Предел последовательности xn есть x0, если она имеет единственную точку сгущения (включая случай бесконечно удаленной точки).
Вместо включения случая бесконечно удаленной точки можно также написать условие, что за пределами любой окрестности точки сгущения не более чем конечное количество точек последовательности.
Так кванторы для понимания и строгих доказательств в матанализе не нужны совсем. Они искусственно удлиняют все доказательства и скрывают смысл. А во многих задачах без Гейне вообще крайне сложно доказать. При этом подход по Гейне совершенно не нуждается в Коши, последний нигде не лучше.
Насчёт вашего примера, берём x_n = {1/n}, получается число е по определению.
Дальше надо доказать монотонность (способов много, можно через производную, можно через обобщенный бином, можно через свойства логарифма и так далее).
Отсюда следует, что она сходится (так как частичный предел есть) и предел последовательности равен е.
В обычных учебниках по матанализу делают это намного сложнее, потому что они не пользуются определением предела по Гейне, для которого достаточно любую последовательность использовать вместо оценок и неравенств.
Ваш пример - как раз отличный пример факта, который в анализе по Гейне сильно короче доказывается. Но по-настоящему сильно всё упрощается при доказательстве теорем про равномерную непрерывность и сходимость, или про обратную функцию для неявно заданной ФНП, или там, например, для теоремы о единственности в диффурах
Потому что тогда последовательность не сходится. Можно доказать эквивалентность этого определения сходимости и по Коши.
А именно, если за пределами этого интервала есть бесконечное число точек, то мы берём достаточно малое эпсилон для окрестности именно этой точки сгущения и получаем, что бесконечное число точек за пределами этой окрестности. Для этого эпсилон нельзя подобрать соответствующий номер N.
В этом и есть смысл понятия предела. Это значит, что количество точек сходящейся последовательности бесконечно на интервале тогда и только тогда, когда этот интервал включает точку сгущения.
То есть вся бесконечность точек уместилась в бесконечно малой окрестности всего лишь одной точки.
А это ключевая проблема. Ваша концепция проще, потому что она ошибочная:
«траектории целиком умещаются в шарике, который становится всё меньше, когда мы стартуем всё ближе к равновесию»
Шарик может не уменьшаться монотонно.
Чтобы аккуратно сформулировать, вам нужно рассмотреть мажорирующую подпоследовательность шаров и тогда сильно всё усложнится, станет гораздо абстрактнее.
В определении по Гейне она не нужна, так как там берётся любая последовательность начальных условий.
Ключевое для понимания устойчивости по Ляпунову - это понимание равномерной сходимости, которую на языке эпсилон-дельта понять значительно сложнее.
А как вы своим определением будете проверять, дифференцируема ли функция, является ли она непрерывно дифференцируемой? Как определите равномерную сходимость интеграла с параметром? А это ведь важно для практики применения методов.
Ну и в первую очередь всё это нужно для понимания концепций.
Тут нет проблемы, всё множество действительных чисел брать можно.
Парадокс Банах-Тарского тут не причем.
Вы игнорируете тот факт, что должно быть обоснование методов, а без этого не будет ни их понимания, ни понимания того, когда их использовать нельзя.
Хотя математический анализ больше используется как база для последующих дисциплин, его доказательства тоже нужны на практике. Потому что возможность применения многих прикладных методов анализа определяется условием равномерной сходимости.
Потому что его смысл в том, что маленькие толчки приводят к маленьким отклонениям.
Обращаться с ним проще потому, что вообще-то дельту подбирать не надо.
Можно еще так сформулировать
Положение равновесия устойчиво по Ляпунову, если для любой последовательности начальных условий , сходящейся к нулю, соответствующая последовательность траекторий сходится к нулевой траектории PABHOMEPHO при .
Определение Коши выглядит как подгон, потому что там нужно для каждого эпсилон доказывать существование дельты, а тут не нужно.
Любой инженер или физик мыслит именно так: "Что будет, если я приложу малое возмущение? А если еще меньшее?". Подход Гейне — это в точности математическая формализация этого инженерного эксперимента.
ε-δ — выглядит как абстрактный слой, через который инженеру приходится "продираться", чтобы соблюсти строгость. А тут получается, что и для строгости этот слой не нужен совсем.
Подход Гейне мгновенно выводит нас на гораздо более мощный уровень мышления. Мы начинаем думать не о последовательностях чисел, а о последовательностях функций и их сходимости в функциональном пространстве (в данном случае, о равномерной сходимости). Это прямой мост к современному функциональному анализу, где объектами являются не точки, а функции, операторы и т.д.
Рассуждать о том, как ведет себя стая траекторий, гораздо более конструктивно, чем доказывать существование абстрактного δ
Ну и, наконец, в эпсилон-дельте подходе, чтобы хоть что-то нетривиальное доказать, всё равно приходится придумывать искусственные новые конструкции типа "колебаний функций", а тут сразу всё есть.
Можно попробовать цикл статей сделать, с подробным разбором курса матанализа, со всеми нюансами. Я тут в обзорной этой статье просто выделил самое ключевое.
"Здесь сразу хочется спросить, почему, если она в окрестности , то она уже не окажется в окрестности . "
Потому любые две точки на числовой прямой отделены конечным расстоянием. А окрестности мы берем сколь угодно малые.
Так то да, тут нужно еще довести до уровня строгого учебника, дописав кучу примечаний и доказав кучу промежуточных лемм. Но в отличие от эпсилон-дельта учебников, при наведении этой строгости интуитивность и наглядность не пропадают.
Предел последовательности xn есть x0, если она имеет единственную точку сгущения (включая случай бесконечно удаленной точки).
Вместо включения случая бесконечно удаленной точки можно также написать условие, что за пределами любой окрестности точки сгущения не более чем конечное количество точек последовательности.
Да, именно. Именно в этом преимущество подхода Гейне, которое позволяет полностью строго и вывести доказать анализ без эпсилон и дельт.
Именно об этом и вся статья.
Предел последовательности
Так это вам сильно повезло. В вузах так не преподают, как вам читали.
В вузовских учебниках такого подхода нет.
Это не обман, а прямое применение определения предела по Гейне.
А если я действую по Коши, я не могу напрямую заменить функцию на последовательность.
В этом заключается крайнее неудобство анализа по Коши, которое приводит к чрезмерному удлинению многих доказательств.
Функция имеет предел a в точке x0, если для любой последовательности xn->x0 последовательность f(xn) - > a.
Так кванторы для понимания и строгих доказательств в матанализе не нужны совсем. Они искусственно удлиняют все доказательства и скрывают смысл. А во многих задачах без Гейне вообще крайне сложно доказать. При этом подход по Гейне совершенно не нуждается в Коши, последний нигде не лучше.
Насчёт вашего примера, берём x_n = {1/n}, получается число е по определению.
Дальше надо доказать монотонность (способов много, можно через производную, можно через обобщенный бином, можно через свойства логарифма и так далее).
Отсюда следует, что она сходится (так как частичный предел есть) и предел последовательности равен е.
В обычных учебниках по матанализу делают это намного сложнее, потому что они не пользуются определением предела по Гейне, для которого достаточно любую последовательность использовать вместо оценок и неравенств.
Ваш пример - как раз отличный пример факта, который в анализе по Гейне сильно короче доказывается. Но по-настоящему сильно всё упрощается при доказательстве теорем про равномерную непрерывность и сходимость, или про обратную функцию для неявно заданной ФНП, или там, например, для теоремы о единственности в диффурах
Потому что тогда последовательность не сходится. Можно доказать эквивалентность этого определения сходимости и по Коши.
А именно, если за пределами этого интервала есть бесконечное число точек, то мы берём достаточно малое эпсилон для окрестности именно этой точки сгущения и получаем, что бесконечное число точек за пределами этой окрестности. Для этого эпсилон нельзя подобрать соответствующий номер N.
Определение:
функция f(x) равномерно непрерывна, если для любых двух последовательностей xₙ и yₙ, из (xₙ - yₙ) → 0 всегда следует, что (f(xₙ) - f(yₙ)) → 0.
Равномерная сходимость аналогично определяется.
Оно верно. Там именно равномерная сходимость и сформулирована.
В этом и есть смысл понятия предела. Это значит, что количество точек сходящейся последовательности бесконечно на интервале тогда и только тогда, когда этот интервал включает точку сгущения.
То есть вся бесконечность точек уместилась в бесконечно малой окрестности всего лишь одной точки.
В комментариях был хороший пример Xn = {1/n}
А это ключевая проблема. Ваша концепция проще, потому что она ошибочная:
«траектории целиком умещаются в шарике, который становится всё меньше, когда мы стартуем всё ближе к равновесию»
Шарик может не уменьшаться монотонно.
Чтобы аккуратно сформулировать, вам нужно рассмотреть мажорирующую подпоследовательность шаров и тогда сильно всё усложнится, станет гораздо абстрактнее.
В определении по Гейне она не нужна, так как там берётся любая последовательность начальных условий.
Ключевое для понимания устойчивости по Ляпунову - это понимание равномерной сходимости, которую на языке эпсилон-дельта понять значительно сложнее.
А как вы своим определением будете проверять, дифференцируема ли функция, является ли она непрерывно дифференцируемой? Как определите равномерную сходимость интеграла с параметром? А это ведь важно для практики применения методов.
Ну и в первую очередь всё это нужно для понимания концепций.
Тут нет проблемы, всё множество действительных чисел брать можно.
Парадокс Банах-Тарского тут не причем.
Вы игнорируете тот факт, что должно быть обоснование методов, а без этого не будет ни их понимания, ни понимания того, когда их использовать нельзя.
Хотя математический анализ больше используется как база для последующих дисциплин, его доказательства тоже нужны на практике. Потому что возможность применения многих прикладных методов анализа определяется условием равномерной сходимости.
Потому что его смысл в том, что маленькие толчки приводят к маленьким отклонениям.
Обращаться с ним проще потому, что вообще-то дельту подбирать не надо.
Можно еще так сформулировать
Определение Коши выглядит как подгон, потому что там нужно для каждого эпсилон доказывать существование дельты, а тут не нужно.
Любой инженер или физик мыслит именно так: "Что будет, если я приложу малое возмущение? А если еще меньшее?". Подход Гейне — это в точности математическая формализация этого инженерного эксперимента.
ε-δ — выглядит как абстрактный слой, через который инженеру приходится "продираться", чтобы соблюсти строгость. А тут получается, что и для строгости этот слой не нужен совсем.
Подход Гейне мгновенно выводит нас на гораздо более мощный уровень мышления. Мы начинаем думать не о последовательностях чисел, а о последовательностях функций и их сходимости в функциональном пространстве (в данном случае, о равномерной сходимости). Это прямой мост к современному функциональному анализу, где объектами являются не точки, а функции, операторы и т.д.
Рассуждать о том, как ведет себя стая траекторий, гораздо более конструктивно, чем доказывать существование абстрактного δ
Ну и, наконец, в эпсилон-дельте подходе, чтобы хоть что-то нетривиальное доказать, всё равно приходится придумывать искусственные новые конструкции типа "колебаний функций", а тут сразу всё есть.
Смотрите , сделал так
Просто в эпсилон-дельта формализме менее прозрачно, а тут да, вся суть этой теоремы в том, что любая конечная последовательность точек ограничена.
Скорее в определениях точек сгущения эта теорема стала слишком очевидной.
А давайте чуть слабее условие напишу, чтобы логичность осталась.
Можно попробовать цикл статей сделать, с подробным разбором курса матанализа, со всеми нюансами. Я тут в обзорной этой статье просто выделил самое ключевое.
"Здесь сразу хочется спросить, почему, если она в окрестности
, то она уже не окажется в окрестности 
. "
Потому любые две точки на числовой прямой отделены конечным расстоянием. А окрестности мы берем сколь угодно малые.
Так то да, тут нужно еще довести до уровня строгого учебника, дописав кучу примечаний и доказав кучу промежуточных лемм. Но в отличие от эпсилон-дельта учебников, при наведении этой строгости интуитивность и наглядность не пропадают.
Упорядоченность используется сразу же при использовании окрестностей. А именно то, что окрестность - это интервал, а задается он неравенством.
Конечно, можно эти вещи расписать прям совсем до аксиом.