13 — счастливое число! «Счастливыми» называют натуральные числа с особым свойством: при повторяющейся замене такого числа на сумму квадратов его цифр и далее — на сумму квадратов цифр каждого промежуточного результата, в итоге получается единица.

Например, возьмём число 7 и убедимся в том, что оно «счастливое».

1. 7² = 49;

2. 4² + 9² = 97;

3. 9² + 7² = 130;

4. 1² + 3² + 0² = 10;

5. 1² + 0² = 1.

После пяти шагов мы пришли к единице, что и требовалось по определению.

Как ни странно, число 13 тоже «счастливое», и проверяется это буквально в два шага:

1. 1² + 3² = 10;

2. 1² + 0² = 1.

С четвёркой получается интереснее.

1. 4² = 16;

2. 1² + 6² = 37;

3. 3² + 7² = 58;

4. 5² + 8² = 89;

5. 8² + 9² = 145;

6. 1² + 4² + 5² = 42;

7. 4² + 2² = 20;

8. 2² + 0² = 4.

Через восемь шагов мы снова получаем 4! Это цикл, из которого нет выхода.

Понятие «счастливые числа» использовал в 1980-х годах британский преподаватель математики Рег Алленби (Reg Allenby). Позже Ричард Кеннет Гай и Джон Хортон Конвей использовали этот термин в книгах по теории чисел и занимательной математике.

Сейчас «счастливые числа» используются в задачах на итерационные алгоритмы и циклы. Они встречаются на соревнованиях по программированию и в математических олимпиадах.