Задача про гномов и разноцветные шапки

Спасибо за прекрасную задачу. Действительно заставляет задуматься.
Есть две разные «математики» — с аксиомой выбора и без нее. Обе математики (пока) имеют право на существование, так как никто не доказал, что они противоречивы. И вопрос верно ли авторское решение теряет смысл в этом контексте. Решение верно в математике с аксиомой выбора и неверно в математике без аксиомы выбора. Вот и все.

Задачи с красивыми решениями

Спасибо за наводку на интересную тонкость, про которую я никогда не задумывался. Действительно на «верхней» плоскости есть одна выделенная прямая, тень от которой не попадает в «нижнюю» плоскость. И эта прямая делит плоскость на две полуплоскости, в каждой из которых по-отдельности линейный порядок точек сохраняется.
Чтобы обойти эту трудность, нужно сделать так.
Давайте применим наш чудо-алгоритм на плоскости. Все получившиеся точки пересечений прямых лежат в какой-то ограниченной области. Мы всегда можем подобрать параметры конуса (параметры проективного преобразования) так, что эта ограниченная область будет находится строго в одной из полуплоскостей. Значит линейный порядок точек пересечений будет сохранятся.

Задачи с красивыми решениями

А можно поподробнее? Что означает, с какой стороны?

Задачи с красивыми решениями

А все я понял. Надо теорему паскаля применить, когда одна сторона шестиугольника вырождается в точку.

Задачи с красивыми решениями

А можно поподробнее? Как все-таки провести касательную?

Задачи с красивыми решениями

Прошу у всех прощения за спойлерство)

Задачи с красивыми решениями

Спасибо за красивый парадокс. Кстати можно точно такой же парадокс сделать и с интегралом
Ну а ключ к разгадке в том, что неопределенный интеграл определен с точностью до константы.

Задачи с красивыми решениями

Спасибо за шарниры)
Вы правы в том, что человек, который хочет написать так, чтобы его поняли, должен предвидеть все неочевидные для читателя места. Но он, одновременно с этим, не должен очень сильно вдаваться в детали, иначе текст очень просто превратиться в занудную скучность. Я очень старался держаться золотой середины. В каких-то местах это получилось, в каких-то, как я вижу по комментам, не совсем. Но я, все-равно, до сих считаю, что расписывать подробнее про площадь — излишне. Может быть следовало больше внимания уделить первой задаче про конус, которая вызвала очень много дискуссий.

А насчет профессиональных статей по математике. Они написаны обычно так, что статью может сразу понять только математик работающий именнов в этой тематике. Грамотному математику из другой области нужно будет очень много времени, чтобы полностью разобраться в статье. Чтобы ее понять, ему придется еще изучить штук 10 других статей.

Задачи с красивыми решениями

Но что у этой полоски будет являться длиной? Длина одной из дуг на сфере?

Да

площадь этой полоски вряд ли может считаться по формуле, справедливой для прямоугольников.

Можно считать. Надо просто полоску мысленно разделить на очень много маленьких прямоугольников, для которых формула верна. Потом просуммировать. Получится написанная выше формула.

Задачи с красивыми решениями

у dS такая форма, что ее можно развернуть в полоску постоянной ширины dx/cos(phi).

Задачи с красивыми решениями

Еще вам нужно доказать, что чем больше коэффициент, тем лучше покрытие, то есть тем меньше сумма ширин досок.

Задачи с красивыми решениями

а докажите, что у идеального расположения досок этот ваш определенный «коэффициент покрытия» будет максимальными среди всех возможных.

Задачи с красивыми решениями

Еще раз. Вы говорите про прямой конус. А в задаче — кривой конус, у которого основанием является окружность.

Задачи с красивыми решениями

И как вы этим опровергли то, что я сказал комментарием выше? (Наш конус не прямой, а в вашей цитате предполагается, что прямой)

Задачи с красивыми решениями

Да, не все сечения являются окружностями. Но мы проводим именно то сечение, которое высекает окружность. Это всегда возможно.

Задачи с красивыми решениями

параллельны, то коэффициент использования площади досок не увеличится, но может уменьшится, если появятся пересечения

Докажите.

Задачи с красивыми решениями

Дело в том, что все точки, которые мы используем в алгоритме получены как точки пересечения. А эти точки пересечения точно переходят друг в друга.
Еще раз:

Считайте, что алгоритм — это прога на компьютере. Что может делать эта прога:

1) В рандомном месте рисовать прямые. Притом конечный результат алгоритма не должен, очевидно, зависеть от рандомности.
2) Соединять какие-то определенные точки (получившиеся от пересечений).

Больше ничего прога не умеет делать. Раз от рандомности ничего не должно зависеть, то можно предположить, что если прога нарисовала на верхней плоскости какую-то рандомную прямую, то пусть на нижней плоскости эта же прога нарисует ее тень. Ну а при соединении определенных точек (получившихся от пересечений) прямыми, очевидно на нижней плоскости получится тень верхней.

Задачи с красивыми решениями

Вы абсолютно правы. Я написал бред.
На самом деле надо было так написать:
берем ставим начало координат в нижнем левом углу стены. Интеграл распадется на произведение двух интегралов. Один из интегралов равен нулю и есть интеграл от нуля до чего-то. И теперь из этого следует, что «чего-то» — целое.
Спасибо.
Сейчас поправлю.

Задачи с красивыми решениями

Я только что понял, что я рисунок немного неправдоподобно нарисовал. Эта секущая плоскость должна быть чуть наклоннее.
А вообще, то что центры не совпадают можно доказать прямыми выкладками.

Задачи с красивыми решениями

Для непрямого конуса, почти всегда выйдет эллипс, но есть две замечательные плоскости, которые высекает именно окружность. Одна плоскость, параллельна основанию, а вторая — нет.