Это не аксиома, не постулат, не теорема, это просто определение операций.
"Просто определение" это и есть аксиома. Когда вы вводите "X = Y", вы постулируете истинность этого равенства без доказательств.
Ну я же уже это показывал
Я знаю, что вы уже показывали. Я так и написал в предыдущем комментарии. Зачем вы это повторяете?
Школьнику надо просто запомнить.
А это вы зачем повторяете? Я уже сказал много раз, что цель моего подхода именно в том, чтобы не просто запоминать, а понять, вывести из более простой и наглядной концепции, из который выводятся и другие вещи.
Так а радости-то? Осталось только понять, зачем их вращать-то вообще,
Я уже сказал много раз, затем, чтобы начинающим изучать тему было понятно, почему результат возведения в квадрат получается "-1", как это вообще можно представить. Что именно вам непонятно в этом объяснении? До этого им говорили, что возведение в квадрат обычных чисел можно представить через площадь квадрата, которая неотрицательная, а тут вдруг появился минус в результате.
Я "научил" хотя бы умножать комплексные числа
Умножение в моем подходе как ни странно такое же, как в вашем. Просто я минус не "ввожу так", и его не надо "просто запомнить", а он выводится наглядно из исходных одномерных действительных чисел. После того как мы ввели, что "умножение на i выглядит как поворот на 90°", дальше можем делать любые умножения выражений "a+ib".
Во-первых, потому что это факт, можете проверить его в любом математическом пакете. Во-вторых, потому что так понятнее, почему получается -1 и все остальные результаты. Результаты правильные? Да. Значит можно так считать, значит подходы эквивалентные. Странно, что приходится объяснять математикам про эквивалентность.
Какое еще исповедование подхода на собеседовании? Разговор о том, как наглядно объяснить изучающим тему, почему i*i = -1. Сколько раз можно объяснять...
попробуйте написать библиотеку для работы с комплексными числами, явно основанную на вашем подходе. Аналог std::complex для C++.
Как ни странно, std::complex для C++ вполне соответствует моему подходу. В моем подходе (0,1) * (0,1) = (-1,0). Но вообще я вижу там вызовы std::polar() в коде вычисления степени. Наверно есть какая-то связь с углами?
Ага, а сможете сформулировать, что конкретно неверно в этих представлениях, кроме несоответствия определения i общепринятому, что и было целью? Я в этом сомневаюсь. С математической точки зрения мой подход эквивалентен общепринятому, все формулы верны в рамках обозначений, в расчетах получаются такие же результаты.
Хорошо, откуда взялся поворот на "заданный угол", и почему этот угол задается именно степенью i, а не чем-то другим?
Оттуда же, откуда взялось сложение и умножение. Ответьте для себя на вопрос, откуда они взялись, так чтобы вам самому было понятно, вот и ответ на ваш вопрос будет аналогичный.
Я просто указал вам на некорректность вот этой фразы: i само по себе это не число
А я вам объяснил, что так и задумано. Эта фраза появилась именно как противопоставление общепринятому определению. Я не понимаю, зачем вы мне доказываете, что такое i по общепринятому определению. Я и так про это в курсе.
является некорректным и несамосогласованным.
Там нет никакого несогласования. Я только детализировал понятие i. Для этого надо или поменять определение i, превратив его из аксиомы в вывод, или ввести новые обозначения для деталей. Все остальные определения и расчеты остаются без изменений.
Тем, что ваш подход точно такой же аксиоматический, как и любой другой
Еще раз объясняю, разговор не о том, чтобы построить строгую математическую теорию без аксиом, а о том, как объяснить тему людям, которые ее изучают. Даже если считать операцию поворота аксиомой, она одна заменяет множество аксиом вашего подхода, поэтому я считаю, что такое объяснение проще для понимания. Для меня оно точно проще, и возможно я не один такой.
пара (x,y) Тогда при раскрытии квадрата (как умножение числа на самого себя) получаем уравнение (x^2 - y^2, 2xy) = (-1, 0) уже писал их выше
А откуда у вас там минус-то взялся?) Почему именно минус, а не плюс? Вот вам и непонимание. А именно это и есть главный вопрос в понимании темы комплексных чисел.
"Выше" вы их просто постулировали: "Вспомним определение операций сложения и умножения в множестве комплексных чисел". То есть вы пытаетесь объяснить, откуда при умножении берется -1, через правило умножения, в котором вы постулировали -1. Это тавтология.
Всё, дальше ваши рассуждения для изучающего тему бесполезны, он должен только запоминать аксиомы.
Итого, у нас только два решения, которые записываются как (0, 1), (0, -1). конечно, вы можете записывать (x,y) как x + yi у уравнения x^2 = -1 есть два решения x = i, x = -i
Из этих записей внезапно следует, что i это не точка (0, 1), а что-то другое, что применяется только ко второму компоненту в скобках. Иначе надо "(0,1)" записывать как "x + y(0,1)", а ее как "x + y(0 + 1(0,1))", а ее как "x + y(0 + 1(0 + 1(0,1)))" и так до бесконечности. Опять непонятно, то мы скобки раскрываем с помощью i, то приравниваем ее одну к скобкам. Это число или способ записи числа?
с учетом определения операции умножения Вот и все.
Ага, только вопрос был о том, откуда взялся минус в вашей операции умножения.
но вот не в обиду, но не только школьники этого не понимают.
А вот разговор как раз о том, почему не понимают, и как можно сделать, что было понятно.
И третий корень Вы где-то систематически умалчиваете.
А вот дело как раз в том, как узнать, что там есть третий корень, и почему их на самом деле не 3, а бесконечно много.
А с (-1)^(1/3) уже придется подождать
Вот-вот, ваш подход требует знать много аксиом.
Вы тут для объяснения написали много текста, и то объяснили не всё. А вот мои объяснения.
Hidden text
Почему "i*i = -1"? Можно считать, что умножение на i это поворот на 90° вокруг начала координат. "i*i" можно записать как "1*i*i", тогда получается, что мы поворачиваем исходную единицу 2 раза вокруг нуля. Так и получается "-1".
Почему "i^(1/3) = √3/2 + i*1/2"? Можно считать, что степень i задает угол поворота. i в первой степени поворачивает на 90°, а в степени 1/3 будет в 3 раза меньше, то есть 30°. Как мы знаем из изучения тригонометрических функций, декартовы координаты этой точки "(√3/2, 1/2)". Аналогично можно вычислять любые другие степени i.
Почему "(-1)^(1/3) = 1/2 + i*√3/2", и почему "-1" тут тоже является решением? Как мы показали выше, "-1" это поворот "1" на 90*2 = 180°. В 3 раза меньше это поворот на 60°, координаты равны "(1/2, √3/2)". Но если мы повернем "-1" еще на 360°, то тоже получим "-1". Это будет 90*6, а в 3 раза меньше это 90*2. То есть "(-1, 0)" это тоже правильный ответ.
Если мы добавим еще 360°, то получится 90*10 / 3 = 300°, это еще одна точка. Так как 360° можно добавлять бесконечно, то ответов тоже бесконечно много. В пределах 360° есть 3 ответа. Аналогично и для предыдущего вопроса, но обычно берут самый простой для вычислений.
По 2-3 предложения на каждый вопрос. Что проще понять людям, которые знакомы пока только с тригонометрией? Картинки приведены только для наглядности, их можно представить и в уме по описанию.
это строгая формализация понятия комплексного числа Уильямом Гамильтоном в далекой середине 19 века
Ну теплород тоже был формализован, но оказалось, что эта концепция не работает. А уж отрицательные числа считались невозможными еще в Древней Греции. По вашей логике, так и должно было оставаться, никто не должен посметь что-то менять.
вспомним определение операций сложения и умножения в ℂ
В 20 раз объясняю, я говорю о том, как показать наглядно, почему они такие, как это работает, и какая тут связь с произвольной степенью. Вы говорите "просто запомни", я предлагаю другой подход. Я просто детализирую понятие, что такое i.
и создал ту самую формулу
В 20 раз объясняю, я говорю о том, как показать наглядно, почему она именно такая и как это работает. Я не понимаю, с чем вы спорите. Я в курсе, что эта формула существует.
которая и поможет ответить на Ваш вопрос с поворотами
У меня нет вопроса с поворотами. Я прекрасно понимаю, откуда там синус и косинус.
Но и вводить свои операторы для удобства непонимания я бы не стал.
Давайте так. Какой ваш ответ, почему "i*i = -1"? Потому что Эйлер так сказал? Какой ваш ответ, почему "i^(1/3) = √3/2 + i*1/2"? Какой ваш ответ, почему "(-1)^(1/3) = 1/2 + i*√3/2", и почему "-1" тут тоже является решением? Я дам свои, потом сравним ответы и проверим, какой из них удобнее для непонимания.
Напоминаю, что разговор идет про объяснение темы тем, кто с ней не знаком, или недостаточно ее понимает. В названии данной статьи есть фраза "путь к пониманию комплексных чисел". Покажите свой путь.
Еще раз, я не говорил, что в общепринятой математической теории это оператор. Я сказал, что понятнее будет считать его оператором. Причем я сказал это, чтобы не вводить новых обозначений. Если вам это непонятно, выше я предложил другой подход вообще без i: "ai^b = a⟲b". В этом случае можно продолжать обозначать точку (0, 1) как i, только смысла в этом никакого нет, она ничем не отличается от других точек на той же плоскости. Как это и должно быть.
Если "это просто обозначение", покажите как из этого обозначения найти декартовы координаты комплексного числа i^(1/3) (точки на комплексной плоскости). В вашем подходе это просто невозможно.
В вашем подходе нельзя понять, откуда взялся поворот на 90 градусов.
Повторяю вопрос, который вы проигнорировали. И? Какой вывод должен быть в контексте этой дискуссии? А откуда взялось сложение и умножение? У меня нет "поворота на 90 градусов", у меня есть "поворот на заданный угол", угол задается степенью i.
Комплексных чисел это не касается.
Ага, то есть вы утверждаете, что по комплексным числам есть только один учебник с одним объяснением, и никаких статей с альтернативными объяснениями нет? Вы не забыли, какую статью комментируете? Мое объяснение не отличается от этой статьи. Я предлагаю объяснение, которое с моей точки зрения будет понятнее для начинающих.
Кроме того, что важнее, ваше разделение элементов множества комплексных чисел на "числа" и "операторы"
У меня нет разделения элементов множества комплексных чисел на "числа" и "операторы". Операторы это не элементы множества комплексных чисел, так же как '+', '-', и '*' это не элементы множества натуральных чисел.
обрезающий возможность дальнейшего знакомства с общепринятой математической теорией
Повторяю вопрос, который вы проигнорировали. Я разве где-то сказал, что не надо знакомиться с общепринятой математической теорией? В общепринятой теории возведение в комплексную степень вычислеяется через синус и косинус угла. Как же так, вы только что доказывали, что в ней никаких поворотов нет?
Впрочем, если человек не может понять і*і=-1
В такой форме это нельзя "понять", потому что тут нечего понимать, это можно только "запомнить".
Их весь мир (кроме вас) понимает одинаково.
Понятно, переходы на личности начались. Видимо других аргументов уже не осталось.
Я разве где-то сказал, что не надо изучать то, что весь остальной мир называет i? Я вообще вам советую подумать, почему люди пишут разные учебники на одну тему, разные статьи на известные темы, и вообще строят разные теории и разные подходы.
То есть, это первичное определение.
Я так и сказал, у вас это аксиома, у меня следствие поворота. Зачем вы мне то же самое повторяете? У вас нельзя понять, почему так, надо только запомнить. В моем подходе понять можно. Для того он и нужен.
А уже повороты из него следуют.
Нет, поворот для i^(1/3) для него не следует. Из него даже не следует, что i*i это поворот чего-то куда-то. У вас это аксиома без всякой связи с поворотами.
Не вырывайте фразы из контекста. Я отвечал на комментарий "вы заявили, что i само по себе это не число, что напрямую противоречит общепринятому определению". Вы говорили про определение i, а не про определение комплексных чисел, которое определяется через i. В предыдущем комментарии я так и написал "Отличается только то, что я называю i".
Ну поворот на 90 градусов - это такая же аксиома без объяснений.
И? Напоминаю, что разговор был про объяснение темы. А основную сложность в ней вызывает вопрос, как получается -1. Если мы это наглядно объяснили, значит достигли цели.
Тем не менее, это факт даже без явного введения такого правила, умножение на i поворачивает исходную точку на 90 градусов относительно нуля. Можете проверить в любом математическом пакете с любым комплексным числом. А вот потом попробуйте ответить на вопрос, почему математические пакеты поворачивают не на 89.
Каким таким правилам, у нас их еще нет, мы их только вводим. Вы сказали "давайте по порядку", а сами перескакиваете. Я предлагаю вводить умножение комплексных чисел через концепцию поворота.
Как это можно объяснить?
Возвращаю вам ваш вопрос. Как можно объяснить ваше правило умножения комплексных чисел, что "i*i = -1"? А никак, вы его постулируете. Как можно объяснить, что "i^(1/3) = √3/2 + 1/2i"? А никак, в вашем умножении степеней даже постулата такого нет, вам надо еще один постулат вводить. А в моем подходе это объясняется поворотом. Он просто объясняет ваши аксиомы.
Вы утверждаете что правила не верны или что у вас другое какое-то умножение с другими свойствами?
Я утверждаю, что у вас без поворота будет обычно умножение, аналогичное умножению вещественных чисел.
В чем тут именно ошибка?
Я написал, в чем именно ошибка, 3 раза в предыдущем комментарии. Если вам непонятно объяснение, задавайте более конкретный вопрос по тому, что там написано, а не по новому тексту, который вы написали сами.
Так я 1 на 1 и не умножаю, зачем вы мне это приписываете? Умножается Z на Z.
Затем, что вы сказали "умножаем, обычная рутинная операция". "Обычная", значит такая же, какая была для 1*1.
Большинство людей не "интересуется комплексными числами", а изучает их в школе потому что учитель так сказал. У них обычно вызывает непонимание, почему i*i равно -1, что в общепринятом смысле задается аксиомой без объяснения. Мой первый комментарий в этой ветке содержит фразу "для объяснения простой идеи, что умножение на i это операция поворота на 90 градусов". Это так, вам для размышлений. О том, с чем конкретно вы спорили.
Мое определение комплексных чисел, как ни странно, не отличается от общепринятого. В общепринятой математике математике выражения "i" и "1i" эквивалентны. Отличается только то, что я называю i, при этом даже это необязательно, как я показал выше со знаком ⟲. Я только объясняю то, что в общепринятом смысле задается аксиомой.
Да, вместо этого: "заткнись и поворачивай, я так сказал"
Да, только во-первых, концепция поворота и используется не только в математике и понятна всем, во-вторых, она объясняет сразу многие вещи - откуда берется -1, где находится i^(1/3), и почему (-i)*(-i) тоже равно -1. А с вашим подходом даже Эйлер с Безу определиться не могли.
Но вы заявили, что i само по себе это не число что напрямую противоречит общепринятому определению
Я знаю, что это противоречит общепринятому определению. Это и есть причина, почему я так заявил. Я считаю, что такое определение вносит путаницу. Можно сколько угодно определять, что "-" это число, и писать "- * - = 1", только понятнее будет обозначать эту точку "-1".
Мы к нему применяем ваш поворот Это число обладает очень интересными свойствами
В концепции с моим поворотом оно не обладает никакими интересными свойствами. Это просто число, точка на плоскости, ничем не отличающаяся от других. Интересными свойствами обладает поворот. Вот здесь и ошибка.
Мы умножаем это число само на себя, обычная рутинная операция. Получаем -1.
С чего мы вдруг получили -1? Без поворота вы останетесь на той же оси.
"Обычная рутинная операция" умножения для положительных чисел на действительной оси дает числа на той же оси с тем же знаком. "1*1 = 1" Поэтому для положительной единицы на другой оси "обычное умножение" должно давать "i*i = i". Иначе вам надо вводить необычное умножение, которое меняет ось, и именно на 90 градусов против часовой стрелки. Вот здесь и ошибка.
Заметьте, мы возведением в квадрат без каких-либо поворотов
Ага, без поворотов переместились на другую ось. Магия, не иначе. Вот здесь и ошибка.
Делаем из этого вывод что операции поворот либо не существует либо это то же самое что и умножение
Это неправильный вывод. Умножая 1 на 1 вы не получите никакой минус. Поэтому это не то же самое, что умножение. Без поворотов вы не узнаете, где находится точка i^(1/2) и почему возведение ее в квадрат дает i, а не -i. Вы же выше ввели операцию, при которой возведение в квадрат внезапно без причин дает минус.
Вот я и объясняю, что можно объяснить это более понятно для изучающих эту тему, чем "заткнись и считай, я так сказал". У вас это аксиома, у меня нет. Я предложил подход, где это является логичным следствием.
Давайте пойдем еще дальше Я ничего не предлагаю.
Именно предлагаете, "давайте пойдем" это предложение. И судя по контексту, предлагаете вы противоположное написанному.
Определения не могут быть "правильными" или "неправильными".
Тогда непонятно, с чем вы спорите. Я предложил свои определения, которые считаю более понятными для изучающих тему, они дают картину, эквивалентную исходной.
А знаете что так композируется? Другое возведение в степень
Естественно. Можно сказать "сложение углов можно выразить через степень", а можно "степень можно выразить через сложение углов".
А мы тут усиленно делаем вид что это не она.
Мы пытаемся понять, почему ваша обычная положительная вторая степень дает отрицательное число. Что собственно и было причиной появления комплексных чисел. По вашим определениям степени квадрат не может давать отрицательное число.
Вообще суть спора ускользает уже очень далеко
Это вас надо спросить. Я не знаю, с чем и почему вы начали спорить, я просто отвечаю на ваши высказывания. Вы там приписали мне формулировку "Число это поворот" и начали с ней спорить.
Вот есть число единица. Вы говорите что применяя к ней операцию поворота вы получаете совсем другое число. При этом само число вы никак не называете
Нет. Вы не поняли о чем речь. Я говорю, что применяя к единице операцию поворота 2 раза получается "-1". Получившееся число я называю - это "-1" (минус один).
разве что усердно избегаете называть это числом i
А для точки (0, 2) вы еще одну специальную букву будете использовать? А для точки (0, -1)? Почему вы усердно избегаете называть их буквами?)
Просто зажмурились и решили что если число не называть
Нет. Это не является моим аргументом ни в каком смысле, я про это ничего не говорил.
И никакой -1 не существует.
Я не говорил, что -1 не существует. Я не говорил, что i не существует. Я сказал, что умножение на i в степени это операция поворота, на угол, соответствующий степени. Поэтому неправильно считать его обычным числом, у других обычных чисел таких свойств нет.
Можно точно так же интерпретировать -1. Мы не умножаем на -1, а делаем операцию поворота на 180 на числовой оси.
Всё верно, унарный минус это частный случай i^n, где n = 2. Теперь подумайте, как интерпретировать умножение на "(-1)^(4/3)".
А если открыть глаза то внезапно оказывается что 1⟲1 совпадает с числом которое другие называют как i
В 20 раз объясняю, я в курсе, что эту точку общепринято называют i. Зачем вы мне это доказываете? А 1⟲(1/3) почему-то не совпадает. Дальше что, еще одну букву будете вводить? Как вы вашими возведениями в квадрат объясните, почему это точка (√3/2, 1/2)?
Я объясняю, что это создает непонимание, так же как если "-1" обозначать знаком "-", и писать "-^2" вместо "(-1)^2".
Вообще стало непонятно.
Да, есть люди, которым непонятно даже объяснение "Поворачиваем отсюда сюда 2 раза, вот так и получается -1". Тут ничего не поделаешь.
По сути вы тут даже никак не решили проблему понимания почему i^2 = -1.
Я не говорю ни про какую интуицию.
"Просто определение" это и есть аксиома. Когда вы вводите "X = Y", вы постулируете истинность этого равенства без доказательств.
Я знаю, что вы уже показывали. Я так и написал в предыдущем комментарии. Зачем вы это повторяете?
А это вы зачем повторяете? Я уже сказал много раз, что цель моего подхода именно в том, чтобы не просто запоминать, а понять, вывести из более простой и наглядной концепции, из который выводятся и другие вещи.
Я уже сказал много раз, затем, чтобы начинающим изучать тему было понятно, почему результат возведения в квадрат получается "-1", как это вообще можно представить. Что именно вам непонятно в этом объяснении?
До этого им говорили, что возведение в квадрат обычных чисел можно представить через площадь квадрата, которая неотрицательная, а тут вдруг появился минус в результате.
Умножение в моем подходе как ни странно такое же, как в вашем.
Просто я минус не "ввожу так", и его не надо "просто запомнить", а он выводится наглядно из исходных одномерных действительных чисел.
После того как мы ввели, что "умножение на i выглядит как поворот на 90°", дальше можем делать любые умножения выражений "a+ib".
Во-первых, потому что это факт, можете проверить его в любом математическом пакете. Во-вторых, потому что так понятнее, почему получается -1 и все остальные результаты. Результаты правильные? Да. Значит можно так считать, значит подходы эквивалентные. Странно, что приходится объяснять математикам про эквивалентность.
Какое еще исповедование подхода на собеседовании? Разговор о том, как наглядно объяснить изучающим тему, почему i*i = -1. Сколько раз можно объяснять...
Как ни странно, std::complex для C++ вполне соответствует моему подходу. В моем подходе (0,1) * (0,1) = (-1,0).
Но вообще я вижу там вызовы std::polar() в коде вычисления степени. Наверно есть какая-то связь с углами?
Ага, а сможете сформулировать, что конкретно неверно в этих представлениях, кроме несоответствия определения i общепринятому, что и было целью? Я в этом сомневаюсь. С математической точки зрения мой подход эквивалентен общепринятому, все формулы верны в рамках обозначений, в расчетах получаются такие же результаты.
Оттуда же, откуда взялось сложение и умножение. Ответьте для себя на вопрос, откуда они взялись, так чтобы вам самому было понятно, вот и ответ на ваш вопрос будет аналогичный.
А я вам объяснил, что так и задумано. Эта фраза появилась именно как противопоставление общепринятому определению. Я не понимаю, зачем вы мне доказываете, что такое i по общепринятому определению. Я и так про это в курсе.
Там нет никакого несогласования. Я только детализировал понятие i. Для этого надо или поменять определение i, превратив его из аксиомы в вывод, или ввести новые обозначения для деталей. Все остальные определения и расчеты остаются без изменений.
Еще раз объясняю, разговор не о том, чтобы построить строгую математическую теорию без аксиом, а о том, как объяснить тему людям, которые ее изучают.
Даже если считать операцию поворота аксиомой, она одна заменяет множество аксиом вашего подхода, поэтому я считаю, что такое объяснение проще для понимания. Для меня оно точно проще, и возможно я не один такой.
А откуда у вас там минус-то взялся?) Почему именно минус, а не плюс?
Вот вам и непонимание. А именно это и есть главный вопрос в понимании темы комплексных чисел.
"Выше" вы их просто постулировали: "Вспомним определение операций сложения и умножения в множестве комплексных чисел". То есть вы пытаетесь объяснить, откуда при умножении берется -1, через правило умножения, в котором вы постулировали -1. Это тавтология.
Всё, дальше ваши рассуждения для изучающего тему бесполезны, он должен только запоминать аксиомы.
Из этих записей внезапно следует, что i это не точка (0, 1), а что-то другое, что применяется только ко второму компоненту в скобках.
Иначе надо "(0,1)" записывать как "x + y(0,1)", а ее как "x + y(0 + 1(0,1))", а ее как "x + y(0 + 1(0 + 1(0,1)))" и так до бесконечности. Опять непонятно, то мы скобки раскрываем с помощью i, то приравниваем ее одну к скобкам. Это число или способ записи числа?
Ага, только вопрос был о том, откуда взялся минус в вашей операции умножения.
А вот разговор как раз о том, почему не понимают, и как можно сделать, что было понятно.
А вот дело как раз в том, как узнать, что там есть третий корень, и почему их на самом деле не 3, а бесконечно много.
Вот-вот, ваш подход требует знать много аксиом.
Вы тут для объяснения написали много текста, и то объяснили не всё. А вот мои объяснения.
Hidden text
Почему "i*i = -1"?
Можно считать, что умножение на i это поворот на 90° вокруг начала координат. "i*i" можно записать как "1*i*i", тогда получается, что мы поворачиваем исходную единицу 2 раза вокруг нуля. Так и получается "-1".
Почему "i^(1/3) = √3/2 + i*1/2"?
Можно считать, что степень i задает угол поворота. i в первой степени поворачивает на 90°, а в степени 1/3 будет в 3 раза меньше, то есть 30°. Как мы знаем из изучения тригонометрических функций, декартовы координаты этой точки "(√3/2, 1/2)". Аналогично можно вычислять любые другие степени i.
Почему "(-1)^(1/3) = 1/2 + i*√3/2", и почему "-1" тут тоже является решением?
Как мы показали выше, "-1" это поворот "1" на 90*2 = 180°. В 3 раза меньше это поворот на 60°, координаты равны "(1/2, √3/2)". Но если мы повернем "-1" еще на 360°, то тоже получим "-1". Это будет 90*6, а в 3 раза меньше это 90*2. То есть "(-1, 0)" это тоже правильный ответ.
Если мы добавим еще 360°, то получится 90*10 / 3 = 300°, это еще одна точка. Так как 360° можно добавлять бесконечно, то ответов тоже бесконечно много. В пределах 360° есть 3 ответа. Аналогично и для предыдущего вопроса, но обычно берут самый простой для вычислений.
По 2-3 предложения на каждый вопрос. Что проще понять людям, которые знакомы пока только с тригонометрией? Картинки приведены только для наглядности, их можно представить и в уме по описанию.
Ну теплород тоже был формализован, но оказалось, что эта концепция не работает. А уж отрицательные числа считались невозможными еще в Древней Греции. По вашей логике, так и должно было оставаться, никто не должен посметь что-то менять.
В 20 раз объясняю, я говорю о том, как показать наглядно, почему они такие, как это работает, и какая тут связь с произвольной степенью. Вы говорите "просто запомни", я предлагаю другой подход. Я просто детализирую понятие, что такое i.
В 20 раз объясняю, я говорю о том, как показать наглядно, почему она именно такая и как это работает. Я не понимаю, с чем вы спорите. Я в курсе, что эта формула существует.
У меня нет вопроса с поворотами. Я прекрасно понимаю, откуда там синус и косинус.
Давайте так. Какой ваш ответ, почему "i*i = -1"? Потому что Эйлер так сказал?
Какой ваш ответ, почему "i^(1/3) = √3/2 + i*1/2"? Какой ваш ответ, почему "(-1)^(1/3) = 1/2 + i*√3/2", и почему "-1" тут тоже является решением?
Я дам свои, потом сравним ответы и проверим, какой из них удобнее для непонимания.
Напоминаю, что разговор идет про объяснение темы тем, кто с ней не знаком, или недостаточно ее понимает. В названии данной статьи есть фраза "путь к пониманию комплексных чисел". Покажите свой путь.
Еще раз, я не говорил, что в общепринятой математической теории это оператор. Я сказал, что понятнее будет считать его оператором. Причем я сказал это, чтобы не вводить новых обозначений. Если вам это непонятно, выше я предложил другой подход вообще без i: "ai^b = a⟲b". В этом случае можно продолжать обозначать точку (0, 1) как i, только смысла в этом никакого нет, она ничем не отличается от других точек на той же плоскости. Как это и должно быть.
Если "это просто обозначение", покажите как из этого обозначения найти декартовы координаты комплексного числа i^(1/3) (точки на комплексной плоскости). В вашем подходе это просто невозможно.
Да, из поворота логично вытекают многие вещи, которые без него надо просто запоминать.
Повторяю вопрос, который вы проигнорировали. И? Какой вывод должен быть в контексте этой дискуссии?
А откуда взялось сложение и умножение?
У меня нет "поворота на 90 градусов", у меня есть "поворот на заданный угол", угол задается степенью i.
Ага, то есть вы утверждаете, что по комплексным числам есть только один учебник с одним объяснением, и никаких статей с альтернативными объяснениями нет? Вы не забыли, какую статью комментируете? Мое объяснение не отличается от этой статьи. Я предлагаю объяснение, которое с моей точки зрения будет понятнее для начинающих.
У меня нет разделения элементов множества комплексных чисел на "числа" и "операторы". Операторы это не элементы множества комплексных чисел, так же как '+', '-', и '*' это не элементы множества натуральных чисел.
Повторяю вопрос, который вы проигнорировали. Я разве где-то сказал, что не надо знакомиться с общепринятой математической теорией?
В общепринятой теории возведение в комплексную степень вычислеяется через синус и косинус угла. Как же так, вы только что доказывали, что в ней никаких поворотов нет?
В такой форме это нельзя "понять", потому что тут нечего понимать, это можно только "запомнить".
Понятно, переходы на личности начались. Видимо других аргументов уже не осталось.
Я предлагаю способ наглядно показать для начинающих, откуда берется -1 и как возводят в дробную степень.
Я разве где-то сказал, что не надо изучать то, что весь остальной мир называет i?
Я вообще вам советую подумать, почему люди пишут разные учебники на одну тему, разные статьи на известные темы, и вообще строят разные теории и разные подходы.
Я так и сказал, у вас это аксиома, у меня следствие поворота. Зачем вы мне то же самое повторяете? У вас нельзя понять, почему так, надо только запомнить. В моем подходе понять можно. Для того он и нужен.
Нет, поворот для i^(1/3) для него не следует. Из него даже не следует, что i*i это поворот чего-то куда-то. У вас это аксиома без всякой связи с поворотами.
Не вырывайте фразы из контекста. Я отвечал на комментарий
"вы заявили, что i само по себе это не число, что напрямую противоречит общепринятому определению".
Вы говорили про определение i, а не про определение комплексных чисел, которое определяется через i.
В предыдущем комментарии я так и написал "Отличается только то, что я называю i".
И? Напоминаю, что разговор был про объяснение темы. А основную сложность в ней вызывает вопрос, как получается -1. Если мы это наглядно объяснили, значит достигли цели.
Тем не менее, это факт даже без явного введения такого правила, умножение на i поворачивает исходную точку на 90 градусов относительно нуля. Можете проверить в любом математическом пакете с любым комплексным числом. А вот потом попробуйте ответить на вопрос, почему математические пакеты поворачивают не на 89.
Каким таким правилам, у нас их еще нет, мы их только вводим. Вы сказали "давайте по порядку", а сами перескакиваете. Я предлагаю вводить умножение комплексных чисел через концепцию поворота.
Возвращаю вам ваш вопрос. Как можно объяснить ваше правило умножения комплексных чисел, что "i*i = -1"? А никак, вы его постулируете.
Как можно объяснить, что "i^(1/3) = √3/2 + 1/2i"? А никак, в вашем умножении степеней даже постулата такого нет, вам надо еще один постулат вводить.
А в моем подходе это объясняется поворотом. Он просто объясняет ваши аксиомы.
Я утверждаю, что у вас без поворота будет обычно умножение, аналогичное умножению вещественных чисел.
Я написал, в чем именно ошибка, 3 раза в предыдущем комментарии. Если вам непонятно объяснение, задавайте более конкретный вопрос по тому, что там написано, а не по новому тексту, который вы написали сами.
Затем, что вы сказали "умножаем, обычная рутинная операция". "Обычная", значит такая же, какая была для 1*1.
Большинство людей не "интересуется комплексными числами", а изучает их в школе потому что учитель так сказал. У них обычно вызывает непонимание, почему i*i равно -1, что в общепринятом смысле задается аксиомой без объяснения. Мой первый комментарий в этой ветке содержит фразу "для объяснения простой идеи, что умножение на i это операция поворота на 90 градусов". Это так, вам для размышлений. О том, с чем конкретно вы спорили.
Мое определение комплексных чисел, как ни странно, не отличается от общепринятого. В общепринятой математике математике выражения "i" и "1i" эквивалентны. Отличается только то, что я называю i, при этом даже это необязательно, как я показал выше со знаком ⟲. Я только объясняю то, что в общепринятом смысле задается аксиомой.
Да, только во-первых, концепция поворота и используется не только в математике и понятна всем, во-вторых, она объясняет сразу многие вещи - откуда берется -1, где находится i^(1/3), и почему (-i)*(-i) тоже равно -1. А с вашим подходом даже Эйлер с Безу определиться не могли.
Я знаю, что это противоречит общепринятому определению. Это и есть причина, почему я так заявил. Я считаю, что такое определение вносит путаницу. Можно сколько угодно определять, что "-" это число, и писать "- * - = 1", только понятнее будет обозначать эту точку "-1".
В концепции с моим поворотом оно не обладает никакими интересными свойствами. Это просто число, точка на плоскости, ничем не отличающаяся от других. Интересными свойствами обладает поворот.
Вот здесь и ошибка.
С чего мы вдруг получили -1? Без поворота вы останетесь на той же оси.
"Обычная рутинная операция" умножения для положительных чисел на действительной оси дает числа на той же оси с тем же знаком. "1*1 = 1"
Поэтому для положительной единицы на другой оси "обычное умножение" должно давать "i*i = i".
Иначе вам надо вводить необычное умножение, которое меняет ось, и именно на 90 градусов против часовой стрелки.
Вот здесь и ошибка.
Ага, без поворотов переместились на другую ось. Магия, не иначе.
Вот здесь и ошибка.
Это неправильный вывод. Умножая 1 на 1 вы не получите никакой минус. Поэтому это не то же самое, что умножение.
Без поворотов вы не узнаете, где находится точка i^(1/2) и почему возведение ее в квадрат дает i, а не -i. Вы же выше ввели операцию, при которой возведение в квадрат внезапно без причин дает минус.
Вот я и объясняю, что можно объяснить это более понятно для изучающих эту тему, чем "заткнись и считай, я так сказал". У вас это аксиома, у меня нет. Я предложил подход, где это является логичным следствием.
Именно предлагаете, "давайте пойдем" это предложение. И судя по контексту, предлагаете вы противоположное написанному.
Тогда непонятно, с чем вы спорите. Я предложил свои определения, которые считаю более понятными для изучающих тему, они дают картину, эквивалентную исходной.
Естественно. Можно сказать "сложение углов можно выразить через степень", а можно "степень можно выразить через сложение углов".
Мы пытаемся понять, почему ваша обычная положительная вторая степень дает отрицательное число. Что собственно и было причиной появления комплексных чисел. По вашим определениям степени квадрат не может давать отрицательное число.
Это вас надо спросить. Я не знаю, с чем и почему вы начали спорить, я просто отвечаю на ваши высказывания. Вы там приписали мне формулировку "Число это поворот" и начали с ней спорить.
Нет. Вы не поняли о чем речь. Я говорю, что применяя к единице операцию поворота 2 раза получается "-1". Получившееся число я называю - это "-1" (минус один).
А для точки (0, 2) вы еще одну специальную букву будете использовать? А для точки (0, -1)? Почему вы усердно избегаете называть их буквами?)
Нет. Это не является моим аргументом ни в каком смысле, я про это ничего не говорил.
Я не говорил, что -1 не существует. Я не говорил, что i не существует.
Я сказал, что умножение на i в степени это операция поворота, на угол, соответствующий степени. Поэтому неправильно считать его обычным числом, у других обычных чисел таких свойств нет.
Всё верно, унарный минус это частный случай i^n, где n = 2.
Теперь подумайте, как интерпретировать умножение на "(-1)^(4/3)".
В 20 раз объясняю, я в курсе, что эту точку общепринято называют i. Зачем вы мне это доказываете?
А 1⟲(1/3) почему-то не совпадает. Дальше что, еще одну букву будете вводить? Как вы вашими возведениями в квадрат объясните, почему это точка (√3/2, 1/2)?
Я объясняю, что это создает непонимание, так же как если "-1" обозначать знаком "-", и писать "-^2" вместо "(-1)^2".
Да, есть люди, которым непонятно даже объяснение "Поворачиваем отсюда сюда 2 раза, вот так и получается -1". Тут ничего не поделаешь.
Решил, смотрите рисунок выше.
Основная сложность в изучении комплексных чисел - понять, почему "i*i = -1". Всё остальное это стандартные правила выражений.
Вы предлагаете то же самое, что упростить выражение "-1" до "-". То есть "6 - 7 = -". Проще? Да. Понятнее? Нет. Правильнее? Тоже нет.