Для меня как-то более интуитивен подход из проективной геометрии и теории групп.
Если совсем школьным языком:
рассмотрим классическую числовую прямую (справа от нуля - положительные числа, слева - отрицательные)
сопоставим произвольному числу N стрелочку-вектор из начала координат
тогда умножение на +1 - это такое преобразование этого вектора, которое переводит его в самого себя, то есть сохраняет исходную картинку
но вот умножение на -1 - это такое преобразование, которое зеркально и симметрично относительно начала координат (нуля) отражает этот вектор
в случае с отрицательным вектором-числом (стрелочка смотрит влево) при отражении относительно нуля мы получим положительный вектор-число (стрелочка перевернётся на 180 градусов, как в часах, и будет смотреть вправо) [то есть -x mul -1 => +x]
в случаях умножения на числа отличные от +1 и -1 добавляется растяжение или сжатие исходного вектора-стрелочки, но именно знак показывает, нужно ли вектор отражать
Чуть более строгим языком:
с точки зрения проективной геометрии можно выделить такие типы преобразований прямой на плоскости: сдвиг (вправо-сложение, влево-вычитание), масштабировние (растяжение-умножение, сжатие-деление), отражение относительно произвольной точки
преобразование отражения обладает таким замечательным свойством, что применённое дважды относительно той же точки оно отменяет себя и возвращает исходную картинку
На мой взгляд, в статье, собственно, сделана попытка продемонстрировать это свойство характерное для преобразования отражения...
По определению, мнимая единица - это корень из минус одного. Мы не можем представить себе это число в том же виде, в котором мы обычно представляем себе обычные числа. Мнимый десяток яблок - невообразимая картина.
На мой взгляд, минус десять яблок - тоже не очень-то просто вообразить, однако представить температурную или другую шкалу с отрицательными значениями уже как-то легче.
Что же касается комплексных чисел, то осмыслить и принять их природу мне очень помог взгляд с точки зрения программирования. Поделюсь им, вдруг кому-то он придётся по душе.
Хотя оперировать комплексными числами и решать задачи меня научили ещё в юном возрасте, долгое время камнем преткновения оставалась эта самая мнимая единица. Вызывала она во мне сильный когнитивный диссонанс - да, в расчётах она помогала, но осмыслить её не удавалось.
Отмечу, что принять бесконечно малые величины в производных, пределах и интегралах, векторы и матрицы мне оказалось как-то проще. Когда же в университете нам рассказали о матричной форме представления комплексных чисел, то это меня очень впечатлило - никакой мнимой единицы, а результаты вычислений те же...
Позже с мнимыми числами столкнулся в программировании. Во многих языках программирования не выделено символьной абстракции наподобие мнимой единицы i, как это принято в математике, однако это никак не мешает реализовывать логику комплексных чисел и выполнять расчёты.
Привычная математическая запись комплексного числа
a + i * b
иногда достаточно вольно трактуется как действительная часть "плюс" мнимая, что меня немного вводило в заблуждение, ведь арифметические операции сложения/вычитания/умножения/деления обычно определяется над самими числами, а не составными частями. А тут как бы идёт смешение сложений и умножений, как над самими числами, так и над их структурными составляющими.
Грубо говоря, при сложении 5 яблок и 5 груш мы не получим 10 яблок или 10 груш, но получим 10 фруктов. Но при этом мы можем ввести абстракцию груше-яблочные числа, определив для них арифметические операции
что обеспечит вполне осмысленные результаты при вычислениях.
То есть при выполнении математических операций над объектами следует внимательно относиться к типу этих объектов, чтобы не получались противоречивые результаты или трактовки.
В программировании же такие вольности устранены, поскольку комплексное число - это структура данных на основе двух вещественных(действительных) чисел
struct Complex
{
public double Real { get; set; }
public double Imaginary { get; set; }
public Complex(double real = 0.0, double imaginary = 0.0)
{
Real = real;
Imaginary = imaginary;
}
public static Complex operator +(Complex left, Complex right) =>
new Complex(left.Real + right.Real, left.Imaginary + right.Imaginary);
public static Complex operator -(Complex left, Complex right) =>
new Complex(left.Real - right.Real, left.Imaginary - right.Imaginary);
public static Complex operator *(Complex left, Complex right) =>
new Complex(left.Real * right.Real - left.Imaginary * right.Imaginary,
left.Imaginary * right.Real + left.Real * right.Imaginary);
...
}
то есть как действительная часть, так и мнимая представлены вещественными(действительными) числами, для которых определены арифметические операции и по возможности неявные привидения типов.
public static implicit operator Complex(double value) => new Complex(value, 0d);
public static implicit operator Complex(int value) => new Complex(value, 0d);
...
Поэтому если написать такой код
double a = 1d;
Complex b = new Complex(2d, 0d);
var c = a + b;
то неявным образом переменная a будет приведена к типу Complex, и для переменной c будет выведен также тип Complex (но не double), что эквивалентно выражению
Complex c = (Complex)a + b;
или
Complex c = new Complex(a, 0d) + b;
Что же касается математики, то для устранения некоторой путаницы можно прибегнуть к следующей нотации
A + i*B => r*A + i*B => (r:A, i:B)
что однозначно трактуется как действительная часть r имеет вещественное(действительное) значение A, а мнимая часть i имеет вещественное(действительное) значение B. Да, мнимая часть комплексного числа имеет вещественное действительное значение.
мнимая единица (r:0, i:1) - это комплексное число с нулевым вещественным/действительным значением у действительной(реальной) части и единичным, но тоже вещественным/действительным значением у мнимой(воображаемой) части
действительная единица (r:1, i:0) - это комплексное число с единичным вещественным/действительным значением у действительной(реальной) части и нулевым, но тоже вещественным/действительным значением у мнимой(воображаемой) части
Не знаю, стало ли хоть немного понятнее или наоборот запутал, но в моём понимании корень из минус единицы в строгом смысле подразумевает возведение в комплексную степень комплексного числа
а привычные математические нотации по сути являются исторически сложившимися мнемоническими правилами и символьными сокращениями. Подобно тому как зачастую опускается явное указание знака + у положительных чисел или не записываются разделитель и незначащие нули у вещественных
Возможно, это околонаучная информация, но в йогическом и буддийских учениях рассматриваются вопросы и техники переноса сознания без существенного разрыва его потока, то есть с сохранением некоторой структуры и контекста воспоминаний.
Если очень кратко, насколько сам понимаю, согласно буддийской традиции, состояние сознания [особенно ментальное/психическое] в момент смерти (засыпания) во многом определяет следующее рождение (пробуждение) в каком-либо из слоёв мироздания [бардо].
Поэтому в процессе жизни важно устранять чувственные и умственные омрачения (интеллектуальное жонглирование) и стремиться смотреть на всё в ясном свете, как бы сливаясь с ним.
То есть видеть вещи и события такими, какие они есть без излишних оценок, концепций, интерпретаций и прочего домысливания, другими словами, не создавать свою собственную несколько иллюзорную и беспочвенно фантастичную версию реальности на поводу желаний, страхов, эмоций и где-то невежества, чтобы потом защищать от остального мира, но наоборот приводить её в согласованное с ним состояние.
Тот, кто усердно работает в этом направлении, способен отыскать или разблокировать воспоминания о прошлых воплощениях (инкарнациях) и в дальнейших сохранять поток сознания непрерывным.
Ещё в одной из лекций Садхгуру обмолвился, что, согласно йогическим учениям, существует техника создания тонкого ментального тела, на которое можно переписать воспоминания о человеческой жизни, чтобы в дальнейших воплощениях получить к ним доступ. Более конкретных инструкций не было, поэтому передаю лишь то, что услышал.
В любом случае, в современный век технического прогресса человеку стали доступны новые мощные символьно-визуальные способы сохранения воспоминаний на физических носителях (книги, фото, аудио, видео). Поэтому, гипотетически, существует возможность отправить что-то ценное если даже не «своим воплощениям» конкретно, то хотя бы последующим поколениям, другим людям и живым существам.
В этом и есть суть реинкарнации: ничто не переходит между жизнями, никакая душа с воспоминаниями никуда не переселяется
@SergioShpadi, нужно заметить, что ваша интерпретация реинкарнации не очень согласуется с традиционной буддийской или вы её не достаточно точно выразили. Например, при поиске следующего воплощения ламы ребёнку-кандидату необходимо опознать (вспомнить) вещи, которыми лама пользовался в предшествующих воплощениях.
Как упомянули выше, реинкарнация в буддизме - это про сохранение более-менее непрерывной структуры воспоминаний в потоке сознания... Называть это душой (психикой - от др.-греч. ψῡχικός «душевный, жизненный») или нет - скорее вопрос терминологии. Но когда красивая мелодия или жизненная ситуация вызывает чувственный опыт (за душу берёт), то категорически отрицать такой опыт тоже некорректно.
Чтобы ослабить отождествление с научными концепциями Физической Вселенной можно поразмышлять над вопросами:
если физические объекты состоят из молекул, атомов, волн, амплитуд вероятности, то из чего же сотоят объекты во снах, видеоиграх, фантазиях?
да, в некоторых аспектах Физическая Вселенная обычно более стабильна в сравнении со снами, но существуют ли на фундаментальном уровне отличия?
что обеспечивает стабильность видения? связано ли это с числом наблюдателей и их волей?
какие воспоминания из состояния бодрствования доступны во снах и наоборот?
как работает механизм отождествления с физическим телом и сновиденными?
как исследовать эти процессы и научиться их направлять в согласии с личной волей и волей других живых существ?
Развитие научных представлений о природе реальности изложено весьма обстоятельно (пазл отчасти собран), хотя некоторые интерпретации, как заметили выше, довольно спорные и вряд ли их можно назвать полными и окончательными ?
На лекции в Гарвардской Школе Медицины Садхгуру упрощённо рассказал о взглядах йогических наук на время, пространсво и разные состояния сознания. Возможно, некоторые формулировки могут показаться грубыми и околонаучными, но тем не менее там есть над чем поразмышлять... Интересно, что помимо циклического времени (Кала) в йогическом мировоззрении выделяется и нециклическое «Великое время» (Махакала)...
Лично мне как программисту-технарю концепцию шуньяты [Калы] интуитивно помогают по-своему интерпретировать и принять аналогии видеоигр, снов, фотографических голограмм и стереокартинок.
Например, если запустить 3d-игру и взаимодействовать с объектами виртуального мира, то за экраном (монитором или дисплеем телефона) мы не обнаружим объектов этого мира, там окажется в каком-то смысле пусто. То есть многое, что необходимо для создания ощущения объёма и глубины виртуального пространства [общей карты, разных локаций и прочего наполнения] умещается в компактном объёме физической памяти, а рендеринг сцен происходит на основе циклично-условных вычислительных процессов.
Также и миры сновидений, согласно материалистичным научным представлениям, генерируются в скромном по размерам мозге. Скажем, образ-аватар во сне запросто может преодолеть расстояние в десятки и сотни метров, но при этом в физическом мире размеры мозга исчисляются сантиметрами: как же возникает такое несоответствие метрик?
Другими словами, метафорически, Физическая Вселенная умещается в горчичном зёрнышке, подобно тому, как код и файлы видеоигры умещаются на компактном физическом накопителе или сны в голове у сновидца.
При наступлении определённых условий (запуск игры или засыпание) из непроявленной памяти (кода и файлов игры, воспоминаний разичной природы) начинает разворачиваться мир, возникают объекты и их проявленные проекции в виде визуальных, звуковых, тактильных и даже чувственных образов, с которыми можно взаимодействовать.
А ещё меня с детства удивляют трёхмернае голограммы на плоских фотопластинках и, конечно, стереоизображения (обычно из красочных мозаик) на листах бумаги.
И да, подобно тому, как люди научились создавать виртуальные пространственные модели-симуляции (рекурсивно или фрактально вложенные) на базе материнского физического слоя реальности, само физическое измерение вполне может оказаться вложенным в симуляции ещё более базовых уровней. Причём, между достаточно изолированными слоями допустимы связь и обмен.
Уже эти предпосылки открывают много разных вопросов... Где та тонкая грань между играми-симуляциями и их родительской реальностью? Если миров и состояний сознания бессчётное множество, то как научиться между ними переключаться? В конце-концов, как грамотно редактировать старые и создавать новые игры и миры? Как добавить жизнь в игру? Какая реальность у других живых существ [наблюдателей] и как с ней синхронизироваться? Кто же эти набюдатели и какой у них опыт? Кто наконец этот самосознающий я-наблюдатель? Кто пишет и читает этот текст? И многие-многие другие вопросы...
И тут в основном речь о сухой технической стороне, не говоря уже о тонких чувственных и ментальных измерениях, которые в сути своей наполняют смыслом и содержимым внешнюю картинку Мироздания и делают жизнь такой захватывающе живой! ?
Интересно, каков потенциал магнитных хранителей в качестве быстрозарядных аккумуляторов энергии? Насколько понимаю, энергия запасается немаленькая, конструкция простая, поэтому если придумать мостик с постепенным стоком магнитного поля для совершения полезной работы, то в теории может получиться вполне пригодный аккумулятор.
Возможно, для каких-либо обоснованных утверждений о вероятности важное значение имеет алгоритм получения таких строк, который в условии задачи не уточнён / не определён чётко и однозначно.
Если случайные числа генерируются одним событием, то каждому целому числу в зависимости от системы исчисления можно сопоставить множество строковых представлений. Для одних и тех же пар чисел в зависимости от системы исчисления будут существовать как красивые, так и не очень строковые комбинации их представлений.
Однако если строки генерируются, например, посимвольно (где вероятность возникновения каждого символа близка или одинакова), то из теоремы Байеса следует, что вероятность получения конкретной строки, соответствующей определённому узкому паттерну, будет ниже, чем тех, которые этому паттерну не соответствуют.
Разум/мозг по своей природе настроен на выявление паттернов и закономерностей в окружающем мире, реконструкцию алгоритмов их получения, поэтому строка из повторяющихся символов воспринимается более осмысленной конструкцией (легче реконструировать алгоритм её получения).
Причём, уровень осмысленности паттернов зависит от багажа знаний, например: кто-то сразу распознает привычные десятичные иррациональные значения математических констант в строках, а для других - эти же строки будут выглядеть совершенно случайными.
Ещё хочется отметить, что статья создана без цели с кем-то посоревноваться в понимании матчасти или что-то важное доказать другим) главные её задачи - привлечь в внимание к теме и поделиться текущими наработками в виде доступном для читателей разного уровня: от школьника до специалиста.
Также мне было интересно подвергнуть материалы внешней критике. Например, благодаря вашему участию были замечены небольшие огрехи в коде. Из дискуссий тоже сформировал для себя некоторые выводы. Так что большое спасибо вам лично и другим участникам за уделённое время и внимание! Как минимум для меня это ценно.
Применять ли информацию из статьи дальше в практической деятельности, думаю, читатель уже решит сам.
Благодарю за видео, красивое! Правда, насколько понял, метод рисования там двухканальный, а не вращательный, как в серии роликов “everything is rotation” и программе Solfeggio.
Не умаляю ваших школьных достижений, но, во-первых, задача состояла в математически обоснованном преобразовании звука в геометрические объекты, во-вторых, это далеко не метод тыка, хоть и матчасть не слишком-то и сложная.
Стало быть, ничего сложнее дуги окружности вы смоделировать в состоянии. Что, собственно, и подтверждает мой исходный тезис.
Вы сами себе формулируете узкие тезисы, ищете им подтверждения и этим ограничиваетесь. Просили дугу - её и получили, каких-то других запросов не поступало.
Кроме того, на скриншотах есть и более сложные варианты фигур, чем дуга, но их почему-то вы не берёте в расчёт.
Понимаю, что object-переменные выглядят непривычно, но в целом, думаю, код понятен.
Сразу возникает мысль поменять их на var ;-)
Респект за труд! Правда, такие проекты, скорее, для саморазвития, чем для широкого применения.
Если вдруг кто-то не знаком, есть классный онлайн-сервис от команды разработки C# - SharpLab.io. Позволяет прямо в браузере писать программы/скрипты, на лету их компилировать и выполнять. Очень удобный инструмент, чтобы оформить какой-то небольшой код и поделиться им с другими людьми.
Существует метод рисования, когда один канал направляют на ось X, а другой на Y.
Но тут принципиально другой подход и работа с моносигналом. Каждая гармоника - это три параметра: амплитуда, фаза и частота, то есть набор векторов, которые вращаются с разной угловой скоростью при их временном сдвиге по оси Z. При суммировании и продвижении вглубь, они образуют различные трёхмерные спиралевидные фигуры необычных очертаний (некоторые их торцевые ортографические и перспективные проекции представлены на картинках).
Для единичной синусоиды получается трёхмерная спираль-пружинка, растяжение и число оборотов которой зависит от соотношения длины временного интервала и частоты, радиус от амплитуды, а начальный поворот от фазы гармоники.
В вашем случае получилось довольно сложное выражение, поскольку полуокружность замкнута линией (чтобы описать такое нужны высокочастотные компоненты), но если её убрать, то полуокружность или дуга любой длины опишется единичной гармоникой (при верном подборе временного интервала к частоте).
код метода для рисования геометрий
public static IEnumerable<Point> DrawGeometry(Bin[] peaks, int sampleSize, double sampleRate,
double centerX = 0d, double centerY = 0d)
{
var radiusMax = Math.Max(Math.Min(centerX, centerY), 1d);
for (var i = 0; i < 4 * sampleSize; i++)
{
var a = 0d;
var b = 0d;
for (var j = 0; j < peaks.Length; j++)
{
var peak = peaks[j];
var w = Pi.Double * peak.Frequency;
var t = 0.5 * i / sampleRate;
var phase = peak.Phase + w * t;
var radius = peak.Magnitude * radiusMax;
a += radius * Math.Cos(phase);
b += radius * Math.Sin(phase);
}
yield return new(a + centerX, b + centerY);
}
}
В общем-то алгоритм рисования геометрий в Solfeggio работает на том же принципе, что и в ролике, только он переводит звук в изображение. Единственное, на данный момент не пробовал реализовывать обратное преобразование, чтобы перевести визуальное изображение в звук.
Если рассмотреть в 3D, то окружность - это ортографическая проекция спирали (пружинки) с торца, а сбоку получится обычная косинусоида/синусоида. То есть полокружность - это половина периода косинусоиды.
Мы привыкли, что комплексные числа - это что-то лишь про комплекную плоскость, но на самом деле более общими являются эйлеровы числа (тригонометрическая или показательная формы комплексных чисел), которые за счёт их периодичности позволяют задавать координаты на трёхмерных объектах вроде бесконечно протяжённых спиралей.
Классическое комплексное число в алгебраической форме - это ортографическая проекция на комплексную плоскость множества эйлеровых чисел с одинаковым периодом.
Во многом благодаря таким роликам в программе Solfeggio появился модуль по геометрии звука (2D цветок и 3D лента)
Геометрия звука
В своё время курс по геометрическому введению в теорию групп и другие ролики Алексея Савватеева очень поспособствовали развитию моего математического мышления или представления, кто как назовёт :-)
Ой, зря вы так, некоторые ролики дают визуализацию и представление о сути таких вещей, которую по формулам уловить чрезвычайно трудно. Это как лекции с очень качественным видеорядом. Есть ряд математических каналов, при просмотре которых мой интерес к красоте этой области знаний очень усилился...
А теорема Гёделя имеет фундаментальное отношение ко всем разделам математики.
По секрету, очень правдивый с точки зрения современной медицины факт - академическая медицина не знает наверняка первопричин возникновения депрессии, разве что за исключением отдельных случаев. Скорее, она просто констатирует набор физиологических изменений в организме, которые сопутсвуют таким состояниям.
Есть куча гипотез, наблюдений, факторов, предположений, домыслов и прочего, но всё это больше напоминает разбросаный пазл и сильно фрагментированую область знаний, а далеко не стройную теорию, которая позволяет подобрать с высокой вероятностью верный алгоритм лечения.
Лекарства же в области ментального здоровья зачастую лишь купиуют сиптомы, что может помочь человеку уже своими силами справиться с недугом. Однако если начать полагаться лишь на лекарства, не прилагая усилий и труда для самоисцеления, то очень легко впасть в медикаментозную зависимость.
И да, решающее значение имеет настрой и воля самого человека, качество его отношений с близкими и окружающими людьми. То есть тот смысл, который он придаёт своей жизни и видит в вокруг.
Линейность - многозначительный термин: если имеется в виду линейная функция от многих переменных, то не вполне уверен, что все формулы удовлетворяют определению таких функций. Но это терминолгические тонкости, сути дела они не меняют :)
В математике много недоказанных гипотез разной сложности. Некоторые проверены вычислительно до огромных чисел, но всё ещё остаются гипотезами.
Причём, из теоремы Гёделя о неполноте следует, что вполне могут существовать и неразрешимые утверждения: их нельзя ни доказать ни опровергнуть, ни даже узнать наверняка, разрешимые они или нет...
Что же касается нашего случая, то обоснование для него может поискать любой желающий, возможно, оно существует ;) отчасти для этого и создана данная статья. Кроме того, у меня есть подозрения, что некоторые формулы можно даже слегка улучшить для большей точности, тоже вопрос открытый...
Загадочный смысл где-то возле линейной интерполяции и точки пересечения двух прямых.
Линейной, да не совсем. Если бы всё было настолько линейно и очевидно, то, скорее всего, способ был бы давно замечен и широко известен в открытом доступе.
Ведь существует немало альтернативных публичных подходов к интерполяции: амплитудная параболическая и по Гауссу, фазовый сдвиг при смещении кадров, различные классы оконных функций...
Но для моих задач соотношение точности и производительности для ФАИ наиболее оптимальное.
С некоторыми вариантами интерполяции можно ознакомиться по ссылкам
Для меня как-то более интуитивен подход из проективной геометрии и теории групп.
Если совсем школьным языком:
рассмотрим классическую числовую прямую (справа от нуля - положительные числа, слева - отрицательные)
сопоставим произвольному числу N стрелочку-вектор из начала координат
тогда умножение на +1 - это такое преобразование этого вектора, которое переводит его в самого себя, то есть сохраняет исходную картинку
но вот умножение на -1 - это такое преобразование, которое зеркально и симметрично относительно начала координат (нуля) отражает этот вектор
в случае с отрицательным вектором-числом (стрелочка смотрит влево) при отражении относительно нуля мы получим положительный вектор-число (стрелочка перевернётся на 180 градусов, как в часах, и будет смотреть вправо)
[то есть -x mul -1 => +x]
в случаях умножения на числа отличные от +1 и -1 добавляется растяжение или сжатие исходного вектора-стрелочки, но именно знак показывает, нужно ли вектор отражать
Чуть более строгим языком:
с точки зрения проективной геометрии можно выделить такие типы преобразований прямой на плоскости: сдвиг (вправо-сложение, влево-вычитание), масштабировние (растяжение-умножение, сжатие-деление), отражение относительно произвольной точки
преобразование отражения обладает таким замечательным свойством, что применённое дважды относительно той же точки оно отменяет себя и возвращает исходную картинку
На мой взгляд, в статье, собственно, сделана попытка продемонстрировать это свойство характерное для преобразования отражения...
Больше примеров и подробностей можно найти и узнать по следующей ссылке:
Геометрия и группы. Курс лекций. Алексей Савватеев
На мой взгляд, минус десять яблок - тоже не очень-то просто вообразить, однако представить температурную или другую шкалу с отрицательными значениями уже как-то легче.
Что же касается комплексных чисел, то осмыслить и принять их природу мне очень помог взгляд с точки зрения программирования. Поделюсь им, вдруг кому-то он придётся по душе.
Хотя оперировать комплексными числами и решать задачи меня научили ещё в юном возрасте, долгое время камнем преткновения оставалась эта самая мнимая единица. Вызывала она во мне сильный когнитивный диссонанс - да, в расчётах она помогала, но осмыслить её не удавалось.
Отмечу, что принять бесконечно малые величины в производных, пределах и интегралах, векторы и матрицы мне оказалось как-то проще. Когда же в университете нам рассказали о матричной форме представления комплексных чисел, то это меня очень впечатлило - никакой мнимой единицы, а результаты вычислений те же...
Позже с мнимыми числами столкнулся в программировании. Во многих языках программирования не выделено символьной абстракции наподобие мнимой единицы i, как это принято в математике, однако это никак не мешает реализовывать логику комплексных чисел и выполнять расчёты.
Привычная математическая запись комплексного числа
иногда достаточно вольно трактуется как действительная часть "плюс" мнимая, что меня немного вводило в заблуждение, ведь арифметические операции сложения/вычитания/умножения/деления обычно определяется над самими числами, а не составными частями. А тут как бы идёт смешение сложений и умножений, как над самими числами, так и над их структурными составляющими.
Грубо говоря, при сложении 5 яблок и 5 груш мы не получим 10 яблок или 10 груш, но получим 10 фруктов. Но при этом мы можем ввести абстракцию груше-яблочные числа, определив для них арифметические операции
и меры
что обеспечит вполне осмысленные результаты при вычислениях.
То есть при выполнении математических операций над объектами следует внимательно относиться к типу этих объектов, чтобы не получались противоречивые результаты или трактовки.
В программировании же такие вольности устранены, поскольку комплексное число - это структура данных на основе двух вещественных(действительных) чисел
то есть как действительная часть, так и мнимая представлены вещественными(действительными) числами, для которых определены арифметические операции и по возможности неявные привидения типов.
Поэтому если написать такой код
то неявным образом переменная a будет приведена к типу Complex, и для переменной c будет выведен также тип Complex (но не double), что эквивалентно выражению
или
Что же касается математики, то для устранения некоторой путаницы можно прибегнуть к следующей нотации
что однозначно трактуется как действительная часть r имеет вещественное(действительное) значение A, а мнимая часть i имеет вещественное(действительное) значение B. Да, мнимая часть комплексного числа имеет вещественное действительное значение.
Тогда выражение
в более строгом смысле преобразуется к
то есть
мнимая единица (r:0, i:1) - это комплексное число с нулевым вещественным/действительным значением у действительной(реальной) части и единичным, но тоже вещественным/действительным значением у мнимой(воображаемой) части
действительная единица (r:1, i:0) - это комплексное число с единичным вещественным/действительным значением у действительной(реальной) части и нулевым, но тоже вещественным/действительным значением у мнимой(воображаемой) части
Не знаю, стало ли хоть немного понятнее или наоборот запутал, но в моём понимании корень из минус единицы в строгом смысле подразумевает возведение в комплексную степень комплексного числа
а привычные математические нотации по сути являются исторически сложившимися мнемоническими правилами и символьными сокращениями. Подобно тому как зачастую опускается явное указание знака + у положительных чисел или не записываются разделитель и незначащие нули у вещественных
так и при записи комплексных происходит что-то вроде
что в итоге не влияет на результаты вычислений, но подразумевает некоторые неявные соглашения по преобразованию типов значений.
Возможно, это околонаучная информация, но в йогическом и буддийских учениях рассматриваются вопросы и техники переноса сознания без существенного разрыва его потока, то есть с сохранением некоторой структуры и контекста воспоминаний.
Если очень кратко, насколько сам понимаю, согласно буддийской традиции, состояние сознания [особенно ментальное/психическое] в момент смерти (засыпания) во многом определяет следующее рождение (пробуждение) в каком-либо из слоёв мироздания [бардо].
Поэтому в процессе жизни важно устранять чувственные и умственные омрачения (интеллектуальное жонглирование) и стремиться смотреть на всё в ясном свете, как бы сливаясь с ним.
То есть видеть вещи и события такими, какие они есть без излишних оценок, концепций, интерпретаций и прочего домысливания, другими словами, не создавать свою собственную несколько иллюзорную и беспочвенно фантастичную версию реальности на поводу желаний, страхов, эмоций и где-то невежества, чтобы потом защищать от остального мира, но наоборот приводить её в согласованное с ним состояние.
Тот, кто усердно работает в этом направлении, способен отыскать или разблокировать воспоминания о прошлых воплощениях (инкарнациях) и в дальнейших сохранять поток сознания непрерывным.
Ещё в одной из лекций Садхгуру обмолвился, что, согласно йогическим учениям, существует техника создания тонкого ментального тела, на которое можно переписать воспоминания о человеческой жизни, чтобы в дальнейших воплощениях получить к ним доступ. Более конкретных инструкций не было, поэтому передаю лишь то, что услышал.
В любом случае, в современный век технического прогресса человеку стали доступны новые мощные символьно-визуальные способы сохранения воспоминаний на физических носителях (книги, фото, аудио, видео). Поэтому, гипотетически, существует возможность отправить что-то ценное если даже не «своим воплощениям» конкретно, то хотя бы последующим поколениям, другим людям и живым существам.
@SergioShpadi, нужно заметить, что ваша интерпретация реинкарнации не очень согласуется с традиционной буддийской или вы её не достаточно точно выразили. Например, при поиске следующего воплощения ламы ребёнку-кандидату необходимо опознать (вспомнить) вещи, которыми лама пользовался в предшествующих воплощениях.
Как упомянули выше, реинкарнация в буддизме - это про сохранение более-менее непрерывной структуры воспоминаний в потоке сознания... Называть это душой (психикой - от др.-греч. ψῡχικός «душевный, жизненный») или нет - скорее вопрос терминологии. Но когда красивая мелодия или жизненная ситуация вызывает чувственный опыт (за душу берёт), то категорически отрицать такой опыт тоже некорректно.
Чтобы ослабить отождествление с научными концепциями Физической Вселенной можно поразмышлять над вопросами:
если физические объекты состоят из молекул, атомов, волн, амплитуд вероятности, то из чего же сотоят объекты во снах, видеоиграх, фантазиях?
да, в некоторых аспектах Физическая Вселенная обычно более стабильна в сравнении со снами, но существуют ли на фундаментальном уровне отличия?
что обеспечивает стабильность видения? связано ли это с числом наблюдателей и их волей?
какие воспоминания из состояния бодрствования доступны во снах и наоборот?
как работает механизм отождествления с физическим телом и сновиденными?
как исследовать эти процессы и научиться их направлять в согласии с личной волей и волей других живых существ?
Благодарю ?
Развитие научных представлений о природе реальности изложено весьма обстоятельно (пазл отчасти собран), хотя некоторые интерпретации, как заметили выше, довольно спорные и вряд ли их можно назвать полными и окончательными ?
Про фундамент современной математики и парадокс самореференции есть интересное и содержательное получасовое видео от канала Веритазиум «Слабое место математики: можно ли доказать всё, что истинно?»
На лекции в Гарвардской Школе Медицины Садхгуру упрощённо рассказал о взглядах йогических наук на время, пространсво и разные состояния сознания. Возможно, некоторые формулировки могут показаться грубыми и околонаучными, но тем не менее там есть над чем поразмышлять... Интересно, что помимо циклического времени (Кала) в йогическом мировоззрении выделяется и нециклическое «Великое время» (Махакала)...
Лично мне как программисту-технарю концепцию шуньяты [Калы] интуитивно помогают по-своему интерпретировать и принять аналогии видеоигр, снов, фотографических голограмм и стереокартинок.
Например, если запустить 3d-игру и взаимодействовать с объектами виртуального мира, то за экраном (монитором или дисплеем телефона) мы не обнаружим объектов этого мира, там окажется в каком-то смысле пусто. То есть многое, что необходимо для создания ощущения объёма и глубины виртуального пространства [общей карты, разных локаций и прочего наполнения] умещается в компактном объёме физической памяти, а рендеринг сцен происходит на основе циклично-условных вычислительных процессов.
Также и миры сновидений, согласно материалистичным научным представлениям, генерируются в скромном по размерам мозге. Скажем, образ-аватар во сне запросто может преодолеть расстояние в десятки и сотни метров, но при этом в физическом мире размеры мозга исчисляются сантиметрами: как же возникает такое несоответствие метрик?
Другими словами, метафорически, Физическая Вселенная умещается в горчичном зёрнышке, подобно тому, как код и файлы видеоигры умещаются на компактном физическом накопителе или сны в голове у сновидца.
При наступлении определённых условий (запуск игры или засыпание) из непроявленной памяти (кода и файлов игры, воспоминаний разичной природы) начинает разворачиваться мир, возникают объекты и их проявленные проекции в виде визуальных, звуковых, тактильных и даже чувственных образов, с которыми можно взаимодействовать.
А ещё меня с детства удивляют трёхмернае голограммы на плоских фотопластинках и, конечно, стереоизображения (обычно из красочных мозаик) на листах бумаги.
И да, подобно тому, как люди научились создавать виртуальные пространственные модели-симуляции (рекурсивно или фрактально вложенные) на базе материнского физического слоя реальности, само физическое измерение вполне может оказаться вложенным в симуляции ещё более базовых уровней. Причём, между достаточно изолированными слоями допустимы связь и обмен.
Уже эти предпосылки открывают много разных вопросов... Где та тонкая грань между играми-симуляциями и их родительской реальностью? Если миров и состояний сознания бессчётное множество, то как научиться между ними переключаться? В конце-концов, как грамотно редактировать старые и создавать новые игры и миры? Как добавить жизнь в игру? Какая реальность у других живых существ [наблюдателей] и как с ней синхронизироваться? Кто же эти набюдатели и какой у них опыт? Кто наконец этот самосознающий я-наблюдатель? Кто пишет и читает этот текст? И многие-многие другие вопросы...
И тут в основном речь о сухой технической стороне, не говоря уже о тонких чувственных и ментальных измерениях, которые в сути своей наполняют смыслом и содержимым внешнюю картинку Мироздания и делают жизнь такой захватывающе живой! ?
P.S. Для интересующихся:
Кусочек интервью с Альбертом Хофманом
Основы йогической космологии в интерпретации Дады
Интересно, каков потенциал магнитных хранителей в качестве быстрозарядных аккумуляторов энергии? Насколько понимаю, энергия запасается немаленькая, конструкция простая, поэтому если придумать мостик с постепенным стоком магнитного поля для совершения полезной работы, то в теории может получиться вполне пригодный аккумулятор.
Производились такие исследования, кто-то знает?
В современной математике существуют неразрешимые (невычислимые) утверждения, на которые гарантированный ответ в принципе и не может быть получен.
https://youtu.be/jP3ceURvIYc
То есть в жизни имеют место явления, на которые невозможно сформулировать «хорошие вопросы».
Область категориальной конкретики постепенно переходит в область вероятностной картины мира, а вероятностная в область неопределённостей.
Среди базовых категорий не отыскал: воля и вера :)
Возможно, для каких-либо обоснованных утверждений о вероятности важное значение имеет алгоритм получения таких строк, который в условии задачи не уточнён / не определён чётко и однозначно.
Если случайные числа генерируются одним событием, то каждому целому числу в зависимости от системы исчисления можно сопоставить множество строковых представлений. Для одних и тех же пар чисел в зависимости от системы исчисления будут существовать как красивые, так и не очень строковые комбинации их представлений.
Однако если строки генерируются, например, посимвольно (где вероятность возникновения каждого символа близка или одинакова), то из теоремы Байеса следует, что вероятность получения конкретной строки, соответствующей определённому узкому паттерну, будет ниже, чем тех, которые этому паттерну не соответствуют.
Разум/мозг по своей природе настроен на выявление паттернов и закономерностей в окружающем мире, реконструкцию алгоритмов их получения, поэтому строка из повторяющихся символов воспринимается более осмысленной конструкцией (легче реконструировать алгоритм её получения).
Причём, уровень осмысленности паттернов зависит от багажа знаний, например: кто-то сразу распознает привычные десятичные иррациональные значения математических констант в строках, а для других - эти же строки будут выглядеть совершенно случайными.
314159, 271828
Ещё хочется отметить, что статья создана без цели с кем-то посоревноваться в понимании матчасти или что-то важное доказать другим) главные её задачи - привлечь в внимание к теме и поделиться текущими наработками в виде доступном для читателей разного уровня: от школьника до специалиста.
Также мне было интересно подвергнуть материалы внешней критике. Например, благодаря вашему участию были замечены небольшие огрехи в коде. Из дискуссий тоже сформировал для себя некоторые выводы. Так что большое спасибо вам лично и другим участникам за уделённое время и внимание! Как минимум для меня это ценно.
Применять ли информацию из статьи дальше в практической деятельности, думаю, читатель уже решит сам.
Благодарю за видео, красивое! Правда, насколько понял, метод рисования там двухканальный, а не вращательный, как в серии роликов “everything is rotation” и программе Solfeggio.
Не умаляю ваших школьных достижений, но, во-первых, задача состояла в математически обоснованном преобразовании звука в геометрические объекты, во-вторых, это далеко не метод тыка, хоть и матчасть не слишком-то и сложная.
Вы сами себе формулируете узкие тезисы, ищете им подтверждения и этим ограничиваетесь. Просили дугу - её и получили, каких-то других запросов не поступало.
Кроме того, на скриншотах есть и более сложные варианты фигур, чем дуга, но их почему-то вы не берёте в расчёт.
Сразу возникает мысль поменять их на
var;-)Респект за труд! Правда, такие проекты, скорее, для саморазвития, чем для широкого применения.
Если вдруг кто-то не знаком, есть классный онлайн-сервис от команды разработки C# - SharpLab.io. Позволяет прямо в браузере писать программы/скрипты, на лету их компилировать и выполнять. Очень удобный инструмент, чтобы оформить какой-то небольшой код и поделиться им с другими людьми.
Ещё можно поучаствовать в обсуждении новых фич языка или даже предложить свои Issues · dotnet/csharplang (github.com).
Существует метод рисования, когда один канал направляют на ось X, а другой на Y.
Но тут принципиально другой подход и работа с моносигналом. Каждая гармоника - это три параметра: амплитуда, фаза и частота, то есть набор векторов, которые вращаются с разной угловой скоростью при их временном сдвиге по оси Z. При суммировании и продвижении вглубь, они образуют различные трёхмерные спиралевидные фигуры необычных очертаний (некоторые их торцевые ортографические и перспективные проекции представлены на картинках).
Для единичной синусоиды получается трёхмерная спираль-пружинка, растяжение и число оборотов которой зависит от соотношения длины временного интервала и частоты, радиус от амплитуды, а начальный поворот от фазы гармоники.
В вашем случае получилось довольно сложное выражение, поскольку полуокружность замкнута линией (чтобы описать такое нужны высокочастотные компоненты), но если её убрать, то полуокружность или дуга любой длины опишется единичной гармоникой (при верном подборе временного интервала к частоте).
код метода для рисования геометрий
В общем-то алгоритм рисования геометрий в Solfeggio работает на том же принципе, что и в ролике, только он переводит звук в изображение. Единственное, на данный момент не пробовал реализовывать обратное преобразование, чтобы перевести визуальное изображение в звук.
Если рассмотреть в 3D, то окружность - это ортографическая проекция спирали (пружинки) с торца, а сбоку получится обычная косинусоида/синусоида. То есть полокружность - это половина периода косинусоиды.
Мы привыкли, что комплексные числа - это что-то лишь про комплекную плоскость, но на самом деле более общими являются эйлеровы числа (тригонометрическая или показательная формы комплексных чисел), которые за счёт их периодичности позволяют задавать координаты на трёхмерных объектах вроде бесконечно протяжённых спиралей.
Классическое комплексное число в алгебраической форме - это ортографическая проекция на комплексную плоскость множества эйлеровых чисел с одинаковым периодом.
По-моему, интересная тема для исследований... ))
Меня до сих пор вдохновляют некоторые ролики о комплексных числах... Чего только стоит серия "everything is rotation"
и другие по запросу
fourier drawing - YouTube
Во многом благодаря таким роликам в программе Solfeggio появился модуль по геометрии звука (2D цветок и 3D лента)
В своё время курс по геометрическому введению в теорию групп и другие ролики Алексея Савватеева очень поспособствовали развитию моего математического мышления или представления, кто как назовёт :-)
Геометрия и группы. Алексей Савватеев. Лекция 1.1. Мотивирующий пример - YouTube
Ой, зря вы так, некоторые ролики дают визуализацию и представление о сути таких вещей, которую по формулам уловить чрезвычайно трудно. Это как лекции с очень качественным видеорядом. Есть ряд математических каналов, при просмотре которых мой интерес к красоте этой области знаний очень усилился...
А теорема Гёделя имеет фундаментальное отношение ко всем разделам математики.
По секрету, очень правдивый с точки зрения современной медицины факт - академическая медицина не знает наверняка первопричин возникновения депрессии, разве что за исключением отдельных случаев. Скорее, она просто констатирует набор физиологических изменений в организме, которые сопутсвуют таким состояниям.
Есть куча гипотез, наблюдений, факторов, предположений, домыслов и прочего, но всё это больше напоминает разбросаный пазл и сильно фрагментированую область знаний, а далеко не стройную теорию, которая позволяет подобрать с высокой вероятностью верный алгоритм лечения.
Лекарства же в области ментального здоровья зачастую лишь купиуют сиптомы, что может помочь человеку уже своими силами справиться с недугом. Однако если начать полагаться лишь на лекарства, не прилагая усилий и труда для самоисцеления, то очень легко впасть в медикаментозную зависимость.
И да, решающее значение имеет настрой и воля самого человека, качество его отношений с близкими и окружающими людьми. То есть тот смысл, который он придаёт своей жизни и видит в вокруг.
Линейность - многозначительный термин: если имеется в виду линейная функция от многих переменных, то не вполне уверен, что все формулы удовлетворяют определению таких функций. Но это терминолгические тонкости, сути дела они не меняют :)
В математике много недоказанных гипотез разной сложности. Некоторые проверены вычислительно до огромных чисел, но всё ещё остаются гипотезами.
Причём, из теоремы Гёделя о неполноте следует, что вполне могут существовать и неразрешимые утверждения: их нельзя ни доказать ни опровергнуть, ни даже узнать наверняка, разрешимые они или нет...
Слабое место математики: можно ли доказать всё, что истинно? [Veritasium] - YouTube
Что же касается нашего случая, то обоснование для него может поискать любой желающий, возможно, оно существует ;) отчасти для этого и создана данная статья. Кроме того, у меня есть подозрения, что некоторые формулы можно даже слегка улучшить для большей точности, тоже вопрос открытый...
Бывает, что онлайн компилятор глючит при обновлении кода, но для ваших входных данных у меня получился немного другой результат
То есть погрешность составила около 22 Гц.
Это моё субъективное мнение, но для шага дискретной решётки в
Погрешность в 100 Гц ещё терпима, а 22 Гц - это очень неплохой результат.
Можно понизить часоту дискретизации, скажем, в 6 раз при прежнем размере блока
Тогда для шага решётки в 250 Гц погрешность составит порядка 22 / 6 ~ 3.67 Гц
Линейной, да не совсем. Если бы всё было настолько линейно и очевидно, то, скорее всего, способ был бы давно замечен и широко известен в открытом доступе.
Ведь существует немало альтернативных публичных подходов к интерполяции: амплитудная параболическая и по Гауссу, фазовый сдвиг при смещении кадров, различные классы оконных функций...
Но для моих задач соотношение точности и производительности для ФАИ наиболее оптимальное.
С некоторыми вариантами интерполяции можно ознакомиться по ссылкам
Improving FFT Frequency Measurement Resolution by Parabolic and Gaussian Interpolation (cern.ch)
Guitar Pitch Shifter - Algorithm
Pitch Shifting Using The Fourier Transform | Stephan Bernsee's Blog (zynaptiq.com)
Title (eudl.eu)