Если f(x)*f(-x) = 1, и f(x) аналитическая функция, то ничего кроме экспоненты быть не может (можно доказать, расписав ряды).
Если это не аналитическая функция, то может быть что угодно.
Элементарные функции — это функции, которые можно получить из основных элементарных функций (степенные, показательные, логарифмические, тригонометрические и обратные тригонометрические) с помощью конечного числа арифметических операций (+, -, *, /) и операций суперпозиции (вложения одной функции в другую).
Элементарные являются подвидом аналитических.
Значит f(x) нельзя выразить в аналитических функциях.
Единственный подвох, который тут может быть. связан с многолистностью части элементарных функций.
В МФТИ растет нагрузка, больше предметов становится, содержание больше. Можно сравнить с задавальником 1993-го года, намного сложнее стало. Да и даже я вот учился в конце нулевых, и смотрю задавальники сейчас, у нас проще было и немного меньше материала в программы засовывали.
В плане математического анализа сейчас у многих основной учебник Иванова, и по нему соответственно сдавать, а это куда более сложное изложение, чем по Кудрявцеву, например.
Кроме того, я у Неретина читал про схожие процессы на мехмате МГУ, что за 30 лет там программа увеличилась где-то в 2 раза, а студенты сильнее не стали, скорее наоборот.
Тогда есть проблема, это не может быть аналитической функцией. А значит нельзя точно выразить в элементарных функциях, потому что элементарные - аналитические. Но приближенно можно, вопрос только какую систему функций лучше взять. Для этого можно протестировать разные гипотезы.
Можно добавить кстати, раньше не встречал. Почитал сейчас, вроде полезная штука. По крайней мере студентам полезно показать, что такое вообще есть. А в учебниках по вычислительной математике совсем не видел.
А ещё одна проблема, что не для всех пар разрез надо делать так, как я написал. Ещё придётся правило ввести условием, иначе формула даст неправильный ответ.
Квадратный корень - двулистная функция. Чтобы формула работала корректно, нужно брать разрез по лучу от 0 до +бесконечности на вещественной оси. Но тогда это значит, что в окрестности разреза результат вычислений будет неустойчивым.
Так что, получается, не для всех пар чисел такой подход хорош. Нужно эту формулу доработать до конкретного алгоритма, который устойчиво работает.
А я сейчас начал писать следующую статью, про вещественные числа. Сегодня меня в комментариях навели на курс анализа от Куранта, там очень много сделано именно так, как я хотел. Но, к сожалению, по доказательствам этот курс неполный и сильно не подробный.
Здесь показан подход, в котором эти определения конструируются, а их свойства (которые обычно являются аксиомами) потом доказываются. Это такой конструктивный путь к построению теорий.
В анализе его оказывается недостаточно, его хватает только на дискретную математику. Поэтому происходит переход на аксиоматический подход, в котором вопрос обоснования корректности системы аксиом выносится за пределы предмета (во-первых потому, что этим уже занимается отдельная наука, теория множеств, во-вторых потому, что часть аксиом - это аксиомы поля, кольца и группы, а их непротиворечивость и корректность уже не надо доказывать в курсе анализа).
Я думаю использовать аксиому счетного выбора. Ее достаточно для почти всех теорем анализа, а аксиома полного выбора в курсах анализа обычно нужна только для построения множеств, неизмеримых по Лебегу (с аксиомой счетного выбора таких множеств не существует).
Ну кстати посмотрел сейчас Куранта, там много вещей, которые я сам хотел сделать в курсе, только он ограничивается лишь небольшим количеством вещей.
Про пределы он там через точки сгущения излагает, например, для доказательства теорем анализа и как раз у него очень простые доказательства, как я и хотел. Но проблема в том, что он там совсем немного из курса так излагает.
Кстати сейчас пересмотрел Кудрявцева, оказывается там тоже есть много моих идей, например куча теорем через предел по Гейне доказана, вследствие чего его изложение этих теорем куда короче, чем у других авторов.
Так что видимо с Курантом и Кудрявцевым можно сверяться тоже в ряде мест.
Это Gemini глючит, он же накодил. Вернусь домой, переделаю код графика сам.
Если f(x)*f(-x) = 1, и f(x) аналитическая функция, то ничего кроме экспоненты быть не может (можно доказать, расписав ряды).
Если это не аналитическая функция, то может быть что угодно.
Элементарные функции — это функции, которые можно получить из основных элементарных функций (степенные, показательные, логарифмические, тригонометрические и обратные тригонометрические) с помощью конечного числа арифметических операций (+, -, *, /) и операций суперпозиции (вложения одной функции в другую).
Элементарные являются подвидом аналитических.
Значит f(x) нельзя выразить в аналитических функциях.
Единственный подвох, который тут может быть. связан с многолистностью части элементарных функций.
В МФТИ растет нагрузка, больше предметов становится, содержание больше. Можно сравнить с задавальником 1993-го года, намного сложнее стало. Да и даже я вот учился в конце нулевых, и смотрю задавальники сейчас, у нас проще было и немного меньше материала в программы засовывали.
В плане математического анализа сейчас у многих основной учебник Иванова, и по нему соответственно сдавать, а это куда более сложное изложение, чем по Кудрявцеву, например.
Кроме того, я у Неретина читал про схожие процессы на мехмате МГУ, что за 30 лет там программа увеличилась где-то в 2 раза, а студенты сильнее не стали, скорее наоборот.
Тогда есть проблема, это не может быть аналитической функцией. А значит нельзя точно выразить в элементарных функциях, потому что элементарные - аналитические. Но приближенно можно, вопрос только какую систему функций лучше взять. Для этого можно протестировать разные гипотезы.
Можно добавить кстати, раньше не встречал. Почитал сейчас, вроде полезная штука. По крайней мере студентам полезно показать, что такое вообще есть. А в учебниках по вычислительной математике совсем не видел.
Я думаю, под невозможностью имеется в виду то, что это не аналитическая функция.
Это зависит от того, какими функциями приближать.
Ваша форма указывает на то, что это показательные функции.
Значит ищем в виде A*exp(kx), если плохо приближает, добавим B*exp(m*x) и так далее. Параметры по МНК находим.
А ещё одна проблема, что не для всех пар разрез надо делать так, как я написал. Ещё придётся правило ввести условием, иначе формула даст неправильный ответ.
Квадратный корень - двулистная функция. Чтобы формула работала корректно, нужно брать разрез по лучу от 0 до +бесконечности на вещественной оси. Но тогда это значит, что в окрестности разреза результат вычислений будет неустойчивым.
Так что, получается, не для всех пар чисел такой подход хорош. Нужно эту формулу доработать до конкретного алгоритма, который устойчиво работает.
Насчет примеров, есть точные оценки сверху через константы Лебега, там в моем курсе приведены. Вы вот это пропустили как-то
Не только. Регрессия подходит, оптимизация (по разным нормам), сплайны.
Там еще метод через высшие производные есть для восстановления аналитической функции, в том же параграфе про интерполяцию.
Как это ничего не сказано про узлы Чебышева?
Там про них довольно много написано в теории, и задачи на них есть.
На моем сайте узлы Чебышева через константы Лебега вводятся.
Этим вычислительная математика занимается.
У меня есть свой курс https://toomanydigits.online/
Есть учебник Эдмунда Ландау https://ikfia.ysn.ru/wp-content/uploads/2018/01/Landau1947ru.pdf .
Там такой подход используется и расписывается очень подробно.
В подходе Пеано это определение, а не аксиома. Потому что достаточно этих 5
Дальше надо доказать, что определение корректно (непротиворечиво), а также обладает свойствами коммутативности и ассоциативности.
Я это доказательство уже вставил в статью, посмотрите, если не видели.
А я сейчас начал писать следующую статью, про вещественные числа. Сегодня меня в комментариях навели на курс анализа от Куранта, там очень много сделано именно так, как я хотел. Но, к сожалению, по доказательствам этот курс неполный и сильно не подробный.
Здесь показан подход, в котором эти определения конструируются, а их свойства (которые обычно являются аксиомами) потом доказываются. Это такой конструктивный путь к построению теорий.
В анализе его оказывается недостаточно, его хватает только на дискретную математику. Поэтому происходит переход на аксиоматический подход, в котором вопрос обоснования корректности системы аксиом выносится за пределы предмета (во-первых потому, что этим уже занимается отдельная наука, теория множеств, во-вторых потому, что часть аксиом - это аксиомы поля, кольца и группы, а их непротиворечивость и корректность уже не надо доказывать в курсе анализа).
Я думаю использовать аксиому счетного выбора. Ее достаточно для почти всех теорем анализа, а аксиома полного выбора в курсах анализа обычно нужна только для построения множеств, неизмеримых по Лебегу (с аксиомой счетного выбора таких множеств не существует).
Преимущество аксиомы счетного выбора в том, что она очень наглядная. https://ru.wikipedia.org/wiki/Аксиома_счётного_выбора
За наводку на Куранта спасибо, вот то что нужно, я на это сошлюсь. Но я собираюсь через этот принцип доказать гораздо больше теорем, чем там доказано.
А еще есть ряд еще других упрощающих идей, которых у него в книге нет.
Ну кстати посмотрел сейчас Куранта, там много вещей, которые я сам хотел сделать в курсе, только он ограничивается лишь небольшим количеством вещей.
Про пределы он там через точки сгущения излагает, например, для доказательства теорем анализа и как раз у него очень простые доказательства, как я и хотел. Но проблема в том, что он там совсем немного из курса так излагает.
Кстати сейчас пересмотрел Кудрявцева, оказывается там тоже есть много моих идей, например куча теорем через предел по Гейне доказана, вследствие чего его изложение этих теорем куда короче, чем у других авторов.
Так что видимо с Курантом и Кудрявцевым можно сверяться тоже в ряде мест.