Решаем уравнение Бомбелли, или Почему квадратных корней из отрицательных чисел не бывает / Habr

Уравнение Бомбелли – это кубическое уравнение $x^{3} = 15{x} + 4$ . Рафаэль Бомбелли – итальянский инженер-математик 16 века. Он занимался гидротехникой. В том числе, масштабными проектами по осушению заболоченных лугов. Но в истории математики Бомбелли известен главным образом как автор трактата «Алгебра», в котором, кроме прочего, описал объект, называемый сейчас «мнимой единицей». Именно на примере упомянутого кубического уравнения, Бомбелли в «Алгебре» показывает, как найденные им «радикалы особого (другого) вида» можно применить для разрешения противоречий, связанных с «отрицательным числом под радикалом» в формуле Кардано.

Мы решим это знаменитое (в узких кругах) уравнение несколькими способами, выведем формулу Кардано, разберёмся, бывают ли «корни из отрицательных чисел», поймём, откуда именно проблемные сочетания с минусом берутся в формуле Кардано, и что именно это означает, если отвлечься от бравурных заявлений вида «квадратные корни из отрицательных чисел существуют, но вам об этом не рассказывают». А кроме того, определим, почему формула Кардано обычно бесполезна с практической точки зрения. Для понимания статьи достаточно знакомства с алгеброй на уровне средней школы.

Общие замечания

Итак, $x^{3} = 15{x} + 4$ . В принципе, сейчас ничего не мешает переписать уравне��ие как $x^{3} - 15{x} - 4 = 0$ , но в 16 веке в Европе так делать точно не стали бы. По той простой причине, что использовалась другая нотация: уравнения нередко записывались, фактически, словами. Это требовало отдавать предпочтение положительным коэффициентам. Нет, отрицательные числа, как коэффициенты уравнений, в Италии 16-го века использовали, но всё же старались их избегать, где только это возможно.

Именно в форме $x^{3} = px + q$ уравнение и записано в трактате «Алгебра» Бомбелли. Бомбелли для обозначения степени неизвестной использует специальный знак – дугу, похожую на U, и арабскую цифру, соответствующую показателю степени. То есть, в обозначениях Бомбелли, уравнение выглядит, примерно, так: «1 U3 à 15 U1 p.4», но это эквивалентно $x^{3} = px + q$ .

У Бомбелли нет действительных чисел. Ну, как нет - нет их в современном, аналитическом смысле, как артефакта непрерывности. Бомбелли использует рациональные, а иррациональности («радикалы») присоединяет в форме $a + b\cdot\sqrt{d}$ . Это алгебраический подход. В том числе, современный. Однако, с целью упрощения изложения, и чтобы не слишком задевать острые углы оснований математики, в статье далее подразумеваются действительные числа, без всяких дополнительных уточнений и разделения на форматы. В конце концов, действительные числа для того и придуманы, чтобы всё просто объяснялось и всё пересекалось. Если, конечно, не слишком вдаваться в арифметические детали. Арифметические детали действительных чисел – слишком сложны. Это очередной раз подчёркивает то, что действительные числа гораздо труднее комплексных – ведь в присоединении мнимой единицы нет тех фундаментальных сложностей, которые возникают на пути строгого построения чисел действительных (последовательности, сходимость и т.д.).

Вернёмся, впрочем, к уравнению Бомбелли. Будем придерживаться исходной формы записи, без приравнивания нулю, но с иксами, а формулы Кардано и Виета – выведем тоже для уравнения в исходной форме. Тем более, что это влияет только на знаки, а положительность/отрицательность – можно «переключать» без проблем.

Вообще, если бы мы переписали наше уравнение как $x^{3} - 15x - 4 = 0$ , то мы получили бы лишь уравнение, эквивалентное исходному. Это только кажется, что мы просто переписали $x^{3} = 15x + 4$ , ничего не поменяв. Изменения есть. Особенно, с точки зрения программирования: у нас получается другой алгоритм вычислений – другой порядок операций, меняется алгоритмический смысл знака равенства (потому что «вычисления с обеих сторон»).

Если говорить строго, то $x^{3} - 15x - 4 = 0$ и $x^{3} = 15x + 4$ – это два уравнения, которые эквивалентны лишь при некоторых дополнительных условиях. То, что сейчас эти условия подразумеваются автоматически, не отменяет процесса преобразования. И уж тем более эти уравнения различны, если рассматривать их как формулы: попробуйте реализовать в виде программы, с типом float.

Тут, для полноты картины, необходима дежурная оговорка: форму кубического уравнения $x^{3} = px + q$ называют «канонической» (тут нет монома с $x^{2}$ – в этом смысл); всякое кубическое уравнение с одной неизвестной можно привести к такой форме при помощи линейной замены переменной (предварительно поделив на коэффициент при $x^{3}$ , конечно). Однако нам повезло: мы сразу изучаем $x^{3} = 15{x} + 4$ и проблем с приведением у нас быть не может в принципе, а данная оговорка нужна лишь для того, чтобы объяснить универсальность полученных ниже формул для нахождения корней.

Графики с корнями. Нарисовано при помощи desmos.com.

Наше уравнение имеет очевидный рациональный корень 4. Это основная его хитрость. Выбранная Бомбелли форма записи позволяет прямо рассматривать проблему как пересечение двух графиков: кубической параболы $x^{3}$ и прямой – см. иллюстрацию. Но как быстро понять без картинки, что есть корень 4?

Будем подбирать целый корень. Он должен делить свободный коэффициент (теорема о рациональных корнях). То есть, должен делить 4. Число 4 делится на 1, на 2 и на 4. Единица, очевидно, не подходит. Два – тоже (получаем $8 \ne 34$ ); а вот 4 – подходит, так как $4^{3} = 64 = 15*4 + 4$ .

Всего корней три, они все действительные (как это определить? например, по значению дискриминанта, но сейчас - нам это не важно, а один действительный корень всегда есть). Чтобы найти другие корни, поделим уравнение на . Можно делить «столбиком», а можно ускорить процесс и прикинуть в уме множители, которые нужно вынести за скобки, чтобы сохранилось исходное уравнение. Подставим в обе части уравнения, сразу подбирая множители:

$x^{2}\cdot (x - 4) = -4x\cdot(x - 4) - 1\cdot (x - 4)$

$x^{3} - \cancel{4x^{2}} = \cancel{-4x^{2}} + 1\stackrel{\Large{5}}{\cancel{6}}x - \cancel{x} + 4$

$\Downarrow$

$x^{3} = 15x + 4\qquad /(x -4)$

$\Downarrow$

$x^{2} = -4x - 1$

$\Downarrow$

$x^{2} + 4x + 1.$

Ответ – результат деления на : $x^{2} = -4x - 1$ .

Проверяем, переписав с другими знаками: $(x - 4)(x^{2} + 4x + 1) = x^{3} - 15x - 4$ . Сходится.

Теперь у нас есть один корень и осталось квадратное уравнение. Очевидно, что если мы найдём корни этого квадратного уравнения, то они подойдут и к кубическому, потому что нулю будет равна другая скобка в произведении многочленов выше.

Квадратное уравнение

Корни квадратного уравнения $x^{2} + 4x + 1 = 0$ легко найти по привычной школьной формуле (которая, кстати, нам ещё несколько раз пригодится ниже):

$(\alpha_{1}, \alpha_{2}) = \frac{-4 \pm \sqrt{4^{2} - 4}}{2} = \frac{-4 \pm 2\sqrt{3}}{2} = (-2 + \sqrt{3}, -2 - \sqrt{3}).$

Итак, мы нашли три корня исходного кубического уравнения $(4, -2 + \sqrt{3}, -2 - \sqrt{3})$ . Они все действительные. При этом, скажем, итальянских математиков 16 века из этих трёх корней интересовал только рациональный положительный корень 4. Несмотря на то, что два иррациональных корня в записи с радикалами идеально укладываются в схему представления таких чисел, изложенную в трактате Бомбелли, для этого же уравнения Бомбелли всё равно выделяет только один целый рациональный корень, проигнорировав свойства, которые вытекают из наличия двух других отрицательных корней с иррациональностями.

Бомбелли для нахождения единственного корня 4 использует формулу Кардано и сложное расширение операций со знаками. Из чего и делается исторический вывод о первом появлении комплексной, «мнимой единицы».

Мы уже нашли все три корня простым способом, а формулу Кардано вообще не применяли. В чём тогда смысл этой формулы?

Смысл её в том, что она – универсальная. То есть, работает для любого кубического уравнения. Ну, как работает – если говорить про практику, то формально работает, но с большими оговорками. Запрограммировать её в переменных с плавающей точкой универсальным способом вообще не возможно. Все эти оговорки сейчас и проявятся. Формулу Кардано мы выведем ниже, а пока попробуем применить её к нашему знаменитому уравнению. Формула Кардано:

$x = \sqrt[3]{\frac{q}{2} - \sqrt{\frac{q^{2}}{4} - \frac{p^{3}}{27}}} + \sqrt[3]{\frac{q}{2} + \sqrt{\frac{q^{2}}{4} - \frac{p^{3}}{27}}}.$

У нас уравнение вида $x^{3} = px + q$ , где p = 15, q = 4. Подставляем:

$x = \sqrt[3]{\frac{4}{2} - \sqrt{\frac{4^{2}}{4} - \frac{15^{3}}{27}}} + \sqrt[3]{\frac{4}{2} + \sqrt{\frac{4^{2}}{4} - \frac{15^{3}}{27}}}$

$x = \sqrt[3]{2 - \sqrt{4 - 125}} + \sqrt[3]{2 + \sqrt{4 - 125}}$

$x = \sqrt[3]{2 - \sqrt{-121}} + \sqrt[3]{2 + \sqrt{-121}}.$

Как говорил персонаж одного советского мультфильма: «это что же?!». Для уравнения с очевидным целым корнем мы получили бесполезное выражение с отрицательным числом под квадратным радикалом, которое непонятно как вообще использовать. Да. И, к сожалению, такое будет происходить слишком часто – «хорошие» числа получаются только для кубических уравнений с одним действительным корнем (у нашего примера - таких корней три). Зато мы только что вывели тот самый случай, едва ли не более знаменитый, чем исходное уравнение: под знаком радикала – минус 121.

Минус сто двадцать один

Почему так вышло? Банальный ответ столь же прост, как и сама формула Кардано: отрицательное число получилось потому, что так написано в формуле. Но, всё же, предмет алгебры – это изучение структур (алгебраических, да). Так что тут должна быть какая-то структурная причина. Причина такая есть, и она, как ни странно, вовсе не в комплексных числах.

Разберёмся, откуда возникает этот фрагмент формулы под радикалом:

$\frac{q^{2}}{4} - \frac{p^{3}}{27}.$

Это ни что иное, как преобразованное значение дискри��инанта квадратного уравнения (ну или формула для корней, как хотите). Фактически, тут всё то же, что и в школьной формуле. (Заметьте, что это же выражение прямо связано с дискриминантом уравнения кубического.) В процессе вывода формулы Кардано возникает квадратное уравнение в «переменных замены», которые оказываются его корнями. Вот это уравнение:

$\gamma^{2} - q\gamma + \frac{p^{3}}{27} = 0.$

Здесь q, p – коэффициенты исходного кубического уравнения.

Если переписать привычную всем формулу для корней квадратного уравнения, то получится следующее равенство для пары корней:

$\alpha_{1,2} = \frac{q \pm \sqrt{(-q)^{2} + 4p}}{2}.$

Возможно, более узнаваема типовая школьная запись в других буквах и с обычными знаками.

$ax^{2} + bx + c = 0$

$\alpha_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$

$D = b^{2} - 4ac$

Но в нашем случае все уравнения приведены (поделили на a, это всегда можно сделать, так как у нас, по условию задачи, $a \ne 0$ ), поэтому коэффициент при $x^{2}$ равен единице. Формула для дискриминанта занесена в общее выражение, , $c = \frac{p^{3}}{27}$ , и выполнены соответствующие преобразования.

Получаем:

$\alpha_{1,2} = \frac{q \pm \sqrt{(-q)^{2} - 4\frac{p^{3}}{27}}}{2} =$

$\frac{q}{2} \pm \frac{1}{2}\sqrt{(q)^{2} - 4\frac{p^{3}}{27}} =$

$\frac{q}{2} \pm \sqrt{\frac{(q)^{2}}{4} - \frac{1}{\cancel{4}}\frac{\cancel{4}p^{3}}{27}} =$

$\frac{q}{2} \pm \sqrt{\frac{q^{2}}{4} - \frac{p^{3}}{27}}.$

Это ещё не формула Кардано, это всё ещё формула для корней квадратного уравнения. И под радикалом здесь у нас дискриминант, поделённый на два. Перестановка радикалов - влияет только на знак. Поэтому примем, что минус под квадратным корнем в формуле Кардано образуется из-за отрицательного дискриминанта квадратного уравнения. Это и есть структурная причина.

Отрицательный дискриминант квадратного уравнения. Что это означает? Многие скажут: «это означает, что корней у квадратного уравнения нет». Чуть более продвинутые уточнят, что корни есть, но они комплексные. И то, и другое – верно. Интерпретация зависит от того, над какими числами взято уравнение. Нам сейчас важно сосредоточиться на варианте с действительными числами. Потому что комплексных – у нас ещё нет.

И вот, если рассматривать квадратное уравнение над действительными числами, то отрицательный дискриминант означает, что действительных корней нет. Просто потому, что квадрат действительного числа не может быть отрицательным. А не может он быть отрицательным по определению. Это очень важный момент. «Положительная определённость» квадрата требуется для того, чтобы ввести полноценный, линейный порядок, когда одно число «меньше» другого (например, меньше нуля), а получившееся отношение порядка - совместимо с арифметикой в действительных числах. Так что – нет, не бывает никаких «квадратных корней из отрицательных действительных чисел», да и быть не может - иначе числа перестали бы быть действительными.

Самое занимательное тут то, что, в этом же смысле, и квадрат никакого комплексного числа не может быть меньше нуля! Но по другой причине: потому, что в комплексных числах как раз нет отношения порядка, аналогичного тому, которое есть в действительных числах. Нельзя сказать, что это комплексное число «отрицательное» – меньше нуля, а это – «положительное», больше нуля. Строго говоря, всякие способы «сравнения» комплексных чисел можно придумать, – например, по значению модуля, по алфавиту записи, ещё как-то, – но никакой из этих способов не будет совместим с арифметической структурой комплексных чисел, соответственно, не будет задавать линейный порядок.

Почему же тогда говорят, что «квадрат комплексного числа может быть равен числу, которое меньше нуля»? Запутать хотят. «Кручу-верчу, обмануть хочу!». Ну или это такое упрощение, вводящие в заблуждение, как и привычка писать $i = \sqrt{-1}$ (это неверно! не пишите так, даже если у вас есть лицензия на «кручу-верчу»). Ловушка состоит в том, что квадрат тут – это не чисто действительное число. То есть, число рассматривается только как действительное, но операция – проводится в комплексных числах, и результат её – комплексное число.

Кардан по формуле

Вернёмся к истории с кубическими уравнениями и формулой Кардано. Итак, отрицательное значение под радикалом образуется потому, что нет действительных корней у квадратного уравнения. Это структурная причина. Структурная она потому, что нужны специальные сигнатуры, дабы не действительные корни превратить в действительные (рациональные, на самом деле) коэффициенты квадратного уравнения: никто ведь не отменяет того, что коэффициенты равны сумме и произведению корней, но корней, при этом, как бы, нет. Зато есть структура над корнями, переставляющая их.

Значение $\sqrt{-121}$ – точно так же не есть действительное число: ведь оно не является ни отрицательным, ни положительным, ни нулём. Это ключевой момент, который полностью верен для современных комплексных чисел. Почему ни отрицательным, ни положительным? Потому что, по определению, отрицательное – это меньше нуля; положительное – это когда нуль меньше числа. Но раз нет подходящего отношения порядка, то нет и отрицательных/положительных. Это всё отмечено у Бомбелли – буквально, он пишет, что «такой радикал не может быть назван ни положительным, ни отрицательным». В его «Алгебре» это означало, что у значения вида $\sqrt{-121}$ есть особенная сигнатура, а поэтому нужно ввести дополнительную операцию по работе с этой сигнатурой, что в истории математики и принято называть изобретением «мнимой единицы».

Именно из наблюдения, что квадрат всякого действительного числа положителен, а комплексные числа не могут быть ни «отрицательными», ни «положительными», следует вывод, что нельзя относить комплексные числа вида $a + 0\cdot{i}$ , – то есть, с нулём в мнимой части, – к действительными числами. Это неверно. Тот факт, что действительные числа можно «поместить» в комплексные, не делает числа $a + 0\cdot{i}$ – действительными.

Выведем формулу Кардано для кубических уравнений, используя в качестве отправной точки нашу запись в форме $x^{3} = px + q$ .

План: сделаем замену ; подставим в исходное уравнение и распишем «куб скобки»; увидим формулы Виета; получим квадратное уравнение для суммы переменных подстановки. А именно (много букв):

$(u + v)^{3} = p(u + v) + q$

$(u^{3} + 3u^{2}v + 3v^{2}u + v^{3}) = p(u + v) + q$

$(u^{3} + v^{3}) + 3uv(u + v) = p(u + v) + q$

$\Downarrow$

$3uv = p \qquad(1)$

$(u^{3} + v^{3}) = q \qquad(2)$

$\Downarrow$

$3^{3}u^{3}v^{3} = p^{3} \qquad(3)$

$u^3v^3 = \frac{p^{3}}{27} \qquad(4)$

$\Downarrow$

$u^3v^3 = \frac{p^{3}}{27} \qquad(5)$

$(u^{3} + v^{3}) = q \qquad(6)$

$\Downarrow$

$\gamma^{2} + q\gamma + \frac{p^{3}}{27} = 0 \qquad(7)$

$(u^{3}, v^{3}) = \frac{q}{2} \pm \sqrt{\frac{q^{2}}{4} - \frac{p^{3}}{27}} \qquad(8).$

Пояснения:
расписав «куб скобки», собираем кубы и выносим общий множитель , получив сумму , аналогично правой части;
в (1),(2), исходя из структуры получившейся формулы, выписываем соотношения для , и ,;
преобразуем часть для p в (3), (4); видим формулы Виета для квадратного уравнения в (5),(6);
(7),(8) – вывод соответствующего квадратного уравнения, корнями которого являются куб и куб (новая переменная – $\gamma$ ).

Обратите ещё раз внимание на (1): равенство потребуется нам дальше, когда мы попробуем применить формулу Кардано к современным комплексным числам, чтобы найти все корни уравнения по этой формуле.

Если корни полученного квадратного уравнения переставлять местами, то это меняет только знак перед радикалом. У нас основная подстановка – сумма. Поэтому можно выбрать любой порядок радикалов. Итак, вспоминаем, что , и мы получили выражение для кубов и . Добавив кубические корни можно (ещё раз) записать итоговую формулу Кардано:

$x = u + v = \sqrt[3]{\frac{q}{2} + \sqrt{\frac{q^{2}}{4} - \frac{p^{3}}{27}}} + \sqrt[3]{\frac{q}{2} - \sqrt{\frac{q^{2}}{4} - \frac{p^{3}}{27}}}.$

Теперь должно быть понятно, где именно при выводе формулы Кардано используется квадратное уравнение и откуда там дискриминант под квадратным корнем. Заметьте, что упомянутое квадратное уравнение записано в тех же коэффициентах, что и исходное кубическое, но коэффициент – перешёл на роль суммы корней квадратного уравнения, а – теперь внутри формулы для произведения данных корней. В исходном кубическом уравнении - это произведение (трёх) корней, а - сумма попарных произведений (с точностью до знака). То есть, тут происходит спуск от третьей степени ко второй, с сохранением симметрий. Оказывается, коэффициенты кубического уравнения должны соответствовать соотношениям для квадратного. Именно по этому признаку выбираются сочетания значений кубических корней, ведь под каждым кубическим радикалом, в итоге, скрывается три комплексных значения – мы отдельно разберёмся с этим ниже.

Кстати, здесь кроется примерно половина классической теории Галуа: на этом спуске с необходимым сохранением симметрий – возникает препятствие между пятой и четвёртой степенями уравнений, делающее запись в радикалах невозможной для произвольных уравнений пятой степени. Впрочем, увидеть это не так-то легко, когда не знаете куда смотреть. Не удивительно, что на первый шаг к пониманию данной структуры в максимальной общности потребовалось ещё более двух веков. Но это тема для отдельной статьи. Вернёмся к формуле Кардано и квадратным уравнениям.

Итак, здесь фигурируют два корня квадратного уравнения, которое возникает в процессе вывода формулы Кардано, потому что мы сделали замену . В этом квадратном уравнении коэффициент при $\gamma$ – это сумма корней, а $\frac{p^{3}}{27}$ - это произведение корней. То есть, именно из этих соотношений и возникают полные выражения под кубическими радикалами.

Минус на минус-минус

Что делать с минусами под радикалами? Прежде всего, нужно понять, для чего выводились исходные формулы. Что здесь означает «решить уравнение»? Это означает, что нужно найти алгоритм для некоторого калькулятора, который позволит в результате операций над коэффициентами – получить корни. Например, при решении линейного уравнения потребуется деление: $x = \frac{6}{3}$ . Для квадратного уравнения потребуется операция извлечения квадратного корня. То есть, нахождения такого числа, которое, будучи умноженным само на себя, даёт искомое значение под радикалом.

Не во всех случаях квадратного уравнения этот калькулятор будет работать. Но для таких уравнений можно сказать, что корней у них нет – и это будет правильным и достаточным: у них нет действительных корней. А вот для кубических – ситуация оказывается сложнее. На современном языке изменение формулируется так: уже для того, чтобы находить действительные корни кубических уравнений, калькулятор, выполняющий базовые арифметические операции, а также извлечение кубических и квадратных корней, должен уметь считать в комплексных числах. Однако для нашего уравнения – можно ограничиться добавлением операции работы с сигнатурой «нового радикала». Именно так поступил Бомбелли.

Дело в том, что отрицательные числа под радикалами можно оставить положительными, перенеся изменение знака на сигнатуру. Посмотрим на $\sqrt{-121}$ внимательнее. Нужны ли здесь комплексные числа? $121 = 11^{2}$ . То есть, как бы, ничего сложного, если бы не минус. Перепишем этот минус как сигнатуру под условным названием «минус-минус». Это будет такая сигнатура, которая при умножении на саму себя даст «минус», то есть, сделает число меньшим, чем нуль. Как умножение на «минус единицу». Сразу обозначим эту сигнатуру буквой i. Если теперь такую сигнатуру прицепить к 121 под радикалом, то получаем $(i\cdot 11)^{2} = (i\cdot i)\cdot(11\cdot 11) = -121$ . Теперь осталось описать правила операций с данной сигнатурой и можно добавить соответствующую функцию к нашему калькулятору.

Cамый цитируемый фрагмент из «Алгебры» Бомбелли – описание правил умножения с сигнатурой «новых радикалов», а именно, если в современных обозначениях:

$(+)\cdot(+i) = +i$ ;
$(−)\cdot(+i) = −i$ ;
$(+)\cdot(−i) = −i$ ;
$(−)\cdot(−i) = +i$ ;
$(+i)\cdot(+i) = −$ ;
$(+i)\cdot(−i) = +$ ;
$(−i)\cdot(+i) = +$ ;
$(−i)\cdot(−i) = −$ .

Это означает, например, что $-2\cdot i = -2i, а -2i\cdot 3i = 6$ . Для работы с формулой Кардано нам достаточно этой «таблицы умножения».

Заметьте, что именно эта таблица и делает «новые радикалы» Бомбелли такими, что про них нельзя сказать «ни больше, ни меньше» – «ни положительное, ни отрицательное». Воспользуемся снова современными обозначениями и будем считать, что обычные «плюсы» и «минусы» - это и , и присоединим сюда «необычные» и . Мы получили кортеж: $\{+1, -1, +i, -i\}$ . Теперь мы хотим ввести отношение порядка (положительное/отрицательное), сохраняющее привычную арифметику. Положим, что $-i \lt 0$ (отрицательное), а $+i \gt 0$ (положительное). Тогда $i\cdot i$ должно быть положительным, больше нуля. Однако, согласно таблице умножения выше, $(+i)\cdot (+i)$ - это «минус», то есть, $(+i)\cdot (+i) = -1$ . Следовательно, $-1 \gt 0$ , то есть, – положительное. Но тогда $-i = -1 \cdot (+i)$ должно быть тоже положительным, ведь мы приняли, что положительное и нашли, что - положительное. Но тогда - отрицательное. Следовательно, – отрицательное. Но мы приняли, что – положительное. Противоречие.

В общем, получается даже целый клубок противоречий, если пытаться ввести тут привычные отрицательные и положительные числа. Ещё одно доказательство того, что никаких квадратных корней из отрицательных чисел быть не может. Однако, добавив к нашему калькулятору таблицу преобразований сигнатуры при умножении, мы можем успешно вычислять наши «новые радикалы». Естественно, – это «мнимая единица» в современном понимании. То есть, корень $X^{2} + 1$ , присоединённый к действительным числам.

В алгоритме вывода формулы Кардано, который мы рассмотрели выше, фигурируют два корня квадратного уравнения, возникающего в процессе преобразований. В этом квадратном уравнении коэффициент при $\omega$ – это сумма корней (с точностью до знаков), а $\frac{p^{3}}{27}$ – это произведение корней. Именно из этих соотношений возникают полные выражения под кубическими радикалами в формуле. Воспользуемся сигнатурой :

$x = \sqrt[3]{2 - \sqrt{-121}} + \sqrt[3]{2 + \sqrt{-121}}$

$x = \sqrt[3]{2 - i11} + \sqrt[3]{2 + i11}.$

Проверяем:

$(2 - i11) \cdot (2 + i11) = 4 + 121 = 125 = \frac{15^{3}}{27}$

$(2 - i11) + (2 + i11) = 2 - \cancel{i11} + 2 + \cancel{i11} = 4.$

Сходится. Кто бы, как говорится, сомневался – это же просто формулы Виета для квадратного уравнения.

Найдём рациональный корень 4 нашего исходного уравнения при помощи формулы Кардано, используя только что определённую сигнатуру :

$x = \sqrt[3]{2 - \sqrt{-121}} + \sqrt[3]{2 + \sqrt{-121}}$

$x = \sqrt[3]{2 - i11} + \sqrt[3]{2 + i11}$

$x = (2 - \cancel{i}) + (2 + \cancel{i}) = 2 + 2 = 4.$

Возникает резонный вопрос: откуда взялось $2 \pm i$ ? Эти два числа, куб которых равен $2 \pm i\sqrt{11}$ , встречаются и у Бомбелли. Но, конечно, не как комплексные числа, а как специальные радикальные выражения, содержащие сигнатуры .

Современный универсальный способ извлечения кубических корней из комплексных чисел – это формула Муавра. У Бомбелли её не было – формула опубликована только в 18 веке. Но и не страшно: данный способ здесь практически бесполезен – он слишком громоздкий и требует понимания свойств трансцендентных, тригонометрических функций (мы вернёмся к таким функциям ниже, но без всяких комплексных чисел).

Хорошо, допустим, что формулы Муавра – нет, а если бы и была, то она оказалось бы бесполезна. Что делать? Можно пойти другим, более привычным, путём: попробовать угадать. Скорее всего, именно так и действовал Бомбелли.

Нам нужно найти выражение вида , куб которого равен :

$(a + ib)^{3} = a^{3} + 3a^{2}ib + 3ai^{2}b^{2} + i^{3}b^{3} =$

$a^{3} + 3a^{2}ib - 3ab^{2} - ib^{3} =$

$(a^{3} - 3ab^{2}) + i(3a^{2}b - b^{3}).$

Здесь выражение записано в форме, совпадающей с искомой – . Подставляем значение :

$(a^{3} - 3ab^{2}) + i(3a^{2}b - b^{3}) = 2 + i11$

$\Downarrow$

$(a^{3} - 3ab^{2}) = 2$

$(3a^{2}b - b^{3}) = 11$ .

Пробуем минимальные натуральные числа - срабатывает с a = 2, b = 1:

$(2^{3} - 3\cdot2\cdot1^{2}) = 8 - 6 = 2$

$(3\cdot2^{2}\cdot1 - 1^{3}) = 12 - 1 = 11.$

Искомое выражение: $2 + i\cdot 1$ . Сопряжённое значение подбирается так же. Это было нетрудно:

$(2 + i)^{3} = 2 + i11$

$(2 - i)^{3} = (2 - i)\cdot(4 - i4 - 1) =$

Здесь использовались лишь те свойства , которые определены у Бомбелли.

Так как в труде Бомбелли не комплексные числа, а только сигнатура , то он логично ограничивается нахождением единственного корня – 4.

Комплексные сложности

Если ввести мнимую единицу, даже в качестве сигнатуры, то вместе с ней придут и так называемые «корни из единицы», разных степеней. То есть, в случае с кубом, появляется ещё два выражения, отличных от действительной единицы, куб которых равен действительной единице (1), если рассматривать i как сигнатуру. Это корни третьей степени из единицы. Обозначим такой корень $\zeta$ . Тогда $\zeta^{3} = 1$ . В современном понимании, корни из единицы – это комплексные числа, но обратите ещё раз внимание на то, что, строго говоря, «единица» тут будет комплексной: $1 + i\cdot0$ . Корни третьей степени:

$\zeta = -\frac{1}{2} + \frac{i\sqrt{3}}{2}, \quad \zeta^2 = -\frac{1}{2} - \frac{i\sqrt{3}}{2}.$

Проверим для одного из корней:

$(-\frac{1}{2} + \frac{i\sqrt{3}}{2})^{3} =$

$-\frac{1}{8} + \frac{3}{4}\cdot\frac{i\sqrt{3}}{2} + \frac{3}{2}\cdot\frac{3}{4} - \frac{3}{4}\cdot\frac{i\sqrt{3}}{2} =$

$-\frac{1}{8} + \cancel{\frac{3i\sqrt{3}}{8}} + \frac{9}{8} - \cancel{\frac{3i\sqrt{3}}{8}} =$

$-\frac{1}{8} + \frac{9}{8} + i0 =$

$\frac{8}{8} = 1 + i0.$

Теперь-то у кубического корня получается три значения! Потому что $(\zeta\alpha)^{3} = \zeta^{3}\alpha^{3} = 1\alpha^{3}$ – то есть, умножаем на кубический корень из единицы, и на квадрат кубического корня из единицы.

Поэтому для современного читателя, знакомого с комплексными числами, всё оказывается сильно сложнее, без всяких формул Муавра. В формуле Кардано – два кубических корня. У кубического корня из комплексного числа – три значения. В случае нашего уравнения, чтобы эти значения получить, нужно взять (или ), как комплексное число, и умножить на кубические корни из единицы (в степени 1 и в степени 2). И мы получаем девять вариантов ответа для кубического уравнения. Ещё одна «странность» формулы Кардано:

${u} + {v}, \quad {u} + \zeta{v}, \quad {u} + \zeta^{2}{v},$

$\zeta{u} + {v}, \quad \zeta{u} + \zeta{v}, \quad \zeta{u} + \zeta^{2}{v},$

$\zeta^{2}{u} + {v}, \quad \zeta^{2}{u} + \zeta{v}, \quad \zeta^{2}{u} + \zeta^{2}{v}.$

Да, один из этих вариантов даёт значение 4 (), его использовал Бомбелли, пропустив остальные. Но если мы знаем о комплексных числах, то как поступить с другими значениями, чтобы верно выбрать два недостающих корня? Нужно выбрать те, которые удовлетворяют . Если помните, то это соотношение между и значениями под кубическими радикалами использовалось на шаге (1) в выводе формулы Кардано (см. выше). Дело в том, что после подстановки формула следует из исходного уравнения, но в обратную сторону это верно только тогда, когда удовлетворяют формуле . Следовательно, подходят только три сочетания значений кубических корней из девяти перестановок:

$u + v, \quad \zeta {u} + \zeta^{2}{v}, \quad \zeta^{2} {u} + \zeta {v}.$

Помимо того, что данное наблюдение имеет большое значение для классической теории Галуа, оно ещё и позволяет вычислить по формуле Кардано два других корня нашего уравнения, которые не рассматривает Бомбелли:

$(-\frac{1}{2} + \frac{i\sqrt{3}}{2})(2 + i) + (-\frac{1}{2} - \frac{i\sqrt{3}}{2})(2 - i) =$

$(-1 - \frac{\sqrt{3}}{2} + i(-\frac{1}{2} + \sqrt{3})) + (-1 - \frac{\sqrt{3}}{2} + i(\frac{1}{2} - \sqrt{3})) =$

$(-1 - \frac{\sqrt{3}}{2} + \cancel{i(-\frac{1}{2} + \sqrt{3})}) + (-1 - \frac{\sqrt{3}}{2} + \cancel{i(\frac{1}{2} - \sqrt{3})}) =$

$-2 - \sqrt{3},$

$(-\frac{1}{2} - \frac{i\sqrt{3}}{2})(2 + i) + (-\frac{1}{2} + \frac{i\sqrt{3}}{2})(2 - i) =$

$(-1 + \frac{\sqrt{3}}{2} + i(-\frac{1}{2} - \sqrt{3})) + (-1 + \frac{\sqrt{3}}{2} + i(\frac{1}{2} + \sqrt{3})) =$

$(-1 + \frac{\sqrt{3}}{2} + \cancel{i(-\frac{1}{2} - \sqrt{3})}) + (-1 + \frac{\sqrt{3}}{2} + \cancel{i(\frac{1}{2} + \sqrt{3})}) =$

$-2 + \sqrt{3}.$

Начертив очередное подтверждение тому, что алгебра – это искусство сокращения переменных, мы вычислили два недостающих корня и показали полноту формулы Кардано (или Кардана?).

Трансцендентная помощь

Говорят, из континуума можно достать всё что угодно. Например, можно достать такой процесс разрезания геометрических объектов, который позволяет действительный 3D-шар разрезать на два шара, равновеликих исходному. Но это магия слишком высокого уровня. Мы же попробуем ограничиться косинусами, чтобы на пути вывода формулы решения кубического уравнения с тремя рациональными корнями обойтись и без комплексных чисел, и без «квадратных корней из отрицательных». Для этого нужна тригонометрия и метод Виета.

Формулы Виета уже упоминались выше. Однако Виет предложил ещё и универсальный способ решения кубического уравнения, с рациональными корнями, без формулы Кардано и без необходимости использования комплексных чисел. Но список доступных операций «калькулятора» расширяется: потребуются трансцендентные функции, а именно, cos (и обратная к косинусу – arccos).

Основная идея метода Виета состоит в использовании формулы для косинуса тройного угла. Да, тройной угол тут не просто так – кубическое уравнение прямо связано с задачей трисекции угла, это отдельно отмечено и у Бомбелли.

Запишем нужную формулу для косинуса:

$\cos(3\cdot \varphi) = 4\cdot\cos^{3}(\varphi) - 3\cdot\cos(\varphi).$

Вспоминаем наше кубическое уравнение:

$x^{3} = px + q.$

Пусть теперь

$x = k\cdot\cos(\varphi)$

$k^{2} = \frac{4p}{3}.$

Зачем нужно соотношение для $k^{2}$ ? Оно гарантирует, что на нужном шаге можно будет вынести за скобки общий множитель, содержащий квадратный корень. Обратите внимание, что $(\sqrt{a})^{3} = \sqrt{a}\sqrt{a}\sqrt{a} = a\sqrt{a}$ , а у нас, как раз, кубическое уравнение.

Если подставить $x = k\cdot\cos(\varphi)$ в исходное уравнение, то получим:

${k}^{3}\cdot\cos^{3}{(\varphi)} = {p}\cdot{k}\cdot\cos{(\varphi)} + {q}.$

Перепишем исходную формулу для косинуса тройного угла, чтобы подставить $\cos^{3}{(\varphi)}$ в получившееся выражение:

$\cos(3\cdot \varphi) = 4\cdot\cos^{3}(\varphi) - 3\cdot\cos(\varphi)$

$4\cdot\cos^{3}(\varphi) = \cos(3\cdot \varphi) + 3\cdot\cos(\varphi)$

$cos^{3}(\varphi) = \frac{1}{4}\cdot(\cos(3\cdot \varphi) + 3\cdot\cos(\varphi)).$

Подставляем:

$\frac{k^{3}}{4}(\cos{(3\varphi)} + 3\cos{\varphi}) = {p}{k}\cos{(\varphi)} + q$

$\frac{k^{3}}{4}\cos{(3\varphi)} + \frac{3{k}^{3}}{4}\cos{\varphi} = {p}{k}\cos{(\varphi)} + q$

$\frac{k^{3}}{4}\cos{(3\varphi)} + \frac{3{k}^{3}}{4}\cos{\varphi} - {p}{k}\cos{(\varphi)} = q$

$\frac{k^{3}}{4}\cos{(3\varphi)} + \underbrace{(\frac{3{k}^{3}}{4} - {p}{k})}_\text{(m)}\cos{(\varphi)} = q.$

Мы хотим получить формулу, выражающую корни через тройной угол, соответственно, нужно, чтобы множитель при $\cos{\varphi}$ был равен нулю. Отсюда получаем:

$\frac{3{k}^{3}}{4} - {p}{k} = 0$

$\frac{3{k}^{3}}{4} = pk$

${k}^{3} = \frac{4pk}{3}.$

Делим на k и вот – искомый результат:

${k}^{2} = \frac{4p}{3}.$

Мы вновь получили соотношения для подстановки в исходное уравнение:

$x = k\cdot\cos(\varphi)$

$k^{2} = \frac{4p}{3}.$

Выражение для x:

$x = 2\sqrt{\frac{p}{3}}\cos{\varphi}.$

Подставляем в ${x}^{3} = {p}\cdot{x} + {q}$ :

$\frac{8{p}}{3}\sqrt{\frac{p}{3}}\cos^{3}{\varphi} = {p}\cdot{2}\sqrt{\frac{p}{3}}\cos{\varphi} + q$

$\frac{8{p}}{3}\sqrt{\frac{p}{3}}\cos^{3}{\varphi} - {p}\cdot{2}\sqrt{\frac{p}{3}}\cos{\varphi} = q$

$\frac{2{p}}{3}\sqrt{\frac{p}{3}}(4\cos^{3}{\varphi} - 3\cos{\varphi}) = q$

$\frac{2{p}}{3}\sqrt{\frac{p}{3}}\underbrace{(4\cos^{3}{\varphi} - 3\cos{\varphi})}_\text{косинус тройного угла} = q.$

Загнали, что называется, формулу косинуса тройного угла в нужное место. Снова выполняем подстановку и переносим множители:

$\cos{(3\varphi)} = \frac{q}{\frac{2p}{3}\sqrt{\frac{p}{3}}}$

$\cos{(3\varphi)} = \frac{q}{2\sqrt{\frac{p^{3}}{27}}}.$

Заметьте, что, по формулировке нашего исходного уравнения, – всегда положительное. Это означает, что никаких отрицательных чисел под радикалом квадратного корня здесь быть не может. Сохранились и два основных условия:

$\frac{p^{3}}{27} \ne 0$

${q} \lt 2\sqrt{\frac{p^{3}}{27}}$

Если вернуться к формуле Кардано, то нетрудно заметить, что данное условие как раз и приводит к отрицательному значению под радикалом. Под радикалом квадратного корня в формуле Кардано записано вот что:

$\sqrt{\frac{q^{2}}{4} - \frac{p^{3}}{27}}.$

Из условия для q получаем:

${q} \lt 2\sqrt{\frac{p^{3}}{27}}$

${q}^{2} \lt \frac{4p^{3}}{27}$

$\frac{{q}^{2}}{4} \lt \frac{p^{3}}{27}.$

Так что, всё сходится – метод Виета работает только для случая, когда все корни рациональные, как и задумано. Зато вообще без комплексных чисел и даже без специальных сигнатур. Отсутствуют и неочевидные комбинации кубических корней. Но, по закону «закапывания трудностей», для вычисления корней $x_{n}$ требуются косинус и арккосинус:

$\cos{(3\varphi)} = \frac{q}{2\sqrt{\frac{p^{3}}{27}}}$

$t_{n} = \frac{1}{3}\arccos{\left(\frac{q}{2\sqrt{\frac{p^{3}}{27}}}\right)} + \frac{2\pi{n}}{3},\qquad n = 0, 1, 2$

$x_{n} = 2\sqrt{\frac{p}{3}}\cos{(t_{n})}.$

К сожалению, косинус – трансцендентная функция, поэтому формула не сильно-то поможет в точности вычислений. Проверим для исходного уравнения и корня 4.

$x^{3} = 15x + 4$

$t_{0} = \frac{1}{3}\arccos{\left(\frac{4}{2\sqrt{\frac{15^{3}}{27}}}\right)}$

$t_{0} = \frac{1}{3}\arccos{\left(\frac{4}{10\sqrt{5}}\right)}$

$t_{0} = \frac{1}{3}\arccos{\left(\frac{2}{5\sqrt{5}}\right)}$

$(t_{0} \approx 26.56505)$

$x_{0} = 2\sqrt{\frac{15}{3}}\cos{(t_{0})} = 4.$

Неожиданно. Но мы-то знаем, что так и есть. Проверьте на калькуляторе. Или при помощи программы на языке Python для калькулятора. Особенно интересной будет проверка для двух других корней, когда : не забывайте, где там градусы, а где – радианы.

Естественно, этот метод напрямую связан с формулой для извлечения корней из комплексных чисел в тригонометрической форме. Однако, применительно к решению кубического уравнения тригонометрическим методом Виета, никаких комплексных чисел и даже специальных сигнатур нам не потребовалось.

Итоги

Итак, уравнение Бомбелли $x^{3} = 15x + 4$ имеет три действительных корня: очевидный 4 и менее очевидные, $-2 + \sqrt{3}$ и $-2 - \sqrt{3}$ . Эти корни проще всего найти не по формуле Кардано, а угадав очевидный и поделив уравнение на линейное. Уравнение знаменито потому, что даже для того, чтобы вычислить очевидный корень 4 по формуле Кардано необходимо придумать, как работать с минусами под радикалами квадратного корня. Это осложняется тем, что квадратные корни из отрицательных чисел невозможно извлекать, а для того, чтобы алгоритм формулы Кардано продолжил работать, необходимо добавить новую операцию: преобразование сигнатуры. Именно из этой операции и появилась «мнимая единица» .

Ссылки по теме: о комплексных числах, как кортежах значений, и более подробный разбор подхода Бомбелли.

Литература

L’Algebra. R. Bombelli, 1579
Reading Bombelli. F. La Nave, B. Mazur, 2001
Modern Algebra. B. L. Van der Waerden, 1953
«Теория Галуа». Н. Г. Чеботарёв, 1936
Galois Theory. I. Stewart, 2015