Если вероятность события ноль, то это "невозможное" событие, которое никогда не произойдёт. А событие с вероятностью единица (100%) - напротив, случается всегда. Так ли это? Популярная тема из области прикладной теории вероятностей. Например, вот довольно старый ролик на канале Бориса Трушина, где утверждается, что нет, всё не так, и считать, что событие с вероятностью 100% обязательно происходит, а с нулевой вероятностью - не происходит, "это распространённое заблуждение". Пример тоже привычный: пусть вероятность попасть в конкретную точку окружности (над ℝ), выбирая точки случайно, равна нулю, однако такое событие всё равно произойдёт, потому что в какую-то точку попасть всегда можно.
Нулю вероятность должна быть равна из-за того, что точек на окружности, так сказать, слишком много, даже больше, чем натуральных чисел, и все точки равноправны: если бы одной точке назначить сколь угодно малую вероятность, отличную от нуля, то суммарная вероятность по всем точкам получится бесконечно большой, а хотелось бы, исходя из свойств выбранного вероятностного пространства, чтобы была единица ("вероятность не бывает больше 100%"). Естественно, в нужный момент происходит предельный переход и оказывается, что вероятность нуль - это означает, что должно стремиться к нулю отношение исходов экспериментов. Занятно, что в бесконечном случае, на минуточку, событие с нулевой вероятностью как бы может произойти любое конечное количество раз, и при этом его вероятность не перестанет быть нулевой. Интересно.
Это всё верно, но запутывает достаточно сильно, чтобы спрашивать на собеседованиях (непонятно только на какую должность).
Вообще, если ввести привычные координаты, то точка, которую случайно выбрали, "обязательно" будет иррациональной. Из тех же соображений, по которым вероятность попасть в эту точку равна нулю (см. выше): понятно, что иррациональных точек на окружности сильно больше, чем рациональных. Однако даже координаты одной иррациональной точки не выйдет записать точно в виде десятичной дроби (по определению), что уж там говорить про формирование бесконечного набора таких точек, чтобы признать их событиями и начать выбирать случайно. Попытки выбирать элементы бесконечных множеств давно приводят к разночтениям в основаниях математики, но это мало кого волнует. Вот выбрать некоторую аксиоматику, принять арифметику с действительными числами - это можно. Однако существенная часть теории вероятностей - про прикладные измерения, а действительные числа таким измерениям не поддаются (по определению). Вот отсюда и кажущаяся контринтуитивность: просто, пространство было выбрано максимально далёкое от физических измерений.
С другой стороны, если нашу окружность аккуратно нарезать на конечное количество непересекающихся интервалов по рациональным точкам (попробуйте) и, приняв топологический подход, потребовать попадания в интервал около точки, а не в точку, то события, имеющие нулевую вероятность, происходить перестанут, а те, которые "с вероятностью 100%", напротив - начнут происходить всегда.
Можно развить вычислительный подход. Предположим, что мы строим случайным образом из центра окружности луч, который пересекает окружность в какой-то точке. Но формировать луч и подсчитывать точки требуется при помощи программы на языке Python (например), выводя уравнение луча и координаты попадания. С одной стороны, попадание в иррациональную точку станет строго невозможным (нулевая вероятность, почти так же, как и в исходном примере), с другой стороны - луч должен нередко проходить "сквозь" окружность без пересечения, так как мы, с точки зрения алгебры, потребовали, чтобы решения для системы уравнений луча и окружности всегда были рациональными (даже целыми, на самом деле), а над рациональными числами луч и окружность могут не пересекаться. И какова тогда вероятность того, что подобная программа на Python завершится, успешно обнаружив луч, который не пересекает окружность? Должна бы быть единица.
