Пожалуй, о пифагоровых тройках не слышал только тот, кто не слышал слова "математика", а тот, кто о них слышал, имеет все основания полагать, что о пифагоровых тройках известно всё, что могло быть узнано за их почти четырёхтысячелетнюю историю. Однако, я покажу их с ракурса, который, по-видимому, до сих пор не был известен.
Примем следующее определение: пифагоровой тройкой называется набор трёх натуральных чисел 
удовлетворяющих уравнению 
. Если числа 
не имеют общих делителей, то пифагорова тройка называется примитивной.
Общеизвестна формула Евклида, выражающая пифагорову тройку парой целых чисел 
, где 
:
Первым шагом в исследовании пространства пифагоровых троек будет переход к другим величинам:
которые обладают следующим свойством:
Введём обозначения:
и установим правило запрета квадратов: любая комбинация величин 
и/или 
, стоящая под знаком второй степени, означает произведение двух различных величин. Так:
Далее, перепишем исходное условие пифагоровой тройки 
в виде:
сделаем принятые замены:
и, после сокращения на 
, окончательно получим условие пифагоровой тройки в новых величинах:
Следующим шагом, сопоставим пифагоровой тройке её матричный образ (далее, опт - образ пифагоровой тройки):
и примем правило восстановления прообраза:
где:
Рассмотрим построение оптов на трёх примерах.
Пример 1
Пример 2
Пример 3
Обратим внимание на то, что опт из примера 3 составлен из нижних строк оптов из примеров 1 и 2.
Построение оптов пифагоровых троек из первой сотни показало, что серии троек с характеристиками 
и 
играют роль, своего рода, координатных осей - взяв по одной строке из оптов этих серий, составив из них новый опт так, чтобы в его нижней строке значения повторялись и восстановив из него прообраз, мы получим другую пифагорову тройку.
Вот как выглядят на координатной плоскости оптов первые 
его элементов, красным цветом обозначены опты непримитивных пифагоровых троек:
Пронумеровав серии оптов с характеристиками 
и 
мы получим натуральнозначные координаты, а значит, можем определить правило их сложения. Таким образом, пространство пифагоровых троек является координатным.
Примечательным свойством этого пространства является то, что пифагоровы тройки заполняют его без разрывов.