Теория относительности — это синус. Мнимого угла / Хабр

То, что свет нельзя обогнать, сложение скоростей, замедление времени — всё это стоит на обычном школьном синусе, которому угол сделали мнимым. Не метафора и не «похоже» — буквально та же функция.Давайте убедимся в этом сами.

Это финал серии. В первой синус был показан тенью вращающейся стрелки, во второй — каталогом из сорока с лишним мест, где эта тень лежит. А в конце каталога была ремарка, что у синуса есть гиперболический двойник, за которым стоит ещё пол-математики.

В основе всей статьи один ход, которому двести с лишним лет: подставить в синус мнимый угол. Операция законна с тех пор, как Эйлер переписал синус через экспоненту: ряду всё равно, веществен ли аргумент. Этим ходом Лобачевский построил свою геометрию, а Минковский — пространство-время; пройдём его тем же ходом. Итак: что такое sin(iθ)?

Путь: ход Эйлера → корень всего → круг и гипербола → геометрия Лобачевского → эмбеддинги нейросетей → относительность → малые углы → чёрная дыра → бонус: слово «синус» → итог

Ход Эйлера: синус мнимого угла

Возьмём формулу Эйлера — стержень всей серии:

$e^{i\theta} = \cos\theta + i\sin\theta$

Если она до сих пор казалась магией — вот вся её механика в одну строку. Производная e^(iθ) по θ равна i·e^(iθ), а умножить на i — значит повернуть на 90°. То есть скорость точки всегда перпендикулярна её радиусу — а это и есть определение равномерного движения по окружности. e^(iθ) — точка, бегущая по единичному кругу; её тени на оси — косинус и синус.

А теперь протянем эту стрелку по оси самого θ — и точка на круге развернётся в винт. Значение e^(iθ), прочерченное по мере роста угла, — это спираль в пространстве: её вещественная часть падает тенью на одну стену косинусом, мнимая — на другую синусом, а с торца виден тот самый круг. Один винт, три тени — cos, sin и окружность разом. Вот геометрический портрет формулы Эйлера, с которого мы и шагнём в мнимое.

Идею посмотреть на синус как тень спирали подсказал @Kan_Timur в комментарии к первой статье: «синус — это проекция спирали на плоскость». Попробовал оживить её этой анимацией; она же оказалась удобным мостом сюда, в комплексную плоскость.

Чтобы положить косинус на пол этой 3D-сцены, его пришлось наклонить — умножить на синус угла обзора. Синус на стене, казалось, ушёл сухим: его форма осталась чистой вертикальной волной. Но чтобы повесить саму стену в глубину кадра, мы отодвинули её — а величина сдвига снова задана синусом угла. Так что даже синусу, чтобы встать на своё место в картинке, понадобился синус. От него не деться — он и в мире, и в собственном изображении.

Теперь сделаем странное: подставим вместо угла θ мнимую величину iθ. Слева получится e^(i·iθ) = e^(−θ) (потому что i·i = −1). А справа — cos(iθ) + i·sin(iθ). Чтобы вытащить отсюда cos(iθ) и sin(iθ) по отдельности, напишем ещё и формулу для −iθ и сложим/вычтем. Сложив e^(−θ) и e^(θ), получаем:

$\begin{aligned}\cos(i\theta) &= \frac{e^{\theta} + e^{-\theta}}{2} \equiv \cosh\theta \\ \sin(i\theta) &= i\,\frac{e^{\theta} - e^{-\theta}}{2} \equiv i\sinh\theta\end{aligned}$

И вот они — гиперболические функции, вывалившиеся из обычного синуса за пять строк. cosh θ = (e^θ + e^(−θ))/2, sinh θ = (e^θ − e^(−θ))/2. Никакой магии: синус мнимого угла — это и есть гиперболический синус, с точностью до множителя i. Косинус мнимого угла даже множителя не набирает, он просто становится cosh.

Это не игра символами. Сейчас этот близнец вытащит за собой геометрию Лобачевского и теорию относительности. Но сперва поймём, почему он вообще существует — у этого есть один общий корень.

Корень всего: один знак в дифференциальном уравнении

Откуда синус берётся в природе на самом деле? Не из треугольников. Синус — это решение уравнения колебаний:

«Вторая производная равна минус самой функции» (частоту спрятали в единицы времени: в общем виде это y'' = −ω²y, но решает здесь только знак). Физически: ускорение всегда направлено к нулю, пропорционально отклонению — это пружина, маятник, любой осциллятор. Решения этого уравнения — sin и cos. Возвращающая сила тянет назад, поэтому функция качается.

А теперь поменяем один знак:

«Ускорение направлено прочь от нуля, пропорционально отклонению» — не возвращающая сила, а разгоняющая. Решения этого уравнения — sinh и cosh. И качание превращается в экспоненциальный разгон: чем дальше от нуля, тем сильнее гонит дальше.

Вот и весь секрет. sin/cos и sinh/cosh — родные братья, решения одного уравнения с противоположным знаком. Минус даёт круг и колебание, плюс — гиперболу и экспоненту. Всё дальнейшее — следствия этого единственного знака. Запомните его, мы его ещё не раз встретим.

Покрутите время: обе точки стартуют рядом у нуля, но минус держит первую в коридоре ±1 (рисует косинус), а плюс выкидывает вторую по экспоненте (рисует cosh). Один знак — и пути расходятся в круг и в гиперболу.

Круг или гипербола — решает один минус

cos и sin — координаты точки на окружности: cos²θ + sin²θ = 1. cosh и sinh — координаты точки на гиперболе: cosh²u − sinh²u = 1 (проверьте подстановкой определений через экспоненты — единица выпадает сама). Снова тот же минус, теперь в тождестве.

Покрутите ползунок: слева стрелка идёт по дуге окружности, проекции дают cos и sin; справа та же «фаза» гонит точку вдоль гиперболы, проекции дают cosh и sinh.

Ключевое отличие в поведении: синус ограничен, вечно качается между −1 и 1. А sinh растёт экспоненциально, sinh(x) ≈ e^x/2 на больших x. Там, где появляется sinh, появляется экспоненциальный простор — и это уже не метафора, а буквальный смысл следующих двух разделов.

Воображаемая геометрия Лобачевского

Историческая деталь, которая тут не украшение, а суть. Лобачевский называл свою неевклидову геометрию «воображаемой геометрией» (мнимая геометрия). И вот что любопытно: выведя её тригонометрические формулы, он заметил, что они совпадают со сферическими, если в них заменить cos стороны на cosh — а это формально замена cos x = (e^{ix}+e^{-ix})/2 на (e^x+e^{-x})/2, то есть переход к мнимому аргументу. Отсюда он и заключил, что работает на сфере мнимого радиуса iR. (Прямую мотивировку названия историки документально не зафиксировали — но связь с мнимым числом, по ряду исследований, стоит именно за словом «воображаемая».)

И эта «мнимость» — не просто каламбур. В 1908 году Минковский рассмотрел ту самую сферу мнимого радиуса в комплексном пространстве и получил псевдоевклидово пространство — пространство-время специальной теории относительности. Плоскость Лобачевского живёт внутри этого пространства-времени буквально — как гиперболоид, по которому преобразования Лоренца ходят поворотами (физики зовут его пространством быстрот). Не один объект, но одна геометрия — и связывает их ровно тот же мнимый угол, с которого мы начали. К относительности мы ещё вернёмся — она в этой истории не случайный гость.

Геометрий постоянной кривизны ровно три, и различает их знак (снова знак):

сфера (+): поверхность загибается внутрь, треугольник «толстый», сумма углов больше 180°;
плоскость Евклида (0): сумма углов ровно 180°;
плоскость Лобачевского (−): каждая точка — седло, поверхность уходит вниз в одних направлениях и вверх в других.

И вот распределение труда между двумя синусами. Углы во всех трёх геометриях меряет обычный круговой синус — в любой точке можно крутануться на 360°, локально всё евклидово. А стороны (расстояния) — по-разному. Сравните семью теорем синусов:

$\begin{aligned}\text{сфера:}&\quad \frac{\sin A}{\sin(a/R)} \\ \text{Евклид:}&\quad \frac{\sin A}{a} \\ \text{Лобачевский:}&\quad \frac{\sin A}{\sinh(a/k)}\end{aligned}$

Сверху везде круговой синус угла. Снизу — на сфере круговой синус стороны, на плоскости голая сторона, у Лобачевского гиперболический sinh. И заметьте: формула сферы при замене R → iR превращается в формулу Лобачевского, потому что sin(a/iR) = sin(−i·a/R) = −i·sinh(a/R), а i сокращается. Та самая «воображаемость» в одной строке.

Почему именно sinh? Потому что в гиперболическом пространстве места экспоненциально больше: окружность радиуса r имеет длину не 2πr, а 2π·sinh(r) ~ e^r. Чем дальше от центра, тем стремительнее расходится пространство. На обычной плоскости, удвоив радиус, вы удваиваете длину окружности; в гиперболической — длина растёт по экспоненте. Места там не «немного больше» — его принципиально, неудержимо больше.

Это не стилизация под Эшера, а честное гиперболическое замощение семиугольниками {7,3}, построенное отражениями (каждая «сторона» — дуга, перпендикулярная границе диска). Все семиугольники одинакового размера в гиперболической метрике — к краю они кажутся мельче только потому, что граница бесконечно далека, а пространства к ней всё больше. Справа — то же самое числом: длина окружности растёт не как r (евклидов пунктир), а как sinh r, по экспоненте. Вот этот разбегающийся простор и есть причина, по которой дерево с экспоненциально растущим числом вершин ложится сюда без давки — и почему гиперболические эмбеддинги работают. (А кому захочется строгого пути по моделям — от гиперболоида до полуплоскости — на Хабре есть отличная серия «Путь к геометрии Лобачевского»; мы здесь идём другой тропой — за синусом.)

Отсюда фирменная формула Лобачевского — угол параллельности Π(x). Стоите на расстоянии x от прямой; на какой угол повернуть луч, чтобы он перестал её пересекать — стал предельно параллельным? Ответ сшивает круговой синус с гиперболическим косинусом:

$\sin \Pi(x) = \frac{1}{\cosh x}$

В евклидовом мире этот угол всегда 90° и от расстояния не зависит: перпендикуляр везде перпендикуляр. У Лобачевского cosh(x) в знаменателе растёт экспоненциально, поэтому Π(x) тает с расстоянием — чем дальше отойти, тем сильнее можно наклонить луч, а он всё равно не догонит прямую. На малых x угол почти прямой (Евклид как предел), на больших схлопывается.

Почему это вдруг понадобилось в машинном обучении: hyperbolic embeddings

Казалось бы, экзотика XIX века. Но у экспоненциального простора sinh нашлось прикладное применение в машинном обучении — и вот в чём его логика.

Подумайте, как растёт дерево: у корня один узел, дальше каждый уровень множит число потомков. Число вершин на расстоянии r от корня растёт экспоненциально с r. Если вы хотите уложить такое дерево в пространство так, чтобы расстояния между узлами соответствовали связям, — в обычном (евклидовом) пространстве не хватит места: там объём растёт всего лишь степенно, узлы начинают наезжать друг на друга, и приходится брать всё больше измерений. А в гиперболическом пространстве места ровно столько, сколько надо, — оно само расширяется экспоненциально, как sinh(r). Дерево вкладывается в гиперболическую плоскость почти без искажений.

Отсюда — конкретные работы, а не «вообще где-то в ML». Направление стартовало с эмбеддингов таксономий: Nickel & Kiela, «Poincaré Embeddings» (2017) — иерархию WordNet вложили в диск Пуанкаре, и в единицах–десятках измерений она легла точнее евклидовой. Дальше идею подняли с точек до нейросетей: Chami et al., Hyperbolic Graph Convolutional Networks (NeurIPS 2019) — свёрточная сеть на графах, живущая в гиперболоиде, для «древесных» и scale-free графов. В биологии: Klimovskaia et al., Poincaré maps (Nature Communications, 2020) — траектории развития клеток по scRNA-данным укладывают в 2D гиперболического диска, где ветвление линий видно напрямую. И в мультимодальных моделях: MERU (Desai et al., ICML 2023) от FAIR — гиперболический аналог CLIP: текст «собака» геометрически накрывает все картинки собак (общее выше по «конусу», частное — к краю), чего плоский CLIP не выражает.

Честная оговорка, без неё в комментариях справедливо поправят: это не серебряная пуля. Выигрыш ярче всего в низкоразмерном режиме — воспроизведение Bansal & Benton (2021) показало, что евклидовым эмбеддингам WordNet стоит дать полсотни измерений, и они догоняют. То есть гиперболическое пространство — не «везде лучше», а способ радикально сэкономить размерность там, где она дорога (2D-визуализация, лёгкие модели, явная иерархия). Тот же sinh, что у Лобачевского описывал «слишком просторную» плоскость, здесь ровно этим и полезен: даёт место древовидным данным.

И художник почувствовал это раньше инженеров: Эшер свои «Пределы круга» с бесконечно мельчающими к краю фигурами рисовал именно на гиперболической плоскости — все фигуры там «на самом деле» одинакового размера, это край пространства искривлён и уходит на бесконечность.

Теория относительности: разгон — это поворот по гиперболе

А теперь поворот, который закрывает кольцо всей серии. В четвёртой двери каталога был синус как оператор поворота — матрица [cos θ, −sin θ; sin θ, cos θ], крутящая точку по окружности. У неё есть гиперболический близнец:

$\begin{pmatrix}\cosh u & \sinh u \\ \sinh u & \cosh u\end{pmatrix}$

Та же матрица, но из гиперболических функций — двигает точку не по кругу, а по гиперболе. И это преобразование Лоренца, переход между двумя наблюдателями, движущимися друг относительно друга.

И вот здесь смыкается заголовок. cosh и sinh, из которых собрана вся эта матрица, — ровно те функции, что в начале вывалились из мнимого угла: cos(iθ) = cosh θ, sin(iθ) = i·sinh θ. То есть преобразование Лоренца целиком построено из косинуса и синуса мнимого угла — это гиперболический близнец обычного поворота, тот же механизм, но с мнимым аргументом. Без метафор: относительность держится на синусе, которому угол сделали мнимым. (Дотошно: чтобы из круговой матрицы поворота получить буквально гиперболическую, мало заменить угол на iu — нужно ещё считать время мнимым, t → it; это и есть знаменитый трюк Минковского. Но функции — те самые, мнимоугловые.)

Откуда тут гипербола? Из того же знака. Пространство-время Минковского устроено по метрике с минусом: интервал считается как s² = t² − x² (в единицах, где c = 1), а не t² + x² (это экспериментальный факт — так устроена причинность). В евклидовой плоскости неизменная величина при повороте — x² + y² (расстояние), и сохраняют её круговые повороты. В пространстве-времени неизменная величина — t² − x², и сохраняют её гиперболические повороты. Один знак в метрике определяет, круг у вас или гипербола.

Как это выглядит «вживую» — на диаграмме Минковского, где по вертикали время, по горизонтали пространство:

Разгоняйте наблюдателя ползунком. Его оси времени и пространства не остаются прямыми крестом, как при обычном повороте, — они наклоняются навстречу друг другу, как ножницы, сходящиеся к лучу света (жёлтая диагональ). Чем ближе к c, тем уже зазор между осями и лучом. И ключевое: сам луч света для любого наблюдателя остаётся на той же диагонали — скорость света одинакова для всех, это и есть та неизменная величина t² − x², которую гиперболический поворот сохраняет. Обогнать свет — значит сомкнуть ножницы полностью, а угол до луча обнуляется только на бесконечной быстроте.

Скорость наблюдателя играет роль угла — гиперболического. Этот «гиперболический угол» называется быстрота́ (rapidity), u, и связан с обычной скоростью так:

$v = c\,\tanh u$

И вот ради чего всё затевалось — сложение скоростей. В релятивизме скорости нельзя складывать в лоб (0.8c + 0.8c ≠ 1.6c, иначе обогнали бы свет). Но быстроты складываются просто, как обычные углы (пока разгон идёт вдоль одной прямой): разогнался на u₁, затем ещё на u₂ — итоговая быстрота u₁ + u₂. А скорость — это tanh от суммы. И тут школьное тригонометрическое тождество выдаёт физику бесплатно. Берём формулу сложения гиперболического тангенса:

$\tanh(u_1 + u_2) = \frac{\tanh u_1 + \tanh u_2}{1 + \tanh u_1 \tanh u_2}$

Подставляем v = c·tanh u — и это ровно релятивистская формула сложения скоростей:

$v = \frac{v_1 + v_2}{1 + v_1 v_2 / c^2}$

Та самая, которую в учебниках физики выводят страницей вычислений с преобразованиями Лоренца. А она — просто тождество для tanh, переписанное в скоростях. И сразу видно главное: tanh при любом аргументе остаётся меньше единицы. Сложите быстроты хоть сто раз — tanh суммы упрётся в потолок и не достигнет 1. Покрутите оба ползунка: складывайте быстроты до посинения, скорость подходит к c всё ближе, но не дотягивает.

Скорость света недостижима не потому, что «мешает сила» или «не хватает топлива», а потому что это асимптота гиперболического тангенса. Геометрия, а не препятствие. А знаменитая «бесконечная энергия разгона» — счёт, который выставляет та же асимптота. Релятивистский разгон — буквально вращение, просто по гиперболе вместо окружности, гиперболическим углом вместо обычного, и с потолком там, где у круга его нет.

Малоугловое приближение: почему мы не замечаем ни кривизны, ни релятивизма

Если мир искривлён — и гравитацией, и релятивистски, — почему школьная плоская геометрия так хорошо работает в быту?

Потому что Евклид — это малоугловое приближение обеих кривых геометрий сразу. Разложим оба синуса в ряд при малом x:

$\begin{aligned}\sin x &= x - \frac{x^3}{6} + \frac{x^5}{120} - \dots \\ \sinh x &= x + \frac{x^3}{6} + \frac{x^5}{120} + \dots\end{aligned}$

Снова тот же знак — единственное различие рядов в чередовании плюсов и минусов. Но при маленьком x все степени, кроме первой, пренебрежимо малы, и обе функции вырождаются в одно и то же: sin x ≈ x ≈ sinh x. Сфера и гиперболоид на малом клочке неотличимы от плоскости — и друг от друга. Это ровно тот же эффект, что мы видели у маятника в первой статье: там сила ∝ sin θ, но при малом размахе sin θ ≈ θ, синус «исчезал» из формулы, оставив простое уравнение.

Так что сфера, плоскость и гиперболоид — не три разных мира, а одна картина с разных масштабов. На клочке, маленьком по сравнению с кривизной, любая из них плоская. Мы живём на таком клочке — потому школьная геометрия и работает, а кривизна с релятивизмом всплывают лишь на больших расстояниях, скоростях и в точных приборах. Хрестоматийный пример — GPS: без релятивистских поправок он накапливал бы ошибку около 10 км в сутки. Причём тут любопытная деталь — работают сразу два эффекта в разные стороны: специальная теория (скорость спутника) замедляет его часы на ~7 мкс/сутки, а общая (более слабая гравитация на орбите) ускоряет на ~45 мкс/сутки, и гравитация перевешивает — итого часы спешат на ~38 мкс/сутки. Так что строго говоря в GPS главная поправка не «нашего» буста, а гравитационная, из общей теории относительности. Мы живём в приближении первого порядка.

Где синус рвётся: чёрная дыра

В GPS гравитация лишь чуть подкручивает часы. Доведите её до предела — и попадёте туда, где синус видно без приборов, голым глазом: к чёрной дыре.

Луч света — это синус ещё до всякой гравитации. Прямую, пролетающую мимо центра на расстоянии b, в полярных координатах описывает u = 1/r = (cos φ)/b — решение всё того же u'' + u = 0, «корня всего» из второго раздела. Прямой луч — чистый косинус.

Гравитация добавляет в это уравнение ровно один член:

$u'' + u = \frac{3GM}{c^2}\,u^2$

И косинус-луч начинает загибаться. Вдали поправка крошечная — свет лишь слегка отклоняется (это отклонение Эддингтон измерил в затмение 1919 года и подтвердил Эйнштейна). Но у горизонта правый член разрастается, и синус рвётся: луч, нацеленный достаточно близко, уже не пролетает мимо — он наматывается на круговую орбиту, фотонную сферу.

Двигайте прицел. Далеко луч — почти прямой косинус, лишь подогнутый. Ближе — загиб круче, пока на критическом прицеле b = (3√3/2)·r_s луч не зависнет на фотонной сфере, наматываясь бесконечно. Это и есть тот чёрный диск с огненным кольцом по краю: свет, который должен был пройти мимо, гравитация загнала спиралью обратно. Тот же u'' + u, что качает маятник и рисует синусоиду, под чёрной дырой выкручен до разрыва — дальний край того же семейства, с которого начиналась серия.

Бонус: слово, написанное собой

Этот раздел вырос из случайного наблюдения. Разглядывая винт из начала статьи под косым углом, я поймал себя на мысли: его след похож на росчерки рукописных букв. Оказалось — не показалось. Моторику письма давно моделируют как два связанных колебания: кисть ходит вправо-влево и вверх-вниз, а строка тянет её вперёд (осцилляторная модель почерка Холлербаха, 1981). Курсив — след колебания руки. Тот же винт, вид сбоку.

А раз почерк — колебание, его можно разложить в ряд Фурье. Берём рукописный росчерк слова «синус», раскладываем траекторию пера на вращающиеся стрелки — и вот слово «синус», буквально написанное суммой синусов:

Восемь стрелок — сейсмограмма. Тридцать — почерк врача (уже читается). Сто шестьдесят — пропись. Внизу — те же гармоники, разложенные в два колебания руки: y(t) качается почти правильной волной (горбы букв), x(t) медленно тянет вдоль строки. И формула настоящая, она на экране: одна таблица амплитуд и фаз, x читает её косинусами, y — синусами.

Тезис серии в одном экспонате: синус живёт даже в собственном имени.

Что в итоге

Серию можно свернуть в одно предложение. Есть вращающаяся стрелка e^(iωt), её тень на ось — синус. Дальше — пять режимов одной стрелки:

заморозить — проекция (доли сил, мощность cos φ, поляризация);
пустить во времени — колебание (шаг, ток, звук, волны);
сложить несколько — суперпозиция (Фурье, интерференция, Доплер);
применить как оператор — поворот (графика, кватернионы);
повернуть аргумент в мнимую сторону — гиперболический двойник sinh, а с ним воображаемая геометрия Лобачевского, эмбеддинги нейросетей и относительность.

И под всем — один знак в уравнении y'' = ∓y: минус даёт круг, колебание, ограниченность; плюс даёт гиперболу, экспоненту, разгон. Колебание и относительность — две стороны одного уравнения.

Тот самый синус, который «не пригодился», оказался не формулой из задачника, а формой, в которую сложена половина физики и заметный кусок математики — от удара в боксёрскую грушу до того, почему нельзя обогнать свет и как чёрная дыра наматывает его на себя.

Так пригодился или нет? Вопрос — как и в первой статье — не в ту сторону. Синусом не пользуются: шаг делают, не зная формулы, свет не обгоняют, не слыхав про tanh. Им просто написано всё — от шага до горизонта чёрной дыры. Синус не инструмент. Синус — материал.

Полную интерактивную «Карту синуса» со всеми кейсами на одной странице можно открыть здесь. Спасибо, что дочитали серию.