Утверждение "чем более объекты похожи, тем меньше между ними расстояние" - кажется логичным только на первый взгляд. На самом же деле "расстояние" между объектами и "степень похожести" не всегда связаны, и надо уточнять, о чем именно речь. Простой пример - узлы графа. Между узлами связного графа есть "резистивное расстояние", - чем дальше узлы друг от друга, - тем это расстояние больше. Но похожесть узлов (которую тоже можно рассчитать, например, через SVD) - связана с конфигурацией соседей - сколько входящих/исходящих связей у узлов. Ну и понятно, что "похожие (по степени) узлы" могут находиться друг от друга очень далеко (в резистивной метрике).
Спасибо за ответы (ну и за всю серию статей, конечно). - Я поговорил еще с ИИ, чтобы освежить свое понимание. В ходе беседы мы тоже забрались достаточно глубоко, чтобы это можно было как-то кратко и связно изложить в комментариях. Так что пусть остается евклидовым ).
Вот координаты точки x(t) в аффинном базисе из двух точек (a, b): x(t) = a*(1 - t) + b*t, где t - скаляр. Метрика не нужна, - мы не знаем расстояние |a, b|. Но чем ближе t к 0, тем ближе точка x к a. Потому что ее барицентрическая координата x_a становится больше. --- Метрика пространства - это не определение способа измерения расстояний. Это задание самих расстояний между базисными элементами пространства. --- Вообще если и вводить метрические термины, то уместнее это было бы сделать во 2-й части. Так как МНК можно переформулировать в метрических тензорах и координатах. "Квадратная матрица признаков" - это метрический тензор (грамиан) признаков. Его обращение - дуальный метрический тензор и т.д.
Да, это правильный вопрос - что такое близость? Кажется, что в пространствах без метрики близости быть не может. Но это заблуждение. Метрика делает пространство жестким, оформленным. А близость есть и без нее.
Простой пример - аффинное пространство,- метрики нет. Однако линейные комбинации (элементов пространства) есть. И мы можем выразить, например, треугольник через базисный (треугольник), - построив его на серединах сторон базисного. И определить, что его площадь будет в 4 раза меньше базисного. Это все следствие линейных комбинаций. - Метрики нет, но мы знаем, что площадь в 4 раза меньше. А чем ближе будут точки нашего вписанного треугольника к базовым, - тем будет ближе сам треугольник к базисному. Вот и появилось "ближе". Отличие лишь в том, что в аффинном пространстве не задана форма базисного треугольника, - он может быть любым, но соотношение площадей будет справедливо для любой формы. Я привел пример треугольника, потому что на нем визуально понятнее, что метрика фиксирует форму. Но тоже самое можно было бы показать и на отрезках и на любых других объектах. В регрессиях нечто подобное, - нам нужна только близость (входного кортежа к базисным). И метрика тут не нужна (да и откуда бы ей взяться).
Как только мы заявляем, что точечное произведение является скалярным, то автоматически объявляем ортогональность неких базисных векторов. Но во всех обычных примерах эта ортогональность ниоткуда не вытекает (почему "мужской пол" должен быть ортогонален "возрасту" и что это вообще значит?). И непонятно, зачем надо напирать на "евклидовость" пространства. Нам достаточно уметь определять "близости линейных комбинаций" (ну или "близости координат"). Подразумевает ли это обязательную евклидовость? Вроде как нет. Нигде ортогональность базиса не используется.
Где-то между 1-й и 2-й частью потерялось важное объяснение - что именно мы делаем, решая матричное уравнение. У нас есть набор кортежей X (факты). Атрибутами которых могут быть в том числе и категориальные типы. Факты - это базисные кортежи. Далее на вход подается еще один кортеж с теми же атрибутами (но другими значениями). Наша задача - разложить данный входной кортеж в линейную комбинацию базисных. То есть найти такие веса для каждого базисного кортежа, чтобы их линейная комбинация (взвешенная сумма) давала (почти) требуемый (входной) кортеж. Поскольку идеального совпадения как правило не бывает, то мы ищем линейную комбинацию, которая наиболее близка ("почти" это и есть МНК). А для чего нам эта линейная комбинация? Чтобы использовать ее для оценки таргета (мне больше нравится термин "корень"). Поскольку теперь корень для входного кортежа тоже можно представить в виде линейной комбинации корней базисных кортежей.
Если же рассмотреть, как ведут себя в линейной комбинации значения категориальных атрибутов, то становится понятным, почему эти значения выписывают в отдельную колонку матрицы коэффициентов, записывая 1 в тех ячейках, где они встречаются. И понятно, почему такие матрицы становятся сильно разреженными.
Замечание правильное, - это конечно не евклидово пространство. Люди путают точечное произведение (координат) и скалярное. Потому что в ортогональном базисе они совпадают. Но тут нет никакой метрики, а значит, и "скалярного произведения" в его классическом понимании. Вы (и все мы) тут используете точечное произведение (dot product). Результат которого тоже скаляр, но оно не "скалярное". Пространства с метрикой тоже могут быть (те же графы, например). В них заданы элементы базиса, и между ними определены либо расстояния, либо скалярные произведения. И если базис не ортогональный, то приходится различать "точечное" и "скалярное" произведения.
Если вектор это точка (типа города на карте, как вам кажется), то у него нет направления. Поэтому. Точка - это точка, вектор - это разность точек (и эта разность действительно имеет направление), а список чисел - это просто кортеж. Такой вот нейминг, чтоб не смешивать понятия.
Возможно, придираюсь. Но вроде как отрезок - это не просто множество, а упорядоченное множество. В результате не совсем понятно, где использованы свойства просто множества, а где именно упорядоченного. Или раз речь про числа, то множество сразу подразумевается упорядоченным? Но на множестве абстрактных элементов тоже можно строить упорядоченные выборки. В общем, тут немного туманно получилось на мой взгляд.
Вообще формально понижение порядка симплекса можно реализовать через внешнее умножение на "обратные элементы". Которые определяются как A^(/A) = 1. Тогда можно умножить симплекс на сумму обратных вершин и получить его границу: (A^B^C) ^ (/A + /B + /C) = (A^B^C)^/A + (A^B^C)^/B + (A^B^C)^/C = (A^/A)^B^C - A^(B^/B)^C + A^B^(C^/C) = B^C - A^C + A^B Надо посмотреть, можно ли эти "обратные элементы" как-то связать с "обратными векторами" в ГА.
А, "вырожденное измерение" - это видимо то, что я называю нуль-вектором, - ортогонален всем векторам пространства, но его норма в плоском пространстве равна 0. Попытался выяснить у дипсика, чему соответствует в ГА граничный оператор - взятие границы симплекса. Ну, например, стандартная граница треугольника: d(A^B^C) = A^B - A^C + B^C. Он вначале уверенно заявил, что это скалярное умножение на этот самый "нуль-вектор". Но после уточняющих вопросов сдулся, и заявил, что "вопрос сложный". Может, вы в курсе? - наверняка должно быть что-то простое.
Впервые дошло, что ГА - это "возьмем некоммутативное произведение векторов, приравняем коммутативному (скалярному) и посмотрим, что из этого выйдет". И в целом это даже не вызывает отторжения в отличие от "возьмем и сложим скалярное и внешнее произведения", хотя, как показано, - оба постулата эквивалентны. Еще бы найти какую-то геометрическую интерпретацию произведения точек (в аффинной геометрии вектор - это разность точек), чтобы убедиться, что в центре находится геометрическое умножение, а "остальные планеты движутся вокруг".
Проблема в том, что вы не очень хорошо излагаете свои мысли
Ну что поделать - учимся еще. Это ж два разных умения - понять что-то самому и суметь донести это понимание до остальных. У многих авторов хабра второе получается намного лучше, согласен.
Как говорил классик - "А не пора ли нам, друзья мои, взяться за Уильяма нашего Шекспира?"
А строгость предписывает уход от развлечения в сторону кропотливого копания в мелочах.
Хабр же - это полу-познавательный, полу-развлекательный ресурс. Тут строгость ограничена, поскольку "строгость * понятность = константа".
Конкретно мне - слишком многое еще интересно, чтобы застревать на мелочах. Если кто-то что-то для себя нового уяснил - уже хорошо. Кому надо - те сами копнут глубже и найдут, что им нужно.
Так, вопросы пошли лучше. Давайте про одномерность шкалы (тем более, что подобный вопрос есть и от другого читателя). Почему мы называем шкалу одномерной, хотя на ней куча независимых (базисных) точек-границ.
Это достаточно глубокий и тонкий вопрос, на который я постараюсь как-то здесь ответить (поскольку сам им в свое время задавался), но не уверен, что объема одного коммента хватит.
Для простоты возьмем три точки a, b, c. Общепринято, что три точки задают пространство плоскости (вообще-то надо 4 точки, но не будем щас в это углубляться). Пространство в данном случае - это множество точек, которые можно задать как (барицентрические) линейные комбинации базиса. Ну то есть это все точки вида x = x_a a + x_b b + x_c c, где [x_a, x_b, x_c] - скаляры. Геометрически 3 точки - это треугольник с неизвестными длинами сторон (метрики нет).
Так задается неориентированное (аффинное) пространство. Поскольку оно неориентированное, то мы не можем в данном пространстве задать интервал двумя точками-границами. Ну как в треугольнике определить какую-то область 2-мя точками? Никак.
Но ситуация меняется, если мы добавляем условие (требование) ориентации, или упорядоченности базиса и пространства, который он задает. Например, мы говорим, что для вершин треугольника выполняется a < b < c. Более того, поскольку пространство должно быть упорядочено, то мы должны уметь сравнивать две любые его точки на больше-меньше. Это достаточно сильное требование. Которое убирает из пространства (треугольника) все точки кроме отрезков (линий), соединяющих вершины треугольника. Точки внутри отрезков (a, b) и (b, c) - упорядочены. Кроме того, поскольку b > a, то все точки из отрезка (a, b) меньше точек отрезка (b, c).
А вот точки отрезка (a, c) пропадают из пространства. Поскольку данные точки мы не можем сравнить с точкой b - мы не знаем, больше они или нет. Пока все понятно?
Итого, как только добавляется требование упорядоченности базиса, наше прекрасное двумерное пространство схлопывается до 4-х линий - до точки a, от a до b и т.д. Это необязательно прямые. Это множества (линии, если пространство непрерывно), на которых две точки (границы) задают интервал. Базис при этом остается 3-х точечным. Линия (a, b) никак не определяет линию (b, c) и наоборот. А линии (a, c) - не существует. Точнее она становится совокупностью двух линий (a, b) + (b, c). Вектор (a - c) есть, а вот точек вида x(t) = (1 - t) a + t c - нет. Мы не можем их сравнить с точкой b, => они не поддаются упорядочиванию, => они не входят в упорядоченное пространство.
Резюмируем. Направленное одномерное аффинное пространство - это совокупность связанных ненаправленных пространств (интервалов, линий), задаваемых упорядоченными точками (границами). Мерность пространства - это не сколько точек в базисе, а сколько нужно точек, чтобы задать область (множество между границами). Для одномерного пространства достаточно двух точек. Именно поэтому мы называем интервалы-отрезки одномерными. Даже если в базисе 100 точек.
Добавим еще для полноты, что направленное одномерное пространство может быть замкнутым ("после декабря идет январь", или в треугольнике добавили линию (a, c)). При задании направления на такой циклической шкале две точки вполне себе определяют интервал между ними.
И еще граф-дерево тоже внезапно оказывается одномерным. Две произвольные вершины такого графа однозначно задают путь (множество связанных вершин) между ними. Поэтому для графов-деревьев пересечение одномерных интервалов (из статьи) тоже работает.
Это про свойства аффинного пространства и линейных комбинаций элементов речь (с интервалами не связано). Мне кажется, что на этот вопрос я ответил выше.
Вот есть "Вася", а есть "Петя". А что такое ("Вася" + "Петя")/2? Это может оказаться Сережа, определенный на базисе из двух элементов. И тут отдельный целый мир.
Тут уже не столько про интервалы вопрос, сколько про свойства аффинного пространства.
Давайте внимательнее. Если вы взяли в качестве шкалы (оси, пространства) буквы алфавита, то точками в нем являются границы между буквами. А буквы являются интервалами. Можно даже усилить - базовыми (или базисными) интервалами. Поэтому сложение (разность) букв тут будет сложением (разностью) интервалов, а не точек. То есть не является аффинным вектором. (Можно, конечно, считать точками сами буквы, но мне сложно представить, что находится между буквами 'a' и 'б').
А вот такие векторы вполне себе возможны: v1 = [a - б], - это границы (вектор) интервала (a, б) и v2 = [г - д]. Соответственно, можно определить и точку x = [д + v1 (я просто адаптирую ваш пример). Это не буква (буквы, как мы помним - это интервалы) - это точка, (граница) на шкале. Отсюда следует, что v1 = [д - x, да. И соответственно v1 = [a - б] = [д - x. Откуда следует, что "один и тот же вектор можно задать разностями разных точек". Именно поэтому такие векторы называют иногда свободными.
Без специальных допущений точку x невозможно спроецировать на базисные точки оси. Это независимая точка (то есть наоборот - зависимая от базиса) пространства, определенная как линейная комбинация базисных точек (в данном случае - границ между буквами). В алфавите - 33 буквы (и 34 границы-точки), то есть возможна точка, определенная как комбинация всех 34-х базисных точек.
Но при желании вы можете создать линейный алфавит, который будет задан всего двумя точками. Например, так: x(t) = [a*(1-t) + я]*t, - здесь t - скалярный параметр. Это заведомо барицентрическая комбинация точек, которую можно интерпретировать и как уравнение прямой. Тогда можно считать (задать), что все остальные точки (границы букв) - это линейные комбинации всего двух точек.
Не, не надо меня в ваши топологии затягивать ). У нас вполне себе прикладная задача - нам код писать. И каждый прогер команды должен знать, что у него за параметры в функцию передаются - точки или интервалы. От этого зависит, какие у них свойства и что с ними можно делать.
Давайте расскажите им про "евклидовы топологии", "компактные пространства" и "замкнутые, но не открытые точки". Хотя наши, может, и выслушают с интересом, - они воспитанные ).
Я уже писал в статье, что "множество точек (границ)" само может образовывать направленную шкалу и становиться таким образом интервалами (это про ваш пример с [a, a]). Но простым людям ни к чему такие навороты.
Утверждение "чем более объекты похожи, тем меньше между ними расстояние" - кажется логичным только на первый взгляд. На самом же деле "расстояние" между объектами и "степень похожести" не всегда связаны, и надо уточнять, о чем именно речь.
Простой пример - узлы графа. Между узлами связного графа есть "резистивное расстояние", - чем дальше узлы друг от друга, - тем это расстояние больше.
Но похожесть узлов (которую тоже можно рассчитать, например, через SVD) - связана с конфигурацией соседей - сколько входящих/исходящих связей у узлов. Ну и понятно, что "похожие (по степени) узлы" могут находиться друг от друга очень далеко (в резистивной метрике).
Спасибо за ответы (ну и за всю серию статей, конечно). - Я поговорил еще с ИИ, чтобы освежить свое понимание. В ходе беседы мы тоже забрались достаточно глубоко, чтобы это можно было как-то кратко и связно изложить в комментариях. Так что пусть остается евклидовым ).
Вот координаты точки x(t) в аффинном базисе из двух точек (a, b):
x(t) = a*(1 - t) + b*t, где t - скаляр. Метрика не нужна, - мы не знаем расстояние |a, b|. Но чем ближе t к 0, тем ближе точка x к a. Потому что ее барицентрическая координата x_a становится больше.
---
Метрика пространства - это не определение способа измерения расстояний. Это задание самих расстояний между базисными элементами пространства.
---
Вообще если и вводить метрические термины, то уместнее это было бы сделать во 2-й части. Так как МНК можно переформулировать в метрических тензорах и координатах. "Квадратная матрица признаков" - это метрический тензор (грамиан) признаков. Его обращение - дуальный метрический тензор и т.д.
Да, это правильный вопрос - что такое близость? Кажется, что в пространствах без метрики близости быть не может. Но это заблуждение. Метрика делает пространство жестким, оформленным. А близость есть и без нее.
Простой пример - аффинное пространство,- метрики нет. Однако линейные комбинации (элементов пространства) есть. И мы можем выразить, например, треугольник через базисный (треугольник), - построив его на серединах сторон базисного. И определить, что его площадь будет в 4 раза меньше базисного. Это все следствие линейных комбинаций. - Метрики нет, но мы знаем, что площадь в 4 раза меньше. А чем ближе будут точки нашего вписанного треугольника к базовым, - тем будет ближе сам треугольник к базисному. Вот и появилось "ближе".
Отличие лишь в том, что в аффинном пространстве не задана форма базисного треугольника, - он может быть любым, но соотношение площадей будет справедливо для любой формы.
Я привел пример треугольника, потому что на нем визуально понятнее, что метрика фиксирует форму. Но тоже самое можно было бы показать и на отрезках и на любых других объектах.
В регрессиях нечто подобное, - нам нужна только близость (входного кортежа к базисным). И метрика тут не нужна (да и откуда бы ей взяться).
Как только мы заявляем, что точечное произведение является скалярным, то автоматически объявляем ортогональность неких базисных векторов. Но во всех обычных примерах эта ортогональность ниоткуда не вытекает (почему "мужской пол" должен быть ортогонален "возрасту" и что это вообще значит?). И непонятно, зачем надо напирать на "евклидовость" пространства.
Нам достаточно уметь определять "близости линейных комбинаций" (ну или "близости координат"). Подразумевает ли это обязательную евклидовость? Вроде как нет. Нигде ортогональность базиса не используется.
Где-то между 1-й и 2-й частью потерялось важное объяснение - что именно мы делаем, решая матричное уравнение.
У нас есть набор кортежей X (факты). Атрибутами которых могут быть в том числе и категориальные типы. Факты - это базисные кортежи.
Далее на вход подается еще один кортеж с теми же атрибутами (но другими значениями).
Наша задача - разложить данный входной кортеж в линейную комбинацию базисных. То есть найти такие веса для каждого базисного кортежа, чтобы их линейная комбинация (взвешенная сумма) давала (почти) требуемый (входной) кортеж. Поскольку идеального совпадения как правило не бывает, то мы ищем линейную комбинацию, которая наиболее близка ("почти" это и есть МНК).
А для чего нам эта линейная комбинация? Чтобы использовать ее для оценки таргета (мне больше нравится термин "корень"). Поскольку теперь корень для входного кортежа тоже можно представить в виде линейной комбинации корней базисных кортежей.
Если же рассмотреть, как ведут себя в линейной комбинации значения категориальных атрибутов, то становится понятным, почему эти значения выписывают в отдельную колонку матрицы коэффициентов, записывая 1 в тех ячейках, где они встречаются. И понятно, почему такие матрицы становятся сильно разреженными.
Замечание правильное, - это конечно не евклидово пространство. Люди путают точечное произведение (координат) и скалярное. Потому что в ортогональном базисе они совпадают. Но тут нет никакой метрики, а значит, и "скалярного произведения" в его классическом понимании. Вы (и все мы) тут используете точечное произведение (dot product). Результат которого тоже скаляр, но оно не "скалярное".
Пространства с метрикой тоже могут быть (те же графы, например). В них заданы элементы базиса, и между ними определены либо расстояния, либо скалярные произведения. И если базис не ортогональный, то приходится различать "точечное" и "скалярное" произведения.
Если вектор это точка (типа города на карте, как вам кажется), то у него нет направления. Поэтому. Точка - это точка, вектор - это разность точек (и эта разность действительно имеет направление), а список чисел - это просто кортеж. Такой вот нейминг, чтоб не смешивать понятия.
Возможно, придираюсь. Но вроде как отрезок - это не просто множество, а упорядоченное множество. В результате не совсем понятно, где использованы свойства просто множества, а где именно упорядоченного. Или раз речь про числа, то множество сразу подразумевается упорядоченным? Но на множестве абстрактных элементов тоже можно строить упорядоченные выборки. В общем, тут немного туманно получилось на мой взгляд.
Вообще формально понижение порядка симплекса можно реализовать через внешнее умножение на "обратные элементы". Которые определяются как A^(/A) = 1. Тогда можно умножить симплекс на сумму обратных вершин и получить его границу:
(A^B^C) ^ (/A + /B + /C) = (A^B^C)^/A + (A^B^C)^/B + (A^B^C)^/C = (A^/A)^B^C - A^(B^/B)^C + A^B^(C^/C) = B^C - A^C + A^B
Надо посмотреть, можно ли эти "обратные элементы" как-то связать с "обратными векторами" в ГА.
А, "вырожденное измерение" - это видимо то, что я называю нуль-вектором, - ортогонален всем векторам пространства, но его норма в плоском пространстве равна 0.
Попытался выяснить у дипсика, чему соответствует в ГА граничный оператор - взятие границы симплекса. Ну, например, стандартная граница треугольника: d(A^B^C) = A^B - A^C + B^C.
Он вначале уверенно заявил, что это скалярное умножение на этот самый "нуль-вектор". Но после уточняющих вопросов сдулся, и заявил, что "вопрос сложный". Может, вы в курсе? - наверняка должно быть что-то простое.
Впервые дошло, что ГА - это "возьмем некоммутативное произведение векторов, приравняем коммутативному (скалярному) и посмотрим, что из этого выйдет". И в целом это даже не вызывает отторжения в отличие от "возьмем и сложим скалярное и внешнее произведения", хотя, как показано, - оба постулата эквивалентны.
Еще бы найти какую-то геометрическую интерпретацию произведения точек (в аффинной геометрии вектор - это разность точек), чтобы убедиться, что в центре находится геометрическое умножение, а "остальные планеты движутся вокруг".
Ну что поделать - учимся еще. Это ж два разных умения - понять что-то самому и суметь донести это понимание до остальных. У многих авторов хабра второе получается намного лучше, согласен.
) Интересный комментарий. Вот это мне нравится:
Как говорил классик - "А не пора ли нам, друзья мои, взяться за Уильяма нашего Шекспира?"
Хабр же - это полу-познавательный, полу-развлекательный ресурс. Тут строгость ограничена, поскольку "строгость * понятность = константа".
Конкретно мне - слишком многое еще интересно, чтобы застревать на мелочах. Если кто-то что-то для себя нового уяснил - уже хорошо. Кому надо - те сами копнут глубже и найдут, что им нужно.
Нравятся мне советы посторонних - "вам бы надо разобраться". Ну вы-то понятно, во всем давно разобрались.
Про одномерность ответил ниже. Хотя не уверен, что вам это интересно.
Так, вопросы пошли лучше. Давайте про одномерность шкалы (тем более, что подобный вопрос есть и от другого читателя). Почему мы называем шкалу одномерной, хотя на ней куча независимых (базисных) точек-границ.
Это достаточно глубокий и тонкий вопрос, на который я постараюсь как-то здесь ответить (поскольку сам им в свое время задавался), но не уверен, что объема одного коммента хватит.
Для простоты возьмем три точки a, b, c. Общепринято, что три точки задают пространство плоскости (вообще-то надо 4 точки, но не будем щас в это углубляться). Пространство в данном случае - это множество точек, которые можно задать как (барицентрические) линейные комбинации базиса. Ну то есть это все точки вида x = x_a a + x_b b + x_c c, где [x_a, x_b, x_c] - скаляры. Геометрически 3 точки - это треугольник с неизвестными длинами сторон (метрики нет).
Так задается неориентированное (аффинное) пространство. Поскольку оно неориентированное, то мы не можем в данном пространстве задать интервал двумя точками-границами. Ну как в треугольнике определить какую-то область 2-мя точками? Никак.
Но ситуация меняется, если мы добавляем условие (требование) ориентации, или упорядоченности базиса и пространства, который он задает. Например, мы говорим, что для вершин треугольника выполняется a < b < c. Более того, поскольку пространство должно быть упорядочено, то мы должны уметь сравнивать две любые его точки на больше-меньше. Это достаточно сильное требование. Которое убирает из пространства (треугольника) все точки кроме отрезков (линий), соединяющих вершины треугольника. Точки внутри отрезков (a, b) и (b, c) - упорядочены. Кроме того, поскольку b > a, то все точки из отрезка (a, b) меньше точек отрезка (b, c).
А вот точки отрезка (a, c) пропадают из пространства. Поскольку данные точки мы не можем сравнить с точкой b - мы не знаем, больше они или нет. Пока все понятно?
Итого, как только добавляется требование упорядоченности базиса, наше прекрасное двумерное пространство схлопывается до 4-х линий - до точки a, от a до b и т.д. Это необязательно прямые. Это множества (линии, если пространство непрерывно), на которых две точки (границы) задают интервал. Базис при этом остается 3-х точечным. Линия (a, b) никак не определяет линию (b, c) и наоборот. А линии (a, c) - не существует. Точнее она становится совокупностью двух линий (a, b) + (b, c). Вектор (a - c) есть, а вот точек вида x(t) = (1 - t) a + t c - нет. Мы не можем их сравнить с точкой b, => они не поддаются упорядочиванию, => они не входят в упорядоченное пространство.
Резюмируем. Направленное одномерное аффинное пространство - это совокупность связанных ненаправленных пространств (интервалов, линий), задаваемых упорядоченными точками (границами). Мерность пространства - это не сколько точек в базисе, а сколько нужно точек, чтобы задать область (множество между границами). Для одномерного пространства достаточно двух точек. Именно поэтому мы называем интервалы-отрезки одномерными. Даже если в базисе 100 точек.
Добавим еще для полноты, что направленное одномерное пространство может быть замкнутым ("после декабря идет январь", или в треугольнике добавили линию (a, c)). При задании направления на такой циклической шкале две точки вполне себе определяют интервал между ними.
И еще граф-дерево тоже внезапно оказывается одномерным. Две произвольные вершины такого графа однозначно задают путь (множество связанных вершин) между ними. Поэтому для графов-деревьев пересечение одномерных интервалов (из статьи) тоже работает.
Это про свойства аффинного пространства и линейных комбинаций элементов речь (с интервалами не связано). Мне кажется, что на этот вопрос я ответил выше.
Вот есть "Вася", а есть "Петя". А что такое ("Вася" + "Петя")/2? Это может оказаться Сережа, определенный на базисе из двух элементов. И тут отдельный целый мир.
Тут уже не столько про интервалы вопрос, сколько про свойства аффинного пространства.
Давайте внимательнее. Если вы взяли в качестве шкалы (оси, пространства) буквы алфавита, то точками в нем являются границы между буквами. А буквы являются интервалами. Можно даже усилить - базовыми (или базисными) интервалами. Поэтому сложение (разность) букв тут будет сложением (разностью) интервалов, а не точек. То есть не является аффинным вектором. (Можно, конечно, считать точками сами буквы, но мне сложно представить, что находится между буквами 'a' и 'б').
А вот такие векторы вполне себе возможны: v1 = [a - б], - это границы (вектор) интервала (a, б) и v2 = [г - д]. Соответственно, можно определить и точку x = [д + v1 (я просто адаптирую ваш пример). Это не буква (буквы, как мы помним - это интервалы) - это точка, (граница) на шкале. Отсюда следует, что v1 = [д - x, да. И соответственно v1 = [a - б] = [д - x. Откуда следует, что "один и тот же вектор можно задать разностями разных точек". Именно поэтому такие векторы называют иногда свободными.
Без специальных допущений точку x невозможно спроецировать на базисные точки оси. Это независимая точка (то есть наоборот - зависимая от базиса) пространства, определенная как линейная комбинация базисных точек (в данном случае - границ между буквами). В алфавите - 33 буквы (и 34 границы-точки), то есть возможна точка, определенная как комбинация всех 34-х базисных точек.
Но при желании вы можете создать линейный алфавит, который будет задан всего двумя точками. Например, так: x(t) = [a*(1-t) + я]*t, - здесь t - скалярный параметр. Это заведомо барицентрическая комбинация точек, которую можно интерпретировать и как уравнение прямой. Тогда можно считать (задать), что все остальные точки (границы букв) - это линейные комбинации всего двух точек.
Бинго!
Не, не надо меня в ваши топологии затягивать ). У нас вполне себе прикладная задача - нам код писать. И каждый прогер команды должен знать, что у него за параметры в функцию передаются - точки или интервалы. От этого зависит, какие у них свойства и что с ними можно делать.
Давайте расскажите им про "евклидовы топологии", "компактные пространства" и "замкнутые, но не открытые точки". Хотя наши, может, и выслушают с интересом, - они воспитанные ).
Я уже писал в статье, что "множество точек (границ)" само может образовывать направленную шкалу и становиться таким образом интервалами (это про ваш пример с [a, a]). Но простым людям ни к чему такие навороты.