Проще говоря, ну вот я даю объяснение, что значит два вектора геометрически умножить. Потом показываю, что такое бивектор, сначала на плоскости. Потом в 3D демонстрирую. Затем говорю, что это всё еще можно формально складывать. И далее можно показать, как можно этот аппарат работает. Получается алгебраическая игра с символами по простым правилам, причем каждому правилу соответствует легко иллюстрируемая операция. Вводить всякие абстрактные пространства, рассуждать о сигнатурах - это выглядит как-то слишком избыточно.
У меня там в книге всё намного медленнее объясняется, я несколько страниц описываю, что такое произведение двух векторов, с картинками.
Я могу кусок первой главы, всё равно это войдет в ознакомительный фрагмент. Напишите почту в личное сообщение мне, куда прислать.
Тут дело в том, что вываливать на человека сразу все определения и аксиомы, как принято в математической литературе - не очень хороший способ объяснять материал. А если пытаться постепенно объяснять - ну вот такие проблемы, как вы описали, могут появляться, если текст еще сыро написан.
Кроме того, хотя с геометрической алгеброй сопряжено много абстракций, вообще-то в своей основе это очень простой инструмент, основанный на простых алгебраических операциях, его изучить не сложнее школьной алгебры многочленов. Там на самом деле не нужно рассуждать вот про эти пространства, множества и так далее. У меня есть операции сложить и умножить, их геометрический смысл, а дальше работаем с этим и смотрим, что получается. То что вы пишете про сигнатуру операции, многомерные пространства - это всё слишком сложно, можно проще, для понимания происходящего можно ничего не знать из перечисленного.
На самом деле я благодарен за все эти вопросы, потому что сейчас пишу книгу по вычислительной математике и алгоритмам, там первые 3 главы про прикладную геометрическую алгебру, нужно написать максимально простым языком с минимумом формул, больше примеров и кода на Питоне. Поэтому нужно понять, как лучше изложить. Здесь же на Хабре принцип минимума формул не нужен, но хотя бы можно понять, какие проблемы могут быть у тех, кто будет читать текст.
Рукопись книги сдам к 1 февраля, выйдет в печать где-то весной.
Насчет стыковки ответ простой. Внутреннее произведение e1 на e2 равно нулю, поэтому внешнее произведение и геометрическое базисных векторов - одно и то же.
На фэйсбуке один знакомый физик-теоретик из США, который как раз занимается теорией поля и магнетизмом, написал, что скептически относится к этой затее с мультивекторами, потому что то же самое делают дифференциальные формы.
"Ваше скалярное уравнение (закон Гаусса) получается если взять 1-форму электрического поля, получить дуальную ей 2-форму с помощью оператора Ходжа, чья внешняя производная равна 3-форме плотности заряда. Применяем ещё раз оператор Ходжа и получаем 0-форму (то есть скаляр).
Те же действия производим с векторным уравнением (закон Ампера). Магнитное поле переделываем оператором Ходжа из 2-формы в 1-форму, чья внешняя производная есть 2-форма. Аналогично преобразуем эл. поле из 1-формы в 2-форму; её производная по времени есть 2-форма. Плотность тока с точки зрения 3-мерного пространства тоже есть 2-форма. Таким образом, закон Ампера есть уравнение для 2-форм. Применив к нему оператор Ходжа, получаем уравнение для 1-форм (то есть векторов)."
Еще он посоветовал книгу изучить, в которой через дифференциальные формы физика переписана
Число Пи появляется из разных задач, в том не требующих длин.
Радиан - да, хороший пример размерности нулевой степени. То есть с одной стороны это нулевая размерность, с другой - углы с числами бессмысленно складывать.
Дальше можно расписать, как действует на поля разного ранга
Но самое красивое то, что уравнения Максвелла являются в итоге волновым уравнением на мультивектор, которое выглядит абсолютно одинаково в любой размерности пространства и в любой системе отсчета.
Насколько я понимаю, этот вопрос решен у теоретиков через многомерную дифференциальную геометрию. Тут я строю альтернативный подход - и, судя по комментариям на фэйсбуке от физиков-теоретиков, которые этим профессионально занимаются, он дает те же самые теории, но иным способом и в иной формулировке.
Да, правильно понимаете. Действие оператора набла полностью аналогично расписывается в символьной записи. Просто у вас базисные вектора теперь не e1, e2, e3, а e1, e2, .... , en. А вот матричные представления алгебры Клиффорда будут куда сложнее обычных матриц Паули.
Да, я в этой статье не расписал подробно про оператор набла в алгебре Клиффорда. И почему матричное представление именно такое, как написано. Надо отдельную статью про это написать и тогда сюда в эту статью вставлю ссылку.
На фэйсбуке знакомый нам обоим физик-теоретик из США написал интересную вещь.
"Кватернионная форма уравнений Максвелла заточена под 3 пространственных измерения. В этом случае электрическое и магнитное поля имеют одинаковое количество компонент. В других измерениях это не так: число компонент магнитного поля определяется числом пространственных плоскостей. "
Так тензор электромагнитного поля тоже имеют эту проблему.
А моя форма записи этих проблем не имеет. Моя мультивекторная запись электромагнитного поля позволяет единым образом описать электродинамику в любом количестве измерений, там одно и то же волновое уравнение на мультивектор.
Тут становится всё не так просто, как только мы начинаем разные размерности друг на друга делить и умножать.
Во-первых, в разных системах размерности не совпадают, и одни и те же величины могут в одной системе иметь разные размерности, в другой - одинаковые.
Во-вторых, даже если размерность величин со сложной размерностью одинаковая, то вообще-то это не значит, что их можно складывать. Например, момент силы складывать с энергией не получится, хотя у них одинаковые размерности в СИ.
В-третьих, можно сказать, что систему размерностей мы не можем вводить произвольным образом, и при этом если величины можно складывать между собой - то в любой корректно введенной системе размерностей они имеют одинаковую размерность, а если не можем - в некоторых она одинаковая, в других нет.
В-четвертых, есть еще безразмерные величины, они безразмерные в любой корректно введенной системе, но при этом складывать их не всегда можно.
В-пятых, надо подумать, существуют ли размерные величины, которые нельзя складывать, но при этом у них одинаковая размерность в любой системе. Момент силы с работой или энергией к таковым не относятся, потому что в некоторых системах величин они имеют разную размерность.
В-шестых, нужно как-то строго определить, а что такое корректно введенная система величин и их размерностей. Физически это понятно интуитивно, а как всё-таки формализовать?
При умножении да, при сложении нет. Вот, например, не имеет смысла складывать постоянную тонкой структуры с числом Пи, точно также как не имеет смысла метры с килограммами складывать. При этом вполне имеет смысл любую степень безразмерной константы складывать с самой с собой (многие физические выражения это используют), а квадратный метр с метром - не имеет смысла.
Так что тут для формализации нужно определить особую, нулевую размерность. А насчет умножения, так обычные размерные величины умножать друг на друга можно тоже.
Проще говоря, ну вот я даю объяснение, что значит два вектора геометрически умножить. Потом показываю, что такое бивектор, сначала на плоскости. Потом в 3D демонстрирую. Затем говорю, что это всё еще можно формально складывать. И далее можно показать, как можно этот аппарат работает. Получается алгебраическая игра с символами по простым правилам, причем каждому правилу соответствует легко иллюстрируемая операция. Вводить всякие абстрактные пространства, рассуждать о сигнатурах - это выглядит как-то слишком избыточно.
У меня там в книге всё намного медленнее объясняется, я несколько страниц описываю, что такое произведение двух векторов, с картинками.
Я могу кусок первой главы, всё равно это войдет в ознакомительный фрагмент. Напишите почту в личное сообщение мне, куда прислать.
Тут дело в том, что вываливать на человека сразу все определения и аксиомы, как принято в математической литературе - не очень хороший способ объяснять материал. А если пытаться постепенно объяснять - ну вот такие проблемы, как вы описали, могут появляться, если текст еще сыро написан.
Кроме того, хотя с геометрической алгеброй сопряжено много абстракций, вообще-то в своей основе это очень простой инструмент, основанный на простых алгебраических операциях, его изучить не сложнее школьной алгебры многочленов. Там на самом деле не нужно рассуждать вот про эти пространства, множества и так далее. У меня есть операции сложить и умножить, их геометрический смысл, а дальше работаем с этим и смотрим, что получается. То что вы пишете про сигнатуру операции, многомерные пространства - это всё слишком сложно, можно проще, для понимания происходящего можно ничего не знать из перечисленного.
На самом деле я благодарен за все эти вопросы, потому что сейчас пишу книгу по вычислительной математике и алгоритмам, там первые 3 главы про прикладную геометрическую алгебру, нужно написать максимально простым языком с минимумом формул, больше примеров и кода на Питоне. Поэтому нужно понять, как лучше изложить. Здесь же на Хабре принцип минимума формул не нужен, но хотя бы можно понять, какие проблемы могут быть у тех, кто будет читать текст.
Рукопись книги сдам к 1 февраля, выйдет в печать где-то весной.
Насчет стыковки ответ простой. Внутреннее произведение e1 на e2 равно нулю, поэтому внешнее произведение и геометрическое базисных векторов - одно и то же.
Так что догадались вы правильно.
Емкость конденсатора. В СГС его размерность - сантиметр. А в СИ будет
Хорошо, попробую. Спасибо за статью!
На фэйсбуке один знакомый физик-теоретик из США, который как раз занимается теорией поля и магнетизмом, написал, что скептически относится к этой затее с мультивекторами, потому что то же самое делают дифференциальные формы.
Ну то же самое может быть, однако формализм другой. Он прислал https://gemini.google.com/share/943fc676cffd
Написал он мне.
"Ваше скалярное уравнение (закон Гаусса) получается если взять 1-форму электрического поля, получить дуальную ей 2-форму с помощью оператора Ходжа, чья внешняя производная равна 3-форме плотности заряда. Применяем ещё раз оператор Ходжа и получаем 0-форму (то есть скаляр).
Те же действия производим с векторным уравнением (закон Ампера). Магнитное поле переделываем оператором Ходжа из 2-формы в 1-форму, чья внешняя производная есть 2-форма. Аналогично преобразуем эл. поле из 1-формы в 2-форму; её производная по времени есть 2-форма. Плотность тока с точки зрения 3-мерного пространства тоже есть 2-форма. Таким образом, закон Ампера есть уравнение для 2-форм. Применив к нему оператор Ходжа, получаем уравнение для 1-форм (то есть векторов)."
Еще он посоветовал книгу изучить, в которой через дифференциальные формы физика переписана
https://ia601409.us.archive.org/11/items/in.ernet.dli.2015.134154/2015.134154.Applied-Differential-Geometry.pdf
Число Пи появляется из разных задач, в том не требующих длин.
Радиан - да, хороший пример размерности нулевой степени. То есть с одной стороны это нулевая размерность, с другой - углы с числами бессмысленно складывать.
Точнее говоря, проблемы возникают, когда мы складываем размерные величины, которые были получены перед этим делениями и умножениями.
Ну формулы то в общем такие же
Дальше можно расписать, как действует на поля разного ранга
Но самое красивое то, что уравнения Максвелла являются в итоге волновым уравнением на мультивектор, которое выглядит абсолютно одинаково в любой размерности пространства и в любой системе отсчета.
Если так подходить, то можно формализовать просто как многочлен.
А тут направление не имеет значения, только длина.
Но я вообще планировал всё-таки чуть-чуть другой рисунок - все величины на сторонах угла, а не на третьих сторонах треугольников.
Насколько я понимаю, этот вопрос решен у теоретиков через многомерную дифференциальную геометрию. Тут я строю альтернативный подход - и, судя по комментариям на фэйсбуке от физиков-теоретиков, которые этим профессионально занимаются, он дает те же самые теории, но иным способом и в иной формулировке.
Да, правильно понимаете. Действие оператора набла полностью аналогично расписывается в символьной записи. Просто у вас базисные вектора теперь не e1, e2, e3, а e1, e2, .... , en. А вот матричные представления алгебры Клиффорда будут куда сложнее обычных матриц Паули.
Да, я в этой статье не расписал подробно про оператор набла в алгебре Клиффорда. И почему матричное представление именно такое, как написано. Надо отдельную статью про это написать и тогда сюда в эту статью вставлю ссылку.
Так это общеизвестные аксиомы: ассоциативность, коммутативность, дистрибутивность. А именно:
X + Y = Y + X
(X + Y) + Z = X + (Y + Z)
X*(Y*Z) = (X*Y)*Z
(X+Y)*Z = X*Z + Y*Z
Только коммутативности умножения тут нет из обычных аксиом. Но это в тексте написано.
Видимо да, стоило написать, что это имеется в виду.
Да, я это хотел нарисовать и прислать. В статью добавлю завтра.
На фэйсбуке знакомый нам обоим физик-теоретик из США написал интересную вещь.
"Кватернионная форма уравнений Максвелла заточена под 3 пространственных измерения. В этом случае электрическое и магнитное поля имеют одинаковое количество компонент. В других измерениях это не так: число компонент магнитного поля определяется числом пространственных плоскостей. "
Так тензор электромагнитного поля тоже имеют эту проблему.
А моя форма записи этих проблем не имеет. Моя мультивекторная запись электромагнитного поля позволяет единым образом описать электродинамику в любом количестве измерений, там одно и то же волновое уравнение на мультивектор.
Тут становится всё не так просто, как только мы начинаем разные размерности друг на друга делить и умножать.
Во-первых, в разных системах размерности не совпадают, и одни и те же величины могут в одной системе иметь разные размерности, в другой - одинаковые.
Во-вторых, даже если размерность величин со сложной размерностью одинаковая, то вообще-то это не значит, что их можно складывать. Например, момент силы складывать с энергией не получится, хотя у них одинаковые размерности в СИ.
В-третьих, можно сказать, что систему размерностей мы не можем вводить произвольным образом, и при этом если величины можно складывать между собой - то в любой корректно введенной системе размерностей они имеют одинаковую размерность, а если не можем - в некоторых она одинаковая, в других нет.
В-четвертых, есть еще безразмерные величины, они безразмерные в любой корректно введенной системе, но при этом складывать их не всегда можно.
В-пятых, надо подумать, существуют ли размерные величины, которые нельзя складывать, но при этом у них одинаковая размерность в любой системе. Момент силы с работой или энергией к таковым не относятся, потому что в некоторых системах величин они имеют разную размерность.
В-шестых, нужно как-то строго определить, а что такое корректно введенная система величин и их размерностей. Физически это понятно интуитивно, а как всё-таки формализовать?
Если пытаться полностью формализовать теорию размерностей, боюсь, огромного числа дополнительных проблем не избежать.
При умножении да, при сложении нет. Вот, например, не имеет смысла складывать постоянную тонкой структуры с числом Пи, точно также как не имеет смысла метры с килограммами складывать. При этом вполне имеет смысл любую степень безразмерной константы складывать с самой с собой (многие физические выражения это используют), а квадратный метр с метром - не имеет смысла.
Так что тут для формализации нужно определить особую, нулевую размерность. А насчет умножения, так обычные размерные величины умножать друг на друга можно тоже.