отель в Гёттингене в неопубликованных лекциях зимнего семестра 1924-1925 гг. Эти лекции были опубликованы только в 2013 году.

Гильберт воспользовался случаем, чтобы превознести достоинства канторовской теории множеств, отметив, что Кронекер сделал все возможное для борьбы с ней. «Когда я был приват-доцентом, — говорил он, — к тем, кто верил в Кантора, относились с презрением. Даже сегодня выдающиеся математики продолжают сопротивляться теории Кантора».

Противоречивый отель стал более известен только в 1947 году, после публикации Георгием Гамовым своей книги «Раз, два, три… бесконечность» (One, Two, Three, ..., Infinity). Потребовалось еще почти три десятилетия, прежде чем этот мысленный эксперимент вызвал широкий интерес в научных и философских контекстах.

НЛО прилетело и оставило здесь промокод для читателей нашего блога:

— 15% на все тарифы VDS (кроме тарифа Прогрев) — HABRFIRSTVDS.