Учёному из НИУ ВШЭ в Нижнем Новгороде и ИППИ РАН Ивану Ремизову удалось вывести формулу для решения задач, которые 190 лет считались нерешаемыми. Результаты работы опубликованы во Владикавказском математическом журнале.

В школе учат находить х в уравнении ax²+bx+c=0 через формулу корня. В высшей математике используются дифференциальные уравнения второго порядка ay''+by'+cy=g. Они описывают сложные процессы, в которых коэффициенты постоянно меняются. Такие уравнения описывают к��лебания маятника, сигналы в электросетях и движение планет.

В 1834 году французский математик Жозеф Лиувилль показал, что невозможно выразить решение такого уравнения через его коэффициенты стандартными методами. С тех пор в математическом сообществе укоренилось мнение, что общей формулы для их решения нет. Задача считалась закрытой 190 лет.

Старший научный сотрудник НИУ ВШЭ и ИППИ РАН Иван Ремизов расширил набор математических инструментов. К стандартным действиям учёный добавил нахождение предела последовательности. Это позволило записать формулу, в которую можно подставить коэффициенты уравнения a, b, c и g уравнения ay''+by'+cy=g и найти его решение — функцию y.

Метод основан на теории аппроксимаций Чернова. Сложный процесс разбивается на бесконечное множество простых шагов. Когда их число устремляется к бесконечности, они соединяются в точный график решения. Скорость сходимости приближений Иван Ремизов получил вместе с коллегой Олегом Галкиным в прошлом году.

В новой статье Ремизова доказано, что при применении преобразования Лапласа эти шаги дают итоговый результат. Учёные называют его резольвентой.

Дифференциальные уравнения второго порядка используются для определения специальных функций Матье и Хилла. Они важны для понимания движения спутников на орбите и протонов в Большом адронном коллайдере. Единственное определение таких функций заключается в том, что они являются решениями конкретных уравнений.

Предложенный подход позволяет выражать решения уравнений через их коэффициенты напрямую. Специальные функции теперь можно задавать явными формулами подобно тому, как формула y(x)=x² задаёт функцию y.

Работа Ивана Ремизова связывает математику с современной физикой. Учёный впервые представил решение обыкновенного дифференциального уравнения в виде формулы, аналогичной интегралам нобелевского лауреата Ричарда Фейнмана.