Я вам на это уже ответил. С какой целью вы повторяете одно и то же? Все три корня x^3 = 0 тождественно равны, но считается, что это 3 разных корня. Вот и у меня считается, что это разные корни.
"после кругосветки по экватору" у вас будет одна кругосветка по экватору. Иногда это имеет значение. Если эта "кругосветка" создает какую-нибудь электродвижущую силу.
Общий случай a^b, где a, b — комплексные числа, определяется через представление в показательной форме согласно определяющей формуле:
Если хотите, можете считать, что в рамках моей теории это тоже называется "корень уравнения", поэтому в рамках моей теории их бесконечно много. Разговор был про отсутствие самосогласованности моей теории, то есть про несогласованность ее положений, а не про ее соответствие другой теории. Вы примеров такой несогласованности не привели.
Я не вижу в ваших формулах ту неизвестную величину, которую нужно найти.
Это вообще-то значение x. Это выражения вида 2^3 = 8 при рассмотрении уравнения x^3 = 8.
Корня должно быть три.
(1/2 + i^9 *sqrt(3)/2) это тоже корень. Вы можете сколько угодно считать, что это не является решением, только при применении например в физике вращений может быть сколько угодно, и вам надо будет это учитывать.
Решение уравнения — задача по нахождению таких значений аргументов, при которых это равенство достигается. На возможные значения аргументов могут быть наложены дополнительные условия (целочисленности, вещественности и т. д.). Значения неизвестных, при которых это равенство достигается, называются решениями или корнями данного уравнения. Про корни говорят, что они удовлетворяют данному уравнению. Решить уравнение означает найти множество всех его решений (корней).
(1/2 + i^9 *sqrt(3)/2) в третьей степени дает -1? Дает. Поэтому "решений на самом деле не 3" это корректное высказывание.
Если вы скажете, что это одна и та же точка, подумайте, сколько корней у уравнения x^3 = 0. Здесь высказывание "решений на самом деле не одно" тоже корректное.
И да, вы опять начали рассказывать про несоответствие моих неформальных высказываний общепринятой теории, хотя разговор был про самосогласованость моей "теории".
потому что из него следует, что i (оператор) не равно 1*i (число). Что полная чушь
А почему оператор должен быть равен числу? Это такая же чушь, как утверждение "'-' (оператор) должен быть равен '-1' (число)". Если "i" это оператор, то и писать надо "1i" или "i1", а не "1*i". Я вам уже объяснил, что в строгом смысле оператором надо считать "*i", и тогда умножение из выражений исчезает. Требуете строгих формулировок, а сами им не следуете.
В общем, чтобы претендовать на какую-то методику обучения
Да не претендую я ни на какую методику обучения, много раз уже сказал. Я предлагаю объяснение того же, чему учите людей вы, которое проще для понимания.
во-первых, чтобы ваша "теория" была, как минимум, самосогласована, и все нужные определения и теоремы логично связаны
Моя "теория" самосогласована, и все нужные определения и теоремы логично связаны. Я вам задал прямой вопрос привести примеры несогласованности, вы смогли привести только несоответствие определения i общепринятому, что и было целью.
В числе -2 i находится во второй степени, это она и дает минус для исходного положительного 2. "По моим словам" вторая степень означает поворот на 180 градусов. Если мы его возводим в квадрат, степень i получается 2+2 = 4. Это 360 градусов относительно исходной положительной полуоси, то есть мы возвращаемся на нее. Дальше можете подумать, сколько будет "(-2)^2.1" и как расположены точки при движении от (-2)^2 = +4 к (-2)^3 = -8.
Но вообще я вам предлагал подумать, как это происходит в рамках ваших определений, а не моих.
Я написал где в предыдущем комментарии - человек отвечал на вопрос "почему "i*i = -1"" и использовал в объяснении правила умножения, в которых уже постулирован множитель "-1". Он просто заменил одно выражение на другое более общее, а вопрос "откуда минус" остался.
Все это разные обозначения одного и того же числа.
Правильно. А я в рамках своего подхода поменял обозначения, и i у меня обозначает операцию, а не число. О чем я прямо написал. Поэтому ваше утверждение "Вы заявляете, что мнимая единица это не элемент множества комплексных чисел" неверно. Мнимая единица как была так и осталась, просто я не обозначаю ее i.
- можно считать "*i" отдельной операцией - вы же раньше заявляли, что операция - это именно "i
В моем первом комментарии есть фраза "умножение на i это операция поворота на 90 градусов". Далее я писал "i само по себе это не число, а операция", в рамках моего объяснения это корректное выражение. Если у нас i участвует только в операции умножения, то нет смысла рассматривать его отдельно.
И я это писал в контексте объяснения для начинающих, у меня не было цели давать строго выверенные формулировки.
Без концепции вращения вектора это совсем не очевидно. "1^(1/3) = 1", а "8^(1/3) = 2". По аналогии можно предположить "i^(1/3) = i". Откуда тут вдруг какая-то сумма квадратов, которая должна быть равна коэффициенту перед i, который даже не написан.
Я "уперся", потому что мне продолжают и продолжают про него писать одно и то же, приходится отвечать. Высказывают претензии, что в статье "путь к пониманию комплексных чисел", в ответе на комментарий "новый подход к объяснению темы", в комментарии с фразой "для объяснения простой идеи" я посмел высказать неформальный подход к объяснению и не построил строгую математическую теорию, которая бы им понравилась.
А обычные числа теперь как в квадрат возводятся? Что там вращается и насколько, что оказывается на положительной полуоси?
А вот и подумайте, как число "-2" с отрицательной полуоси после возведения в квадрат оказывается на положительной.
Унарный минус можно считать частным случаем бинарного с заданным аргументом, но обычно бинарный минус определяют через унарный, то есть вычитание вводят как сложение с отрицательным числом. В геометрическом смысле унарный минус связан с изменением направления.
Именно поэтому я написал "кроме несоответствия определения i". Если вы не хотите отвечать на заданный вопрос, просто не отвечайте.
Мнимая единица - это элемент множества комплексных чисел. Если вы заявляете иначе
Да не заявляю я иначе. Еще раз объясняю. "Мнимая единица" по определению это "комплексное число, квадрат которого равен -1". Это точка (0, 1). У меня эта точка никуда не делась и является элементом множества комплексных чисел. В моем подходе "(0, 1) * (0, 1) = (-1, 0)", я повторил это уже много раз.
Просто вы по историческим причинам обозначаете эту точку i, а я говорю, что это то же самое, что по историческим причинам обозначать "-1" знаком "-". Можно так обозначать? Можно. Понятно это будет для начинающих? Не очень. Вы понимаете разницу между комплексным числом и его обозначением?
Можно заменить выражение "i*i" на "1*i*i", тогда "i" всегда будет использоваться только после умножения, и можно считать "*i" отдельной операцией. Тогда не будет необходимости вводить какие-то специальные элементы множества со специальными обозначениями и специальными правилами умножения, всё будет более универсально.
Это не аксиома, не постулат, не теорема, это просто определение операций.
"Просто определение" это и есть аксиома. Когда вы вводите "X = Y", вы постулируете истинность этого равенства без доказательств.
Ну я же уже это показывал
Я знаю, что вы уже показывали. Я так и написал в предыдущем комментарии. Зачем вы это повторяете?
Школьнику надо просто запомнить.
А это вы зачем повторяете? Я уже сказал много раз, что цель моего подхода именно в том, чтобы не просто запоминать, а понять, вывести из более простой и наглядной концепции, из который выводятся и другие вещи.
Так а радости-то? Осталось только понять, зачем их вращать-то вообще,
Я уже сказал много раз, затем, чтобы начинающим изучать тему было понятно, почему результат возведения в квадрат получается "-1", как это вообще можно представить. Что именно вам непонятно в этом объяснении? До этого им говорили, что возведение в квадрат обычных чисел можно представить через площадь квадрата, которая неотрицательная, а тут вдруг появился минус в результате.
Я "научил" хотя бы умножать комплексные числа
Умножение в моем подходе как ни странно такое же, как в вашем. Просто я минус не "ввожу так", и его не надо "просто запомнить", а он выводится наглядно из исходных одномерных действительных чисел. После того как мы ввели, что "умножение на i выглядит как поворот на 90°", дальше можем делать любые умножения выражений "a+ib".
Во-первых, потому что это факт, можете проверить его в любом математическом пакете. Во-вторых, потому что так понятнее, почему получается -1 и все остальные результаты. Результаты правильные? Да. Значит можно так считать, значит подходы эквивалентные. Странно, что приходится объяснять математикам про эквивалентность.
Какое еще исповедование подхода на собеседовании? Разговор о том, как наглядно объяснить изучающим тему, почему i*i = -1. Сколько раз можно объяснять...
попробуйте написать библиотеку для работы с комплексными числами, явно основанную на вашем подходе. Аналог std::complex для C++.
Как ни странно, std::complex для C++ вполне соответствует моему подходу. В моем подходе (0,1) * (0,1) = (-1,0). Но вообще я вижу там вызовы std::polar() в коде вычисления степени. Наверно есть какая-то связь с углами?
Ага, а сможете сформулировать, что конкретно неверно в этих представлениях, кроме несоответствия определения i общепринятому, что и было целью? Я в этом сомневаюсь. С математической точки зрения мой подход эквивалентен общепринятому, все формулы верны в рамках обозначений, в расчетах получаются такие же результаты.
Хорошо, откуда взялся поворот на "заданный угол", и почему этот угол задается именно степенью i, а не чем-то другим?
Оттуда же, откуда взялось сложение и умножение. Ответьте для себя на вопрос, откуда они взялись, так чтобы вам самому было понятно, вот и ответ на ваш вопрос будет аналогичный.
Я просто указал вам на некорректность вот этой фразы: i само по себе это не число
А я вам объяснил, что так и задумано. Эта фраза появилась именно как противопоставление общепринятому определению. Я не понимаю, зачем вы мне доказываете, что такое i по общепринятому определению. Я и так про это в курсе.
является некорректным и несамосогласованным.
Там нет никакого несогласования. Я только детализировал понятие i. Для этого надо или поменять определение i, превратив его из аксиомы в вывод, или ввести новые обозначения для деталей. Все остальные определения и расчеты остаются без изменений.
Тем, что ваш подход точно такой же аксиоматический, как и любой другой
Еще раз объясняю, разговор не о том, чтобы построить строгую математическую теорию без аксиом, а о том, как объяснить тему людям, которые ее изучают. Даже если считать операцию поворота аксиомой, она одна заменяет множество аксиом вашего подхода, поэтому я считаю, что такое объяснение проще для понимания. Для меня оно точно проще, и возможно я не один такой.
Да вы что) Вся наука построена вокруг этого вопроса.
Вы играете словами, в этом случае вопрос превращается "а почему вам в аксиоматике удобнее использовать минус". Я объяснил это уже много раз.
Вот дело как раз в том, что вы не можете объяснить, почему она в этом случае совпадает. А я могу.
Я вам на это уже ответил. С какой целью вы повторяете одно и то же?
Все три корня x^3 = 0 тождественно равны, но считается, что это 3 разных корня. Вот и у меня считается, что это разные корни.
"после кругосветки по экватору" у вас будет одна кругосветка по экватору. Иногда это имеет значение. Если эта "кругосветка" создает какую-нибудь электродвижущую силу.
Комплексная степень
Общий случай a^b, где a, b — комплексные числа, определяется через представление в показательной форме согласно определяющей формуле:
Если хотите, можете считать, что в рамках моей теории это тоже называется "корень уравнения", поэтому в рамках моей теории их бесконечно много. Разговор был про отсутствие самосогласованности моей теории, то есть про несогласованность ее положений, а не про ее соответствие другой теории. Вы примеров такой несогласованности не привели.
Это вообще-то значение x. Это выражения вида 2^3 = 8 при рассмотрении уравнения x^3 = 8.
(1/2 + i^9 *sqrt(3)/2) это тоже корень. Вы можете сколько угодно считать, что это не является решением, только при применении например в физике вращений может быть сколько угодно, и вам надо будет это учитывать.
Решение уравнения — задача по нахождению таких значений аргументов, при которых это равенство достигается. На возможные значения аргументов могут быть наложены дополнительные условия (целочисленности, вещественности и т. д.).
Значения неизвестных, при которых это равенство достигается, называются решениями или корнями данного уравнения.
Про корни говорят, что они удовлетворяют данному уравнению.
Решить уравнение означает найти множество всех его решений (корней).
(1/2 + i^9 *sqrt(3)/2) в третьей степени дает -1? Дает. Поэтому "решений на самом деле не 3" это корректное высказывание.
Если вы скажете, что это одна и та же точка, подумайте, сколько корней у уравнения x^3 = 0. Здесь высказывание "решений на самом деле не одно" тоже корректное.
И да, вы опять начали рассказывать про несоответствие моих неформальных высказываний общепринятой теории, хотя разговор был про самосогласованость моей "теории".
Вы привели цитату, а где тут несогласованность? Несогласованность чего с чем?
А почему оператор должен быть равен числу?
Это такая же чушь, как утверждение "'-' (оператор) должен быть равен '-1' (число)".
Если "i" это оператор, то и писать надо "1i" или "i1", а не "1*i". Я вам уже объяснил, что в строгом смысле оператором надо считать "*i", и тогда умножение из выражений исчезает. Требуете строгих формулировок, а сами им не следуете.
Да не претендую я ни на какую методику обучения, много раз уже сказал. Я предлагаю объяснение того же, чему учите людей вы, которое проще для понимания.
Моя "теория" самосогласована, и все нужные определения и теоремы логично связаны. Я вам задал прямой вопрос привести примеры несогласованности, вы смогли привести только несоответствие определения i общепринятому, что и было целью.
В числе -2 i находится во второй степени, это она и дает минус для исходного положительного 2. "По моим словам" вторая степень означает поворот на 180 градусов. Если мы его возводим в квадрат, степень i получается 2+2 = 4. Это 360 градусов относительно исходной положительной полуоси, то есть мы возвращаемся на нее. Дальше можете подумать, сколько будет "(-2)^2.1" и как расположены точки при движении от (-2)^2 = +4 к (-2)^3 = -8.
Но вообще я вам предлагал подумать, как это происходит в рамках ваших определений, а не моих.
Нет, в рамках моих определений это не ложное утверждение. "Определения не могут быть "правильными" или "неправильными"".
Я написал где в предыдущем комментарии - человек отвечал на вопрос "почему "i*i = -1"" и использовал в объяснении правила умножения, в которых уже постулирован множитель "-1". Он просто заменил одно выражение на другое более общее, а вопрос "откуда минус" остался.
Правильно. А я в рамках своего подхода поменял обозначения, и i у меня обозначает операцию, а не число. О чем я прямо написал. Поэтому ваше утверждение "Вы заявляете, что мнимая единица это не элемент множества комплексных чисел" неверно.
Мнимая единица как была так и осталась, просто я не обозначаю ее i.
В моем первом комментарии есть фраза "умножение на i это операция поворота на 90 градусов".
Далее я писал "i само по себе это не число, а операция", в рамках моего объяснения это корректное выражение. Если у нас i участвует только в операции умножения, то нет смысла рассматривать его отдельно.
И я это писал в контексте объяснения для начинающих, у меня не было цели давать строго выверенные формулировки.
Без концепции вращения вектора это совсем не очевидно. "1^(1/3) = 1", а "8^(1/3) = 2". По аналогии можно предположить "i^(1/3) = i". Откуда тут вдруг какая-то сумма квадратов, которая должна быть равна коэффициенту перед i, который даже не написан.
Я "уперся", потому что мне продолжают и продолжают про него писать одно и то же, приходится отвечать. Высказывают претензии, что в статье "путь к пониманию комплексных чисел", в ответе на комментарий "новый подход к объяснению темы", в комментарии с фразой "для объяснения простой идеи" я посмел высказать неформальный подход к объяснению и не построил строгую математическую теорию, которая бы им понравилась.
А вот и подумайте, как число "-2" с отрицательной полуоси после возведения в квадрат оказывается на положительной.
Унарный минус можно считать частным случаем бинарного с заданным аргументом, но обычно бинарный минус определяют через унарный, то есть вычитание вводят как сложение с отрицательным числом. В геометрическом смысле унарный минус связан с изменением направления.
Именно поэтому я написал "кроме несоответствия определения i". Если вы не хотите отвечать на заданный вопрос, просто не отвечайте.
Да не заявляю я иначе. Еще раз объясняю.
"Мнимая единица" по определению это "комплексное число, квадрат которого равен -1". Это точка (0, 1). У меня эта точка никуда не делась и является элементом множества комплексных чисел. В моем подходе "(0, 1) * (0, 1) = (-1, 0)", я повторил это уже много раз.
Просто вы по историческим причинам обозначаете эту точку i, а я говорю, что это то же самое, что по историческим причинам обозначать "-1" знаком "-". Можно так обозначать? Можно. Понятно это будет для начинающих? Не очень. Вы понимаете разницу между комплексным числом и его обозначением?
Можно заменить выражение "i*i" на "1*i*i", тогда "i" всегда будет использоваться только после умножения, и можно считать "*i" отдельной операцией. Тогда не будет необходимости вводить какие-то специальные элементы множества со специальными обозначениями и специальными правилами умножения, всё будет более универсально.
Я не говорю ни про какую интуицию.
"Просто определение" это и есть аксиома. Когда вы вводите "X = Y", вы постулируете истинность этого равенства без доказательств.
Я знаю, что вы уже показывали. Я так и написал в предыдущем комментарии. Зачем вы это повторяете?
А это вы зачем повторяете? Я уже сказал много раз, что цель моего подхода именно в том, чтобы не просто запоминать, а понять, вывести из более простой и наглядной концепции, из который выводятся и другие вещи.
Я уже сказал много раз, затем, чтобы начинающим изучать тему было понятно, почему результат возведения в квадрат получается "-1", как это вообще можно представить. Что именно вам непонятно в этом объяснении?
До этого им говорили, что возведение в квадрат обычных чисел можно представить через площадь квадрата, которая неотрицательная, а тут вдруг появился минус в результате.
Умножение в моем подходе как ни странно такое же, как в вашем.
Просто я минус не "ввожу так", и его не надо "просто запомнить", а он выводится наглядно из исходных одномерных действительных чисел.
После того как мы ввели, что "умножение на i выглядит как поворот на 90°", дальше можем делать любые умножения выражений "a+ib".
Во-первых, потому что это факт, можете проверить его в любом математическом пакете. Во-вторых, потому что так понятнее, почему получается -1 и все остальные результаты. Результаты правильные? Да. Значит можно так считать, значит подходы эквивалентные. Странно, что приходится объяснять математикам про эквивалентность.
Какое еще исповедование подхода на собеседовании? Разговор о том, как наглядно объяснить изучающим тему, почему i*i = -1. Сколько раз можно объяснять...
Как ни странно, std::complex для C++ вполне соответствует моему подходу. В моем подходе (0,1) * (0,1) = (-1,0).
Но вообще я вижу там вызовы std::polar() в коде вычисления степени. Наверно есть какая-то связь с углами?
Ага, а сможете сформулировать, что конкретно неверно в этих представлениях, кроме несоответствия определения i общепринятому, что и было целью? Я в этом сомневаюсь. С математической точки зрения мой подход эквивалентен общепринятому, все формулы верны в рамках обозначений, в расчетах получаются такие же результаты.
Оттуда же, откуда взялось сложение и умножение. Ответьте для себя на вопрос, откуда они взялись, так чтобы вам самому было понятно, вот и ответ на ваш вопрос будет аналогичный.
А я вам объяснил, что так и задумано. Эта фраза появилась именно как противопоставление общепринятому определению. Я не понимаю, зачем вы мне доказываете, что такое i по общепринятому определению. Я и так про это в курсе.
Там нет никакого несогласования. Я только детализировал понятие i. Для этого надо или поменять определение i, превратив его из аксиомы в вывод, или ввести новые обозначения для деталей. Все остальные определения и расчеты остаются без изменений.
Еще раз объясняю, разговор не о том, чтобы построить строгую математическую теорию без аксиом, а о том, как объяснить тему людям, которые ее изучают.
Даже если считать операцию поворота аксиомой, она одна заменяет множество аксиом вашего подхода, поэтому я считаю, что такое объяснение проще для понимания. Для меня оно точно проще, и возможно я не один такой.