Возможно, придираюсь. Но вроде как отрезок - это не просто множество, а упорядоченное множество. В результате не совсем понятно, где использованы свойства просто множества, а где именно упорядоченного. Или раз речь про числа, то множество сразу подразумевается упорядоченным? Но на множестве абстрактных элементов тоже можно строить упорядоченные выборки. В общем, тут немного туманно получилось на мой взгляд.
Вообще формально понижение порядка симплекса можно реализовать через внешнее умножение на "обратные элементы". Которые определяются как A^(/A) = 1. Тогда можно умножить симплекс на сумму обратных вершин и получить его границу: (A^B^C) ^ (/A + /B + /C) = (A^B^C)^/A + (A^B^C)^/B + (A^B^C)^/C = (A^/A)^B^C - A^(B^/B)^C + A^B^(C^/C) = B^C - A^C + A^B Надо посмотреть, можно ли эти "обратные элементы" как-то связать с "обратными векторами" в ГА.
А, "вырожденное измерение" - это видимо то, что я называю нуль-вектором, - ортогонален всем векторам пространства, но его норма в плоском пространстве равна 0. Попытался выяснить у дипсика, чему соответствует в ГА граничный оператор - взятие границы симплекса. Ну, например, стандартная граница треугольника: d(A^B^C) = A^B - A^C + B^C. Он вначале уверенно заявил, что это скалярное умножение на этот самый "нуль-вектор". Но после уточняющих вопросов сдулся, и заявил, что "вопрос сложный". Может, вы в курсе? - наверняка должно быть что-то простое.
Впервые дошло, что ГА - это "возьмем некоммутативное произведение векторов, приравняем коммутативному (скалярному) и посмотрим, что из этого выйдет". И в целом это даже не вызывает отторжения в отличие от "возьмем и сложим скалярное и внешнее произведения", хотя, как показано, - оба постулата эквивалентны. Еще бы найти какую-то геометрическую интерпретацию произведения точек (в аффинной геометрии вектор - это разность точек), чтобы убедиться, что в центре находится геометрическое умножение, а "остальные планеты движутся вокруг".
Проблема в том, что вы не очень хорошо излагаете свои мысли
Ну что поделать - учимся еще. Это ж два разных умения - понять что-то самому и суметь донести это понимание до остальных. У многих авторов хабра второе получается намного лучше, согласен.
Как говорил классик - "А не пора ли нам, друзья мои, взяться за Уильяма нашего Шекспира?"
А строгость предписывает уход от развлечения в сторону кропотливого копания в мелочах.
Хабр же - это полу-познавательный, полу-развлекательный ресурс. Тут строгость ограничена, поскольку "строгость * понятность = константа".
Конкретно мне - слишком многое еще интересно, чтобы застревать на мелочах. Если кто-то что-то для себя нового уяснил - уже хорошо. Кому надо - те сами копнут глубже и найдут, что им нужно.
Так, вопросы пошли лучше. Давайте про одномерность шкалы (тем более, что подобный вопрос есть и от другого читателя). Почему мы называем шкалу одномерной, хотя на ней куча независимых (базисных) точек-границ.
Это достаточно глубокий и тонкий вопрос, на который я постараюсь как-то здесь ответить (поскольку сам им в свое время задавался), но не уверен, что объема одного коммента хватит.
Для простоты возьмем три точки a, b, c. Общепринято, что три точки задают пространство плоскости (вообще-то надо 4 точки, но не будем щас в это углубляться). Пространство в данном случае - это множество точек, которые можно задать как (барицентрические) линейные комбинации базиса. Ну то есть это все точки вида x = x_a a + x_b b + x_c c, где [x_a, x_b, x_c] - скаляры. Геометрически 3 точки - это треугольник с неизвестными длинами сторон (метрики нет).
Так задается неориентированное (аффинное) пространство. Поскольку оно неориентированное, то мы не можем в данном пространстве задать интервал двумя точками-границами. Ну как в треугольнике определить какую-то область 2-мя точками? Никак.
Но ситуация меняется, если мы добавляем условие (требование) ориентации, или упорядоченности базиса и пространства, который он задает. Например, мы говорим, что для вершин треугольника выполняется a < b < c. Более того, поскольку пространство должно быть упорядочено, то мы должны уметь сравнивать две любые его точки на больше-меньше. Это достаточно сильное требование. Которое убирает из пространства (треугольника) все точки кроме отрезков (линий), соединяющих вершины треугольника. Точки внутри отрезков (a, b) и (b, c) - упорядочены. Кроме того, поскольку b > a, то все точки из отрезка (a, b) меньше точек отрезка (b, c).
А вот точки отрезка (a, c) пропадают из пространства. Поскольку данные точки мы не можем сравнить с точкой b - мы не знаем, больше они или нет. Пока все понятно?
Итого, как только добавляется требование упорядоченности базиса, наше прекрасное двумерное пространство схлопывается до 4-х линий - до точки a, от a до b и т.д. Это необязательно прямые. Это множества (линии, если пространство непрерывно), на которых две точки (границы) задают интервал. Базис при этом остается 3-х точечным. Линия (a, b) никак не определяет линию (b, c) и наоборот. А линии (a, c) - не существует. Точнее она становится совокупностью двух линий (a, b) + (b, c). Вектор (a - c) есть, а вот точек вида x(t) = (1 - t) a + t c - нет. Мы не можем их сравнить с точкой b, => они не поддаются упорядочиванию, => они не входят в упорядоченное пространство.
Резюмируем. Направленное одномерное аффинное пространство - это совокупность связанных ненаправленных пространств (интервалов, линий), задаваемых упорядоченными точками (границами). Мерность пространства - это не сколько точек в базисе, а сколько нужно точек, чтобы задать область (множество между границами). Для одномерного пространства достаточно двух точек. Именно поэтому мы называем интервалы-отрезки одномерными. Даже если в базисе 100 точек.
Добавим еще для полноты, что направленное одномерное пространство может быть замкнутым ("после декабря идет январь", или в треугольнике добавили линию (a, c)). При задании направления на такой циклической шкале две точки вполне себе определяют интервал между ними.
И еще граф-дерево тоже внезапно оказывается одномерным. Две произвольные вершины такого графа однозначно задают путь (множество связанных вершин) между ними. Поэтому для графов-деревьев пересечение одномерных интервалов (из статьи) тоже работает.
Это про свойства аффинного пространства и линейных комбинаций элементов речь (с интервалами не связано). Мне кажется, что на этот вопрос я ответил выше.
Вот есть "Вася", а есть "Петя". А что такое ("Вася" + "Петя")/2? Это может оказаться Сережа, определенный на базисе из двух элементов. И тут отдельный целый мир.
Тут уже не столько про интервалы вопрос, сколько про свойства аффинного пространства.
Давайте внимательнее. Если вы взяли в качестве шкалы (оси, пространства) буквы алфавита, то точками в нем являются границы между буквами. А буквы являются интервалами. Можно даже усилить - базовыми (или базисными) интервалами. Поэтому сложение (разность) букв тут будет сложением (разностью) интервалов, а не точек. То есть не является аффинным вектором. (Можно, конечно, считать точками сами буквы, но мне сложно представить, что находится между буквами 'a' и 'б').
А вот такие векторы вполне себе возможны: v1 = [a - б], - это границы (вектор) интервала (a, б) и v2 = [г - д]. Соответственно, можно определить и точку x = [д + v1 (я просто адаптирую ваш пример). Это не буква (буквы, как мы помним - это интервалы) - это точка, (граница) на шкале. Отсюда следует, что v1 = [д - x, да. И соответственно v1 = [a - б] = [д - x. Откуда следует, что "один и тот же вектор можно задать разностями разных точек". Именно поэтому такие векторы называют иногда свободными.
Без специальных допущений точку x невозможно спроецировать на базисные точки оси. Это независимая точка (то есть наоборот - зависимая от базиса) пространства, определенная как линейная комбинация базисных точек (в данном случае - границ между буквами). В алфавите - 33 буквы (и 34 границы-точки), то есть возможна точка, определенная как комбинация всех 34-х базисных точек.
Но при желании вы можете создать линейный алфавит, который будет задан всего двумя точками. Например, так: x(t) = [a*(1-t) + я]*t, - здесь t - скалярный параметр. Это заведомо барицентрическая комбинация точек, которую можно интерпретировать и как уравнение прямой. Тогда можно считать (задать), что все остальные точки (границы букв) - это линейные комбинации всего двух точек.
Не, не надо меня в ваши топологии затягивать ). У нас вполне себе прикладная задача - нам код писать. И каждый прогер команды должен знать, что у него за параметры в функцию передаются - точки или интервалы. От этого зависит, какие у них свойства и что с ними можно делать.
Давайте расскажите им про "евклидовы топологии", "компактные пространства" и "замкнутые, но не открытые точки". Хотя наши, может, и выслушают с интересом, - они воспитанные ).
Я уже писал в статье, что "множество точек (границ)" само может образовывать направленную шкалу и становиться таким образом интервалами (это про ваш пример с [a, a]). Но простым людям ни к чему такие навороты.
Это хороший вопрос. Если бы я мог что-то порекомендовать, - я бы сделал это в статье. Сам давно не брал в руки учебников. В старых вряд ли про связь интервалов и линейной алгебры есть. То, что обычно пишут про "аффинное пространство" по форме верно, но слишком формально без примеров "на земле", так что новичку там не за что зацепиться. Когда уже представляешь, о чем речь, - тогда понятно, что хотели сказать авторы.
В википедиях написана ерунда. Ну то есть что-то условно правильное, но бесполезное. Даже в английской. В русской "интервалы - это числовые промежутки". Ну как бы должно быть наоборот - "числовые промежутки - это интервалы", поэтому "дальше можно не читать".
Возможно в англоязычной литературе что-то есть. Глянул в той, что мне доступна - не нашел ничего, что мог бы посоветовать. В общем-то поэтому и написал на хабре, чтобы хоть что-то было.
Возможно, кто-то лучше ориентируется и сможет посоветовать что-то годное.
Почти адекватное замечание, если бы не этот наброс - "утверждения выглядят бредово".
рассматриваем только интервалы с лебеговой мерой
Ну да, нам тут еще одного термина как раз не хватало - "лебеговой меры". А то с аффинными-то векторами все уже освоились. Да и не нужна тут пока никакая ни мера, ни метрика, не надо усложнять. Как задать метрику, считать длины интервалов - можно отдельно разбирать, если кому интересно.
Вырожденный интервал ([a,a]) по определению равен точке, а значит и точка равна ему.
Если 'a' - это точка пространства, то у нее нет границ, соответственно бессмысленны выражения как '[a', так и 'a]'. Если 'a' - это интервал, то он по определению не может равняться точке.
Если мы хотим задать интервал парой границ, которые совпадают (и равны a), то он будет нулевым (пустым): a - a = 0
Опять же, вот есть у вас отрезок [1,2] и его форма (2-1)*(2-1). Я помню, что это не арифметические операции, а векторные. Но вот проблема выше осталась, для отрезка [3,4] 4-3 будет точно тем же аффинным вектором. Поэтому его биллинейная форма (4-3)*(4-3) будет точно тем же элементом из множества бивекторов.
На это отвечу. Может, еще кто запутался (хотя уже немного комичная ситуация - героем Ералаша себя ощущаю).
Отрезок [1, 2] образован элементами пространства (а не скалярами). Он по сути то же самое, что отрезок, образованный буквами [a, б]. Его граничное представление (вектор) - это разность элементов (точек) пространства (а не чисел). Поэтому два аффинных вектора [1, 2] == [1 - 2] и [3, 4] == [3 - 4] никак совпасть не могут. Так же как не могут совпасть векторы "а - б" и "г - д". Если связать два вектора в форму - ничего не меняется.
Ну и на всякий - в данной статье нет никаких бивекторов. Про бивекторы я писал во внешней алгебре.
А вот интересно, - кто эти молчаливые минусующие? Как понять, что не понравилось?
Перплекс мне выдает на данный вопрос - "Аффинный вектор - это разность точек". И это верно, хотя и не полно, конечно. Кроме того, перплекс еще кучу ссылок дает, куда можно сходить за подробностями. Минусовщикам что-то другое показывает?
Или я должен был сам написать в очередной раз "аффинный вектор - это разность точек (элементов пространства)"? Ну а какая мне вера, - я уже писал про это много раз).
Но. Кстати. Мне тоже никто про аффинные векторы не рассказывал. Про аффинные преобразования - да. Кучу других левых вещей - тоже, да. А про то, что (имхо) является базой - что элементы пространств можно складывать и вычитать (а элементами может быть все, что угодно - например, "Вася с Петей из соседнего отдела"), - как-то мимо прошло. Слишком большой упор в образовании на числовую составляющую, - людям потом везде одни числа мерещатся.
Интервалы могут быть замкнутыми или открытыми. Если вспомнить об этом, то никаких проблем с границами не будет. Открытые не содержат свои границы, замкнутые - содержат.
Вы так и не поняли разницу между интервалами и точками.
В статье указано, что говорить об "открытых" или "замкнутых" интервалах имеет смысл только при условии, что границы заданы как границы других интервалов (а не как точки). Сделайте паузу, вникнете в это, и прояснится все остальное. Не знаю, что еще пожелать).
Отрицательный (или развернутый) интервал это нонсенс в "обычных" пространствах, их не может быть по определению, а могут появиться только по ошибке
Это замечание я не понял. Операция вычитания интервалов вполне себе рутинная (например, из интервала календарных дней недели [Пн, Вт, ..., Вс] можно вычесть выходные дни [Сб, Вс], получив рабочие). А вычитание можно трактовать как сложение с отрицательным интервалом. То есть отрицательные интервалы в этом смысле вполне себе существуют и в "обычных пространствах".
Возможно, придираюсь. Но вроде как отрезок - это не просто множество, а упорядоченное множество. В результате не совсем понятно, где использованы свойства просто множества, а где именно упорядоченного. Или раз речь про числа, то множество сразу подразумевается упорядоченным? Но на множестве абстрактных элементов тоже можно строить упорядоченные выборки. В общем, тут немного туманно получилось на мой взгляд.
Вообще формально понижение порядка симплекса можно реализовать через внешнее умножение на "обратные элементы". Которые определяются как A^(/A) = 1. Тогда можно умножить симплекс на сумму обратных вершин и получить его границу:
(A^B^C) ^ (/A + /B + /C) = (A^B^C)^/A + (A^B^C)^/B + (A^B^C)^/C = (A^/A)^B^C - A^(B^/B)^C + A^B^(C^/C) = B^C - A^C + A^B
Надо посмотреть, можно ли эти "обратные элементы" как-то связать с "обратными векторами" в ГА.
А, "вырожденное измерение" - это видимо то, что я называю нуль-вектором, - ортогонален всем векторам пространства, но его норма в плоском пространстве равна 0.
Попытался выяснить у дипсика, чему соответствует в ГА граничный оператор - взятие границы симплекса. Ну, например, стандартная граница треугольника: d(A^B^C) = A^B - A^C + B^C.
Он вначале уверенно заявил, что это скалярное умножение на этот самый "нуль-вектор". Но после уточняющих вопросов сдулся, и заявил, что "вопрос сложный". Может, вы в курсе? - наверняка должно быть что-то простое.
Впервые дошло, что ГА - это "возьмем некоммутативное произведение векторов, приравняем коммутативному (скалярному) и посмотрим, что из этого выйдет". И в целом это даже не вызывает отторжения в отличие от "возьмем и сложим скалярное и внешнее произведения", хотя, как показано, - оба постулата эквивалентны.
Еще бы найти какую-то геометрическую интерпретацию произведения точек (в аффинной геометрии вектор - это разность точек), чтобы убедиться, что в центре находится геометрическое умножение, а "остальные планеты движутся вокруг".
Ну что поделать - учимся еще. Это ж два разных умения - понять что-то самому и суметь донести это понимание до остальных. У многих авторов хабра второе получается намного лучше, согласен.
) Интересный комментарий. Вот это мне нравится:
Как говорил классик - "А не пора ли нам, друзья мои, взяться за Уильяма нашего Шекспира?"
Хабр же - это полу-познавательный, полу-развлекательный ресурс. Тут строгость ограничена, поскольку "строгость * понятность = константа".
Конкретно мне - слишком многое еще интересно, чтобы застревать на мелочах. Если кто-то что-то для себя нового уяснил - уже хорошо. Кому надо - те сами копнут глубже и найдут, что им нужно.
Нравятся мне советы посторонних - "вам бы надо разобраться". Ну вы-то понятно, во всем давно разобрались.
Про одномерность ответил ниже. Хотя не уверен, что вам это интересно.
Так, вопросы пошли лучше. Давайте про одномерность шкалы (тем более, что подобный вопрос есть и от другого читателя). Почему мы называем шкалу одномерной, хотя на ней куча независимых (базисных) точек-границ.
Это достаточно глубокий и тонкий вопрос, на который я постараюсь как-то здесь ответить (поскольку сам им в свое время задавался), но не уверен, что объема одного коммента хватит.
Для простоты возьмем три точки a, b, c. Общепринято, что три точки задают пространство плоскости (вообще-то надо 4 точки, но не будем щас в это углубляться). Пространство в данном случае - это множество точек, которые можно задать как (барицентрические) линейные комбинации базиса. Ну то есть это все точки вида x = x_a a + x_b b + x_c c, где [x_a, x_b, x_c] - скаляры. Геометрически 3 точки - это треугольник с неизвестными длинами сторон (метрики нет).
Так задается неориентированное (аффинное) пространство. Поскольку оно неориентированное, то мы не можем в данном пространстве задать интервал двумя точками-границами. Ну как в треугольнике определить какую-то область 2-мя точками? Никак.
Но ситуация меняется, если мы добавляем условие (требование) ориентации, или упорядоченности базиса и пространства, который он задает. Например, мы говорим, что для вершин треугольника выполняется a < b < c. Более того, поскольку пространство должно быть упорядочено, то мы должны уметь сравнивать две любые его точки на больше-меньше. Это достаточно сильное требование. Которое убирает из пространства (треугольника) все точки кроме отрезков (линий), соединяющих вершины треугольника. Точки внутри отрезков (a, b) и (b, c) - упорядочены. Кроме того, поскольку b > a, то все точки из отрезка (a, b) меньше точек отрезка (b, c).
А вот точки отрезка (a, c) пропадают из пространства. Поскольку данные точки мы не можем сравнить с точкой b - мы не знаем, больше они или нет. Пока все понятно?
Итого, как только добавляется требование упорядоченности базиса, наше прекрасное двумерное пространство схлопывается до 4-х линий - до точки a, от a до b и т.д. Это необязательно прямые. Это множества (линии, если пространство непрерывно), на которых две точки (границы) задают интервал. Базис при этом остается 3-х точечным. Линия (a, b) никак не определяет линию (b, c) и наоборот. А линии (a, c) - не существует. Точнее она становится совокупностью двух линий (a, b) + (b, c). Вектор (a - c) есть, а вот точек вида x(t) = (1 - t) a + t c - нет. Мы не можем их сравнить с точкой b, => они не поддаются упорядочиванию, => они не входят в упорядоченное пространство.
Резюмируем. Направленное одномерное аффинное пространство - это совокупность связанных ненаправленных пространств (интервалов, линий), задаваемых упорядоченными точками (границами). Мерность пространства - это не сколько точек в базисе, а сколько нужно точек, чтобы задать область (множество между границами). Для одномерного пространства достаточно двух точек. Именно поэтому мы называем интервалы-отрезки одномерными. Даже если в базисе 100 точек.
Добавим еще для полноты, что направленное одномерное пространство может быть замкнутым ("после декабря идет январь", или в треугольнике добавили линию (a, c)). При задании направления на такой циклической шкале две точки вполне себе определяют интервал между ними.
И еще граф-дерево тоже внезапно оказывается одномерным. Две произвольные вершины такого графа однозначно задают путь (множество связанных вершин) между ними. Поэтому для графов-деревьев пересечение одномерных интервалов (из статьи) тоже работает.
Это про свойства аффинного пространства и линейных комбинаций элементов речь (с интервалами не связано). Мне кажется, что на этот вопрос я ответил выше.
Вот есть "Вася", а есть "Петя". А что такое ("Вася" + "Петя")/2? Это может оказаться Сережа, определенный на базисе из двух элементов. И тут отдельный целый мир.
Тут уже не столько про интервалы вопрос, сколько про свойства аффинного пространства.
Давайте внимательнее. Если вы взяли в качестве шкалы (оси, пространства) буквы алфавита, то точками в нем являются границы между буквами. А буквы являются интервалами. Можно даже усилить - базовыми (или базисными) интервалами. Поэтому сложение (разность) букв тут будет сложением (разностью) интервалов, а не точек. То есть не является аффинным вектором. (Можно, конечно, считать точками сами буквы, но мне сложно представить, что находится между буквами 'a' и 'б').
А вот такие векторы вполне себе возможны: v1 = [a - б], - это границы (вектор) интервала (a, б) и v2 = [г - д]. Соответственно, можно определить и точку x = [д + v1 (я просто адаптирую ваш пример). Это не буква (буквы, как мы помним - это интервалы) - это точка, (граница) на шкале. Отсюда следует, что v1 = [д - x, да. И соответственно v1 = [a - б] = [д - x. Откуда следует, что "один и тот же вектор можно задать разностями разных точек". Именно поэтому такие векторы называют иногда свободными.
Без специальных допущений точку x невозможно спроецировать на базисные точки оси. Это независимая точка (то есть наоборот - зависимая от базиса) пространства, определенная как линейная комбинация базисных точек (в данном случае - границ между буквами). В алфавите - 33 буквы (и 34 границы-точки), то есть возможна точка, определенная как комбинация всех 34-х базисных точек.
Но при желании вы можете создать линейный алфавит, который будет задан всего двумя точками. Например, так: x(t) = [a*(1-t) + я]*t, - здесь t - скалярный параметр. Это заведомо барицентрическая комбинация точек, которую можно интерпретировать и как уравнение прямой. Тогда можно считать (задать), что все остальные точки (границы букв) - это линейные комбинации всего двух точек.
Бинго!
Не, не надо меня в ваши топологии затягивать ). У нас вполне себе прикладная задача - нам код писать. И каждый прогер команды должен знать, что у него за параметры в функцию передаются - точки или интервалы. От этого зависит, какие у них свойства и что с ними можно делать.
Давайте расскажите им про "евклидовы топологии", "компактные пространства" и "замкнутые, но не открытые точки". Хотя наши, может, и выслушают с интересом, - они воспитанные ).
Я уже писал в статье, что "множество точек (границ)" само может образовывать направленную шкалу и становиться таким образом интервалами (это про ваш пример с [a, a]). Но простым людям ни к чему такие навороты.
Это хороший вопрос. Если бы я мог что-то порекомендовать, - я бы сделал это в статье. Сам давно не брал в руки учебников. В старых вряд ли про связь интервалов и линейной алгебры есть. То, что обычно пишут про "аффинное пространство" по форме верно, но слишком формально без примеров "на земле", так что новичку там не за что зацепиться. Когда уже представляешь, о чем речь, - тогда понятно, что хотели сказать авторы.
В википедиях написана ерунда. Ну то есть что-то условно правильное, но бесполезное. Даже в английской. В русской "интервалы - это числовые промежутки". Ну как бы должно быть наоборот - "числовые промежутки - это интервалы", поэтому "дальше можно не читать".
Возможно в англоязычной литературе что-то есть. Глянул в той, что мне доступна - не нашел ничего, что мог бы посоветовать. В общем-то поэтому и написал на хабре, чтобы хоть что-то было.
Возможно, кто-то лучше ориентируется и сможет посоветовать что-то годное.
Почти адекватное замечание, если бы не этот наброс - "утверждения выглядят бредово".
Ну да, нам тут еще одного термина как раз не хватало - "лебеговой меры". А то с аффинными-то векторами все уже освоились. Да и не нужна тут пока никакая ни мера, ни метрика, не надо усложнять. Как задать метрику, считать длины интервалов - можно отдельно разбирать, если кому интересно.
Если 'a' - это точка пространства, то у нее нет границ, соответственно бессмысленны выражения как '[a', так и 'a]'. Если 'a' - это интервал, то он по определению не может равняться точке.
Если мы хотим задать интервал парой границ, которые совпадают (и равны a), то он будет нулевым (пустым): a - a = 0
На это отвечу. Может, еще кто запутался (хотя уже немного комичная ситуация - героем Ералаша себя ощущаю).
Отрезок [1, 2] образован элементами пространства (а не скалярами). Он по сути то же самое, что отрезок, образованный буквами [a, б]. Его граничное представление (вектор) - это разность элементов (точек) пространства (а не чисел). Поэтому два аффинных вектора [1, 2] == [1 - 2] и [3, 4] == [3 - 4] никак совпасть не могут. Так же как не могут совпасть векторы "а - б" и "г - д". Если связать два вектора в форму - ничего не меняется.
Ну и на всякий - в данной статье нет никаких бивекторов. Про бивекторы я писал во внешней алгебре.
А вот интересно, - кто эти молчаливые минусующие? Как понять, что не понравилось?
Перплекс мне выдает на данный вопрос - "Аффинный вектор - это разность точек". И это верно, хотя и не полно, конечно. Кроме того, перплекс еще кучу ссылок дает, куда можно сходить за подробностями. Минусовщикам что-то другое показывает?
Или я должен был сам написать в очередной раз "аффинный вектор - это разность точек (элементов пространства)"? Ну а какая мне вера, - я уже писал про это много раз).
Но. Кстати. Мне тоже никто про аффинные векторы не рассказывал. Про аффинные преобразования - да. Кучу других левых вещей - тоже, да. А про то, что (имхо) является базой - что элементы пространств можно складывать и вычитать (а элементами может быть все, что угодно - например, "Вася с Петей из соседнего отдела"), - как-то мимо прошло. Слишком большой упор в образовании на числовую составляющую, - людям потом везде одни числа мерещатся.
Вы так и не поняли разницу между интервалами и точками.
В статье указано, что говорить об "открытых" или "замкнутых" интервалах имеет смысл только при условии, что границы заданы как границы других интервалов (а не как точки). Сделайте паузу, вникнете в это, и прояснится все остальное. Не знаю, что еще пожелать).
Это замечание я не понял. Операция вычитания интервалов вполне себе рутинная (например, из интервала календарных дней недели [Пн, Вт, ..., Вс] можно вычесть выходные дни [Сб, Вс], получив рабочие). А вычитание можно трактовать как сложение с отрицательным интервалом. То есть отрицательные интервалы в этом смысле вполне себе существуют и в "обычных пространствах".
perplexity.ai - "что такое аффинный вектор?"
Ужас какой, куда я вляпался. Вы при таких набросах реально на диалог рассчитываете? Всего вам доброго! )