Алгебраические уравнения появились давно. Пока не задамся вопросом зачем вообще они нужны... просто будем пока рассуждать о них.
Сразу после их появления стал народ думать как их решать. Вот об этом думанье по решению я хочу и рассказать.
Довольно быстро человек понял, что решения уравнений должны принять некоторую форму. Материализоваться, что ли в этом мире. И так наверное появились так называемые Диофантовы уравнения. Это значит нахождение решения алгебраических уравнений в целых или рациональных числах. Хотя всегда по умолчанию это подразумевается... на самом деле для понимания явления решения надо рассматривать в виде какой нибудь формы. Например может быть так, что в целых числах решений нет, но при этом в целых комплексных числах... где есть числа с мнимой единицей, решения могут быть.
Вот эта путаница в понимании, что же мы ищем сыграла я думаю злую шутку. Началась она с самого Диофанта. Тогда считалось достаточным найти просто числовое решение. Потом поняли, что решений может быть много.... бесконечно много. Тут уж хочешь или нет надо искать в уравнениях закономерности. Ну и как их искать? Пока в средние века не появился формальный математический аппарат - особых успехов не было. Как я потом ниже покажу... многие формулы крайне сложные и там перебором угадать просто не реально. Так, что особо больших успехов не было.
Всё началось конечно с Ферма. Он и потом многие неизвестные нам математики рационализаторы смогли на примерах показать как формализация упрощает решения. То, что нельзя было за тысячелетия сделать... можно было сделать с небольшим усилием. Но опять же. Переход от чисел к формулам был всё таки под влиянием арифметики. Она ещё долго влияла.
И тут буквально каким то чудом во всей этой каше и полном бардаке мракобесия - Ферма упоминает то, что на следующие столетия окажеться в полном забвении и пренебрежении. Ферма упоминает уравнение Пелля. Это уравнение вида ...
Хотя если задачки возникнут то необходимо рассматривать более общую форму этого уравнения. 
Каким то образом он смог догадаться, что числа могут быть представлены или лучше сказать выражены через решения уравнений Пелля. И вся эта геометрия которая сейчас крайне популярна... она попросту не нужна. Он так и писал в письмах многим, что проблема по моему в них. Правда на это особо не обратили внимание. Повозились с ними... повозились... но потом стали возникать сложности и забросили. Конечно все абсолютно уравнения решить нельзя, но когда возникает подходящая ситуация то можно.
Сейчас правда это уравнение превратилось в назойливую пчелу. Которая вечно жужжит, крутиться под носом и мешает жить полной жизнью без страха быть ужаленным в самый неподходящий момент. Раньше было хорошо. Раньше были механизмы которые сдерживали проклятых фриков от неправильных идей. Вернее от возможности их озвучить. А как появился этот проклятый интернет... тут и полезло... всё, что мешает хорошо жить.
Я не буду приводить тут формулы - потому, что их много... очень много. А к тому же часто они такие громоздкие, что лучше дать ссылку на страничку. Так просто пост будет наглядней. Кто захочет посмотреть на формулу перейдёт. У меня один знакомый сайт создал с тождествами алгебраическими. И вот и там повылазили решения некоторых Диофантовых уравнений - выраженные через решения некоторых уравнений Пелля.
Он собрал решения многих людей и ясно, что такая идея... Надо сказать крайне неправильная и крайне порочная идея... которая портит нам всю нашу замечательную алгебраическую геометрию... пришла в голову очень многим людям.
Вообще говоря решения уравнений Пелля чем то похоже на последовательность Фибоначчи. Только там каждый последующий член есть сумма двух предыдущих, а тут следующий член есть комбинация предыдущего решения.
https://artofproblemsolving.com/community/c3046h1090811
https://mathoverflow.net/questions/365529/a-pell-like-equation/384800#384800
Наверное стоит упомянуть самое простое.... взять те же Пифагоровы тройки. Оказывается есть такие в которых разница между двумя слагаемыми некоторое заданное число. 
https://math.stackexchange.com/questions/1651227/pythagorean-triplets-of-the-form-a2a12-c2-and-the-space-between-them/3282550#3282550
Оказывается всё дело в уравнении Пелля.
И тут становиться понятно почему такие числа есть и кто в этом виноват. Тут надо учесть, что шла речь о взаимно простых числах.
Забавно, что оно вылазиит ... где есть неоднородность степеней уравнения. Правда не всегда. Но если надо описать все решения то без него не обойтись.
https://artofproblemsolving.com/community/c3046h1047436__
Или например такое. 
https://artofproblemsolving.com/community/c3046h1047580_
Можно взять и более высокую степнь. 
https://artofproblemsolving.com/community/c3046h1048092_diophantine_equation_madame_zarangesh
Но мне больше всего нравится запись параметризации кривых треугольных чисел. Это уравнение вида.
https://artofproblemsolving.com/community/c3046h1049300___
Решения задаются уравнением Пелля в которых входят коэффициенты при вторых степенях. А решения у этого уравнения есть всегда - если есть хоть один коэффициент первой степени.
Забавно, что в одну строчку можно записать доказательство того, что даже сформулировать страшно. Даже мне самому такая идея не приходила в голову пока формулу не получил.
Не говоря уже о довольно популярных уравнениях вида 
https://mathoverflow.net/questions/250172/when-is-fa-b-fraca2b21ab-a-perfect-square-rational-number/250300#250300
Ну и дальше... дальше были Эйлер и Гаусс. Я когда первый раз увидел Арифметику Гаусса удивился насколько толстая книжка. Опубликовать такую книженцию в наше время и то крайне дорогое удовольствие. А тогда это вообще целого состояния стоило наверное...
Они поняли одну замечательную вещь. Применяя просто алгебру можно решить очень многие уравнения. И к тому же Гаусс ввёл такое понятие как эквивалентная форма. То есть если взять ту же самую Пифагорову тройку 
И сделаем такую замену...
То вроде как бы получим другое уравнение 
Только вот эти оба уравнения одинаковые. Они одинаковой эквивалентной формы.
И вот эта мелочь о которой чуть ли не во всю книжку писал Гаусс в конце концов сыграло злую шутку.
Хотя по логике вещей должно было быть сразу ясно. Форм эквивалентных у любого уравнения может быть бесконечно много. А написать одну единственную формулу для всех уравнений можно?
Нет конечно. Какую бы сложную формулу бы не написали... при бесконечных различных вариантов она всегда даст сбой.
И вот тут математики оторвались по полной. Нет единого алгоритма для решения всех уравнений. Некоторые пошли дальше. Мол нет даже формул.
Хотя Гаусс с Эйлером со своими идеями носились... народ это особо не оценил. Решили пойти другим более лёгким путём. А так как они всегда возились с вариациями Пифагоровых троек... то с них всё и началось. Вспомнили геометрию и решили её применить. Хорошо, что метод секущих довольно простой.
Был довольно простой выбор. Есть две идеи и есть два метода. Один метод простой... другой сложный. Выбрали простой.
Только вот какая неприятность потом выяснилось. Для простых уравнений всё замечательно. Как чуток усложняешь... ничего не работает. Как то обсуждение было этого метода. Я спросил, а сколько там столетий его применяете? Не пора для какой то группы уравнений записать общую формулу? Чтоб по заданному решению находились другие?
https://mathoverflow.net/questions/225781/fricke-klein-method-for-isotropic-ternary-quadratic-forms/225995#225995
Любое упоминание неопределённых коэффициентов вызывает истерику культуры отмены. Хотя если подумать то формулы быть не должно. Но всё таки формулу спасает эквивалентная форма. Формула оказывается есть.
https://math.stackexchange.com/questions/738446/solutions-to-ax2-by2-cz2/738527#738527
Смысл в том чтоб подобрать к данной формуле эквивалентную форму. Там в формуле корень есть. И смысл сделать такие преобразования чтоб корень был целым. И вот поиск эквивалентной формы приводит нас опять к уравнению Пелля. То есть имеет ли какое то уравнение решения... сводится к задаче выяснения нет ли у некоторого уравнения Пелля решений.
Хочется о многих уравнениях рассказать... только я по моему буду писать и писать.... поэтому лучше дам ссылку на страничку. Если будут вопросы то отвечу по конкретному уравнению.
https://artofproblemsolving.com/community/c3046
https://math.stackexchange.com/users/128505/individ
Хотя.... Всё таки о чём в книжке Диофанта шла речь? Он говорил о системах нелинейных алгебраических уравнений. Кто нибудь об этом слышал?
Это ещё одно своеобразное табу которое нельзя упоминать. Почему?
Решить уравнение сложно. Часто крайне сложно, а тут система. Тем более нелинейная система уравнений.
Вот в качестве примера некоторые системы Диофантовых уравнений которые так и не решил он... https://math.stackexchange.com/questions/1401110/nonlinear-system-diophantus
Вроде Серпинский с Делоне пытались решить задачку из второй книги под номером 20,21.
https://artofproblemsolving.com/community/c3046h1046718__4
Но Диофант почему то приводит именно такое решение которое не так просто получить. Это наверное никогда не узнаем... но я думаю, что он не случайно такое число написал.
Эйлер тоже пытался решить системы. Даже придумал некоторые сам. Вот приведу пример одной.
В этой теме можно посмотреть на его подход решения и что же получилось у меня.
https://artofproblemsolving.com/community/c6h602478
Мало того, что решить системы некоторые крайне сложно. Так ещё иногда так бывает, что решение никому не нужно. Параметризация иногда бывает такой сложной, что народ просто переписать её не может.... ошибается. Вот тут и разводишь руки. Народ требует других законов природы, а она выдаёт не те которые нравятся им.
https://math.stackexchange.com/questions/2453540/how-to-find-x-such-that-a2-b2-cdx-r2-c2-d2abx-s2/2455548#2455548
Кстати. Уравнение Пелля может и в систему забраться. Его ничто не останавливает.
https://math.stackexchange.com/questions/1671427/how-to-solve-these-two-simultaneous-divisibilities-n1-mid-m21-and-m1
И закончу рассказ на грустной ноте. Последняя ссылка показательна в плане отношению к таким идеям. Человек задал вопрос и оценка этого вопроса 85-40.
Даже ответ с расчётом, используя формулы которые я привёл... набирает больше баллов чем формулы которые вывел.
Человек консервативен. Должна быть какая та масса идей и решений которые бы могли показать, что можно сделать лучше и больше. Напишешь одну формулу скажут случайно вышло... две??? Совпадение.... поэтому их надо написать много. Очень много. Закидать решениями так чтоб не получилось бы отмахнуться и сказать, что это всё не важно.
Надо показать насколько глубока эта кроличья нора и сколько всего можно ещё сделать.
Кстати... если в лоб решать некоторые системы. Например просто как алгебраического уравнения. Там степень так быстро растёт, что написать для обычного уравнения ничего нельзя... а тут формулы.
https://math.stackexchange.com/questions/1037013/sinhas-theorem-for-equal-sums-of-like-powers-x-17x-27x-37-dots/1039432#1039432
https://math.stackexchange.com/questions/1423743/when-the-a2bcd-b2acd-c2abd-d2abc-are-all-perfect-squares/1432062#1432062