Математика *

Почему LLM ошибаются в простой математике

Языковая модель сама по себе не является калькулятором: она вероятностно предсказывает следующий токен, а не выполняет детерминированный алгоритм вычисления.

Для текста это полезное свойство — одну мысль можно выразить множеством способов. В математике «почти правильный» ответ уже неверен. В многошаговой задаче одна ошибка в промежуточном значении распространяется на весь результат.

Практический вывод для ИИ-агентов: разделять роли. LLM должна понять задачу, составить план и выбрать инструмент. Сам расчёт лучше передать калькулятору, Python, CAS или специализированному вычислителю, а затем проверить и объяснить ответ.

Сильная агентная система — это не только модель, но и правила использования инструментов.

Подробнее — в моём Telegram-канале «Идеи для ИИ — Андрей Анисимов». Ссылка в профиле.

Открыта регистрация на международную олимпиаду по криптографии NSUCRYPTO-2026 — первый тур пройдёт 11 октября!

В этом году компания «Криптонит» вновь стала партнёром олимпиады, а руководитель нашей лаборатории криптографии Василий Шишкин вошёл в состав программного комитета.

Участвовать могут все: школьники, студенты, профессионалы.

Первый тур, индивидуальный, пройдёт 11 октября, а командный — с 12 по 19 октября.

Переходите по ссылке и регистрируйтесь!

ИИ против задач тысячелетия: кто на очереди?

Меньше двух недель прошло с заявления OpenAI о решении одной из семи "задач тысячелетия". Научный скандал еще не утих: 25 лауреатов Филдсовской премии выступили с предупреждением о конфликте между корпоративной гонкой за открытиями и нормами математической науки. Теперь появились слухи, что в ближайшие недели могут объявить о решении еще двух задач из семи!

The Information со ссылкой на источник внутри OpenAI сообщило: компания близка к решению гипотезы Ходжа, но затягивает с объявлением, «обдумывая, как сотрудничать с математическим сообществом, чтобы не вызвать очередной пиар-скандал». Это подтверждает и The Verge. Параллельно появился пост, который цитирует BlockBeats: «OpenAI очень близка к подтверждению гипотезы Ходжа, и либо OpenAI, либо Anthropic также близки к решению гипотезы Бёрча – Свиннертон-Дайера. Негласная гонка не похожа ни на что, что мне описывали раньше. Если это случится, три проблемы тысячелетия не устоят в течение месяца».

Официальных подтверждений нет, но давайте хотя бы разберемся, что же это за задачи.

Гипотеза Ходжа

Математики изучают многомерные геометрические объекты – алгебраические многообразия. Это множества решений систем полиномиальных уравнений. У таких объектов есть когомологии – абстрактные характеристики, описывающие их топологическую структуру. Среди них есть особые – классы Ходжа. Они выделяются двумя свойствами: их можно описать через рациональные числа, и они обладают «правильной» симметрией. Структуры Ходжа играют важную роль в теории струн – через многообразия Калаби-Яу, определяющие физику дополнительных измерений. А в 2024 году появилась работа, где аппарат теории Ходжа применяется к описанию квантовой запутанности.

Гипотеза утверждает: каждый такой класс происходит из конкретного геометрического объекта – алгебраического цикла (кривой, поверхности или более сложного объекта, задаваемого полиномиальными уравнениями). Иными словами, все абстрактные и симметричные характеристики многомерной фигуры можно описать через конкретные геометрические «кирпичики». Гипотеза доказана только для частного случая: в общем виде задача открыта с 1950 года и считается самой абстрактной из всех семи.

Гипотеза Бёрча – Свиннертон-Дайера (BSD)

Эллиптическая кривая описывается уравнением Вейерштрасса: Ключевой вопрос: сколько у него рациональных решений – где и , и являются обычными дробями? Множество рациональных точек на такой кривой образует группу: их можно «сложить», и результат снова окажется на кривой. Группа может быть конечной или бесконечной. Если она бесконечна, то у кривой есть ранг – число, показывающее, сколько независимых точек порождают все остальные.

Гипотеза BSD утверждает: ранг напрямую связан с поведением -функции – специальной аналитической функции, которая строится по кривой. Если гипотеза верна, мы сможем определить, конечно или бесконечно число рациональных решений, прямо по -функции.

Эллиптические кривые – не абстракция: на них построена эллиптическая криптография, защищающая интернет. Алгоритм ECDSA (Elliptic Curve Digital Signature Algorithm) используется для цифровых подписей, в том числе в транзакциях криптовалют. Важно: BSD говорит про рациональные точки над полем , а в криптографии работают над конечными полями – это разные постановки. Гипотеза не ломает ECDSA напрямую, но углубляет понимание свойств самих кривых.

Что в итоге?

Если доказательства появятся, их нужно будет проверить. Формальная корректность не заменяет понимания: машина подтверждает, что выводы следуют из посылок, но не объясняет, почему это работает. Осмыслить такое доказательство – отдельная задача, которая может занять годы.

Если задачи, считавшиеся неприступными десятилетиями, падут за месяц, изменится представление о том, что такое математическое исследование. Что это означает для тех, кто учится математике или только выбирает путь? Буду рада обсудить в комментариях. Продолжаю следить за историей в своем канале о гидродинамике, AI, RISC-V и прочих моих интересах.

В чем суть сегодняшних проблем с образованием: учить математику или математикой.

Если знания — ценность, то нужно их накапливать. У большинства в голове предположение о том, что знание остается основной ценностью. Это хорошо иллюстрирует распространенный подход: нужно получить от учителя теорию (т.е. знание — ценность) и тогда ученик сможет решать задачи. Такой подход поддержан текущим мейнстримом (или мейнстримом до самого недавнего времени) о благах цивилизации в виде всяческих помощников, средств, избавляющих от труда, средств, повышающих уровень комфорта и т.д.

Если ценности изменились и теперь это не знания, а способность строить новое знание, то для обладания этой ценностью нужно вступить в конфликт с мейнстримом из всех сфер жизни о том, что есть блага цивилизации. Благами становятся не инструменты, облегчающие что бы то ни было, а культурный опыт. И этот опыт говорит о том, что нужно менять себя — приобретать привычки, быть дисциплинированным и т.д.

Именно этот конфликт, мне кажется, одна из главных проблем. Если не главная. Люди хотят учиться, но действуют, исходя из установок предыдущего этапа. Я постоянно сталкиваюсь с этим, когда приходят новые ученики. Наверное, 95% считают, что:

• приобретают они знания: и поэтому им так важно, сколько времени я с ними проведу, так как считают, что пропускная способность знаний зависит от учителя,

• уметь обосновывать теорему не обязательно, если задача с ее помощью решена: так как (с их точки зрения) ценность — теорема, а не то, как меняется сам ученик при взаимодействии с контекстом (т.е. с задачей),

• учиться формулировать вопросы не так важно — важны ответы на них: потому что ценность в знаниях, т.е. в ответах,

• нужно накопить знаний — они же ценность, а не сам ученик, а точнее его способность строить новое знание: поэтому совершенно непонятно, зачем менять себя — вырабатывать привычки, менять отношение и т.д.

Все это приводит к тому, что люди хотят, чтобы их подготовили к тому, чего уже нет. Но! Есть и другие. Важный вопрос: как помочь людям перестроится на то, что важнее собственные качества, чем владение инструментами. Инструменты тоже важны, но они есть у всех, и вследствие этого конкуренция резко возросла. Инструменты превратились из ценности в гигиенический фактор. Успех будет у тех, кто быстро перестроится.

Что делать учителям?

1. Смещаться от «учить математике» к «учить математикой» (т.е. использовать предмет для развития ученика, а не загружать предмет в ученика) и аналогично в других предметах

2. Быть междисциплинарными: т.е. выделять сущность обучения из разных предметов и работать с этой сущностью с учеником на примере разных предметов

🎲 Одна стратегия вместо всех приёмов: как выигрывать в карты

Играя в карты, вы можете считать свой навык средним. Вы не знаете точно все карты соперника, но можете просчитать какой козырь у него остался. Это не работает, так как навык игры это не стандартное нормальное распределение

В реальности вы всегда выше среднего в худшей половине. Чтобы победить, нужно не считать карты противника, а при первых признаках сильного оппонента менять стол. Именно таким образом обходят рекомендательные алгоритмы социальных сетей: у нового канала преимущество, выгодно забросить старый и открыть новый

Стартап российских математиков Mostik научил нейросети общаться между собой напрямую, без текста, чтобы объединять несколько моделей и экономить деньги на ресурсы и токены для ИИ. Стартапу всего четыре месяца. Его основала россиянка Александра Малышева, а в команде 15 человек, почти все с PhD и опытом работы в Google, Nvidia или Perplexity.

Точный механизм работы своего решения в Mostik не раскрывают. В теории это означает, что маленькую модель можно соединить с большой, чтобы повысить точность ответов у первой. Это должно сократить затраты на передачу данных от одной модели к другой.

Исследователь из компании Anthropic Джейкоб Коксон ушёл из ИИ-индустрии, опасаясь, что гонка технологических корпораций приближает мир к «точке невозврата»:

Я ушёл из Anthropic сегодня. Последние три года я занимался исследованиями предобучения как в OpenAI, так и в Anthropic. Ни одна из компаний не действует ответственно. Они несутся напролом к самоулучшающемуся сверхразуму и играют в рулетку нашими жизнями. Больше мыслей ниже.

Не недооценивайте мощь этой технологии. Вскоре это будут сверхчеловеческие системы, способные взламывать что угодно, революционизировать любую область за ночь и обретать реальную власть и ресурсы. Мы все были свидетелями прогресса в каждой из этих областей, и прогресс не замедляется.

Люди, создающие ИИ, искренне верят, что он может погубить нас всех к концу десятилетия. Это не маркетинговый трюк. Если уж на то пошло, многие руководители и старшие исследователи будут подбирать слова в прессе так, чтобы звучать разумно, — но я слышу, как те же самые люди выражают страх наедине. Никакая другая человеческая деятельность не несёт такой степени опасности.

Типичный ответ: «Если они действительно в это верят, почему они всё ещё это строят?» В OpenAI многие не осознали в полной мере цивилизационные ставки. В Anthropic ставки хорошо поняты, но они оказались в гонке, чтобы добраться туда первыми — они считают, что никто другой не будет действовать ответственно, поэтому им самим приходится это делать, несмотря на риск.

Принятие этой гонки и вступление в «эндшпиль» — это горделивый риск, который не должен запускаться из Slack частной компании. Попытка форсировать выравнивание должна требовать чрезвычайной уверенности в том, что нет лучших траекторий.

Я оптимистично настроен относительно потенциала координации. Предупреждающие сигналы, такие как атака на Hugging Face, сделали соглашения о темпах между американскими лабораториями более осуществимыми. Я не чувствую, что мы на правильном пути к предотвращению глобальной гонки, которая может потребовать дорогостоящих действий, таких как временный запрет на улучшение возможностей моделей.

Если вы исследователь в лаборатории, я призываю вас задуматься о том, как на самом деле будут ощущаться ближайшие несколько лет. Хотите ли вы запустить цикл обучения RL с суперразумным интеллектом, не имея строгого понимания его разума? Должны ли вы просто опустить голову, потому что «это всё равно произойдёт» — или использовать этот момент, чтобы призвать к иным условиям?

Про ИИ и проблему Навье-Стокса.

OpenAI запустила около 10 000 агентов, которые 88 часов решали одну математическую задачу.

И, судя по всему, решили.

Это обсуждают как очередное доказательство того, насколько умным стал ИИ. Но мне здесь интереснее другое.

Если посадить десять тысяч хороших живых математиков на одну задачу на 88 часов, я буду несколько разочарован, если они не добьются чего-то интересного.

Проблема в том, что десять тысяч математиков почти невозможно заставить работать как один организм. Их надо собрать, разделить работу, координировать, передавать результаты, отсекать тупиковые ветки и следить, чтобы они не потратили первые двое суток на обсуждение того, кто главный и когда будут кормить.

С агентами это внезапно можно.

Есть хороший аналог из физики.

Килограмм солнечного вещества производит гораздо меньше тепла, чем килограмм человеческого тела. Солнце чудовищно не потому, что каждый его килограмм особенно эффективно производит энергию.

Просто этих килограммов там примерно два нониллиона (2 × 10³⁰ кг, 30 нулей).

По факту с ИИ происходит примерно то же самое.

Мы продолжаем спрашивать, умнее ли отдельная модель отдельного человека, хотя гораздо интереснее становится другой вопрос: сколько «интеллектуальной» мощности можно одновременно собрать, скоординировать и направить на одну задачу.

Иногда преимущество системы возникает не из качества элемента.

Иногда элементов просто очень, очень много.

Исследователи из Гарварда и Института Санта-Фе опубликовали научную работу Large-Language Models as a Cognitive Virus, в которой приравняли крупные языковые модели к когнитивному вирусу. Учёные проанализировали ChatGPT через призму эволюционной биологии и эпидемиологии и пришли к выводу, что алгоритмы ИИ полностью соответствуют математическому определению вируса.

Нейросети не способны распространяться самостоятельно и используют человеческий мозг, серверы и сети как организмы-хозяева, подменяя паттерны мышления и принятия решений. По мнению авторов исследования, ИИ незаметно колонизирует цифровое инфополе, меняя человеческую речь и память для генерации нужных ему данных.

Если вы знакомы с ISA-L, Jerasure, Leopard-RS, klauspost/reed-solomon, то полагаю пояснений к картинке выше не нужно, вот ссылка -- забирайте.

Ну а теперь некоторые пояснения: выше перечислены известные библиотеки, реализующие коды Рида-Соломона под CPU для задачи стирания, т.е. у вас есть блоков, вы к ним добавляете еще блоков и получаете право потерять любые блоков из, РС код позволит восстановить потерянное. РС код состоит из нескольких рутин с многочленами, реализация за -- уровень сложного практического задания на курсе по вычислительной алгебре. В теории еще с 80-х годов было подозрение, что эти рутины можно полностью сделать на основе FFT, получить вычислительную сложность хотя бы и быстрый алгоритм на его основе. На практике с этим было много проблем, первая и по большому счету единственная практическая реализация со сложностью появилась в 2016 году в Leopard-RS на основе работы Лина-Чуна-Хана и соответствующего FFT-подобного преобразования (LCH transform). В этом году вышел обновленный алгоритм от авторов исходного подхода с улучшенным декодером, реализация доступна тут. Моя роль тут инженерная: я скрестил Leopard с XDRS, добавил GFNI, отполировал интерфейс и получил

• Совместимый с Leopard РС код с произвольными параметрами (Leopard только поддерживает только , у XDRS параметры должны быть степенями двойки)

• Выделенные интерфейсы для LCH преобразования и затьюненные вычислительные ядра под AVX2 и GFNI

• Ускорение по сравнению и с Leopard, и с XDRS

• Единый воспроизводимый бенчмарк

Спасибо за внимание

Новая Fable 5.1 смогла за 44 минуты разгадать один из сложнейших шифров в истории, над которым люди бились 373 года. Загадка Cyphral Distich Томаса Уркхарта занимала почётное 28 место в списке неразгаданных загадок человечества.

Всего две строки по 32 числа в каждой не давали покоя энтузиастам со всего мира, а разгадка оказалась до смешного простой.

Впервые шифр появился в трактате Уркхарта «Logopandecteision, or An Introduction to the Universal Language», в котором среди размышлений о несуществующем языке, были 32 пронумерованных пожелания автора. Шифр указывает, какое слово из какого пожелания надо взять — если число 8 в строке первое, то ищем восьмое слово в первом пожелании. 66 — второе, а значит — ищем шестьдесят шестое слово во втором пожелании. У полученных 64 слов берём по первой букве и получаем предложение: «О Боже, поддержи короля Карла II и сделай его верховным правителем этой земли».

Здравствуйте! Запишу здесь свои соображения по поводу того, от чего нужно отталкиваться, когда нужно ответить на вопрос «чему учиться и как».

Я учу школьников и взрослых математике и с недавних пор ещё и тому, как думать точнее и быстрее (к своему стыду до сих пор не придумал названия).

Я часто говорю своим ученикам о том, что при изучении математики не стоит пытаться запоминать. Если вы запоминаете, то вы тренируете память. Я рекомендую учиться строить решения. Это локально неоптимальный совет — в рамках каждой задачи выгодно вспомнить/посмотреть в записях формулу, которой нужно воспользоваться. Не буду сейчас об этом подробно. Пытаясь запоминать, вы пытаетесь накопить знания. Пытаясь строить, вы накапливаете навык построения знаний. Исторический способ борьбы с неоптимальностью — воспитание и авторитет учителя. Тот, кто воспитан, слушается и делает локально неоптимальные действия (вся учеба такова), имеет шанс хорошо выучиться и полюбить сам процесс. Если же ученик ориентирован на оптимизацию своих ресурсов, то шансов на порядок меньше. Собственно, нацеленность на оптимизацию личных ресурсов — это ущерб субъектности (о которой так много теперь говорят), так как через управление чужими ресурсами можно получить контроль над личностью и снизить её субъектность.

Так вот, чтобы вплести эту контринтуитивную рекомендацию в контекст, я использую представление об эволюции ценности. Для ребят я не называю всех этих страшных слов. Мысль такова:

Изначально для поддержания жизни нужны были ресурсы (как у зверей), и ценностью были ресурсы. Это территории, запасенная еда и т. д. Есть мысль о том, что переход к человеку — это использование орудий. Наличие орудий резко упрощает доступ к ценности (к ресурсам). Ценностью становятся орудия — они участвуют в генерации ресурсов, которые позволяют жить.

Человек с орудием становится самым влиятельным на планете. Орудия есть у всех, кто в теме. Орудия усложняются и различаются по эффективности. Становится важным знать, как делать орудия. Ценным становится знание. Ценность знаний длится до наших дней. Уже на этом этапе ученикам не всегда видна вся цепочка: знание → орудие → ресурсы → жизнь. У учеников возникают вопросы: зачем это всё учить?

Идём дальше. После книгопечатания, интернета, а теперь и LLM любое знание можно получить очень быстро. Но есть одна проблема — оно есть у всех. Воспользоваться можно, но это не изобретение чего-то нового. Ценность того, чтобы держать это в голове, — почти ноль. А что ценно? Ценна способность строить новое. Именно поэтому бесполезно что-то запоминать. Это прошлое. Как учиться строить новое? Строить новое для себя (решать задачи) и, может быть, кто-то из учеников построит что-то вообще новое. Как решать задачи? Не пытаться что-то запомнить. Радоваться тому, что ученик что-то забыл — есть возможность построить заново. Т. е. учиться можно на любом материале, например, на математике, на почти любых задачах. Важно то, как вы это делаете. Опираетесь на память — строите свой же потолок. Естественно, результатом будет что-то запомненное, но от того, как вы действовали, будет зависеть архитектура запомненного.

Описанный выше переход ценности от знания к умению их строить усложняет понимание учениками того, зачем учиться, ещё более соблазняет поддаваться локальной оптимизации и что-то запоминать. Требования к авторитету родителей/учителей возрастают. Воспитанные имеют шанс «полюбить» учебу.

Вот как-то так. Это упрощённая интерпретация для учеников. Я её дорабатываю постепенно. Хотите поспорить или посмотреть больше — велкам в канал (в профиле)!

Читаю очень интересную книжку про философию математики от J.D. Hamkins. Этого интересного математика я узнал недавно. При прочих своих заслугах, он еще первый в рейтинге на mathoverflow. И встретил там интересную мысль, почему доказательства от противного "хуже" обычных доказательств, на примере доказательства, что простых чисел бесконечно много. Дальше цитата из книги:

"Теперь рассмотрим еще одну классическую теорему, которую часто приписывают Евклиду, а именно утверждение о том, что существует бесконечно много простых чисел. Первые несколько простых чисел вам, вероятно, знакомы:

2 3 5 7 11 13 17 19 23 29...

Но по мере перехода к большим числам они постепенно встречаются все реже. Заканчиваются ли они в какой-то момент? Или простых чисел бесконечно много? Действительно, простых чисел бесконечно много.

Следуя Евклиду, докажем, что любой конечный список простых чисел ​ можно расширить. Пусть получается путем перемножения всех этих чисел и прибавления единицы:

Поскольку каждое натуральное число имеет разложение на простые множители, должно существовать некоторое простое число q, которое является делителем . Но ни одно из простых чисел не является делителем , потому что при делении на каждое из них остается остаток 1. Следовательно, является новым простым числом, которого не было в предыдущем списке. Таким образом, мы всегда можем найти еще одно простое число, а значит, простых чисел должно быть бесконечно много.

Это можно также доказать методом от противного. Предположим, с целью получить противоречие, что у нас есть конечный список всех простых чисел ​. Затем перемножим их и прибавим единицу:

Новое число не делится ни на одно ​, поэтому его разложение на простые множители должно содержать новые простые числа, которых нет в списке. Это противоречит нашему предположению о том, что в списке уже содержатся все простые числа.

Имеет ли значение, доказываем ли мы это от противного или напрямую? Доказательство от противного кажется вполне корректным. Тем не менее некоторые математики особенно подчеркивают, что Евклид не использовал доказательство от противного. Вместо этого он доказал, как сделали и мы здесь, что любой конечный список простых чисел можно расширить.

И на то есть веская причина: мы часто предпочитаем прямые доказательства доказательствам от противного. Прямые доказательства нередко содержат информацию о том, как построить математические объекты, существование которых утверждается. Но, что еще важнее, прямые доказательства часто дают более полную картину математической реальности.

Когда импликацию доказывают напрямую, предполагают , а затем выводят различные дальнейшие следствия и так далее, прежде чем в конечном итоге прийти к . Таким образом, мы получаем целый контекст, описывающий, как устроены миры, в которых выполняется .

Аналогично, при доказательстве с помощью контрапозиции предполагают , а затем выводят дальнейшие следствия, описывающие, как устроены миры, в которых q не выполняется, прежде чем в итоге заключить .

Однако в доказательстве от противного предполагают одновременно и , то есть нечто, что в конечном счете оказывается невозможным ни в одном мире. Поэтому такое доказательство ничего не сообщает нам ни об одном математическом мире, кроме самого факта истинности импликации ."

Математика оказалась самым сложным предметом для учеников начальной школы, согласно шкале трудности учебных предметов, представленной СанПиН (в санитарных правилах РФ). Для детей 1–4 классов математику оценили в восемь баллов из десяти, что выше оценок всех остальных дисциплин.

Второе место по уровню сложности по СанПиН занимают русский или родной язык и иностранный язык (семь баллов). Далее идут информатика и окружающий мир (по шесть баллов) и литературное чтение (пять баллов). Самыми лёгкими для младшеклассников оказались физкультура (один балл), технология (два балла), а также изобразительное искусство и музыка (по три балла).

Пару месяцев назад я написал пост о поиске журнала для публикации статьи. Спасибо всем откликнувшимся, особенно Евгению Рудному @rudnyi - именно его советом я и воспользовался. Но все не так просто...
У меня было три задачи: закрепить авторство, сообщить специалистам о работе и подняться в глазах начальства. Третий пункт отпал, поскольку мне пришлось уйти с работы вообще (по ссылке подробности). Соответственно, нужда искать журнал отпала и я решил попробовать препринты по совету Евгения.

Не буду писать все подробно, но опробовано следующее:
1. На сайте "preprints.ru" публикация удалась легко и просто: кто хочет - прочтите мою статью.
2. На сайте "preprints.org" статью отклонили (история ее перевода на инглиш с чатомжпт - это отдельная история). Причину отклонения не указали ("считаем нецелесообразным, спасибо за внимание, удачи на других площадках").
3. На сайте "zenodo.org" статья неделю висела со статусом "на рассмотрении", пока я сам ее не удалил (если удалилась). Почему - я не понял. То ли я что-то не так сделал, то ли что еще. Непонятно ничего!
4. Еще мне посоветовали сайт "academia.edu", где можно публиковать вроде бы что угодно и на любом языке (даже на русском). Но на русском уже есть, я опубликовал английский вариант - если интересно, прочтите. Статья одна и та же, но сейчас мир делится, и не факт, что аудитории пересекаются...

Место осталось, напишу кратко о переводе. Качество оценить не могу, скармливал ЖПТ фрагменты (только текст, без формул). Он несколько раз возвращался к прошлым фрагментам, приходилось переделывать. Один раз я ему дал перевод абзаца, сделанный джемени ("О, это очень интересно! Вот тут она лучше, тут хуже"). Статья в сумме 10 страниц Ворда, много формул и чисел. Но перевод занял не один день! Так что не все так просто пока еще в этой сфере...

Надеюсь, этот пост кому-то будет полезен, не один я площадки для публикаций ищу... Лет 15 назад я сам хотел сделать сайт для публикаций всего "непризнанного официально", чтобы дать площадку альтернативным идеям. Но руки так и не дошли...
Сейчас я сам в поисках интересной работы по моим умениям и желаниям (ссылка во вступлении к посту), но творчество свое буду продолжать и сайты свои развивать.
А статья... Чистая математика! :) Если кому интересно.

Представлен проект MathCode — это терминальный помощник по программированию с ИИ со встроенным механизмом формализации математических формул. «Дайте ему математическую задачу на простом языке, и он автоматически преобразует её в теорему Lean 4 и попытается дать формальное доказательство — с помощью постоянно доступной интерактивной среды Lean REPL, многократно используемых библиотек теорем и аксиом, агентного доказательства и графа знаний Obsidian», — пояснили в команде проекта.

Что такое HAWK? Рассказывают сотрудники лаборатории криптографи ИТ-компании «Криптонит».

HAWK — это постквантовая схема электронной подписи на решётках, представленная международной группой криптографов на конференции ASIACRYPT в 2022 году. С тех пор HAWK участвовал в дополнительном конкурсе электронных подписей NIST. В мае 2026 года в третий раунд прошли девять схем, и HAWK оказался единственной решёточной среди них.

Главные преимущества HAWK в низких аппаратных требованиях (экономия оперативной памяти, нет операций с плавающей запятой) и компактности (малый размер открытых ключей и подписей). Однако стойкость HAWK опирается на модульную задачу изоморфизма решёток (module-LIP), для которой нет доказательства NP-сложности.

28 июля 2026 года компания Anthropic опубликовала статью, в которой с помощью модели Claude Mythos Preview доказала возможность построить атаку восстановления ключа HAWK. Модель нашла нетривиальный автоморфизм решётки ключа.

То, что нетривиальный автоморфизм делает атаку возможной, было известно и раньше (см. работу Гента и Пуллеса). Открытым оставался вопрос, доступен ли такой автоморфизм в решётке HAWK.

В работе Anthropic речь не идёт о взломе. Сложность атаки остаётся экспоненциальной, но она существенно снижает эффективную длину ключа. В эксперименте секретный ключ для набора параметров HAWK-256 (здесь 256 — степень кольца, а не длина ключа) удалось восстановить за несколько часов на одном 96-ядерном сервере.

Подчеркнём, что HAWK-256 — чисто испытательный набор параметров, не отвечающий ни одному уровню стойкости NIST. На практике предлагается использовать HAWK-512 и HAWK-1024.

Для HAWK-512 в модели подсчёта логических элементов стоимость восстановления ключа падает с 2^150 до 2^108, а для HAWK-1024 — с 2^288 до 2^182.

Разработчики признали проблему и отозвали схему с конкурса. Для восстановления запаса стойкости HAWK потребовалось бы почти удвоить размеры ключей, а это лишило бы схему её главного преимущества.

В Anthropic отправили экспериментальную модель Claude изучать гипотезу Римана — математическую задачу, которую кожаные математики безуспешно пытаются решить с 1859 года. Саму гипотезу Claude не решил, зато нашёл способ поднять доказанную долю подходящих функций с 41,6% до 67,2% — это прорыв, который сэкономит научному сообществу десятки лет. Руководивший экспериментом Джаред Самнер не создавал сложных промптов — большую часть времени он просто для ИИ писал «продолжай» и «верь в себя».

Вынесу отдельно мой комментарий к переводу статьи Б. К. Дженнингса Научный метод.

Автор - это физик и он ошибочно отождествляет физику со всей наукой. В то же время в физике есть своя проблема, которая в статье пропущена. Современная физика невозможна без использования математического формализма и в этом случае встает вопрос о связи математики, физики и мира. Этот вопрос в статье не рассмотрен.

В 17-м веке была надежда, что математика, которая лежит в основе физике, есть знание о мире (Бог-математик и все такое), но эти времена давно прошли. В настоящее время встает вечная философская проблема о соотношении математики и мира. Открывают ли математики теоремы или математики изобретают теоремы. Ответа на этот вопрос нет и не предвидится.

Другая проблема в рассмотрение - это Декарт как исходная точка отсчета. Это погружает нас в другую вечную философскую проблему - существование реального мира (Бог или Эволюция не обманщик и все такое). В этом случае полезно прийти в лабораторию и задать этот вопрос физикам-экспериментаторам, что они думают по этому поводу, есть ли у них сомнения в реальности экспериментальных установок.

На счет теорий физики могу порекомендовать книгу Дюгема ‘Физическая теория, её цель и строение’. В ней дается взвешенное рассмотрение использования математики в физике, также отличие физики от математики и связь физики с миром. Книга, правда, ограничена классической физикой, но идеи Дюгема можно перенести на современную физику.

К теме: Философия физики Пьера Дюгема

Математик Дмитрий Рыбин вместе с GPT-5.6 опроверг известную гипотезу, которую открыли ещё 30 лет назад — он попросил ИИ «совершить прорыв».

Серьёзно, никаких хитрых промптов для научного исследования не понадобилось: математик просто просил ChatGPT продолжить опровержение. После этого ИИ 80 минут выстраивал цепочку аргументов. Автор поделился чатом с моделькой и называет ситуацию «чистым мемом».

Гипотеза утверждает: если множество грузов можно распределить по сети, дробя их между маршрутами, то можно каждому грузу выбрать один цельный маршрут — и нагрузка на любую дорогу изменится не больше, чем на размер самого крупного груза. Иными словами, «идеальное дробное» решение якобы всегда можно почти без потерь превратить в практическое.