Удобство Гейне именно в том, что при доказательстве предела функции как в примере я просто сразу могу заменить функции на последовательности. Подход Гейне именно в этом и заключается.
А по Коши надо идти более громоздким путем.
Более того, по Коши нужно свойства пределов функций доказывать отдельно от свойств пределов последовательностей.
прямое следствие доказательства того что мощность множества действительных чисел больше мощности счетного множества, потому какое (конечное или бесконечное) семейство (множество множеств) счётных множеств (последовательностей то есть) вы не возьмите говорить о поведении функции на действительном множестве по ним нельзя.
вот в чем проблема.
Множество всех последовательностей, сходящихся к одной данной точке, является несчетным.
" Какой функциональный смысл оно несёт " - так просто понятнее. "чем сколько угодно малый лучше сколько угодно большого " - а нам как раз тут не нужны любые конечные, и большие тем более, вот для акцента на этом и дано.
"На практике для вычисления/доказательства любого предела вам придется опираться на классическое определение " - оно не нужно. "общего способа доказать что в окрестности содержится " - достаточно доказать, что существует конкретная окрестность, в которой нет ни одной точки. И смысл этого намного яснее. Потому что если такой окрестности нет, то в любой их бесконечно много, и наоборот - если есть такая, в которое конечное, то есть и такая, в которой их нет (случай совпадения точек последовательности с пределом можно отдельно рассмотреть).
"так ещё и не дано доказательство его эквивалентности классическому определению " - это доказательство элементарно и есть в любом учебнике по матанализу (эквивалентность определений по Коши и по Гейне).
Определение предела последовательностей через точки сгущения - топологическое. А вот определение предела функции тут берется другое.
Предел по базе нужен только для того, чтобы унифицировать понятие предела в точке и на бесконечности. Ради такой мелочи нет смысла резко повышать уровень абстракции, к тому же опыт преподавания самим Зоричем на мехмате МГУ такого определения предела очень печален - студенты его совсем не понимают.
Не может перекрываться разве что в одноэлектронном приближении. Но чисто терминологически, да, корректнее говорить либо о перекрытии электронных состояний, либо о перекрытии орбиталей, тут конечно речь про первое.
Просто электронное состояние можно упрощенно описывать как орбиталь, тут это имеется в виду. Но когда мы говорим о перекрытии электронных состояний, то, конечно же, за рамки этого упрощения выходим уже.
Речь о равномерной сходимости последовательности траекторий. Это то же самое, что говорить о максимальном отклонении траектории, потому что в слове максимальный здесь заключено, что максимум берется по множеству траекторий, т.е. добавляется параметр, по которому сходимость должна быть равномерной.
Попробуйте формализовать понятие сгущения. Вот Вы берёте некую окрестность точки сгущения. Вы обнаруживаете там бесконечно много точек рассматриваемой Вами последовательности. Если точек конечное число, то, очевидно, у Вас нет никакой "точки сгущения" (сгущаться нечему, дискретное множество попросту ооочень дырявое множество))). Потом, Вы берёте меньшую окрестность и, о радость, опять обнаруживаете бесконечное количество точек данной Вами последовательности. Вы бесконечно продолжаете этот процесс, и вот это бесконечное продолжение и становится основанием для определения точки сгущения
Зачем здесь нужен этот бесконечный процесс?
Я просто определяю точку сгущения как точку, в любой окрестности которой бесконечно много точек последовательности. Никакой другой формализации не нужно.
Именно поэтому, нет никакого подхода к сходимости и непрерывности по Гейне., а есть различные формулировки одного и того же
Это не так, определение предела по Гейне сильно отличается от определения по Коши, а и в некоторых пространствах, например, они вообще не эквивалентны.
а есть различные формулировки одного и того же — на различных языках: на общечеловеческом языке и на формализованном языке
Это тоже не так. Определения по Гейне даются на формализованном языке.
Классическая точка зрения заключается в том, что оперирование бесконечностью законно, а это значит, что мы можем определить понятие мощности множества через существование взаимнооднозначного соответствия.
Я тут ее и использую, потому что выход за ее пределы к анализу не имеет никакого прямого отношения.
Только зачем здесь его вводить? Эта конструкция, во-первых, логически намного проще, чем у Коши, во-вторых никакого конкретного эпсилон вводить не нужно.
Все эти понятия уже были определены в тексте. Понятие интервала гораздо проще, чем вот это, его в 5-6-м классе изучают, примерно когда проходят числовую прямую
Нет, обхожусь без этого. Потому что я тут не использую в определении, что для любого эпсилон, начиная с какого-то номера, они все внутри. Я просто говорю, что в любой окрестности точки их там бесконечное количество, не уточняя расположение.
Более того, точка сгущения - это частичный предел, а не предел. Определение предела тут - "единственный частичный предел". Понятие частичного предела проще, чем предела, геометрически, если определять его не как предел подпоследовательности (что требует строить еще одну сущность), а просто как точку сгущения.
Вместо кванторов обозначающие их слова - это запутывает только. Потому что это всё равно "не по-русски" написано получается.
Фихтенгольцу нужно понятие точки сгущения области, оно вообще лишнее. Просто он определяет предел сразу на произвольном числовом множестве, а если бы он использовал предел по Гейне, можно было это вообще не упоминать. В ряде современных учебников вместо этого определяют сразу предел в точке, которая не является точкой сгущения области, там получается, что он тогда равен значению функции в этой точке (например, по Иванову функция всегда непрерывна в изолированной точке, если она в ней определена).
Удобство Гейне именно в том, что при доказательстве предела функции как в примере я просто сразу могу заменить функции на последовательности. Подход Гейне именно в этом и заключается.
А по Коши надо идти более громоздким путем.
Более того, по Коши нужно свойства пределов функций доказывать отдельно от свойств пределов последовательностей.
Равномерная сходимость (как и непрерывность) от обычной отличается всего лишь наличием дополнительного параметра.
Так поэтому и пишу, что терминологически вещи разные. Из разных моделей: одноэлектронное и многоэлектронное приближение.
За эти вопросы в целом спасибо, так понятнее, что разбирать следует, если излагать моим способом.
А тут
вот в чем проблема.
Множество всех последовательностей, сходящихся к одной данной точке, является несчетным.
Отвечу в виде пунктов.
" Какой функциональный смысл оно несёт " - так просто понятнее. "чем сколько угодно малый лучше сколько угодно большого " - а нам как раз тут не нужны любые конечные, и большие тем более, вот для акцента на этом и дано.
"На практике для вычисления/доказательства любого предела вам придется опираться на классическое определение " - оно не нужно. "общего способа доказать что в окрестности содержится " - достаточно доказать, что существует конкретная окрестность, в которой нет ни одной точки. И смысл этого намного яснее. Потому что если такой окрестности нет, то в любой их бесконечно много, и наоборот - если есть такая, в которое конечное, то есть и такая, в которой их нет (случай совпадения точек последовательности с пределом можно отдельно рассмотреть).
"так ещё и не дано доказательство его эквивалентности классическому определению " - это доказательство элементарно и есть в любом учебнике по матанализу (эквивалентность определений по Коши и по Гейне).
Определение предела последовательностей через точки сгущения - топологическое. А вот определение предела функции тут берется другое.
Предел по базе нужен только для того, чтобы унифицировать понятие предела в точке и на бесконечности. Ради такой мелочи нет смысла резко повышать уровень абстракции, к тому же опыт преподавания самим Зоричем на мехмате МГУ такого определения предела очень печален - студенты его совсем не понимают.
Не может перекрываться разве что в одноэлектронном приближении. Но чисто терминологически, да, корректнее говорить либо о перекрытии электронных состояний, либо о перекрытии орбиталей, тут конечно речь про первое.
Просто электронное состояние можно упрощенно описывать как орбиталь, тут это имеется в виду. Но когда мы говорим о перекрытии электронных состояний, то, конечно же, за рамки этого упрощения выходим уже.
Вот, например, какой-то конспект из МГУ http://nuclphys.sinp.msu.ru/mathan/p1/m0609.html , тут даже не постулируют, а доказывают как теорему, что функция непрерывна в изолированной точке.
Ну в МФТИ сейчас на лекциях по матанализу, например, учат, что функция непрерывна во всех изолированных точках своей области определения.
Не знаю, где еще так тоже, но учебники таковые имеются.
Речь о равномерной сходимости последовательности траекторий. Это то же самое, что говорить о максимальном отклонении траектории, потому что в слове максимальный здесь заключено, что максимум берется по множеству траекторий, т.е. добавляется параметр, по которому сходимость должна быть равномерной.
Зачем здесь нужен этот бесконечный процесс?
Я просто определяю точку сгущения как точку, в любой окрестности которой бесконечно много точек последовательности. Никакой другой формализации не нужно.
Это не так, определение предела по Гейне сильно отличается от определения по Коши, а и в некоторых пространствах, например, они вообще не эквивалентны.
Это тоже не так. Определения по Гейне даются на формализованном языке.
Я тут ее и использую, потому что выход за ее пределы к анализу не имеет никакого прямого отношения.
Только зачем здесь его вводить? Эта конструкция, во-первых, логически намного проще, чем у Коши, во-вторых никакого конкретного эпсилон вводить не нужно.
Все эти понятия уже были определены в тексте. Понятие интервала гораздо проще, чем вот это, его в 5-6-м классе изучают, примерно когда проходят числовую прямую
Не требует, здесь доказана неравномощность натуральных чисел и континуума.
Нет, обхожусь без этого. Потому что я тут не использую в определении, что для любого эпсилон, начиная с какого-то номера, они все внутри. Я просто говорю, что в любой окрестности точки их там бесконечное количество, не уточняя расположение.
Более того, точка сгущения - это частичный предел, а не предел. Определение предела тут - "единственный частичный предел". Понятие частичного предела проще, чем предела, геометрически, если определять его не как предел подпоследовательности (что требует строить еще одну сущность), а просто как точку сгущения.
Это симметричный интервал, включающий эту точку.
Точка сгущения последовательности и точка сгущения области - понятия разные.
Ну вот ценность работы в том, что они как раз аналитическое решение нашли.
Практический интерес эти модели прежде всего для моделирования движения крови человека представляют. А там частицы разного размера надо учитывать.
Насколько я понял, в той модели не учитывалось. По ссылке полный текст статьи со всеми формулами есть, можете сами посмотреть.
Конкретно эта работа теоретическая, поэтому эксперимент там не описан.
Точка, в любой окрестности которой бесконечное количество членов последовательности.
Так у Фихтенгольца еще запутаннее выходит.
Вместо кванторов обозначающие их слова - это запутывает только. Потому что это всё равно "не по-русски" написано получается.
Фихтенгольцу нужно понятие точки сгущения области, оно вообще лишнее. Просто он определяет предел сразу на произвольном числовом множестве, а если бы он использовал предел по Гейне, можно было это вообще не упоминать. В ряде современных учебников вместо этого определяют сразу предел в точке, которая не является точкой сгущения области, там получается, что он тогда равен значению функции в этой точке (например, по Иванову функция всегда непрерывна в изолированной точке, если она в ней определена).