У геометрической алгебры очень много практических применений именно в плане сокращения вычислительных операций. В последнее время еще стали ее в машинном обучении использовать, а также для поиска более эффективных алгоритмов в моделировании математической физики (кое-где находят новые хорошие).
В настоящее время геометрическая алгебра активно используется при программировании графики в компьютерных играх, моделировании движения дронов, в медицинской визуализации, в криптографии, в робототехнике, навигации.
Например, вам нужно сложить две дуги на сфере, для этого достаточно два ротора умножить и всё. А с помощью сферической геометрии это сделать куда сложнее.
В некоторых разделах физики ей даже нет альтернативы, потому что спин - это объект из геометрической алгебры.
Переводов на русский язык пока что нет. Переписанная на язык геометрической алгебры физика есть еще в научных статьях, прежде всего самого Давида Хестенеса.
"В обычной алгебре, для решения уравнения с неизвестными, выполняется преобразование, при котором неизвестное переносится в одну часть уравнения а известное в другую. То что потом надо выполнить деление это уже вторично. "
В школе могут так объяснять, прежде всего в российской (в западных странах в школах обычно объясняют через одновременные преобразования обеих частей).
А если это строго описывать через аксиомы, то нет такого определения "перенести из одной части в другую". Есть последовательность одинаковых преобразований обеих частей уравнения.
Число 5 с точки зрения умножения - это увеличить в 5 раз. С точки зрения сложения - это сдвинуться на 5 вдоль числовой оси. На числовой оси число 5 умножением растягивает в 5 раз ось.
Дело в том, что вращение, задаваемое этим псевдоскаляром, это одновременное вращение во всех трех пространственных плоскостях и буст во всех трех временеподобных плоскостях.
U(1)-фазе соответствует угол вращения в плоскости, представленной псевдоскаляром пространства-времени I. Этот угол является лоренц-инвариантным скаляром.
I₄ = γ₀γ₁γ₂γ₃
У Хестенеса это такая особая плоскость, одной осью которой является сам объект X, а другой - его ортогональное дополнение X*I. Например, в 4D вектору будет соответствовать тривектор. Эта штука их перемешивает.
Ротор R кодирует всю зависящую от наблюдателя (от системы отсчета) информацию о состоянии электрона. А эта штука - не зависящую.
Получается то же самое, что и в обычной КМ. У нас просто вместо одного трехмерного пространства для каждой частицы свое трехмерное пространство, а связаны они между собой за счет потенциалов. Ровно это описывает и обычная КМ.
Это другая часть загадочности квантовой механики. Она заключается в том, что если у нас описание больше чем одной частицы (любого числа частиц), то они описываются не разными волновыми функциями, а одной многочастичной. Отсюда запутанность и т.п.
Никакой проблемы описывать это геометрической алгеброй нет.
20 лет назад Хестенес переписывал всю физику через геометрическую алгебру. Конкретно эту вещь он тут разбирал The-zitterbewegung-interpretation-of-quantum-mechanics.pdf . Там у него похоже (волновую функцию он тоже рассматривает как произведение плотности вероятности на ротор), но у меня немного другие рассуждения получились.
Ну так ровно это и будет, что написано: скаляр + бивектор. В координатах
Умножение означает применение оператора к оператору. Сложение означает, что мы складываем полученные объекты после того, как применили операторы.
Это значит, что мне надо сначала по направлению одной дуги пройти нужное расстояние, потом по направлению другой и понять, где я оказался.
У геометрической алгебры очень много практических применений именно в плане сокращения вычислительных операций. В последнее время еще стали ее в машинном обучении использовать, а также для поиска более эффективных алгоритмов в моделировании математической физики (кое-где находят новые хорошие).
В настоящее время геометрическая алгебра активно используется при программировании графики в компьютерных играх, моделировании движения дронов, в медицинской визуализации, в криптографии, в робототехнике, навигации.
Например, вам нужно сложить две дуги на сфере, для этого достаточно два ротора умножить и всё. А с помощью сферической геометрии это сделать куда сложнее.
В некоторых разделах физики ей даже нет альтернативы, потому что спин - это объект из геометрической алгебры.
Переводов на русский язык пока что нет. Переписанная на язык геометрической алгебры физика есть еще в научных статьях, прежде всего самого Давида Хестенеса.
"В обычной алгебре, для решения уравнения с неизвестными, выполняется преобразование, при котором неизвестное переносится в одну часть уравнения а известное в другую. То что потом надо выполнить деление это уже вторично. "
В школе могут так объяснять, прежде всего в российской (в западных странах в школах обычно объясняют через одновременные преобразования обеих частей).
А если это строго описывать через аксиомы, то нет такого определения "перенести из одной части в другую". Есть последовательность одинаковых преобразований обеих частей уравнения.
Суть идеи в том, что мы одновременно один и тот же объект считаем и зеркалом, и отражаемым объектом. В этом вся красота геометрической алгебры.
Никаких скоростей пока что тут нет, есть только геометрические векторы.
Число 5 с точки зрения умножения - это увеличить в 5 раз. С точки зрения сложения - это сдвинуться на 5 вдоль числовой оси. На числовой оси число 5 умножением растягивает в 5 раз ось.
Но вообще хороший вопрос, реально. Стоит поразмыслить над смыслом такого псевдоскалярного вращения.
Дело в том, что вращение, задаваемое этим псевдоскаляром, это одновременное вращение во всех трех пространственных плоскостях и буст во всех трех временеподобных плоскостях.
В той работе используется только электромагнетизм (уравнения Максвелла). Например
В общем да, это надо всё вписать в статью, иначе слишком сокращенно.
U(1)-фазе соответствует угол вращения в плоскости, представленной псевдоскаляром пространства-времени I. Этот угол является лоренц-инвариантным скаляром.
I₄ = γ₀γ₁γ₂γ₃
У Хестенеса это такая особая плоскость, одной осью которой является сам объект X, а другой - его ортогональное дополнение X*I. Например, в 4D вектору будет соответствовать тривектор. Эта штука их перемешивает.
Ротор R кодирует всю зависящую от наблюдателя (от системы отсчета) информацию о состоянии электрона. А эта штука - не зависящую.
Получается то же самое, что и в обычной КМ. У нас просто вместо одного трехмерного пространства для каждой частицы свое трехмерное пространство, а связаны они между собой за счет потенциалов. Ровно это описывает и обычная КМ.
Одна степень свободы - угол.
"Загадочность квантовой механики вовсе не в комплексных числах не в спине и не в уравнении Дирака. "
Да вообще в основном в этом. Нелокальность представить себе можно. А откуда берется спин и что такое вообще комплексная ВФ - куда загадочнее.
Это другая часть загадочности квантовой механики. Она заключается в том, что если у нас описание больше чем одной частицы (любого числа частиц), то они описываются не разными волновыми функциями, а одной многочастичной. Отсюда запутанность и т.п.
Никакой проблемы описывать это геометрической алгеброй нет.
А вот тут, например, 2002.11463 , пытаются темную энергию извлечь из ГА.
20 лет назад Хестенес переписывал всю физику через геометрическую алгебру. Конкретно эту вещь он тут разбирал The-zitterbewegung-interpretation-of-quantum-mechanics.pdf . Там у него похоже (волновую функцию он тоже рассматривает как произведение плотности вероятности на ротор), но у меня немного другие рассуждения получились.
Тут нет никакого убийства ОТО и КМ. Я просто заменяю тензорный матаппарат на мультивекторный. Впрочем, даже не я, первым это начал делать Хестенес.
Одно из преимуществ - для вывода уравнений не нужен принцип наименьшего действия, без него всё получается.