Apr 6 at 00:13

Структура пространства пифагоровых троек

Easy

Invite pending

Пожалуй, о пифагоровых тройках не слышал только тот, кто не слышал слова "математика", а тот, кто о них слышал, имеет все основания полагать, что о пифагоровых тройках известно всё, что могло быть узнано за их почти четырёхтысячелетнюю историю. Однако, я покажу их с ракурса, который, по-видимому, до сих пор не был известен.

Примем следующее определение: пифагоровой тройкой называется набор трёх натуральных чисел $a, \ b, \ c$ удовлетворяющих уравнению . Если числа $a, \ b, \ c$ не имеют общих делителей, то пифагорова тройка называется примитивной.

Общеизвестна формула Евклида, выражающая пифагорову тройку парой целых чисел $m,\ n$ , где :

$a=m^2-n^2 \\ b=2 \ m \ n \\ c=m^2+n^2$

Первым шагом в исследовании пространства пифагоровых троек будет переход к другим величинам:

$c-a=2 \ n^2=2 \ n \cdot n \\ a+b-c=2 \ n \cdot (m-n) \\ c-b=(m-n)^2=(m-n) \cdot (m-n)$

которые обладают следующим свойством:

$НОД \ (a+b-c, \ c-a, \ b)=2 \ n \\ НОД \ (a+b-c, \ c-b, \ a)=(m-n)$

Введём обозначения:

$2 \ n=t \\ m-n=v= \tau \\ n= \varphi$

и установим правило запрета квадратов: любая комбинация величин и/или , стоящая под знаком второй степени, означает произведение двух различных величин. Так:

$c-a=2 \ n^2=2 \ n \cdot n= \varphi \ t \\ a+b-c= 2 \ n \cdot (m-n)=v \ t \\ c-b=(m-n)^2=(m-n) \cdot (m-n)=v \ \tau \\$

Далее, перепишем исходное условие пифагоровой тройки в виде:

$(a+b-c)^2=(a+b-c) \cdot (a+b-c)=2 \cdot (c-a) \cdot (c-b)$

сделаем принятые замены:

$(v \ t)^2=2 \cdot \varphi \ t \cdot v \ \tau$

и, после сокращения на $(v \ t)$ , окончательно получим условие пифагоровой тройки в новых величинах:

$v \ t=2 \cdot \varphi \ \tau$

Следующим шагом, сопоставим пифагоровой тройке её матричный образ (далее, опт - образ пифагоровой тройки):

$\begin{pmatrix} \tau & v \\ \varphi & t \end{pmatrix}$

и примем правило восстановления прообраза:

$(v \ (\tau+t))^2+((v+\varphi) \ t)^2=(v \ \tau+v \ t+\varphi \ t)^2$

где:

$a=v \ \tau+v \ t \\ b=v \ t+\varphi \ t \\ c=v \ \tau+v \ t+ \varphi \ t$

Рассмотрим построение оптов на трёх примерах.

Пример 1

$5^2+12^2=13^2 \\ \tau=1, \ v=1, \ t=4, \ \varphi=2 \\ \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 2 & 4\end{pmatrix}$

Пример 2

$8^2+15^2=17^2 \\ \tau=1, \ v=2, \ t=3, \ \varphi=3 \\ \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 3 \end{pmatrix}$

Пример 3

$20^2+21^2=29^2 \\ \tau=2, \ v=4, \ t=3, \ \varphi=3 \\ \begin{pmatrix} 2 & 4 \\ 3 & 3 \end{pmatrix}$

Обратим внимание на то, что опт из примера 3 составлен из нижних строк оптов из примеров 1 и 2.

Построение оптов пифагоровых троек из первой сотни показало, что серии троек с характеристиками и играют роль, своего рода, координатных осей - взяв по одной строке из оптов этих серий, составив из них новый опт так, чтобы в его нижней строке значения повторялись и восстановив из него прообраз, мы получим другую пифагорову тройку.

Вот как выглядят на координатной плоскости оптов первые $11 \times 11$ его элементов, красным цветом обозначены опты непримитивных пифагоровых троек:

Пронумеровав серии оптов с характеристиками и мы получим натуральнозначные координаты, а значит, можем определить правило их сложения. Таким образом, пространство пифагоровых троек является координатным.

Примечательным свойством этого пространства является то, что пифагоровы тройки заполняют его без разрывов.

Hubs:

Mathematics