В наше время правильно говорить не "нет производной", а "производная не выражается в действительных числах" или "полюс" (в ТФКП)
Вообще-то полюс - это изолированная особая точка, т.е. такая, в некоторой окрестности которой отсутствуют другие особые точки, также в полюсе существует предел
поэтому полюсов у упомянутой функции Вейерштрасса нет (но они есть у других функций, тоже носящих имя Вейерштрасса)
После беседы Шерлок Холмс и доктор Ватсон направились в необитаемый дом, из окна которого можно было наблюдать дом Холмса на Бейкер-стрит 221Б. На окне были опущены шторы, и в ярко освещенной комнате, где жил Холмс, на фоне окна четко вырисовывался силуэт детектива, неотличимый от подлинного. Ранее Холмс, обнаружив, что за его квартирой следят, заказал восковую фигуру самого себя и установил её в своей комнате. Каждые 15 минут миссис Хадсон меняла положение скульптуры. Ватсон заметил двух человек, которые как будто бы укрывались от холода неподалёку от того места, откуда они с Холмсом наблюдали за окном. После полуночи в доме появился Себастьян Моран. Открыв окно, он достал ружьё и положил конец ствола на подоконник. Прицелившись, он выстрелил в мишень. Сразу после выстрела на него набросился Холмс, однако Моран смог дать ему отпор и схватил Холмса за горло. Тогда Ватсон ударил Морана рукояткой своего револьвера. После этого Холмс вызвал с помощью свистка подмогу, и в комнату ворвались два полисмена и инспектор Лестрейд.
Там нужно было не свет включать, а время от времени изменять положение восковой копии Холмса. Миссис Хадсон вполне с этим справлялась, незаметно подползая к восковой фигуре раз в четверть часа
Вот анимированное изображение траекторий космического корабля в системе Земля-Луна при изменении вертикальной компоненты его скорости в точке, ближайшей к Луне (Земля - точка (0,0), Луна - точка (1,0))
Траектории космического корабля в системе Земля-Луна
Видно, что при малых скоростях космический корабль вращается вокруг Луны. При увеличении скорости сложное вращение начинает совершаться вокруг всей системы Земля-Луна (вокруг центра тяжести системы), при этом для некоторых значений скорости корабль систему покидает (за счет разгона на нескольких витках). При дальнейшем увеличении скорости корабль покидает систему Земля-Луна без витков, по траектории, похожей на параболу (на самом деле, здесь это все еще очень большой эллипс, но увеличение скорости, похоже, непременно приведет к параболе, а далее и к гиперболе).
Эксперимент Бомбара был достаточно научно обоснованным
Морскую соленую воду, как показали его опыты, можно пить в небольших количествах, чтобы не допустить обезвоживания организма, в течение пяти дней.
...
За время плавания около недели доктор пил морскую воду, а все остальное время – выжатый из рыбы сок. Пресную воду удавалось собирать в небольшом количестве в виде конденсата на тенте после прохладных ночей. И только в ноябре, после сильного тропического ливня, удалось сразу собрать около 15 литров пресной воды
В упомянутой статье утверждается, что приведенные тела являются выпуклыми
Convexity Requirement
As with all convex Gomboc shapes, the radius of curvature must be positive at each point on the Gomboc surface. For the specific analytic Gombocs exhibited below, that is easily achieved
Мне тоже трудно поверить в это, тем не менее, автор утверждает, что это так. Интересно было бы натридэпечатать такие гёмбёцы и пощупать их руками
Гёмбёц, единственное в мире моно-моностатическое тело
Кажется, это утверждепние не совсем верное. Вот статья, в которой приведена еще парочка других гёмбёцев: M. L. Sloan "AN ANALYTICAL GOMBOC", которые можно задать аналитически, т.е. в виде параметрического описания поверхности
Вот формула для правого гёмбёца в сферических координатах
Я попробовал построить каркасную модель этого гёмбеца. Получается не слишком понятно, зато можно отметить на поверхности оба положения равновесия (устойчивое - красный крестик, неустойчивое - оранжевый)
Гёмбёц 2 в движении
Чтобы было понятнее, хорошо бы построить эту поверхность с удалением невидимых граней, но я этого не умею. На всякий случай укажу параметрическое представление гёмбеца в текстовом виде (можно скопировать и вставить куда-нибудь)
Все, что описано в статье - в общем правда, только известно это уже ну очень давно, с тех пор, как над конкретной программой стало работать больше одного человека. Вот классическая книга, одна из основных тем которой:
Время выполнения проекта не обратно пропорционально числу программистов
Оригинальное издание появилось в 1975, этот русский перевод - 1979 года
В книге сформулирован «закон Брукса»: «Если проект не укладывается в сроки, то добавление рабочей силы задержит его ещё больше»
Или нужно продолжать биться с реализацией, т.е. с адаптивным алгоритмом?
Повторюсь, дело не в адаптивности алгоритма, а в его природе. Адаптивный алгоритм, основанный на явном методе, все равно приведет к тому, что шаг будет дробиться, пока не уйдет за пределы компьютерной точности, т.е. вознинет ситуация, когда eps = 0.5*eps
Неявный же метод легко справляется и c значением параметра 1E-14. При этом статистика вычислений показывает, что число шагов (а следовательно, и время вычисления) отнюдь не запредельное, < 3500. Этот алгоритм тоже адаптивный, шаг иногда дробится, но не бесконечно
В статье очень много рассуждений, но не упомянуто главное. Осциллятор Ван-дер-Поля - это жесткая система (для малых значений параметра), для численного исследования которой не подходят явные методы типа Рунге-Кутты, хотя бы и с адаптивным выбором шага. Для того, чтобы понять, что система жесткая - достаточно пробовать решать уравнения обычными (но адаптивными) методами и при этом все время натыкаться на ошибки типа переполнения или исчезновения порядка. Вот пример решения этой системы с помощью метода Розенброка (специального метода для жестких систем)
Анимированное изображение фазовой траектории осциллятора Ван-дер-Поля для изменяющихся значений параметра
Фазовая траектория осциллятора Ван-дер-Поля (значение параметра изменяется от 0.0003 до 0.0001)
Тот же метод позволяет решить систему для изрядно меньшего значения параметра. Видно, что принципиально ничего не изменяется, только к числам на вертикальной шкале добавляется пара ноликов
Про круглые дырки помню, поскольку сохранился инструмент (кстати, изготовливал его не я, один коллега сделал), чем заклеивали квадратные вырезы - не помню. Наверное, да, синей изолентой ...
Это не магия, если вспомнить
Задачу Бюффона о бросании иглы
Магия - это формула Раманужана
Вообще-то полюс - это изолированная особая точка, т.е. такая, в некоторой окрестности которой отсутствуют другие особые точки, также в полюсе существует предел
поэтому полюсов у упомянутой функции Вейерштрасса нет (но они есть у других функций, тоже носящих имя Вейерштрасса)
Из статьи: A Numerical Approach for Analysing the Moving Sofa Problem
Вот как выглядит анимированное изображние графиков одной из компонент системы Лоренца с совсем немного отличающимися начальными условиями
Зависимость от начальных условий в системе Лоренца
Видно, что вначале колебания почти совпадают, однако затем (внезапно) начинают значительно отличаться
Мой любимый вариант: "колличество"
Из результатов поиска в Гугле
Напомнило рассказ Конан-Дойля
Пустой дом
После беседы Шерлок Холмс и доктор Ватсон направились в необитаемый дом, из окна которого можно было наблюдать дом Холмса на Бейкер-стрит 221Б. На окне были опущены шторы, и в ярко освещенной комнате, где жил Холмс, на фоне окна четко вырисовывался силуэт детектива, неотличимый от подлинного. Ранее Холмс, обнаружив, что за его квартирой следят, заказал восковую фигуру самого себя и установил её в своей комнате. Каждые 15 минут миссис Хадсон меняла положение скульптуры. Ватсон заметил двух человек, которые как будто бы укрывались от холода неподалёку от того места, откуда они с Холмсом наблюдали за окном. После полуночи в доме появился Себастьян Моран. Открыв окно, он достал ружьё и положил конец ствола на подоконник. Прицелившись, он выстрелил в мишень. Сразу после выстрела на него набросился Холмс, однако Моран смог дать ему отпор и схватил Холмса за горло. Тогда Ватсон ударил Морана рукояткой своего револьвера. После этого Холмс вызвал с помощью свистка подмогу, и в комнату ворвались два полисмена и инспектор Лестрейд.
Там нужно было не свет включать, а время от времени изменять положение восковой копии Холмса. Миссис Хадсон вполне с этим справлялась, незаметно подползая к восковой фигуре раз в четверть часа
Вот анимированное изображение траекторий космического корабля в системе Земля-Луна при изменении вертикальной компоненты его скорости в точке, ближайшей к Луне (Земля - точка (0,0), Луна - точка (1,0))
Траектории космического корабля в системе Земля-Луна
Видно, что при малых скоростях космический корабль вращается вокруг Луны. При увеличении скорости сложное вращение начинает совершаться вокруг всей системы Земля-Луна (вокруг центра тяжести системы), при этом для некоторых значений скорости корабль систему покидает (за счет разгона на нескольких витках). При дальнейшем увеличении скорости корабль покидает систему Земля-Луна без витков, по траектории, похожей на параболу (на самом деле, здесь это все еще очень большой эллипс, но увеличение скорости, похоже, непременно приведет к параболе, а далее и к гиперболе).
Траектории построены при помощи решения диффуравнений ограниченной задачи трех тел
Эксперимент Бомбара был достаточно научно обоснованным
В упомянутой статье утверждается, что приведенные тела являются выпуклыми
Мне тоже трудно поверить в это, тем не менее, автор утверждает, что это так. Интересно было бы натридэпечатать такие гёмбёцы и пощупать их руками
Вот рецепт мадьярских пирожков-гёмбёцев (или вареников?), в честь которых названо найденное математиками необычное тело
Кажется, это утверждепние не совсем верное. Вот статья, в которой приведена еще парочка других гёмбёцев: M. L. Sloan "AN ANALYTICAL GOMBOC", которые можно задать аналитически, т.е. в виде параметрического описания поверхности
А это вольфрамовский рисунок двух этих гёмбёцев:
Вот формула для правого гёмбёца в сферических координатах
Я попробовал построить каркасную модель этого гёмбеца. Получается не слишком понятно, зато можно отметить на поверхности оба положения равновесия (устойчивое - красный крестик, неустойчивое - оранжевый)
Гёмбёц 2 в движении
Чтобы было понятнее, хорошо бы построить эту поверхность с удалением невидимых граней, но я этого не умею. На всякий случай укажу параметрическое представление гёмбеца в текстовом виде (можно скопировать и вставить куда-нибудь)
Формулы для гёмбёца
Положения равновесия:
(-0.7952707288,0,0) - устойчивое,
(0,0,1) - неустойчивое
Из статьи о гёмбёцах для меня осталось непонятным - неужели эти тела выпуклые?
Все, что описано в статье - в общем правда, только известно это уже ну очень давно, с тех пор, как над конкретной программой стало работать больше одного человека. Вот классическая книга, одна из основных тем которой:
Оригинальное издание появилось в 1975, этот русский перевод - 1979 года
Складывается впечатление, что автору неизвестно о существании детерминированных хаотических процессов
Да, читал по диагонали, заметил только 2022 год, прошу прощения
Серьезно?
Повторюсь, дело не в адаптивности алгоритма, а в его природе. Адаптивный алгоритм, основанный на явном методе, все равно приведет к тому, что шаг будет дробиться, пока не уйдет за пределы компьютерной точности, т.е. вознинет ситуация, когда eps = 0.5*eps
Неявный же метод легко справляется и c значением параметра 1E-14. При этом статистика вычислений показывает, что число шагов (а следовательно, и время вычисления) отнюдь не запредельное, < 3500. Этот алгоритм тоже адаптивный, шаг иногда дробится, но не бесконечно
В статье очень много рассуждений, но не упомянуто главное. Осциллятор Ван-дер-Поля - это жесткая система (для малых значений параметра), для численного исследования которой не подходят явные методы типа Рунге-Кутты, хотя бы и с адаптивным выбором шага. Для того, чтобы понять, что система жесткая - достаточно пробовать решать уравнения обычными (но адаптивными) методами и при этом все время натыкаться на ошибки типа переполнения или исчезновения порядка. Вот пример решения этой системы с помощью метода Розенброка (специального метода для жестких систем)
Анимированное изображение фазовой траектории осциллятора Ван-дер-Поля для изменяющихся значений параметра
Тот же метод позволяет решить систему для изрядно меньшего значения параметра. Видно, что принципиально ничего не изменяется, только к числам на вертикальной шкале добавляется пара ноликов
Интересно сравнить произведение ИИ с аналогичной стилизацией, которая создана человеком (когда исполняют песню одного артиста в стиле другого)
Paranoid, if it were written by Dire Straits
Про круглые дырки помню, поскольку сохранился инструмент (кстати, изготовливал его не я, один коллега сделал), чем заклеивали квадратные вырезы - не помню. Наверное, да, синей изолентой ...
Возможно, этого уже не помню