На самом деле тут несколько сложнее, потому что в комплексных числах, как и в вещественных, можно разделять два вида квадратных корня (однозначную и двузначную операцию). В случае однозначной операции надо аргумент числа делить пополам, и тогда корень из -1 это только +i.
Отношение «больше или равно по модулю» на множестве комплексных чисел не является отношением порядка. Из равенства модулей не следует равенство самих чисел, тем самым нарушается антисимметричность.
Да и с нейронками сложно. Тут скорее речь о том, что довольно много разных знаний про комплексные числа накопилось уже, порылся ещё дополнительно в книгах и статьях, а нейронка позволяет это структурировать в единое повествование. А текст тут они не писали.
Кстати говоря, про связь комплексных чисел с группами и алгебрами Ли, про формулу Эйлера в любой ассоциативной алгебре нейронки вообще не вспоминают, если только напрямую им об этом не написать. Видимо, этого относительно мало в их обучающей выборке.
Видимо, стоит вообще в начале второй статьи раскрыть, а не в конце цикла, там логичнее, да и смыкается такой переход с концом этой статьи логично. Суть в том, что мнимая единица прошла такой исторический путь:
Артефакт вычислений.
Формальный символ одной операции.
Случайный, но полезный инструмент.
Систематический используемый с оформленными правилами работы, но непонятный
Геометрически осмысленный объект, полностью понятный.
Ядро собственной теории.
Часть всеобщего языка науки.
Это и соответствует этим 7 этапам.
В этой статье я раскрыл первые 4:
Кардано.
Бомбелли (и еще Декарт, кстати, можно было его тоже упомянуть).
Эйлер, Безу, Муавр и т.п.
Даламбер и прочие ученые в конце 18-го века. Там как раз та самая "революционная ситуация" - правила уже сложились, а понимания нет.
Пятый и шестой этап - это 19-й век, а седьмой этап - уже 20-й скорее (теория групп и алгебр Ли, применения в квантовой механике и тому подобное).
Считается, что вообще эту семичленку придумала Яновская, а не сам Маркс, но она на конкретных примерах есть у Маркса (деньги, товар, натуральное число, дифференциал). Просто Маркс не писал ее в виде явного списка нигде, кроме оглавления "Капитала".
У Яновской в статьях по философии математики есть анализ, почему это именно так устроено. Она была ученицей Колмогорова и тем самым человеком, который математические рукописи Маркса первым разобрал, перевел, оцифровал.
Здесь весь план статей на цикл построен на основе определенной философии. Историческое развитие понимания комплексных чисел, совпадающее с описанными 7 стадиями. У Яновской похожее было сделано в объяснении понятия множества.
А в конце - на основе продемонстрированного подхода общая философия понимания.
Тут еще фактически ввожу новую концепцию «отчужденного знания». По аналогии с Марксом.
Во второй части будет разобрано как раз подробно.
Сейчас пошло обсуждений этой статьи в соцсетях. Оказалось, многие не знают о том, что при возведении в мнимую степень происходит «обмен ролями»: модуль исходного числа влияет на угол поворота результата, аргумент исходного числа влияет на модуль результата. И много других геометрических вещей не знают, важных для понимания. Как раз вторая часть про это.
Я плохо представляю, чем здесь теорема Кэли и перестановки помогают, хотя, наверное, протолкнуть можно
А я хорошо себе представляю, хотя, вероятно абстрактную теорию групп знаю хуже Вас (мои познания ограничиваются плюс минус материалом вводного семестрового курса + совсем немного знаком с теорией представлений и как группами диффуры решать), и собираюсь это протолкнуть в следующей статье, которую здесь размещу.
Конечно, в теории групп не всегда можно именно доказательство полное построить через перестановки, и они могут играть роль лишь интуиции и частичного доказательства, но здесь то это не так.
Для меня теория групп кликнула, хронологически,
А я собираюсь этим всё закончить, а не начать. Потому что если понять структурные теоремы, дальше теория групп в целом понятна. Цель этих статей и заключается в том, чтобы суметь дать максимально понятное изложение структурных теорем.
Более того, я сам начал понимать нормально эти теоремы, только связав их с теоремой Кэли. До этого как-то очень абстрактно воспринималось, не интуитивно.
Это универсальное свойство перестановок. Какому универсальному групповому свойству оно соответствует?
разложение на циклы в регулярном представлении отражает структуру действия элемента на группе как множестве.
Возьмём элемент h ∈ G. В регулярном представлении он становится перестановкой π_h на множестве G. У этой перестановки π_h есть какое-то разложение на независимые циклы в S_{|G|}.
Длины циклов в разложении — это в точности размеры орбит действия циклической подгруппы ⟨h⟩ на G левыми сдвигами.
Ваши претензии понятны в данном случае, насчет полной симметрической группы. Но здесь "перестановочное представление" позволяет гораздо проще думать о таких вещах и доказывать их.
На самом деле тут несколько сложнее, потому что в комплексных числах, как и в вещественных, можно разделять два вида квадратных корня (однозначную и двузначную операцию). В случае однозначной операции надо аргумент числа делить пополам, и тогда корень из -1 это только +i.
Отношение «больше или равно по модулю» на множестве комплексных чисел не является отношением порядка. Из равенства модулей не следует равенство самих чисел, тем самым нарушается антисимметричность.
https://neerc.ifmo.ru/wiki/index.php?title=%D0%9E%D1%82%D0%BD%D0%BE%D1%88%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B5_%D0%BF%D0%BE%D1%80%D1%8F%D0%B4%D0%BA%D0%B0
Там пропущен x в одном месте, вставлю сейчас.
Уравнение взялось из формулы "куб суммы"
Да и с нейронками сложно. Тут скорее речь о том, что довольно много разных знаний про комплексные числа накопилось уже, порылся ещё дополнительно в книгах и статьях, а нейронка позволяет это структурировать в единое повествование. А текст тут они не писали.
Кстати говоря, про связь комплексных чисел с группами и алгебрами Ли, про формулу Эйлера в любой ассоциативной алгебре нейронки вообще не вспоминают, если только напрямую им об этом не написать. Видимо, этого относительно мало в их обучающей выборке.
Во второй части будет про геометрию. И там гораздо больше геометрического смысла, на самом деле, чем поворот.
Там по плану цикла есть.
Для моделирования финансовых рынков используют комплексные числа.
Видимо, стоит вообще в начале второй статьи раскрыть, а не в конце цикла, там логичнее, да и смыкается такой переход с концом этой статьи логично. Суть в том, что мнимая единица прошла такой исторический путь:
Артефакт вычислений.
Формальный символ одной операции.
Случайный, но полезный инструмент.
Систематический используемый с оформленными правилами работы, но непонятный
Геометрически осмысленный объект, полностью понятный.
Ядро собственной теории.
Часть всеобщего языка науки.
Это и соответствует этим 7 этапам.
В этой статье я раскрыл первые 4:
Кардано.
Бомбелли (и еще Декарт, кстати, можно было его тоже упомянуть).
Эйлер, Безу, Муавр и т.п.
Даламбер и прочие ученые в конце 18-го века. Там как раз та самая "революционная ситуация" - правила уже сложились, а понимания нет.
Пятый и шестой этап - это 19-й век, а седьмой этап - уже 20-й скорее (теория групп и алгебр Ли, применения в квантовой механике и тому подобное).
Считается, что вообще эту семичленку придумала Яновская, а не сам Маркс, но она на конкретных примерах есть у Маркса (деньги, товар, натуральное число, дифференциал). Просто Маркс не писал ее в виде явного списка нигде, кроме оглавления "Капитала".
У Яновской в статьях по философии математики есть анализ, почему это именно так устроено. Она была ученицей Колмогорова и тем самым человеком, который математические рукописи Маркса первым разобрал, перевел, оцифровал.
Здесь весь план статей на цикл построен на основе определенной философии. Историческое развитие понимания комплексных чисел, совпадающее с описанными 7 стадиями. У Яновской похожее было сделано в объяснении понятия множества.
А в конце - на основе продемонстрированного подхода общая философия понимания.
Тут еще фактически ввожу новую концепцию «отчужденного знания». По аналогии с Марксом.
Во второй части будет разобрано как раз подробно.
Сейчас пошло обсуждений этой статьи в соцсетях. Оказалось, многие не знают о том, что при возведении в мнимую степень происходит «обмен ролями»: модуль исходного числа влияет на угол поворота результата, аргумент исходного числа влияет на модуль результата. И много других геометрических вещей не знают, важных для понимания. Как раз вторая часть про это.
Некоторые элементы такого подхода можно найти в исторических книгах, но там, к сожалению, не ставят цели объяснить именно математику, там про ученых.
Так тут нет нейрослопа совсем. Нейронка только картинки рисует.
Здесь реализован новый подход к объяснению темы комплексных чисел.
Ну тут скорее дело не в токенах, а в книгах по истории математики.
Там, правда, больше перекос в историю, чем в математику, у меня наоборот.
Это просто вопрос вашего незнания значения функции.
Т.е. значение функции в данной точке либо 0, либо 1, но вы не знаете этого.
Я там чуть поправил, так может яснее будет
А я хорошо себе представляю, хотя, вероятно абстрактную теорию групп знаю хуже Вас (мои познания ограничиваются плюс минус материалом вводного семестрового курса + совсем немного знаком с теорией представлений и как группами диффуры решать), и собираюсь это протолкнуть в следующей статье, которую здесь размещу.
Конечно, в теории групп не всегда можно именно доказательство полное построить через перестановки, и они могут играть роль лишь интуиции и частичного доказательства, но здесь то это не так.
А я собираюсь этим всё закончить, а не начать. Потому что если понять структурные теоремы, дальше теория групп в целом понятна. Цель этих статей и заключается в том, чтобы суметь дать максимально понятное изложение структурных теорем.
Более того, я сам начал понимать нормально эти теоремы, только связав их с теоремой Кэли. До этого как-то очень абстрактно воспринималось, не интуитивно.
разложение на циклы в регулярном представлении отражает структуру действия элемента на группе как множестве.
Возьмём элемент h ∈ G. В регулярном представлении он становится перестановкой π_h на множестве G. У этой перестановки π_h есть какое-то разложение на независимые циклы в S_{|G|}.
Длины циклов в разложении — это в точности размеры орбит действия циклической подгруппы ⟨h⟩ на G левыми сдвигами.
Ваши претензии понятны в данном случае, насчет полной симметрической группы. Но здесь "перестановочное представление" позволяет гораздо проще думать о таких вещах и доказывать их.
Возможно, стоит как-то иначе пример описать.
Я так понимаю, тут лишние детали присутствуют, которые сбили с толку.
При нажатии на g1 все лунки переместились. При нажатии на g2 — ничего не изменилось.
Сами по себе они не скачут, только при нажатии кнопок.
Но тогда кончик гвоздя же всё равно будет перемещаться.
Или написать "длину нити можно считать пренебрежимо малой"?