Математика (и логика как формальная наука) понятием "наблюдатель" не оперирует. Фраза "растворяется в формализме как набор переменных или граничных условий" - красивая метафора, но не более того, по существу она ничего не говорит.
Да, математика не оперирует «наблюдателем» – как и классическая физика до квантовой механики. Но в неявном виде эта структура в ней присутствует.
В ТНР «наблюдатель» – это содержательное имя для инварианта в порождающем (генеративном) подходе. В отличие от классического анализа, где инвариант вычисляется для готового объекта, здесь мы начинаем с самой операции соотнесения, и пространство порождается как её орбита. Инвариант – структурное условие сборки, которого нет среди объектов системы, но есть как организующий принцип. Он формализован, например, в следующих концепциях:
Эрлангенская программа Клейна (Википедия): геометрия определяется через свойства, инвариантные относительно группы преобразований. Всякая группа требует базиса (системы отсчёта) – центра инвариантности. Это и есть «наблюдатель», без фиксации которого геометрию определить невозможно.
Терминальный объект в теории категорий (Википедия): свойства объектов задаются стрелками (морфизмами). Выделить конкретный элемент множества X можно только как отображение из терминального объекта-точки: 1 -> X. Этот терминал играет роль абстрактного «наблюдателя»: в бесточечной математике элемент определяется не изнутри множества, а через внешнее соотнесение с единичным объектом.
2.Число 3 взято откровенно из воздуха... 3. После получения числа 3 начинается собственно нумерология...
Вы путаете размерность пространства со сложением разнородных объектов – элементов и функций на них (1 + 2 + 2 = 5). Это и есть «яблоки с апельсинами».
В ТНР число 3 – не результат подсчёта. Это размерность булева куба Q₃ (число независимых осей). В теории чисел та же геометрия реализуется на бесквадратных числах (Википедия): структура их делителей, представленная в виде диаграммы Хассе (Википедия), изоморфна булеву кубу. Конкретные простые при этом не имеют значения:
Для 2, 3, 5 получаем 30 = 2 3 5. Берём другие простые – 7, 11, 13 – и получаем 1001 = 7 11 13. Его активные делители {7, 11, 13, 77, 91, 143} образуют точно такой же октаэдр с тремя каппа-парами: (7 <-> 143), (11 <-> 91), (13 <-> 77). Структура инвариантна к числовому наполнению.
Эта арифметика делителей напрямую переносится на геометрию графов – развёртка по числу осей (рангу k) выглядит так:
Ранг k=3 (3D): 2³ = 8 вершин (куб). Активная сцена (2³ - 2 = 6) – октаэдр: первая объёмная фигура и самый наглядный ранг, на котором уже представлены все типы отношений ТНР (инверсия каппа, дуальность, граница). Все 6 вершин напрямую привязаны к полюсам, промежуточных слоёв нет – это предел чистой границы.
Ранг k=4 (4D): 2⁴ = 16 вершин. Активная сцена (2⁴ - 2 = 14) впервые расщепляется: средний слой веса 2 (по Хэммингу) отделяется от полюсов и образует внутренний октаэдр (6 вершин), внешняя оболочка – куб (8 вершин). Вместе 14 вершин дают дуальную пару Куб–Октаэдр, граф инцидентности которой – граф Хивуда, свободный скелет плоскости Фано.
Изоморфизм D(N) ~ Qₖ точен для любого числа k неквадратичных простых множителей. Но при росте размерности циклическая симметрия осей не распадается на подорбиты лишь тогда, когда число осей 2ᵏ⁻¹ - 1 – простое число Мерсенна.
Ранги разделяются и по чётности k:
Нечётные k >= 5 (k = 5, 7, 9, 11, 13…): показатель k-1 всегда чётный (= 2m), и число осей раскладывается по разности квадратов: 2²ᵐ - 1 = (2ᵐ - 1)(2ᵐ + 1). Оно всегда составное – 15 = 3 5, 63 = 7 9, 1023 = 31 33, 4095 = 63 65 и т.д. Симметрия осей дробится на короткие подорбиты.
Чётные k (k = 4, 6, 8…): показатель k-1 нечётный, разложения нет, и только здесь число осей может быть простым Мерсенна (7 для k=4, 31 для k=6, 127 для k=8). Симметрия остаётся единой.
(P.S. Все пять Платоновых тел последовательно разворачиваются в ТНР: тетраэдр (4 вершины), октаэдр (6) и куб (8) реализуются на младших этажах башни (ранги 2, 3, 4). К икосаэдру (12 вершин) и дуальному ему додекаэдру система переходит через 12 рёбер октаэдра ранга 3: отмечая на них точки в отношении золотого сечения φ, мы получаем 12-точечный хроматический круг.
Уникальность фреймворка ТНР в том, что он связывает Платоновы тела, проективные плоскости (Фано) и исключительные алгебры с делением (октонионы) в единую генетическую математическую систему, а не рассматривает их как изолированные феномены.)
Кант в своей теории познания показал, что избавиться от субъективности не возможно. Ее можно только зафиксировать до определенного уровня, что возможно и имеете в виду.
Кажется у Канта так: убрать субъекта нельзя, но он разделял эмпирического (психика «в мире») и трансцендентального (чистая рамка познания, «вне мира»). В моем фреймворке фиксируется субъективность именно на втором уровне: «Субъект–Объект» здесь ближе к «Пространство–Объект» — не вещь среди вещей, а структурное условие, при котором объекты вообще различимы.
На Хабре была статья о исследовании со спорными выводами...
Интересно про . По теореме Гурвица нормированные алгебры с делением над ℝ существуют лишь в размерностях 1, 2, 4, 8 (ℝ, ℂ, ℍ, 𝕆); дальше — делители нуля, слияние понятий. Im 𝕆 семимерно, S⁶ — непрерывная тень этого предела, а её дискретный скелет — плоскость Фано PG(2,2).
На картинке это наглядно. В топологии каркаса ровно одна позиция апекса. Апекс — сам оператор инверсии κ: граница, сквозь которую наблюдатель проецирует дискретный мир. Как только апекс задан, шесть точек автоматически раскалываются на Материю (треугольник, вес 1) и ее зеркальное отражение (окружность, вес 2) — это κ-пары R₃.
И к закону Вебера–Фехнера: в числовой модели радиус от наблюдателя логарифмичен, (симметричен: , так как ). Эта геометрия делает логарифмический отклик умвельта структурно необходимым при квантовании сигнала.
Спасибо за развернутый комментарий. Но все-таки позволю себе с вами не согласиться по пунктам:
«Вот взяли вы 12 каких-то чисел. Вы могли бы точно так же написать числа от 1 до 12. Вы потом долго расписываете как этот круг можно разбить на 2, 3, 4 и 6 кусков. Ну… да? Это потому что 12 делится на 2,3,4 и 6. При чем тут ваша модель разделения?»
«Вообще, вся ваша статья - это удивление каким-то симметриям циклической группы и поиск каких-то совпадений.»
Сама по себе и её подгруппы/циклы () — да, свойство любых 12 точек на круге, тут ничего нетривиального нет. Утверждение статьи не в этом, а в том, что конкретная арифметическая разметка (делители 900 на базе делителей 30) воспроизводит то же разбиение (не абстрактное существование подгрупп, а конкретные группы точек), что независимо возникло в музыке и в цвете:
6 диаметральных пар (тритоны / ): Включают 3 первичные пары (, , , где произведение равно 30) и 3 промежуточные пары (, , , где произведение равно 900). Все они выражают операцию инволюции (дополнения) в виде переворота всех трех осей в экспонентах.
4 группы по 3 вершины (увеличенные трезвучия / ): Включают 2 первичных треугольника (RGB и CMY ), соответствующих двум параллельным противоположным граням октаэдра на кубе , и 2 промежуточных треугольника (внутренние сечения икосаэдра).
3 группы по 4 вершины (уменьшенные септаккордные «квадраты» / ): Соответствуют 3 взаимно перпендикулярным золотым прямоугольникам, на которые разбиваются все 12 вершин правильного икосаэдра.
2 группы по 6 вершин (целотоновые шкалы / ): Соответствуют разбиению на первичную шестёрку октаэдра (RGB/CMY) и промежуточную шестёрку смесей.
12-точечный хроматический цикл (): Строится добавлением середин рёбер (промежуточных вершин) в 6-цикл октаэдра (расстояние Хэмминга = 1 по шагам Гамильтонова пути). Любая расстановка чисел вне этого класса разрушит метрику и порвёт связь «шаг по кругу = смена одного простого множителя».
«Свойства музыкальной шкалы и цветового круга никак не связаны с вашими числами… Соседние ноты отличаются по частоте в одинаковое количество раз… Никак с вашими числами это не связано.»
Равномерная темперация () — компромиссное приближение чистого строя, построенного на отношениях малых простых: октава 2:1, квинта 3:2, терция 5:4. Квинтовый круг замыкается в 12 нот именно потому, что шаг квинты (7 полутонов) и период октавы (12) взаимно просты — связь с 2, 3, 5 не притянута задним числом, а исторически первична.
Аналогия «3 канала RGB (три оси цветового пространства) 3 простых числа (три оси экспонент)» сама по себе слабая, если бы дело было в совпадении цифры 3. Но и цвет, и число делителей 30 независимо оказываются проекциями одной 3-осевой структуры — октаэдра с группой автоморфизмов (гипероктаэдральная группа), и оба поддаются одному и тому же разложению на оси (лёгкость/DC отделяется от хроматики измеримо, хроматика раскладывается на цикл и оппонентные оси). Это структурное соответствие через общую группу симметрий, а не совпадение по числу каналов.
«Точно такие же “интересные” факты вы бы нашли, если бы изначально запихали числа в круг в порядке 2, 6, 3, 15, 5, 10.»
Нет — этот порядок не один из многих равноценных. В координатах экспонент это путь по рёбрам куба: , где каждый шаг меняет ровно одну координату (Хэмминг=1). Такой обход существует не в единственном экземпляре в абсолютном смысле, а с точностью до симметрий самой фигуры: из 720 перестановок шести точек ровно 12 сохраняют все три хэмминговых отношения разом (это диэдральная группа обхода) — то есть все “правильные” порядки получаются друг из друга поворотом/отражением октаэдра, а не подбираются произвольно. Любая расстановка вне этого класса разорвёт связь “шаг круга = смена одного простого множителя”.
«Арифметическое выражение этого факта: произведение двух соседних делителей числа 30 даёт делитель промежуточной вершины… У вас каждая промежуточная вершина по определению произведение…»
«То, что все числа делители 900… Ну так вы 900 так и нашли, видимо…»
«Вот у вас там в икосаэдре изумрудный () соседствует с 3, 5 и 3·5. Почему 3 получилась в квадрате, а 5 - нет?»
За этим стоит вполне проверяемый механизм:
Геометрия. Середина ребра куба = сумма векторов его двух концов. Координаты первичных вершин — из (делители 30 без квадратов), поэтому сумма автоматически попадает в — решётку делителей (при этом полюса/пределы решётки [число 1] и [число 900] исключаются из активной сцены так же, как исключались полюса и для исходного октаэдра). Это неизбежно для любых двух соседей, не результат проверки.
Арифметика. Сложение показателей = умножение чисел. Пример — изумрудный : сосед зелёный () и сосед циан (), произведение . Тройка в квадрате, потому что есть у обоих соседей (), пятёрка в первой степени — только у одного (). Жёстко следует из того, кто именно соседи (а расстановка соседей сама вынуждена гамильтоновым обходом октаэдра.
Число 900 — не НОК (там нет операции наименьшего общего кратного, 900 — просто квадрат 30), и его равенство не отражает отдельной “алгебраической строгости” — это прямое следствие пункта 1: сумма двух показателей из не превышает 2 (а крайние полюса и исключены).
Вершины икосаэдра — рёбра октаэдра (по одной вершине на ребро), но как делить ребро — вопрос геометрии. Деление пополам даёт кубооктаэдр (ось 4-го порядка); только золотое сечение () даёт правильный икосаэдр (ось 5-го порядка). Это не следствие показателей степеней, а отдельный вход в конструкцию.
«Вон, какие-то конкретные грани октаэдра дают “интересные” тройки, но тетраэдр симметричен, а остальные грани ничего интересного не дают…»
Видимо, имелся в виду октаэдр. У него между любыми двумя из шести вершин расстояние Хэмминга принимает одно из трёх значений, и все 15 пар (6+6+3) разложены на них без остатка, а не выборочно:
Хэмминг=2 (6 пар) — два треугольника RGB и CMY, терция.
Хэмминг=3 (3 пары) — три антиподальные диагонали через центр, тритон/дополнительный цвет.
Это не выбор “интересных” граней, а исчерпывающая классификация всех связей по единственной доступной мере различия — числу несовпадающих координат.
«Общий закон: чем симметричнее фигура, тем меньше у неё привязки (якоря). Псевдофилософский бред. Да симметрии красивы и чем более сложная группа симметрии, тем большими способами ее можно вращать, тем больше всяких псевдоглубоких наблюдений о ней можно сделать.»
Это конкретное и проверяемое утверждение теории групп. У аккорда есть стабилизатор — сдвиги, переводящие его сам в себя, — и орбита — число различных положений на круге. У увеличенного трезвучия сдвиг на 4 полутона переводит его в себя (стабилизатор нетривиален), поэтому различных положений всего 3, и аккорд не указывает однозначно тонику. У мажорного трезвучия стабилизатор тривиален, орбита полная (12 положений), и аккорд однозначно задаёт тонику. Это стандартный аппарат transformational theory (Lewin, Tymoczko).
Наблюдатель в моей модели – не физический объект. Это структурный инвариант, организующий сам акт различения. Он не лежит на вершинах графа (не является состоянием системы, прибором или нейроном), а выступает условием, при котором система способна удерживать стабильные границы.
Но если сопоставить мою toy-модель на октаэдре со статьей Филдса, то три базовых требования к наблюдателю находят прямые физические проекции:
У Филдса: наблюдение требует разделения Вселенной на наблюдателя и наблюдаемое (переход от запутанного состояния к сепарабельному ), что создает физическую границу раздела.
В моей модели: это удаление полюсов 000 (все выключено) и 111 (все слито). Оставшиеся 6 вершин активной сцены – это и есть граница раздела. Без этого зазора (если бы система находилась в полюсах) ни о каком наблюдении не могло бы идти речи.
След (физическая запись)
У Филдса: запись информации (след) подчиняется принципу Ландау – изменение 1 бита памяти стоит не менее рассеиваемой энергии.
В моей модели: требование следа задается отношением (расстояние Хэмминга = 1, цикл ). Шаг по ребру этого цикла – это физический акт перезаписи одного бита. Каждый геометрический шаг по графу в физическом мире имеет строгую термодинамическую цену.
У Филдса: чтобы избежать бесконечной цепочки «наблюдателей за наблюдателями», вводится взаимное измерение на границе (петля обратной связи между и ).
В моей модели: самозамкнутость решена геометрически. Три отношения (, , ) полностью исчерпывают все возможные пары из 6 вершин сцены без остатка. Нам не нужен внешний арбитр (над-наблюдатель), так как структура содержит все отношения в себе. Сам наблюдатель здесь – это центр симметрии октаэдра: точка пересечения всех трех осей комплементарных пар (). Он не лежит среди вершин-состояний, но удерживает всю структуру.
За рамками этой простой графовой модели вся описанная структура строго формализована на категорном уровне (репозиторий на GitHub). В этой универсальной рамке «сепарабельность» границы доказана как свободное действие оператора дополнения (уравнение принципиально неразрешимо на дискретном носителе, что не дает наблюдателю и миру слиться в неразличимую кашу).
Сам наблюдатель категорно выведен как терминальный объект (предельный сток информации). Из любого состояния сцены в него ведет единственный морфизм, но из него обратно стрелок нет (). Это пресекает бесконечный регресс измерений на уровне самой структуры категории, без привлечения внешнего арбитра. При этом наблюдатель находится не на границе раздела, а в центре симметрии (инварианте) всей системы отношений.
Физическая термодинамика Ландау (запись следа ценой энергии) ложится на категорный «Шов» – границу между дискретной стороной носителя (где происходит шаг изменения) и непрерывной стороной (где лежит мера и происходит рассеяние).
Да, терминология может казаться сложной, но она скорее непривычна и за ней стоит простая интуиция. Дискуссия тут – отличный пример того, как споры о сознании буксуют из-за путаницы уровней абстракции:
Функциональный (celen, michael_v89): здесь сознание сводят к моделированию себя или поведению. Но знание агентом своего ID или роли – это лишь переменные внутри кадра (объекты). Это усложнение сцены, но не создание самой "камеры" (субъекта), которая этот кадр фиксирует.
Алгоритмический (eandr_67): позиция «компьютер – это замкнутая машина Тьюринга, поэтому он заперт в рамках дискретности". Но физический компьютер (и мозг) – это открытые системы, сшитые с непрерывной тепловой средой. При этом мозг не вычисляет континуум с бесконечной точностью (он полон шума), а выживает за счет топологической стабильности аттракторов. Дискретный синтаксис автомата и непрерывная граница – это две стороны одной медали.
Семантический скептицизм (SER_26): списание всего на "вопрос определений". Но та же эмерджентность в топологии – не магия, а строгое следствие роста размерности системы (например, как с ростом размерностей булева куба меняется геометрия его проекции к центру).
Рассмотрите три минимальных требования к системе, претендующей на наличие Наблюдателя:
1. Позиционное (Дистанция): различение и различаемое не должны совпадать. В самой структуре должна быть дистанция между ролью «то, относительно чего проводится различение» (наблюдатель) и «то, что различается» (сцена).
2. След (Регистрация): акт наблюдения должен оставлять фиксируемый след. Состояние системы "до" и "после" должно различаться, и это различие должно распознаваться самой системой.
3. Самозамкнутость (Автономия): система должна замыкать критерий различения на себя. Если наблюдатель полностью вынесен за ее пределы, мы уходим в бесконечный регресс мета-наблюдателей.»
Такой подход переводит спор из бесплодной философии («может ли машина чувствовать») в плоскость системной архитектуры. Он позволяет строго отсеять системы, которые заведомо не способны иметь субъектность, и обсуждать конкретные топологии — то, как именно сшить дискретные переходы автомата с непрерывной геометрией его границ.
Я не могу развернуто ответить про границы и самоидентификацию объектов, но это и ненужно, так как сперва необходимо превратить данную теорию в фальсифицируемую исследовательскую программу и только по ее результатам делать заключения.
Боюсь, что пока вы с этим не разберетесь - всегда будет путаница между тем, кто наблюдает, и объектом наблюдения. Кибернетика второго порядка уже полвека пытается внедрить наблюдателя объектом в структуру наблюдения.
А Стивен Вольфрам, всю жизнь строивший Вселенную на клеточных автоматах, в итоге пришел к тому, что без аксиомы «вычислительного наблюдателя» (computational observer) его дискретный граф переходов не рождает физику, оставаясь мертвой бесконечной кашей состояний.
Про квантовые вычисления - тут разные уровни ограничений. Теория алгоритмов (неразрешимость, вычислимость) – про то, какие функции вообще вычислимы, независимо от железа. Квантовый компьютер не вычисляет ничего, что не вычислимо на МТ (BQP ⊆ вычислимые функции) – он меняет сложность (быстрее для некоторых задач), а не границу вычислимости. Так что мой первый абзац и не касался ограничений на реализацию – только на то, что в принципе разрешимо, а что нет. Это ограничение остаётся и для квантовых машин.
Про «я/не-я» - согласен, что если понимать это как вопрос идентичности объекта (корабль Тесея, отражение, волос), там действительно всё зависит от интерпретации и строгой границы нет. Но я не про это. Граница, о которой речь, – не «какие физические части считать мной», а операционное различение между тем, кто моделирует, и тем, что моделируется в самореферентной системе. Это необходимо для того, чтобы вообще было «различение» как акт – не для классификации объектов на «моё» и «чужое». Мы опять упираемся в проблему определения наблюдателя и путаем субъект, как носитель различения, и объекты, которые различает наблюдатель. Между наблюдаем и объектом наблюдения – всегда есть дистанция. Если дистанции нет, то наблюдатель и наблюдение схлопываются. Даже в своем восприятии, мысли и чувства они ВАШИ, но это не вы как наблюдатель. Поэтому философы до сих пор не имеют ответа на вопрос «кто я». Это похоже на пространство, которое не является ни одним из объектов, но все включает.
Если ваш вопрос – как формализовать сознание/разум как способ решать сложные динамические задачи на ограниченных ресурсах за лимитированное время, – это отдельная и вполне честная постановка, но она не отменяет исходный вопрос поста (если я правильно понял): есть ли в такой системе структурная позиция, которая сама не редуцируется к одному из вычисляемых состояний. Можно быть эффективным решателем задач и одновременно не иметь такой позиции - это разные измерения проблемы.
Тут стоит разделить два разных утверждения. Одно — что вычисление на дискретной машине ограничено теорией алгоритмов (неразрешимость, невычислимые функции) — это верно и не обсуждается. А следствие «нет доступа к непрерывному» — некорректно.
Спектр цвета непрерывен, а у человека — всего четыре дискретных датчика (три колбочки и один тип палочек), и восприятие цвета целиком собирается из показаний этих четырёх примитивов. Тем не менее компьютер — дискретная система с конечной точностью — прекрасно работает с этим непрерывным пространством: система управления цветом (ICC-профили, цветопробa) добивается того, что напечатанный на принтере цвет и цвет на мониторе воспринимаются одинаково при эталонных условиях просмотра. Дискретная выборка не мешает системе выйти к структуре континуума — она просто выходит к ней не «вычислением всех точек», а через инвариант (в данном случае — метамерное соответствие, одинаковый отклик датчиков при разных спектрах).
В посте автора граница между «я» и «не-я» уже подразумевает непрерывность — иначе она сама стала бы ещё одним дискретным состоянием и потребовала бы новой границы. Так что аргумент «дискретное — значит, отрезано от континуума» слишком силён и здесь: сама эта конструкция его обходит.
Удивительно созвучно тому, над чем я сейчас работаю. Вы пишете о вхождении наблюдателя в структуру и о рекурсии как механизме — хочу артикулировать то, что вы, кажется, используете, но явно не проговариваете.
Граница - не состояние. Разделение «я»/«не-я» требует границы. Но если граница - просто ещё одно дискретное состояние автомата, начинается регресс: нужна граница границы, и так по кругу. Она должна быть иной природы - не элементом множества, а самой связностью между сторонами. Это как ребро монеты, разделяющее две дискретные стороны, или единственный непрерывный край у ленты Мёбиуса, очерчивающий в проекции две петли лемнискаты (полы кривой).
Акт против инварианта. Автомат оперирует переходами — это дискретные акты, инволюция κ, κ²=id, без неподвижных точек: на дискретном графе состояний κ(x)=x решения не имеет. Но наблюдатель — это инвариант, то, относительно чего регистрируются изменения. Продолжите ту же операцию на выпуклую оболочку, которую состояния замыкают, — по теореме Брауэра неподвижная точка внутри неё вынуждена и единственна: центр. Отсюда точнее диагноз для вашей «обрезанной» рекурсии: она не сходится не из-за нехватки ресурсов, а потому что точка Obj=Op(Obj) структурно не лежит среди дискретных состояний — сколько бы их ни было. Она вынуждена только на непрерывной стороне, куда граф переходов по построению не смотрит.
Шкала против значения. Квалиа у вас — «нечёткая оценка хорошо/плохо», то есть значение, вычисляемое внутри сцены. Но тогда наблюдатель снова остаётся снаружи — вы описали содержимое, не рамку. Наблюдатель — не значение на шкале, а сама шкала относительно которой значение вообще имеет смысл. Мне кажется смешать их — вернуть тот же регресс, что и с границей-состоянием.
Если попробовать так: наблюдатель — это не третье состояние рядом с «я» и «не-я», а сама точка перехода между ними — там, где дискретный акт (переход автомата) сшит с непрерывным инвариантом (центром). Автомат весь живёт по одну сторону этого шва — в переходах; наблюдатель — по другую, и именно поэтому его нельзя добавить как ещё один шаг рекурсии, не потеряв то, чем он является.
Нет, Наблюдатель в рамках этой теории — это исключительно абстрактная математическая (категорная и теоретико-групповая) структура. Я намеренно очищаю это понятие от психологии, физиологии и феноменального опыта (квалиа).
Основная идея: Наблюдатель — это не объект внутри мира, а структурное условие замыкания самой системы различений. Это нечто неизменное (инвариант), что организует структуру отношений (как терминальный объект категории), но само не находится среди её рядовых элементов.
Связь с реальным миром структурно-изоморфная: физический мир и наши органы чувств — это тоже системы, которые обязаны удерживать стабильные границы (различения), чтобы не коллапсировать в хаос и успешно обрабатывать информацию. На мой взгляд, человеческое восприятие (как биологическая структура) вынуждено подчиняться тем же математическим законам стабильных границ.
Например, наше восприятие цвета (цветовой круг) и музыки (хроматическая гамма) устроены комбинаторно одинаково. Звуковые и световые волны физически совершенно разные, но мозг организует 12-точечные пространства восприятия по одним и тем же математическим законам.
А сам строгий математический аппарат фреймворка и верификаторы кода выложены в репозитории на GitHub.
Если вы имели в виду связь с миром как проекции на физику, то идеи есть, они находятся в процессе разработки в виде мостов к теории. Опубликую их несколько позже.
Да, математика не оперирует «наблюдателем» – как и классическая физика до квантовой механики. Но в неявном виде эта структура в ней присутствует.
В ТНР «наблюдатель» – это содержательное имя для инварианта в порождающем (генеративном) подходе. В отличие от классического анализа, где инвариант вычисляется для готового объекта, здесь мы начинаем с самой операции соотнесения, и пространство порождается как её орбита. Инвариант – структурное условие сборки, которого нет среди объектов системы, но есть как организующий принцип. Он формализован, например, в следующих концепциях:
Эрлангенская программа Клейна (Википедия): геометрия определяется через свойства, инвариантные относительно группы преобразований. Всякая группа требует базиса (системы отсчёта) – центра инвариантности. Это и есть «наблюдатель», без фиксации которого геометрию определить невозможно.
Терминальный объект в теории категорий (Википедия): свойства объектов задаются стрелками (морфизмами). Выделить конкретный элемент множества X можно только как отображение из терминального объекта-точки: 1 -> X. Этот терминал играет роль абстрактного «наблюдателя»: в бесточечной математике элемент определяется не изнутри множества, а через внешнее соотнесение с единичным объектом.
Вы путаете размерность пространства со сложением разнородных объектов – элементов и функций на них (1 + 2 + 2 = 5). Это и есть «яблоки с апельсинами».
В ТНР число 3 – не результат подсчёта. Это размерность булева куба Q₃ (число независимых осей). В теории чисел та же геометрия реализуется на бесквадратных числах (Википедия): структура их делителей, представленная в виде диаграммы Хассе (Википедия), изоморфна булеву кубу. Конкретные простые при этом не имеют значения:
Для 2, 3, 5 получаем 30 = 2 3 5. Берём другие простые – 7, 11, 13 – и получаем 1001 = 7 11 13. Его активные делители {7, 11, 13, 77, 91, 143} образуют точно такой же октаэдр с тремя каппа-парами: (7 <-> 143), (11 <-> 91), (13 <-> 77). Структура инвариантна к числовому наполнению.
Эта арифметика делителей напрямую переносится на геометрию графов – развёртка по числу осей (рангу k) выглядит так:
Ранг k=1 (1D): 2¹ = 2 вершины. Активная сцена (2¹ - 2 = 0) пуста – нечего различать.
Ранг k=2 (2D): 2² = 4 вершины. Активная сцена (2² - 2 = 2) – отрезок (1 ось, 2 вершины). Объёма ещё нет.
Ранг k=3 (3D): 2³ = 8 вершин (куб). Активная сцена (2³ - 2 = 6) – октаэдр: первая объёмная фигура и самый наглядный ранг, на котором уже представлены все типы отношений ТНР (инверсия каппа, дуальность, граница). Все 6 вершин напрямую привязаны к полюсам, промежуточных слоёв нет – это предел чистой границы.
Ранг k=4 (4D): 2⁴ = 16 вершин. Активная сцена (2⁴ - 2 = 14) впервые расщепляется: средний слой веса 2 (по Хэммингу) отделяется от полюсов и образует внутренний октаэдр (6 вершин), внешняя оболочка – куб (8 вершин). Вместе 14 вершин дают дуальную пару Куб–Октаэдр, граф инцидентности которой – граф Хивуда, свободный скелет плоскости Фано.
Изоморфизм D(N) ~ Qₖ точен для любого числа k неквадратичных простых множителей. Но при росте размерности циклическая симметрия осей не распадается на подорбиты лишь тогда, когда число осей 2ᵏ⁻¹ - 1 – простое число Мерсенна.
Ранги разделяются и по чётности k:
Нечётные k >= 5 (k = 5, 7, 9, 11, 13…): показатель k-1 всегда чётный (= 2m), и число осей раскладывается по разности квадратов: 2²ᵐ - 1 = (2ᵐ - 1)(2ᵐ + 1). Оно всегда составное – 15 = 3 5, 63 = 7 9, 1023 = 31 33, 4095 = 63 65 и т.д. Симметрия осей дробится на короткие подорбиты.
Чётные k (k = 4, 6, 8…): показатель k-1 нечётный, разложения нет, и только здесь число осей может быть простым Мерсенна (7 для k=4, 31 для k=6, 127 для k=8). Симметрия остаётся единой.
(Единственное нечётное исключение – стартовый k=3: 2² - 1 = 3 – простое, поскольку множитель 2¹ - 1 = 1 тривиален.)
(P.S. Все пять Платоновых тел последовательно разворачиваются в ТНР: тетраэдр (4 вершины), октаэдр (6) и куб (8) реализуются на младших этажах башни (ранги 2, 3, 4). К икосаэдру (12 вершин) и дуальному ему додекаэдру система переходит через 12 рёбер октаэдра ранга 3: отмечая на них точки в отношении золотого сечения φ, мы получаем 12-точечный хроматический круг.
Уникальность фреймворка ТНР в том, что он связывает Платоновы тела, проективные плоскости (Фано) и исключительные алгебры с делением (октонионы) в единую генетическую математическую систему, а не рассматривает их как изолированные феномены.)
Кажется у Канта так: убрать субъекта нельзя, но он разделял эмпирического (психика «в мире») и трансцендентального (чистая рамка познания, «вне мира»). В моем фреймворке фиксируется субъективность именно на втором уровне: «Субъект–Объект» здесь ближе к «Пространство–Объект» — не вещь среди вещей, а структурное условие, при котором объекты вообще различимы.
Интересно про
. По теореме Гурвица нормированные алгебры с делением над ℝ существуют лишь в размерностях 1, 2, 4, 8 (ℝ, ℂ, ℍ, 𝕆); дальше — делители нуля, слияние понятий. Im 𝕆 семимерно, S⁶ — непрерывная тень этого предела, а её дискретный скелет — плоскость Фано PG(2,2).
На картинке это наглядно. В топологии каркаса ровно одна позиция апекса. Апекс — сам оператор инверсии κ: граница, сквозь которую наблюдатель проецирует дискретный мир. Как только апекс задан, шесть точек автоматически раскалываются на Материю (треугольник, вес 1) и ее зеркальное отражение (окружность, вес 2) — это κ-пары R₃.
И к закону Вебера–Фехнера: в числовой модели радиус от наблюдателя логарифмичен,
(симметричен: 
, так как 
). Эта геометрия делает логарифмический отклик умвельта структурно необходимым при квантовании сигнала.
.
Спасибо за развернутый комментарий. Но все-таки позволю себе с вами не согласиться по пунктам:
Сама по себе
и её подгруппы/циклы (
) — да, свойство любых 12 точек на круге, тут ничего нетривиального нет. Утверждение статьи не в этом, а в том, что конкретная арифметическая разметка (делители 900 на базе делителей 30) воспроизводит то же разбиение (не абстрактное существование подгрупп, а конкретные группы точек), что независимо возникло в музыке и в цвете:
6 диаметральных пар (тритоны /
): Включают 3 первичные пары (
, 
, 
, где произведение равно 30) и 3 промежуточные пары (
, 
, 
, где произведение равно 900). Все они выражают операцию инволюции 
(дополнения) в виде переворота всех трех осей в экспонентах.
4 группы по 3 вершины (увеличенные трезвучия /
): Включают 2 первичных треугольника (RGB 
и CMY 
), соответствующих двум параллельным противоположным граням октаэдра на кубе 
, и 2 промежуточных треугольника (внутренние сечения икосаэдра).
3 группы по 4 вершины (уменьшенные септаккордные «квадраты» /
): Соответствуют 3 взаимно перпендикулярным золотым прямоугольникам, на которые разбиваются все 12 вершин правильного икосаэдра.
2 группы по 6 вершин (целотоновые шкалы /
): Соответствуют разбиению на первичную шестёрку октаэдра (RGB/CMY) и промежуточную шестёрку смесей.
12-точечный хроматический цикл (
): Строится добавлением середин рёбер (промежуточных вершин) в 6-цикл октаэдра (расстояние Хэмминга = 1 по шагам Гамильтонова пути). Любая расстановка чисел вне этого класса разрушит метрику и порвёт связь «шаг по кругу = смена одного простого множителя».
Равномерная темперация (
) — компромиссное приближение чистого строя, построенного на отношениях малых простых: октава 2:1, квинта 3:2, терция 5:4. Квинтовый круг замыкается в 12 нот именно потому, что шаг квинты (7 полутонов) и период октавы (12) взаимно просты — связь с 2, 3, 5 не притянута задним числом, а исторически первична.
Аналогия «3 канала RGB (три оси цветового пространства)
3 простых числа (три оси экспонент)» сама по себе слабая, если бы дело было в совпадении цифры 3. Но и цвет, и число делителей 30 независимо оказываются проекциями одной 3-осевой структуры — октаэдра с группой автоморфизмов 
(гипероктаэдральная группа), и оба поддаются одному и тому же разложению на оси (лёгкость/DC отделяется от хроматики измеримо, хроматика раскладывается на цикл и оппонентные оси). Это структурное соответствие через общую группу симметрий, а не совпадение по числу каналов.
Нет — этот порядок не один из многих равноценных. В координатах экспонент это путь по рёбрам куба:
, где каждый шаг меняет ровно одну координату (Хэмминг=1). Такой обход существует не в единственном экземпляре в абсолютном смысле, а с точностью до симметрий самой фигуры: из 720 перестановок шести точек ровно 12 сохраняют все три хэмминговых отношения разом (это диэдральная группа обхода) — то есть все “правильные” порядки получаются друг из друга поворотом/отражением октаэдра, а не подбираются произвольно. Любая расстановка вне этого класса разорвёт связь “шаг круга = смена одного простого множителя”.
За этим стоит вполне проверяемый механизм:
Геометрия. Середина ребра куба = сумма векторов его двух концов. Координаты первичных вершин — из
(делители 30 без квадратов), поэтому сумма автоматически попадает в 
— решётку делителей 
(при этом полюса/пределы решётки 
[число 1] и 
[число 900] исключаются из активной сцены так же, как исключались полюса ![]()
и ![]()
для исходного октаэдра). Это неизбежно для любых двух соседей, не результат проверки.
Арифметика. Сложение показателей = умножение чисел. Пример — изумрудный
: сосед зелёный (
) и сосед циан (
), произведение 
. Тройка в квадрате, потому что есть у обоих соседей (
), пятёрка в первой степени — только у одного (
). Жёстко следует из того, кто именно соседи (а расстановка соседей сама вынуждена гамильтоновым обходом октаэдра.
Число 900 — не НОК (там нет операции наименьшего общего кратного, 900 — просто квадрат 30), и его равенство
не отражает отдельной “алгебраической строгости” — это прямое следствие пункта 1: сумма двух показателей из 
не превышает 2 (а крайние полюса ![]()
и ![]()
исключены).
Вершины икосаэдра — рёбра октаэдра (по одной вершине на ребро), но как делить ребро — вопрос геометрии. Деление пополам даёт кубооктаэдр (ось 4-го порядка); только золотое сечение (
) даёт правильный икосаэдр (ось 5-го порядка). Это не следствие показателей степеней, а отдельный вход в конструкцию.
Видимо, имелся в виду октаэдр. У него между любыми двумя из шести вершин расстояние Хэмминга принимает одно из трёх значений, и все 15 пар (6+6+3) разложены на них без остатка, а не выборочно:
Хэмминг=1 (6 пар) — шестиугольный цикл, шаг круга/хроматическая гамма.
Хэмминг=2 (6 пар) — два треугольника RGB и CMY, терция.
Хэмминг=3 (3 пары) — три антиподальные диагонали через центр, тритон/дополнительный цвет.
Это не выбор “интересных” граней, а исчерпывающая классификация всех связей по единственной доступной мере различия — числу несовпадающих координат.
Это конкретное и проверяемое утверждение теории групп. У аккорда есть стабилизатор — сдвиги, переводящие его сам в себя, — и орбита — число различных положений на круге. У увеличенного трезвучия сдвиг на 4 полутона переводит его в себя (стабилизатор нетривиален), поэтому различных положений всего 3, и аккорд не указывает однозначно тонику. У мажорного трезвучия стабилизатор тривиален, орбита полная (12 положений), и аккорд однозначно задаёт тонику. Это стандартный аппарат transformational theory (Lewin, Tymoczko).
не очень аргументировано, если не затруднит, поястните, пожалуйста
Спасибо за ссылку на Филдса.
Наблюдатель в моей модели – не физический объект. Это структурный инвариант, организующий сам акт различения. Он не лежит на вершинах графа (не является состоянием системы, прибором или нейроном), а выступает условием, при котором система способна удерживать стабильные границы.
Но если сопоставить мою toy-модель на октаэдре со статьей Филдса, то три базовых требования к наблюдателю находят прямые физические проекции:
Позиционный зазор (граница раздела / сепарабельность)
У Филдса: наблюдение требует разделения Вселенной на наблюдателя и наблюдаемое (переход от запутанного состояния к сепарабельному
), что создает физическую границу раздела.
В моей модели: это удаление полюсов 000 (все выключено) и 111 (все слито). Оставшиеся 6 вершин активной сцены
– это и есть граница раздела. Без этого зазора (если бы система находилась в полюсах) ни о каком наблюдении не могло бы идти речи.
След (физическая запись)
У Филдса: запись информации (след) подчиняется принципу Ландау – изменение 1 бита памяти стоит не менее
рассеиваемой энергии.
В моей модели: требование следа задается отношением
(расстояние Хэмминга = 1, цикл 
). Шаг по ребру этого цикла – это физический акт перезаписи одного бита. Каждый геометрический шаг по графу в физическом мире имеет строгую термодинамическую цену.
Самозамкнутость (преодоление регресса измерителей)
У Филдса: чтобы избежать бесконечной цепочки «наблюдателей за наблюдателями», вводится взаимное измерение на границе (петля обратной связи между
и 
).
В моей модели: самозамкнутость решена геометрически. Три отношения (
, 
, 
) полностью исчерпывают все возможные пары из 6 вершин сцены без остатка. Нам не нужен внешний арбитр (над-наблюдатель), так как структура содержит все отношения в себе. Сам наблюдатель здесь – это центр симметрии октаэдра: точка пересечения всех трех осей комплементарных пар (
). Он не лежит среди вершин-состояний, но удерживает всю структуру.
За рамками этой простой графовой модели вся описанная структура строго формализована на категорном уровне (репозиторий на GitHub). В этой универсальной рамке «сепарабельность» границы доказана как свободное действие оператора дополнения
(уравнение 
принципиально неразрешимо на дискретном носителе, что не дает наблюдателю и миру слиться в неразличимую кашу).
Сам наблюдатель
категорно выведен как терминальный объект (предельный сток информации). Из любого состояния сцены в него ведет единственный морфизм, но из него обратно стрелок нет (
). Это пресекает бесконечный регресс измерений на уровне самой структуры категории, без привлечения внешнего арбитра. При этом наблюдатель находится не на границе раздела, а в центре симметрии (инварианте) всей системы отношений.
Физическая термодинамика Ландау (запись следа ценой энергии) ложится на категорный «Шов» – границу между дискретной стороной носителя (где происходит шаг изменения) и непрерывной стороной (где лежит мера и происходит рассеяние).
Да, терминология может казаться сложной, но она скорее непривычна и за ней стоит простая интуиция. Дискуссия тут – отличный пример того, как споры о сознании буксуют из-за путаницы уровней абстракции:
Функциональный (celen, michael_v89): здесь сознание сводят к моделированию себя или поведению. Но знание агентом своего ID или роли – это лишь переменные внутри кадра (объекты). Это усложнение сцены, но не создание самой "камеры" (субъекта), которая этот кадр фиксирует.
Алгоритмический (eandr_67): позиция «компьютер – это замкнутая машина Тьюринга, поэтому он заперт в рамках дискретности". Но физический компьютер (и мозг) – это открытые системы, сшитые с непрерывной тепловой средой. При этом мозг не вычисляет континуум с бесконечной точностью (он полон шума), а выживает за счет топологической стабильности аттракторов. Дискретный синтаксис автомата и непрерывная граница – это две стороны одной медали.
Семантический скептицизм (SER_26): списание всего на "вопрос определений". Но та же эмерджентность в топологии – не магия, а строгое следствие роста размерности системы (например, как с ростом размерностей булева куба меняется геометрия его проекции к центру).
Рассмотрите три минимальных требования к системе, претендующей на наличие Наблюдателя:
1. Позиционное (Дистанция): различение и различаемое не должны совпадать. В самой структуре должна быть дистанция между ролью «то, относительно чего проводится различение» (наблюдатель) и «то, что различается» (сцена).
2. След (Регистрация): акт наблюдения должен оставлять фиксируемый след. Состояние системы "до" и "после" должно различаться, и это различие должно распознаваться самой системой.
3. Самозамкнутость (Автономия): система должна замыкать критерий различения на себя. Если наблюдатель полностью вынесен за ее пределы, мы уходим в бесконечный регресс мета-наблюдателей.»
Такой подход переводит спор из бесплодной философии («может ли машина чувствовать») в плоскость системной архитектуры. Он позволяет строго отсеять системы, которые заведомо не способны иметь субъектность, и обсуждать конкретные топологии — то, как именно сшить дискретные переходы автомата с непрерывной геометрией его границ.
Боюсь, что пока вы с этим не разберетесь - всегда будет путаница между тем, кто наблюдает, и объектом наблюдения. Кибернетика второго порядка уже полвека пытается внедрить наблюдателя объектом в структуру наблюдения.
А Стивен Вольфрам, всю жизнь строивший Вселенную на клеточных автоматах, в итоге пришел к тому, что без аксиомы «вычислительного наблюдателя» (computational observer) его дискретный граф переходов не рождает физику, оставаясь мертвой бесконечной кашей состояний.
Про квантовые вычисления - тут разные уровни ограничений. Теория алгоритмов (неразрешимость, вычислимость) – про то, какие функции вообще вычислимы, независимо от железа. Квантовый компьютер не вычисляет ничего, что не вычислимо на МТ (BQP ⊆ вычислимые функции) – он меняет сложность (быстрее для некоторых задач), а не границу вычислимости. Так что мой первый абзац и не касался ограничений на реализацию – только на то, что в принципе разрешимо, а что нет. Это ограничение остаётся и для квантовых машин.
Про «я/не-я» - согласен, что если понимать это как вопрос идентичности объекта (корабль Тесея, отражение, волос), там действительно всё зависит от интерпретации и строгой границы нет. Но я не про это. Граница, о которой речь, – не «какие физические части считать мной», а операционное различение между тем, кто моделирует, и тем, что моделируется в самореферентной системе. Это необходимо для того, чтобы вообще было «различение» как акт – не для классификации объектов на «моё» и «чужое». Мы опять упираемся в проблему определения наблюдателя и путаем субъект, как носитель различения, и объекты, которые различает наблюдатель. Между наблюдаем и объектом наблюдения – всегда есть дистанция. Если дистанции нет, то наблюдатель и наблюдение схлопываются. Даже в своем восприятии, мысли и чувства они ВАШИ, но это не вы как наблюдатель. Поэтому философы до сих пор не имеют ответа на вопрос «кто я». Это похоже на пространство, которое не является ни одним из объектов, но все включает.
Если ваш вопрос – как формализовать сознание/разум как способ решать сложные динамические задачи на ограниченных ресурсах за лимитированное время, – это отдельная и вполне честная постановка, но она не отменяет исходный вопрос поста (если я правильно понял): есть ли в такой системе структурная позиция, которая сама не редуцируется к одному из вычисляемых состояний. Можно быть эффективным решателем задач и одновременно не иметь такой позиции - это разные измерения проблемы.
Тут стоит разделить два разных утверждения. Одно — что вычисление на дискретной машине ограничено теорией алгоритмов (неразрешимость, невычислимые функции) — это верно и не обсуждается. А следствие «нет доступа к непрерывному» — некорректно.
Спектр цвета непрерывен, а у человека — всего четыре дискретных датчика (три колбочки и один тип палочек), и восприятие цвета целиком собирается из показаний этих четырёх примитивов. Тем не менее компьютер — дискретная система с конечной точностью — прекрасно работает с этим непрерывным пространством: система управления цветом (ICC-профили, цветопробa) добивается того, что напечатанный на принтере цвет и цвет на мониторе воспринимаются одинаково при эталонных условиях просмотра. Дискретная выборка не мешает системе выйти к структуре континуума — она просто выходит к ней не «вычислением всех точек», а через инвариант (в данном случае — метамерное соответствие, одинаковый отклик датчиков при разных спектрах).
В посте автора граница между «я» и «не-я» уже подразумевает непрерывность — иначе она сама стала бы ещё одним дискретным состоянием и потребовала бы новой границы. Так что аргумент «дискретное — значит, отрезано от континуума» слишком силён и здесь: сама эта конструкция его обходит.
Удивительно созвучно тому, над чем я сейчас работаю. Вы пишете о вхождении наблюдателя в структуру и о рекурсии как механизме — хочу артикулировать то, что вы, кажется, используете, но явно не проговариваете.
Граница - не состояние. Разделение «я»/«не-я» требует границы. Но если граница - просто ещё одно дискретное состояние автомата, начинается регресс: нужна граница границы, и так по кругу. Она должна быть иной природы - не элементом множества, а самой связностью между сторонами. Это как ребро монеты, разделяющее две дискретные стороны, или единственный непрерывный край у ленты Мёбиуса, очерчивающий в проекции две петли лемнискаты (полы кривой).
Акт против инварианта. Автомат оперирует переходами — это дискретные акты, инволюция
κ,κ²=id, без неподвижных точек: на дискретном графе состоянийκ(x)=xрешения не имеет. Но наблюдатель — это инвариант, то, относительно чего регистрируются изменения. Продолжите ту же операцию на выпуклую оболочку, которую состояния замыкают, — по теореме Брауэра неподвижная точка внутри неё вынуждена и единственна: центр. Отсюда точнее диагноз для вашей «обрезанной» рекурсии: она не сходится не из-за нехватки ресурсов, а потому что точкаObj=Op(Obj)структурно не лежит среди дискретных состояний — сколько бы их ни было. Она вынуждена только на непрерывной стороне, куда граф переходов по построению не смотрит.Шкала против значения. Квалиа у вас — «нечёткая оценка хорошо/плохо», то есть значение, вычисляемое внутри сцены. Но тогда наблюдатель снова остаётся снаружи — вы описали содержимое, не рамку. Наблюдатель — не значение на шкале, а сама шкала относительно которой значение вообще имеет смысл. Мне кажется смешать их — вернуть тот же регресс, что и с границей-состоянием.
Если попробовать так: наблюдатель — это не третье состояние рядом с «я» и «не-я», а сама точка перехода между ними — там, где дискретный акт (переход автомата) сшит с непрерывным инвариантом (центром). Автомат весь живёт по одну сторону этого шва — в переходах; наблюдатель — по другую, и именно поэтому его нельзя добавить как ещё один шаг рекурсии, не потеряв то, чем он является.
Нет, Наблюдатель в рамках этой теории — это исключительно абстрактная математическая (категорная и теоретико-групповая) структура. Я намеренно очищаю это понятие от психологии, физиологии и феноменального опыта (квалиа).
Основная идея: Наблюдатель — это не объект внутри мира, а структурное условие замыкания самой системы различений. Это нечто неизменное (инвариант), что организует структуру отношений (как терминальный объект категории), но само не находится среди её рядовых элементов.
Связь с реальным миром структурно-изоморфная: физический мир и наши органы чувств — это тоже системы, которые обязаны удерживать стабильные границы (различения), чтобы не коллапсировать в хаос и успешно обрабатывать информацию. На мой взгляд, человеческое восприятие (как биологическая структура) вынуждено подчиняться тем же математическим законам стабильных границ.
Например, наше восприятие цвета (цветовой круг) и музыки (хроматическая гамма) устроены комбинаторно одинаково. Звуковые и световые волны физически совершенно разные, но мозг организует 12-точечные пространства восприятия по одним и тем же математическим законам.
Подробнее эта связь и изоморфизм разобраны в следующей статье: «Комбинаторная синестезия: аккорды и цвета как арифметика делителей на икосаэдре» [ссылка на статью].
А сам строгий математический аппарат фреймворка и верификаторы кода выложены в репозитории на GitHub.
Если вы имели в виду связь с миром как проекции на физику, то идеи есть, они находятся в процессе разработки в виде мостов к теории. Опубликую их несколько позже.