Математическое ожидание. Почему казино выигрывает? / Песочница / Хабр

Как по мне, прежде всего стоит сказать, что казино это не игра в случайность. Вы гарантировано проигрываете, и функция, которая высчитывает потерянную вами сумму будет увеличиваться прямо пропорционально времени проведенного вами за столом.

Однако многие считают, что им улыбнется удача и даст заветный выигрыш. В этой статье хотелось-бы в первую очередь рассказать, почему тип людей описанный мною выше совершенно не имеет представления о своих шансах на победы и почему нам необходимо в первую очередь обращаться к математике.

Могу предположить, что многие из вас думали о том, как обхитрить казино, как выиграть в этой борьбе и остаться с большими деньгами к концу вечера. Самая популярная идея "беспроигрышной стратегии" заключается в том, что вам необходимо каждый раз ставить в 2 раза больше, чем в прошлый раз. Тогда нижней планкой вашего выигрыша будет 0. Также кто-то может предполагать, что вместо обычного удвоения стоит использовать числа фибоначчи.

На первый взгляд в этом есть логика. Давайте же разберем такой вариант стратегии на игре "Орел или Решка".

Выбор	P выигрыша	P проигрыша
Орел	0,5	0,5
Решка	0,5	0,5

Здесь можно согласиться с утверждение, что стратегия действительно работает. Но важно учесть несколько факторов:

Размер вашего банка
Максимальную ставку
Математическое ожидание

К примеру, чтобы сделать ставку на 20-ом ходе вам необходим банк в размере 1048575 единиц валюты. То есть, чтобы забрать действительно большую сумму вам необходимо иметь большой валютный запас.

Стоит также учесть, что "опытный" игрок захочет добавить одно правило, если конкретнее - максимальную ставку. Допустим она будет равна 100000 ед. и в таком случае наша стратегия не работает.

А сейчас самое интересное: Почему мы можем сказать, что казино всегда выигрывает?

Для этого нам и нужно математическое ожидание. Оно показывает какое значение в среднем нам будет выпадать определенное число. Посчитать матожидание можно только в том случае, когда нам известна вероятность выпадения числа

$E(x) = \sum_{i=1}^{n} x_i \cdot P$

Или же в более простой форме:

$E(x) = x_1\cdot p_1 + x_2\cdot p_2 + ... + x_i\cdot p_i$

Теперь стоит использовать формулу, которая подскажет нам, сколько в среднем мы будем выигрывать.

$E(p) = p \cdot W - (1-p) \cdot L$

где:

p - вероятность выигрыша
W - чистый выигрыш
L - наша ставка

Хочу заметить, что чистый выигрыш это разность выигранной суммы и нашей ставки. Теперь давайте поставим 10000 ед.

$E(p) = 0,5 \cdot 10000 - (1-0,5) \cdot 10000 = 0$

В итоге мы получаем в среднем 0. То есть при длительной игре мы останемся при своем. Это лучший исход, который будет у нас за все следующие игры.

Стратегия описанная мною выше называется Мартингейл (от фр. martingale). Есть несколько теорий о ее названии:

Слово martingale во французском языке означает ремень конской упряжки, который не дает лошади задирать голову
В честь жителей города Мартиг (Martigues) на юге Франции. Жителей города считали простодушными и наивными

В итоге стратегия показывает наилучший результат, при котором матожидание равно нулю, но почему данную тактику прозвали так оскорбительно? На этот вопрос можно ответить рассмотрев игру в рулетку.

Использовать мы будет европейскую рулетку. В ней 37 ячеек: 1 зеленая, 18 черных и 18 красных. Давайте упростим формулу для нахождения выигрыша добавив условие, что ставка равна чистому выигрышу.

Остается только найти вероятность выигрыша. И на этом моменте вы скорее всего заметили, что вероятность выигрыша не равна 0,5. Почему?

$P = \frac{16}{37} = 0,432432432.. \approx 0,423$

И если мы подставим данной значение в формулу:

$E(p) = W(2 \cdot0.423 -1) = -0,154 \cdot W$

Здесь мы можем заметить нечто необычное. Наш выигрыш вне зависимости от суммы вложений станет отрицательным, то есть мы в любом случае уйдем в минус. Именно поэтому рулетка является всегда проигрышной игрой.

Давайте немного отвлечемся от игорных залов и перейдем в повседневность. Как часто вы видели беспроигрышную лотерею? Скорее всего вы догадывались, что шанс выиграть в ней крайне мал, но вы даже не представляете насколько.

Сумма	10	51	1000	5000	1000000
Кол-во	8000000	1900000	9900	900	100

Возьмём для статистики выдуманную лотерею. В общей сложности напечатали более 10 миллионов билетов, из которых 100 с выигрышем в 1 миллион ед. . При этом сам билет стоит 50 ед. . Как нам определить стоит ли игра наших 50 драгоценных валют? Подставим в формулу матожидания!

$E(x) = 10\cdot \frac{8000000}{10000000} + 51\cdot \frac{1900000}{10000000}+ 1000\cdot \frac{9900}{10000000}+ 5000\cdot \frac{900}{10000000}+ 1000000\cdot \frac{100}{10000000}$

Хочу обратить внимание, что я сразу подставил в формулу вероятность, не вычисляя её. Как мы можем видеть матожидание окупает чуть больше половины билета. То есть с покупки каждого билета мы теряем 50 - 29,13 = 20,83 валюты.

Каждая игра в казино рассчитана так, чтобы мат ожидание прибыли было отрицательным и поэтому казино всегда выигрывает. Также в наше время очень популярны биржи. Как по мне, это тоже самое казино. Вспомните любой ролик про криптобиржи: ты делаешь ставку, что цена пойдет вверх и потом сразу получаешь x1000%. Чем по вашему это не казино?

Хотя одно существенное отличие есть: мы не можем сказать матожидание убытков, и именно поэтому многие начинают этим заниматься. Также к таким вещам относятся акции и облигации. Есть ньанс, что действительно можно предугадать подъем или спад(вспомните твиты Илона Маска и красную стрелку акций Tesla), но чтобы в этом разбираться вы должны брать в учет огромное число внешних факторов. Вы смотрите максимум на секунды, потому что вероятность случится событию меняющему ход акций из бесконечно возможных крайне высока.

Напоследок хочется разобрать ситуацию на первый взгляд совершенно нелогичную.

Представьте, что вы играете в игру с крупье: перед вами лежит 3 карты, одна из них выигрышная. Вы указываете на одну из карт и крупье вскрывает проигрышную карту. Он предлагает вам поменять карту или оставить вашу. Как вам следует поступить?

На первый взгляд может показаться, что шанс выиграть 50/50, но, как мы уже узнали ранее, не стоит доверять первому пришедшему в голову доводу. Сначала шанс угадать у нас был 1 из 3, проиграть 2 из 3. если вы ошиблись при первом выборе, то крупье все равно откроет проигрышную карту, а это значит, что 1 проигрышная карта осталась у вас и если мы поменем карту, то выиграем с вероятностью ~0,67.