Здравствуйте жители Хабра. Сегодня я хотел бы рассказать о полиномах для генерации простых чисел, и начну с самого, наверное, известного.
Великий, без преувеличения, математик Леонард Эйлер опубликовал полином x^2-x+41, который дает простые числа, для всех целых значений x от 1 до 40.
Очевидно, когда x равно 41, это выражение не является простым, ибо делится на 41.
Давайте посмотрим, какие числа дает нам этот полином:
41, 43, 47, 53, 61, 71, 83, 97, 113, 131, 151, 173, 197, 223, 251, 281, 313, 347, 383, 421, 461, 503, 547, 593, 641, 691, 743, 797, 853, 911, 971, 1033, 1097, 1163, 1231, 1301, 1373, 1447, 1523, 1601
Я считаю этот полином очень крутым. Но вот что интересно,
До сих пор в распределении простых чисел, не найдено ни какой строгой закономерности, но в этой формуле она есть. Давайте посмотрим на разницу между получившимися числами 2, 4, 6, 8, 10, 12 и.т д. Вполне себе закономерно. Так может распределение, это наложенные друг на друга полиномы? Только где их взять? И я вывел немного таких.
Скажу сразу, для меня это просто интересное занятие, так как математика является моим хобби, и не более того, так что приветствуется любая критика и предложения. Итак:
1) 2*X^2+29. Прекрасный полином, при x=0..28 дающий на выходе 29 простых чисел:
29, 31, 37, 47, 61, 79, 101, 127, 157, 191, 229, 271, 317, 367, 421, 479, 541, 607, 677, 751, 829, 911, 997, 1087, 1181, 1279, 1381, 1487, 1597
В этом полиноме, в отличие от Эйлеровского, числа идут с шагом 2, 6, 10, 14… По моему очень хорошо.
2) 4*X^2+163 дает 20 чисел с шагом 4, 12, 20, 28… при x = 0..19
163, 167, 179, 199, 227, 263, 307, 359, 419, 487, 563, 647, 739, 839, 947, 1063, 1187, 1319, 1459, 1607
3) 6*X^2+13 дает 13 чисел 13, 19, 37, 67, 109, 163, 229, 307, 397, 499, 613, 739, 877 с шагом 6, 12, 20, 28…
Но самое интересное, это способ которым они были получены. И способ этот Скатерть Улама.
Проще говоря, числа, идущие по порядку, располагающиеся по спирали, от центра к краю.
В ней, четко прослеживается связь квадратов чисел, так как сама по себе она является числами заключенными в квадрат. За одним лишь маленьким исключением. Для формулы Эйлера скатерть начинается с 41
Вот они все числа из формулы Эйлера на одной прямой. Не правда ли красиво? Оранжевым помечены квадратные корни. В моем же случае, скатерть немного модифицированная, и наверное является темой отдельного публикации. Но одно могу сказать точно, как в моей формуле (1) и (2) так и в полиноме Эйлера, как только простое число, сгенерированное полиномом, выходит за 40^2+7, то цепочка, идущих подряд чисел, прерывается. Объяснения этому я не нашел.
На сколько это важно, я еще не до конца понял, но связь между полиномом Эйлера и Скатертю Улама есть однозначно.
Спасибо за внимание.
Счастливые числа Эйлера
Великий, без преувеличения, математик Леонард Эйлер опубликовал полином x^2-x+41, который дает простые числа, для всех целых значений x от 1 до 40.
Очевидно, когда x равно 41, это выражение не является простым, ибо делится на 41.
Давайте посмотрим, какие числа дает нам этот полином:
41, 43, 47, 53, 61, 71, 83, 97, 113, 131, 151, 173, 197, 223, 251, 281, 313, 347, 383, 421, 461, 503, 547, 593, 641, 691, 743, 797, 853, 911, 971, 1033, 1097, 1163, 1231, 1301, 1373, 1447, 1523, 1601
Я считаю этот полином очень крутым. Но вот что интересно,
До сих пор в распределении простых чисел, не найдено ни какой строгой закономерности, но в этой формуле она есть. Давайте посмотрим на разницу между получившимися числами 2, 4, 6, 8, 10, 12 и.т д. Вполне себе закономерно. Так может распределение, это наложенные друг на друга полиномы? Только где их взять? И я вывел немного таких.
Скажу сразу, для меня это просто интересное занятие, так как математика является моим хобби, и не более того, так что приветствуется любая критика и предложения. Итак:
1) 2*X^2+29. Прекрасный полином, при x=0..28 дающий на выходе 29 простых чисел:
29, 31, 37, 47, 61, 79, 101, 127, 157, 191, 229, 271, 317, 367, 421, 479, 541, 607, 677, 751, 829, 911, 997, 1087, 1181, 1279, 1381, 1487, 1597
В этом полиноме, в отличие от Эйлеровского, числа идут с шагом 2, 6, 10, 14… По моему очень хорошо.
2) 4*X^2+163 дает 20 чисел с шагом 4, 12, 20, 28… при x = 0..19
163, 167, 179, 199, 227, 263, 307, 359, 419, 487, 563, 647, 739, 839, 947, 1063, 1187, 1319, 1459, 1607
3) 6*X^2+13 дает 13 чисел 13, 19, 37, 67, 109, 163, 229, 307, 397, 499, 613, 739, 877 с шагом 6, 12, 20, 28…
Но самое интересное, это способ которым они были получены. И способ этот Скатерть Улама.
Проще говоря, числа, идущие по порядку, располагающиеся по спирали, от центра к краю.
В ней, четко прослеживается связь квадратов чисел, так как сама по себе она является числами заключенными в квадрат. За одним лишь маленьким исключением. Для формулы Эйлера скатерть начинается с 41
Вот они все числа из формулы Эйлера на одной прямой. Не правда ли красиво? Оранжевым помечены квадратные корни. В моем же случае, скатерть немного модифицированная, и наверное является темой отдельного публикации. Но одно могу сказать точно, как в моей формуле (1) и (2) так и в полиноме Эйлера, как только простое число, сгенерированное полиномом, выходит за 40^2+7, то цепочка, идущих подряд чисел, прерывается. Объяснения этому я не нашел.
На сколько это важно, я еще не до конца понял, но связь между полиномом Эйлера и Скатертю Улама есть однозначно.
Спасибо за внимание.