Что такое «совершенные» и «избыточные» числа? Рассказывают эксперты ИТ-компании «Криптонит».

Наверняка вы знакомы с понятием «делители числа». Например, у шестёрки кроме неё самой есть три делителя: 1, 2, и 3. Если сложить их, получится ровно шесть (1+2+3=6). Числа, у которых сумма делителей, не считая самого числа, равна самому числу, называются совершенными.

Если же сумма делителей оказывается больше самого числа, то такие числа называются избыточными. Самое малое избыточное число: 12. У него много делителей: 1, 2, 3, 4, 6. Если их сложить, получится 16, а 16 > 12.

Понятия совершенных и избыточных чисел возникли ещё в Древней Греции. Их описали пифагорейцы, заложившие основы учения о свойствах чисел и их классификации.

Какие же свойства есть у избыточных чисел?

• 12 — наименьшее избыточное число. Проверьте сами!

• все числа, кратные избыточному числу, также являются избыточными. Раз 12 – избыточное число, значит 24, 36, 48 и т.д. тоже будут избыточными;

• существуют как чётные, так и нечётные избыточные числа;

• наименьшее нечётное избыточное число – 945. Сможете ли назвать все его делители?

У совершенных чисел свойства другие:

• все известные совершенные числа чётные;

• возможность существования нечётных совершенных чисел не доказана и не опровергнута;

• сумма обратных величин всех делителей совершенного числа, включая само число, всегда равна двум. Пример для обратных делителей числа 6: 1/1 + 1/2 + 1/3 + 1/6 = 2;

• все известные совершенные числа заканчиваются на 6 или 8 (6, 28, 496 и т.д.);

• совершенные числа используются для вычисления простых чисел Мерсенна.

В повседневной жизни мы не задумываемся о том, совершенное перед нами число, избыточное или какое-то другое. Однако такая классификация лежит в основе теории чисел, которая имеет большое значение в сфере ИТ и, в частности, для криптографии.

Изучение свойств чисел помогает развивать математическое мышление, писать эффективные алгоритмы и понимать более сложные математические концепции.