Судя по плюсам-минусам, аудитория разделилась на два лагеря — кто знает, что внутри у JOIN (и считает это важным знанием), и кто не знает (и не считает это важным знанием, но боится провалить следующее собеседование).
Потому что производные (с полным определением или без) предполагают какое-никакое умение работать с функциями. У изучающих алгебру школьников такого умения ещё нет. Оно в частности нарабатывается рисованием парабол.
"Где парабола пересекает ось x" понять проще, чем "предел отношения приращения функции к приращению аргумента при последнем, стремящемся к нулю" или "коэффициент первого элемента в ряду Тейлора".
"Тут на полях мало места, чтобы объяснить это замечательное доказательство."
Там надо сначала метод анализа размерности ввести. Из него получается, что произведение энергии взрыва на время в квадрате примерно равно произведению плотности воздуха на радиус ударной волны в пятой степени. Радиус ударной волны видно на кадрах фильма, время тоже, плотность воздуха знаем. МНК тоже используется, кстати.
Для школьного учебника алгебры не годится, потому что на момент изучения квадратных уравнений понятие производной ещё не введено. Именно поэтому я сначала предлагал более простой вариант той же задачи на плоскости (с грядкой у стенки), которая решается без производных.
что стоит привести один-единственный пример, не притянутый за уши?
А смысл? Про любой пример можно сказать, что он притянут за уши, что в жизни таких задач не бывает, что можно решить по-другому и вообще зачем знать про дискриминант, когда есть Wolfram Alpha и Solver в Excel.
Вот почти такой же пример — есть лист формата А4. Надо из него вырезать четыре квадратика по углам и загнуть стороны вверх, чтобы получилась прямоугольная коробка без крышки. При какой высоте коробки получим максимальный объём?
Я привёл пример самой простой задачи, в которой есть квадратная функция и которая решается в лоб использованием формулы для корней квадратного уравнения в качестве контрпримера к следующему высказыванию:
я не знаю, зачем нужны в жизни квадратные уравнения
Нет тут кубической функции. Максимизируем площадь, она измеряется в квадратных метрах, поэтому функция квадратная.
Надо найти максимум параболы x(4-2x), где x — это длина стороны грядки, прилегающей к дому. Максимум там, где горизонтальная прямая касается параболы.
Берём формулу корней квадратного уравнения, подставляем в неё нулевой дискриминант, получаем искомый результат x = -b/2a = 1. Или усредняем два корня (x=0 и x=2), вспомнив, что квадратная парабола симметрична.
Разумеется, можно найти максимум ещё проще, если знать, что такое производная. Но для этого надо знать, что такое производная.
" — У нас узкая специализация. Один пришивает карман, один — проймочку, я лично пришиваю пуговицы. К пуговицам претензии есть?
Нет! Пришиты насмерть, не оторвёшь! Кто сшил костюм? Кто вместо штанов мне рукава пришил? Кто вместо рукавов мне штаны пришпандорил? Кто это сделал?"
К МНК претензия в том, что его используют по поводу и без. Если в позапрошлом веке приятные на ощупь гладкие функции, которые легко минимизировать гусиным пером на бумаге имели неоспоримое преимущество, то теперь и данных поболее, и выбросы в данных никто не фильтрует, и компьютеры помощнее — могут и LASSO накинуть.
Мерили средний доход, пришёл Билл Гейтс, средний доход подскочил в стопиццот раз. Решили, что это выброс, поставили отсечку, выкинули Билла Гейтса.
Через месяц Билл Гейтс потратил половину своего состояния на борьбу с малярией в Африке и обеднел ниже отсечки, средний доход подскочил в полстопиццот раз.
Во всех случаях квадраты минимальные, не подкопаться.
Я видел, можно вообще посчитать три-четыре варианта наугад и выбрать наилучший, или сделать на глазок — на практике разницы не будет заметно.
Вообще вряд ли есть задача, которую можно решить исключительно использованием квадратного уравнения. При этом есть много прикладных задач, где надо находить максимум или минимум, что для параболы легко, если знать школьную программу. А параболы встречаются сплошь и рядом.
Как только мы начинаем выкидывать выбросы, так сразу исчезает возможность интерпретации результатов. Наши результаты начинают зависеть от того, что именно мы выкинули, особенно потому что квадрат быстро растёт.
Если в физике предположение о нормальности ещё хоть как-то обосновано, то в других областях сплошь и рядом у распределений толстые хвосты и МНК может намерять что угодно.
Откуда берётся убывающая полезность из этого объяснения совершенно неочевидно. Например, при разложении в ряд Фурье никаких факториалов нет, при разложении на вейвлеты — тоже. Все гармоники одинаково полезны. А у Тейлора факториалы в знаменателе каждого коэффициента.
При обычном объяснении совершенно понятно, откуда они берутся — мы приравниваем i-ю производную многочлена i-й производной нашей функции, в производной многочлена появляется факториал, на который приходится делить.
Есть нажитые непосильным трудом 4 метра сетки для забора. Надо огородить с трёх сторон прямоугольный кусок земли, прилегающий к стене дома, чтобы сделать там грядку для гладиолусов. Без забора мелкий рогатый скот быстро схарчит все гладиолусы.
Каковы должны быть размеры грядки, чтобы площадь получилась максимальной?
"Где парабола пересекает ось x" понять проще, чем "предел отношения приращения функции к приращению аргумента при последнем, стремящемся к нулю" или "коэффициент первого элемента в ряду Тейлора".
Там надо сначала метод анализа размерности ввести. Из него получается, что произведение энергии взрыва на время в квадрате примерно равно произведению плотности воздуха на радиус ударной волны в пятой степени. Радиус ударной волны видно на кадрах фильма, время тоже, плотность воздуха знаем. МНК тоже используется, кстати.
В книжке (доступной безвоздмездно, то есть даром) страница 150, глава 5.2.2.
А потом конечно можно, и есть тому хорошие примеры: Sanjoy Mahajan: Street-Fighting Mathematics, Ivan Savov: No BS Guide to Math and Physics.
Книжка по физике от Sanjoy Mahajan ещё круче, одно вычисление тротилового эквивалента по трём кадрам рассекреченного фильма чего стоит.
А смысл? Про любой пример можно сказать, что он притянут за уши, что в жизни таких задач не бывает, что можно решить по-другому и вообще зачем знать про дискриминант, когда есть Wolfram Alpha и Solver в Excel.
Вот почти такой же пример — есть лист формата А4. Надо из него вырезать четыре квадратика по углам и загнуть стороны вверх, чтобы получилась прямоугольная коробка без крышки. При какой высоте коробки получим максимальный объём?
Если в формулу квадратного уравнения x1,2=(-b+-sqrt(D))/2a подставить D=0, получаем ту самую "формулу вершины параболы". И это не просто совпадение.
Надо найти максимум параболы x(4-2x), где x — это длина стороны грядки, прилегающей к дому. Максимум там, где горизонтальная прямая касается параболы.
Берём формулу корней квадратного уравнения, подставляем в неё нулевой дискриминант, получаем искомый результат x = -b/2a = 1. Или усредняем два корня (x=0 и x=2), вспомнив, что квадратная парабола симметрична.
Разумеется, можно найти максимум ещё проще, если знать, что такое производная. Но для этого надо знать, что такое производная.
" — У нас узкая специализация. Один пришивает карман, один — проймочку, я лично пришиваю пуговицы. К пуговицам претензии есть?
К МНК претензия в том, что его используют по поводу и без. Если в позапрошлом веке приятные на ощупь гладкие функции, которые легко минимизировать гусиным пером на бумаге имели неоспоримое преимущество, то теперь и данных поболее, и выбросы в данных никто не фильтрует, и компьютеры помощнее — могут и LASSO накинуть.
Мерили средний доход, пришёл Билл Гейтс, средний доход подскочил в стопиццот раз. Решили, что это выброс, поставили отсечку, выкинули Билла Гейтса.
Через месяц Билл Гейтс потратил половину своего состояния на борьбу с малярией в Африке и обеднел ниже отсечки, средний доход подскочил в полстопиццот раз.
Во всех случаях квадраты минимальные, не подкопаться.
Вообще вряд ли есть задача, которую можно решить исключительно использованием квадратного уравнения. При этом есть много прикладных задач, где надо находить максимум или минимум, что для параболы легко, если знать школьную программу. А параболы встречаются сплошь и рядом.
Если в физике предположение о нормальности ещё хоть как-то обосновано, то в других областях сплошь и рядом у распределений толстые хвосты и МНК может намерять что угодно.
При обычном объяснении совершенно понятно, откуда они берутся — мы приравниваем i-ю производную многочлена i-й производной нашей функции, в производной многочлена появляется факториал, на который приходится делить.
Каковы должны быть размеры грядки, чтобы площадь получилась максимальной?