Введение
На самом деле это не совсем верное название статьи, хотя бы по той причине, что интеграл по своему определению это и есть площадь под функцией(знак интеграла это растянутая s, от слова sum). Такие вопросы появляются у школьников которым дают иное определение, а именно интеграл - это первообразная от функции(первообразная от f(x) - это есть функция F(x), что производная от неё равна f(x)). Будет правильнее сказать, какая есть связь между этими двумя определениями и почему они оба верны.
Почему я решил написать для этого отдельную статью?
Как обычно и бывает, я сам столкнулся с этой проблемой. Когда я ещё сам изучал основы математического анализа, первое что кинулось мне в глаза это как все тактично уходили от объяснения почему площадь под графиком равно первообразной функции. Поэтому для русскоязычной аудитории решил сделать нормальное объяснения взаимосвязь между двумя определениями.
Начнем с задачи
Представим что Вы математик, который поставил перед собой интересную задачу, а именно найти площадь под графиком какой то своеобразной функции.
Как лучше всего поступить? У нас есть что то сложное, почему бы нам не упростить это? Например вот таким образом.
Мы сделаем очень много маленьких прямоугольников по всей функции и так как легко посчитать её площадь, то мы примерно и посчитаем чему ровняется площадь под графиком.
Получается такая формула: f(x1)*∆x1 + f(x2)*∆x2 + ... + f(xn)*∆xn = ∑f(x)*∆x
Теперь к чему это всё
А теперь давайте вспомним что такое f(x) и ∆x. f(x) это скорость передвижения условного тела, ∆x это время за которое оно пройдет, что у нас получается? При умножении их, выходит путь. А что такое первообразная от скорости? Это тоже путь. Именно поэтому первообразная это и есть площадь под графиком.